數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)立體幾何版課件

1、高二數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第三講立體幾何解題的基本策略一、點、線、面間關(guān)系的轉(zhuǎn)化 立體幾何的知識告訴我們，最核心的內(nèi)容是線面間的的垂直、平行關(guān)系，而它們又通過判定定理、性質(zhì)定理而相互轉(zhuǎn)化。定理的應(yīng)用過程實質(zhì)上就是下述諸關(guān)系的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。 點面點點 點線 線面 面面 線線例1 (如圖) 二面角 AB 的平面角為 300，在上作ADAB，AD=10，過D作 CD于D,若ACB = 600，求AC與BD的 距離。解 作BEAC，CEAB,連EC,ED，則AC面BCE，直線AC到面BDE的距離就是AC到BD的 距離.這時，AC上任一點到面BDE的距離就是所求. CBEAHD 由DC知，DCAC;又AD AB，根

2、據(jù)三垂線定理 ，AC AB.但ABAC,故AC CE.從而AC 面CDE 。又 BEAC ,得BE 面CDE, 進(jìn)而面BDE面CDE， 在RtCDE上作高CH，由RtACD中, CAD = 300為二面角的平面角. AD =10, 得AC = 5 , CD = 5; 又在RtABC 中，ACB = 600 ,有CE=AB = AC = 15, 最后在 RtACD中，由CE=AB =15, 得DE = 5 , 從而CH = = 三個步驟:一、線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離ABCDEH二、再轉(zhuǎn)化為點面距離三、計算距離解法二 用體積法計算 VD-BCE=VC-BDE.解法三 外接于一個長方體用補形的方法解決

3、CEBADH二、 平 面 化 的 思 考 在空間,選取一個恰當(dāng)?shù)钠矫?使問題在這個平面上獲得突破性的進(jìn)展,甚至全部解決,是一種自然而重要的思考,怎樣選取平面呢?有以下幾個主要方法1、 截面法2、隔離法3、展平法4、投影法例2、 在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)C1 D1 B 所在的半平面為 ，C D1 B所在的半平面為 ，BD1 所在的直線是 與 的交線。求二面角 BD1 的度數(shù)ABCDA1B1C1D1MN 因為二面角的平面角的度數(shù)是由相應(yīng)平面角的來表示的，所以解題的一個方向是找平面角。分析解 在平面 A B C1 D1 上，由點 A 向 B D1 引垂線，與BD 1 交于M,與BC1

4、交于N，連CM，由于正方體關(guān)于面BB1D1D的對稱性，必有CMBD1 ，因此， NMC就是二面角的平面設(shè)正方體的棱長為，則AC2=CD12 =2a2 ，AM2 =MC2 = a2 ,在 AMC中，由余弦定理得 AMC=1200 ，從而 MAC=600 ，即二面角BD1 的度數(shù)為600。MCDABNABCDMN 例5、若空間四邊形的兩組對邊相等，則兩條對角線的中點連線垂直對角線。三、 圖 形 變 換證明 如圖，空間四邊形ABCD中，M,N是對角AC,BD的中點，現(xiàn)將A與C交換,B與D交換，得到同一位置的空間四邊形，而這個四邊形又可看作一個繞著某一軸（軸對稱）旋轉(zhuǎn)1800 得到另一個，由A與C關(guān)M

5、于對稱，B與D關(guān)于N 對稱知，對稱軸必經(jīng)過MN，從MNAC，MNBD。 ABCDMMCDABN證明2、 將ACD 繞AC展平到面ACD上，得 ABCD，則 BD與AC相交與M，BM=MD。再將圖形復(fù)原，由BM=MD，BN=ND知MN是等腰三角形MBD 底邊上的高，有 MNBD。同理MNAC。DCBANM 圖形變換包括1、空間的對稱 2、空間的旋轉(zhuǎn) 3、空間的折疊4、空間的展平 直觀上補充成為長方體，則MN是上下底面中心的連線，它與上下底面都垂直，當(dāng)然是同時垂直于AC,BD.C1C1CAABCDDB1D1例4、 如圖，已知給一個長方體，其共頂點的3條棱互不相等，現(xiàn)在要由一頂點沿表面到對角頂點，求

6、最短的線路。ABDCA1B1C1D1分析： 將長方體各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由兩點間距離最短知， 有三條相對短的走法，設(shè)三條共點棱長為AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾股定理可算 得AFC1最短。FF 四、 體 積 法 用兩種方法計算同一體積，從而得出未知數(shù)的等量關(guān)系，這是平面幾何的面積法的直接推廣，用這種方法求點到平面的距離時，可免去找距離線段或論證垂直關(guān)系的推理過程，在種方法多用于四面體和長方體，因為它們對底面的選擇有很大的自由度，可以方便地“換底”例5 如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn) 分別是 AB ,AD 的中點，CG 垂直于 ABCD 所在的平面

7、，且 CG=2，求 B 點到平面 GEF 的距離。EFCABDGEFABCDGH解連BF，BG ,有=2記 H 為AC與EF的交點，由CG為平面AC的垂線，ACEF知，CHEF,且由 ， 知， 根據(jù)等積關(guān)系 ，有得到 B 到平面 GEF 的距離是 . 五、 基 本 圖 形 法 立體幾何中的基本圖形是正方體，熟練掌握正方體的基本性質(zhì)和各類線面關(guān)系，對于解題是非常有益的，一旦遇到新問題，我們或者補充為一個正方體，或者分割成幾個正方體，“能割善補”是學(xué)習(xí)立體幾何的訣竅。 例6 有三個邊長為的正方形，分別將每一個正方形的一個角按兩鄰邊中點連線剪下，按圖分別接在邊長為 a的 正六邊形各邊上，然后沿正六邊

8、形各邊將其余部分折起，如圖，求所成立體圖形的體積。PPPHHHKKKGGGABCDEFGKFEDCBAPH解法一 （分割）將 立體圖形分割為一個正六棱錐PABCDEF與三個三棱錐PGAF, PHBC,PKDE之和。HPKGABCDEF解法二 （補充）將立體圖形補充為一個正方體如圖，得V = a3則所求的立體圖形體積是正方體體積的一半 六、 投 影 法 投影是實現(xiàn)平面化思考的一條途徑,同時也是處理更廣泛空間問題的一個通法. 例7 設(shè)PP1 , QQ1是空間中兩條異面直線,A,B,C是直線QQ1上3點,且點B在A,C之間,A1,B1， C1是由A,B,C向直線，PP1所引垂線的垂足,證明 BB1

9、max AA 1, CC1 PQP1Q1OABCA1B1C1A2B2C2證明 作平面 垂直于PP1 ，則直線PP1在平面 上 的投影為一點，記為O，由 AA1 PP1，BB1 PP1, CCPP1 知, AA1 , BB1 , CC1 從而 AA1在 上的投影OA2=AA1, BB1在上的投影OB2=BB1, CC1在上的投影OC2=CC1且由B在A,C 之間知, B2 在A2 ,C2 之間在 OA2C2中, 有 maxOB 2A 2 , OB 2 C2 900 從而 OB2 maxOA2 OC2 即 BB1 maxAA1 CC1 .謝謝合作再見現(xiàn)代人每天生活在紛繁、復(fù)雜的社會當(dāng)中，緊張、高速

10、的節(jié)奏讓人難得有休閑和放松的時光。人們在奮斗事業(yè)的搏斗中深感身心的疲憊。然而，如果你細(xì)心觀察，你會發(fā)現(xiàn)作為現(xiàn)代人，其實人們每天都在盡可能的放松自己，調(diào)整生活節(jié)奏，追求充實快樂的人生?？此萍姺钡纳鐣?，人們的生活方式其實也不復(fù)雜。大家在忙忙碌碌中體味著平凡的人生樂趣。由此我悟出一個道理，那就是-生活簡單就是幸福。生活簡單就是幸福。一首優(yōu)美的音樂、一支喜愛的歌曲，會讓你心境開朗。你可以靜靜地欣賞你喜愛的音樂，可以在流蕩的旋律中回憶些什么，或者什么都不去想；你可以一個人在房間里大聲的放著搖滾，也可以在網(wǎng)上用耳麥與遠(yuǎn)方的朋友靜靜地共享；你還可以一邊放送著音樂，一邊做著家務(wù).生活簡單就是幸福。一杯清茶，

11、或一杯咖啡，放在你的桌邊，你的心情格外的怡然。你可以瀏覽當(dāng)天的報紙，了解最新的國內(nèi)外動態(tài)，哪怕是街頭趣聞；或者捧一本自己喜歡的雜志、小說，從字里行間獲得那種特別的輕松和愉悅.生活簡單就是幸福。經(jīng)過精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快來品嘗，再備上最喜歡的美酒，這是多么難得的享受！生活簡單就是幸福。春暖花開的季節(jié)，或是清風(fēng)送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友結(jié)伴，走出戶外，來一次假日的郊游，享受大自然帶給你的美麗、芬芳。吸一口新鮮的空氣，忘卻都市的喧囂，身心仿佛受到一番洗滌，這是一種什么樣的輕松感受！生活簡單就是幸福。你參加朋友們的一次聚會，那久違的感覺帶給你溫馨和激動，在觥酬交錯

12、之間你享受與回味真摯的友情。朋友，是那樣的彌足珍貴.生活簡單就是幸福。周末的夜晚，一家老小圍坐在電視機旁，盡享團(tuán)圓的歡樂現(xiàn)代人越來越會生活，越來越會用各種不同的方式來放松自己。垂釣、上網(wǎng)、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.不一而足。人們根據(jù)自己的興趣愛好尋找放松身心的最佳方式，在相對固定的社交圈子里怡然的生活，而且不斷的擴大交往的圈子，結(jié)交新的朋友有時，你會為新添置的一套漂亮?xí)r裝而快樂無比；有時，你會為孩子的一次小考成績優(yōu)異而倍感欣慰；有時，你會為剛參加的一項比賽拿了名次而喜不自勝；有時，你會為完成了上司交給的一個任務(wù)而信心大增生活簡單就是幸福！生活簡單就是幸福，不意味著我們放棄了對目標(biāo)的追逐，是

13、在忙碌中的停歇，是身心的恢復(fù)和調(diào)整，是下一步?jīng)_刺的前奏，是以飽滿的精力和旺盛的熱情去投入新的“戰(zhàn)斗”的一個“驛站”；生活簡單就是幸福，不意味著我們放棄了對生活的熱愛，是于點點滴滴中去積累人生，在平平淡淡中尋求充實和快樂。放下沉重的負(fù)累，敞開明麗的心扉，去過好你的每一天。生活簡單就是幸福！我的心徜徉于春風(fēng)又綠的江南岸，純粹，清透，雀躍，欣喜。原來，真正的愉悅感莫過于觸摸到一顆不染的初心。人到中年，初心依然，純真依然，情懷依然，幸甚至哉。生而為人，芳華剎那，真的不必太多要求，一盞茶，一本書，一顆篤靜的心，三兩心靈知己，興趣愛好一二，足矣。亦舒說：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但

14、必需自由自在，不感到任何壓力，不做工作的奴隸，不受名利的支配，有志同道合的伴侶，活潑可愛的孩子，豐衣足食，已經(jīng)算是理想?！睍r間如此猝不及防，生命如此倉促，忠于自己的內(nèi)心才是真正的勇敢，以不張揚的姿態(tài)，將自己活成一道獨一無二的風(fēng)景，才是最大的成功。試問，你有多久沒有靠在門檻上看月亮了，你有多久沒有在家門口的那棵大樹下乘涼了，你有多久沒有因為一個人一件事而心生感動了，你又有多久沒有審視自己的內(nèi)心了？與命運的較量中，我們被迫前行，卻忘記了來時的方向；我們習(xí)慣了飛翔，卻成了無腳的鳥。年輕時我們并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最適合自己的，自己又是怎么樣的一個人?！?/p>

15、時光疊加，滄桑有痕，終究懂得，漫漫人生路，得失愛恨別離，不過是生命的常態(tài)。原來，人生最曼妙的風(fēng)景，就是那顆沒被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的東西可以去熱愛，或許一株風(fēng)中搖曳的小草，一朵迎風(fēng)招展的小花，一條彎彎曲曲的小河，都足夠讓我們觸摸迷失的初心。紫陌紅塵，蕓蕓眾生，皆是過客。若時光允許，我愿意一生柔軟，愛了櫻桃，愛芭蕉，靜守于輪回的渡口，揣一顆云水禪心，將寂寞坐斷，將孤獨守成一幀最美的山水畫卷。一直渴盼著，與心悅的人相守于古樸的小院，守著老舊的光陰，只聞花香，不談悲喜，讀書喝茶，不爭朝夕。陽光暖一點，再暖一點，日子慢一些，再慢一些，從容而優(yōu)雅地老去。浮生蕩蕩，陽春白雪，觸目橫斜千萬朵

16、，賞心不過兩三枝；任憑弱水三千，只取一瓢飲。有夢的季節(jié)，有愛的潤澤，走過的日子，都會成為筆尖溫潤如玉的詩篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一顆向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮帶雨晚來急，野渡無人舟自橫朝花夕拾，當(dāng)回望過往，你是此生無憾，還是滿心懊悔呢？隨著芳華的流逝，我們終究會明白：任何的財富都比不上精神上的愉悅，任何的快感都不及對初心的執(zhí)著。愿你不趨炎附勢，不阿諛奉迎，不茍且偷生，不虛擲有限的年華，活出屬于自己的風(fēng)采，活在每一個當(dāng)下，不忘初心，不負(fù)今生曾經(jīng)有人說，成大事者必經(jīng)以下三種境界：“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”，此第一境界也;“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此

17、第二境界也;“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，此第三境界也。我想說的是：事無大小，只要你還在堅持，成功的曙光終會毫不吝嗇地照向你有這樣一個小故事。1987年，她14歲，在湖南益陽的一個小鎮(zhèn)賣茶，1毛錢一杯。因為她的茶杯比別人大一號，所以賣得最快，那時，她總是快樂地忙碌著。她17歲，她把賣茶的攤點搬到了益陽市，并且改賣當(dāng)?shù)靥赜械摹袄薏琛薄＠薏柚谱鞅容^麻煩，但能賣個好價錢，她也總是忙忙碌碌。她20歲，仍在賣茶，不過賣茶的地點又變了，在省城長沙，店面也由攤點變成了小店。客人進(jìn)門后，必能品嘗到熱乎乎的香茶，在盡情享用后，他們或多或少會掏錢再帶上一兩袋茶葉。1997年，她24歲，長達(dá)十年的光陰，她始終在茶葉與茶水間滾打。這時，她已經(jīng)擁有37家茶莊，遍布于長沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商們一提起她的名字莫不豎起大拇指。她的最大夢想實現(xiàn)了。“在慢慢習(xí)慣于喝咖啡的潮流下，也有洋溢著茶葉清香的茶莊出現(xiàn)，那就是我開的”說這句話時她已經(jīng)把茶莊開到了故事雖短，內(nèi)涵頗深，一件事，只有始終堅韌不拔地去做，無謂任何艱難險阻，不左右搖擺，不顧左右而言它，才能披荊斬棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起來。事實上，我們在做一件事的時候，總是不自覺地放大困難，使得我們產(chǎn)生畏懼之心，沒有了乘風(fēng)破浪的豪情與氣魄。困難并不可