多元函數(shù)積分學(xué)

1、關(guān)于多元函數(shù)積分學(xué)第一張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 若有一個(gè)柱體，它的底是Oxy平面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D 的邊界曲線為準(zhǔn)線，且母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，設(shè) f(x,y)0為D上的連續(xù)函數(shù).我們稱這個(gè)柱體為曲頂柱體.引例1 曲頂柱體的體積.8.1.1 二重積分的概念8.1 二重積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在來(lái)求這個(gè)曲頂柱體的體積.第二張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其中 既表示第i個(gè)小塊，也表示第i個(gè)小塊的面積.(2)近似 記 為 的直徑(即 表示 中任意兩點(diǎn)間距離的最大值)，在 中任取一點(diǎn) ,以 為高而底為 的平頂柱體體積為解 (1)分割 用兩組

2、曲線把區(qū)域D任意分割成n個(gè)小塊:此為小曲頂柱體體積的近似值i第三張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(4) 取極限 記 ,若極限存在,則它即為所求曲頂柱體的體積.(3) 求和 把所有小平頂柱體的體積加起來(lái),得到曲 頂柱體體積的近似值為第四張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1二重積分的定義定義 設(shè)f (x,y)是定義在閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 把區(qū)域 D 任意分割成n個(gè)小區(qū)域: 其中 表示第i個(gè)小區(qū)域(i=1,2,.,n),也表示其面積.在每個(gè)小區(qū)域 上任取一點(diǎn) ,作和若 為 的直徑，記 ,若極限存在,則稱為函數(shù) 在區(qū)域D上的定積分,記即第五張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

3、其中f (x,y) 稱為被積函數(shù), 稱為被積表達(dá)式, 稱為面積元素, x 和y 稱為積分變量, 稱為積分和. 由以上定義知,曲頂柱體的體積 注:(1)和式極限存在是指當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑 時(shí)積分和有惟一確定的極限,極限值與D的分法和 的取法無(wú)關(guān).區(qū)域有關(guān)而和積分變量無(wú)關(guān).(2)二重積分的值是個(gè)常數(shù),其大小僅與被積函數(shù)和積分第六張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.二重積分的存在定理 若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上必可積.3.二重積分的幾何意義： (1) 若在D上f(x,y)0，則 表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.(2) 若在D上 f(

4、x,y)0，則上述曲頂柱體在Oxy面的下方 二重積分的值是負(fù)的，其絕對(duì)值為該曲頂柱體的體積.(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些子區(qū)域上為負(fù)的，則二重積分表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上的曲頂 柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).第七張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.1.2 二重積分的性質(zhì) 二重積分有與定積分類似的性質(zhì).假設(shè)下面各性質(zhì)中所涉及的函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域 D上都是可積的.性質(zhì)2 有限個(gè)可積函數(shù)的代數(shù)和必定可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質(zhì)1 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面

5、，即第八張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 性質(zhì)3 若D 可以分為兩個(gè)區(qū)域D1，D2，則性質(zhì)5 若在積分區(qū)域D上有f(x,y)=1，則性質(zhì)4 若在D上處處有f(x,y)g(x,y)，則有表示D的面積)第九張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 性質(zhì)7(二重積分中值定理) 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，則在D上存在點(diǎn) ，使性質(zhì)6(估值定理) 若在D上處處有mf(x,y)M，則表示D的面積)表示D的面積)上式的等號(hào)右邊的式子稱為函數(shù)f(x,y)在D上平均值.第十張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 設(shè)D是圓域： ，證明解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D

6、的面積S(D)=4=3.由估值公 式(3)得第十一張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.2.1 二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分的計(jì)算主要是化為兩次定積分計(jì)算，稱為二次積分或累次積分.下面從二重積分的幾何意義來(lái)引出這種計(jì)算方法. 在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩組直線段，將區(qū)域D分割成n個(gè)小塊 從而有即8.2 二重積分的計(jì)算第十二張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 假定函數(shù) 在有界閉區(qū)域D上連續(xù),且在D上 ,1.當(dāng)D為矩形區(qū)域時(shí), ,a,b,c,d 為常數(shù)),表示以f (x,y)為頂,區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積V.任取 ,用過(guò)點(diǎn) x且垂直于x 軸的平面截曲頂柱體,

7、則可得到一曲邊梯形,其面積為第十三張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 于是由平行截面面積已知的立體體積公式可得:所以 同法可得到先對(duì)x后對(duì)y 的積分方法. 這是先對(duì)y后對(duì)x的累次積分計(jì)算二重積分的方法第十四張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例2 計(jì)算積分 ，其中D是正方形區(qū)域：解第十五張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.當(dāng)區(qū)域D為在區(qū)間a,b上任取一點(diǎn)x，過(guò)該點(diǎn)作垂直于x軸的平面截立體，截得一曲邊梯形,其面積為S(x)，則于是所求的體積S(x)第十六張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 在c,d上取定一點(diǎn)y，過(guò)該點(diǎn)作垂直于y軸的平面截曲頂柱體，所得截面也為一曲

8、邊梯形.若截面面積為S(y)，則 同樣，設(shè)區(qū)域D由 和 圍成,用不等式表示為所給立體體積第十七張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因此即二重積分可以化成先對(duì)變?cè)獂 積分，后對(duì)變?cè)獃 積分的二次積分.也可化為先對(duì)變量y 積分，后對(duì)變量x 積分的二次積分 先對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，另一個(gè)變量應(yīng)視為常量，按定積分的計(jì)算方法解之.在上述討論中，我們假定f (x,y)0，但是實(shí)際上，上述結(jié)論并不受此限制.第十八張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月先與直線相交的區(qū)域D的邊界曲線 作為積分下限 為了便于確定積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式，通?？梢圆捎孟率霾襟E：(1) 畫(huà)出積分區(qū)域D的圖形.(2) 若先對(duì)y積

9、分，且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，那么確定關(guān)于y積分限的方法是：后與直線相交的區(qū)域D的邊界曲線作平行于y軸的有向直線與區(qū)域D相交作為積分上限.第十九張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月先與有向直線相交的區(qū)域D邊界曲線 作為積分下限 而先對(duì)x后對(duì)y積分時(shí)，其積分區(qū)間為區(qū)域D在Oy軸上投影區(qū)間c,d，對(duì)積分變量y, c是下限，d是上限后與有向線段相交的區(qū)域D的邊界曲線 作為積分上限.作平行于x軸的有向直線與區(qū)域D相交于是第二十張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 用二重積分計(jì)算由平面2x+3y+z = 6和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積.解 所求體積即是以

10、我用分加用兩種積分次序求這個(gè)積分。也就是計(jì)算二重積分z=62x3y 為頂，以ABC圍成區(qū)域D為底的柱體體積.第二十一張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解法1 先對(duì)y 積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，得積分下限為y=0，積分上限為 . x的變化范圍為0到3.第二十二張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解法2 先對(duì)x積分 作平行于x軸的有向直線與區(qū)域D相交，得積分下限 x=0，積分上限 .y的變化范圍為0到2.第二十三張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3 計(jì)算積分 ，其中D是由y=x，y=0和 所圍成的三角形區(qū)域.解法1 先對(duì)y積分. 作平行于y軸的直線與積分 區(qū)域D

11、相交，積分下限為y = 0，積分上限為y = x，D在x 軸上的投影區(qū)間為 .第二十四張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解法2 先對(duì)x積分. 作平行于x軸的直線與積分區(qū)域D相交，沿x軸 正向看，得積分下限為x = y，積分上限為 D在y軸上的投影區(qū)間為 .故第二十五張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例4 計(jì)算積分 ，其中D由 y0確定.解法1 先對(duì)y 積分， 作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，積分下限y = 0； 積分上限為 . D在x方向變化范圍-1到1.第二十六張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 解法2 先對(duì)x積分. 作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交，沿著y軸正方向看

12、，積分下限為 ，積分上限為 ，因此第二十七張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6 計(jì)算 ，其中D由不等式 及 所確定.解法1 化為先對(duì)y 積分后對(duì)x 積分的二次積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，積分下限為 積分上限為y = x，因此x軸上的積分區(qū)間為1,2.第二十八張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解法2 化為先對(duì)x 積分后對(duì)y 積分的二次積分. 作平行于x軸的直線與積分區(qū)域D相交，可知積分下限不是同一函數(shù),這需要將積分區(qū)域分為兩個(gè)子區(qū)域.在y軸上的積分區(qū)間為第二十九張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng) 時(shí)，平行于x軸的直線與區(qū)域D相交時(shí)，沿有向線段的正向，積分下

13、限為 ，積分上限為x = 2. 當(dāng) 時(shí)，平行于x 軸的直線與區(qū)域D相交時(shí),沿x軸正方向看，積分下限 x = y，積分上限為 x = 2.y的積分區(qū)間被分成 和 .第三十張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 顯然解法1較簡(jiǎn)便.因此選擇積分次序是將二重積分化為二次積分的重要問(wèn)題.第三十一張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例9 交換二次積分 的積分次序.解 所給積分由兩部分組成，設(shè)它們的積分區(qū)域分別為D1與D2.先依給定的積分限將積分區(qū)域用不等式表示為：轉(zhuǎn)換為先對(duì)y積分，后對(duì)x積分，作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，得下限為y = x,上限為y=2x，因此在D中 ，第三十二張，PPT共四

14、十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 計(jì)算 ,其中D為y=x-4 和y2=2 x 所圍成的區(qū)域 解 先對(duì)x積分第三十三張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月與極角等于 和 的兩條 這個(gè)小區(qū)域近似地看作是邊長(zhǎng)為 和 的小矩形，所以它的面積二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算 若點(diǎn)M在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(x,y)，在極坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 ，則有如下關(guān)系： 設(shè) 是由半徑為 和 的兩個(gè)圓弧因此，在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中，我們用R=常數(shù) =常數(shù)來(lái)分割區(qū)域D.射線所圍成的小區(qū)域.第三十四張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月于是得到二重積分在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為 這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式

15、.也可以寫(xiě)成 此式區(qū)域D左端的邊界的曲線方程應(yīng)利用直角坐標(biāo)表示，右端的邊界曲線方程應(yīng)用極坐標(biāo)表示.第三十五張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月通常把極坐標(biāo)系下的二重積分分為以下三種情況:1.若極點(diǎn)在區(qū)域D之外,從而有即2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的邊界上即從而有第三十六張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3. 極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部,則有另外,如圖所示情況,即即D:第三十七張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)一般的二重積分,如果積分區(qū)域D為圓形、半圓形、圓環(huán)形、扇形域等，或被積函數(shù)中含有f (x2+y2) 的形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化積分計(jì)算.1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分(1) 將 代入被積函數(shù).(2) 將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限.(3) 將面積元dxdy換為 .2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與1相似，只需依反方向進(jìn)行.第三十八張，PPT共四十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例11 計(jì)算二