信息分析方法-指數(shù)平滑法

1、第四節(jié)指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是在移動平均法基礎上發(fā)展而來的一種時間序列分析預測法，它是通過計算 指數(shù)平滑值，配合一定的時間序列預測模型，對現(xiàn)象的未來進行預測。它既可用于市場趨勢 變動預測，也可用于市場季節(jié)變動預測。在市場趨勢變動預測中，根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù) 平滑法又可分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法、三次指數(shù)平滑法。一、一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法，是指根據(jù)本期觀察和上期一次指數(shù)平滑值，計算其加權平均值，并 將其作為下期預測值的方法。它僅適用于各期數(shù)據(jù)大體呈水平趨勢變動的時間序列的分析 預測，并且僅能向下作一期預測。（一）平滑公式和預測模型設時間序列各期觀察值為Y1、，Y”則一次指數(shù)平滑公式

2、為S（i）=以 Y + （1 -以）S（i）（7-16） TOC o 1-5 h z ttt-1式中：S.為第t期的一次指數(shù)平滑值；a為平滑系數(shù)，且0a V1； Yt為第t期的觀察值。將第t期的一次指數(shù)平滑值S：)作為第t+1期的預測值Yt+1，即Y = S (7-17)t+1t為進一步說明指數(shù)平滑法的實質，現(xiàn)將(7-16 )式展開。由于S(1)=以 Y + (1 -以)S(1) ttt -1S(1)= a Y+ (1 - a )S(1)t-1t-1t-2S(1)= a Y. + (1 - a )S(1)所以 Y =a Y + (1 - a )S d)=a Y + (1 - a ) a Y +

3、 (1 - a )S tt-1t-2=aY + a (1 - a )Y , + a (1 - a )t-1 Y, + (1 - a )t S (1)=af (1 -a)jY + + (1 -a)tS(7-18)j = 0由于0a 1,當tf8時，(1-a )tf 0,于是將(7-27)式改寫為- v，一 .一、Y = aZ (1 -a)jY(7-19)j=0由于aZ(1-a )j = 1，各期權數(shù)由近及遠依指數(shù)規(guī)律變化，且又具有平滑數(shù)據(jù)功能， j=0指數(shù)平滑法由此而得名。(二)平滑系數(shù)a的選擇平滑系數(shù)的選擇，既是指數(shù)平滑法的靈活性所在，又是運用指數(shù)平滑法的難點之一，迄 今仍沒有從理論上完全解決

4、，它的確定帶有一定的經驗性。由(7-19)式知，平滑系數(shù)a反映了歷史各期數(shù)據(jù)對預測值影響作用大小。a值愈大，各 期歷史數(shù)據(jù)的影響作用由近及遠愈迅速衰減；a值愈小，各期歷史數(shù)據(jù)的影響作用由近及遠 愈緩慢減弱。由(7-19)推知Y = S(i)，則有t t-1Y =a Y +(1-a 濘(7-20)或者Y = Y +a (Y -Y )(7-21)t+1tt t從(7-20)可以看出，第t+1期的預測值等于第t期的觀察值與預測值的加權平均數(shù)。a 值的大小反映了第t期觀察值和預測值在第t+1期預測值中所占的比重。a值愈大，第t 期的觀察值所占比重愈大，同期的預測值所占比重愈小，反之亦然。換言之，a值的

5、大小， 體現(xiàn)了預測模型對時間序列實際觀察值的反應速度。a值愈大，預測模型靈敏度愈高，愈能 跟上實際觀察值的變化。從(7-21)可以看出，第t+1期的預測值等于第t期的預測值加上該期的修正預測誤差。 a值決定修正預測誤差的幅度。a值愈大，修正幅度愈大；a值愈小，修正幅度愈小?；谏鲜龇治觯交禂?shù)可根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)的波動狀況作如下選擇：第一，若時間序列數(shù)據(jù)不規(guī)則波動較大，a宜取較大值(如0.60.9)，以加大近期數(shù) 據(jù)的比重，提高修正誤差的幅度，使預測模型能迅速跟上實際觀察值的變化。第二，若時間序列數(shù)據(jù)不規(guī)則變動較小，a宜取較小值(如0.10.3)，使各期數(shù)據(jù)權 數(shù)由近及遠緩慢變小，減小修正誤差

6、的幅度，預測模型不易受不規(guī)則變動的影響。在實際應用中，對于特定的時間序列，往往同時選用n個不同的a值進行試算，最終選 擇使均方誤差(MSE)較小的哪個a值用于預測。平滑初始值S ；1)的確定在次指數(shù)平滑法中，只有首先確定了一次指數(shù)平滑初始值S01)后，才能計算第一期的一次指數(shù)平滑值S(1)和遞推計算第t期的一次指數(shù)平滑值S：)。但由(7-18)式知，S01)的系S：)對第t+1期的預數(shù)是(1-a )t由于1-a 0，當時間序列項數(shù)n較少(即t值較小)時， 測值影響較大；當時間序列項數(shù)n較多(即t值很大)時，S01)對第t+ 1期的預測值影響很 小。因此，一次指數(shù)平滑初始值S通?？刹捎萌缦路椒?/p>

7、以確定:0S(1)= Y1 + Y2+ Y303(n330)(n30)指數(shù)平滑法的EViews軟件實現(xiàn)指數(shù)平滑的操作有三種方式可供選擇:一是，利用命令smooth。即在主窗口命令行輸入Smooth y表示對時間序列y進行指數(shù)平滑。二是，在主窗口點擊 Quick/Series Statistic/Exponential Smoothing0三是，在序列對象窗口中點擊Procs/Exponential Smoothing；上述三種方式都會得到相同的對話窗口。在這個對話窗口中有一系列的選項，包括：平 滑方法(Smoothing Method )；平滑后生成的序列名稱(Smoothed Series

8、)；平滑系數(shù) (Smoothing Parameter)；樣本范圍(Estimation Sample )；季節(jié)波動的周期(Cycle of Seasonal)0對話窗口的左上部分是平滑方法(Smoothing Method)，包括：一次指數(shù)平滑二次指數(shù)平滑霍特-溫特斯無季節(jié)模型(即線性平滑模型)霍特-溫特斯季節(jié)迭加模型霍特-溫特斯季節(jié)乘法模型SingleDoubleHoltel-Winters-No seasonalHoltel-Wintesr-AdditiveHoltel-Wintesr-Multiplicative對話窗口的左下部分是平滑系數(shù)(SmoothingParameter)o包括

9、：Alpha(a ),Beta(0 ) 和Gamma(y )。平滑系數(shù)可以由用戶指定，也可以由系統(tǒng)自動確定。如果由用戶指定，可以 在這三個系數(shù)后的對話框中，將E改為需要的數(shù)。注意，若選用Single或Double方法只需 輸入 Alpha(a )的值；選用 Holtel-Winter-No seasonal 方法要輸入 Alpha(a )和 Beta(0 ) 的值；選用 Holtel-Winter-Additive 和 Holtel-Winter-Multiplicative 方法，需輸入三 個平滑系數(shù)的值。如果平滑系數(shù)由系統(tǒng)自動確定，則不需要輸入任何數(shù)字。平滑生成序列(Smoothed Se

10、ries)的名稱可以由用戶命名，也可以由系統(tǒng)指定。系統(tǒng) 自動指定的名稱為在原序列名(如y)之后加SM(即ySM)指數(shù)平滑法可以由EViews軟件來 實現(xiàn)，下面將并通過例題予以說明?！纠?】某地區(qū)A商品近年來的銷售量數(shù)據(jù)見表7-11第(2)欄，試用一次指數(shù)平滑法 預測其2006年的銷售量。表7-11 某地區(qū)A商品銷售量一次指數(shù)平滑值計算表單位：百件年份t銷售量Yta =0.3a =0.6a =0.9StAYt人、(Y - Y)2 ttAYt人、(Y - Y)2 ttAYt人、(Y - Y)2(甲)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)1110.671998111431120.37111

11、0.671045.231110.671045.231110.671999210581101.661120.373889.891130.075193.801139.772000311311110.461101.66860.941086.831951.241066.182001410571094.421110.462858.061113.333173.171124.522002511921123.701094.429521.361079.5312648.971063.752003610991116.291123.70609.881147.012305.241179.182004710941109.

12、601116.29496.711118.21585.891107.022005811621125.321109.602745.661103.683400.981095.30Z22027.7330304.521045.236685.844202.064558.6416447.616428.06169.464448.6643985.55解：第一步，選取a值，現(xiàn)分別取a =0.3、0.6、0.9進行試算。第二步，確定初始值。由于n=830,因此，將序列最初三項數(shù)據(jù)的簡單算術平均 數(shù)作為初始值，即=1110 .67Y, + Y + Y 1143 + 1058 + 113133第三步，按(4-18)和(

13、4-19)式計算各期一次指數(shù)平滑值和預測值，有關計算結果列入表 4-8之中。第四步，計算不同a值下的均方誤差，比較確定適宜的a值。a =0.3 時 MSE = Y (Y - Y )2 = 22027,3 強 2753.47 N t t8t = 130304.52a =0.6 時 MSE = * 3788.078a =0.9 時 MSE = 4398*55 * 5498.19 8計算結果表明，a =0.3時，MSE較小，故選取a =0.3用于分析預測。第五步，進行預測。2006年該地區(qū)A商品的銷售量預測值(t=9)為Y = S(d =1125.32(百件) 98利用EViews軟件計算。在建立工

14、作文件、輸入銷售量數(shù)據(jù)后，再在主窗口命令行輸入Smooth y在 Smoothing Method 中選用 Single,在 Smoothing Parameter 中的 Alpha 輸入不同的 a = 0.3，運算結果見表7-12。表7-12一次指數(shù)平滑法EViews運算結果Original Series: Y （原序列Y）Forecast Series: YSM （預測序列即平滑后得序歹U YSM）Parameters: Alpha （平滑系數(shù) a ）0.3000Sum of Squared Residuals （殘差平方和）22532.22End of Period Levels:（樣本

15、末期）Mean （截距）1124.547 Root Mean Squared Error （均方根誤差）53.0710利用EViews軟件計算的最后一期為1124.547,與前面計算基本相同（誤差是由于小數(shù)點 保留和初始平滑值的確定不同所引起）。二、布朗（Brown）二次指數(shù)平滑法布朗二次指數(shù)平滑法是在對時間序列作一次指數(shù)平滑后，對所形成的一次指數(shù)值序列再 進行一次指數(shù)平滑。它不是將第t期的二次指數(shù)平滑值直接用于第t+1期的預測，而是根據(jù) 一次指數(shù)平滑與實際觀察值滯后誤差、二次指數(shù)平滑值與一次指數(shù)平滑值滯后誤差的變動規(guī) 律，建立起線性趨勢預測模型進行外推預測。布朗二次指數(shù)平滑法適用于各期數(shù)據(jù)大

16、體呈線 性上升或下降的時間序列的預測。（一）平滑公式和預測模型二次指數(shù)平滑值的計算公式為：S（2）=以 S + （1 -以）S（2）（7-22）ttt-1其中：S；2）為第t期的二次指數(shù)平滑值；S（1）為第t期的一次指數(shù)平滑值；a為平滑系 數(shù)。經過二次指數(shù)平滑后的時間序列，若從第t期開始具有明顯的線性變動趨勢，可根據(jù) St和St（2）建立如下趨勢分析預測方程：Y = a + b T（7-23）其中：Yt+t為第t+T期的預測值；T為以第t期為始點的向前預測期數(shù)；at為趨勢直線 的截距；bt為趨勢直線的斜率。布朗曾證明，當Y - S=*b ； S-S=上里b時，參數(shù)估計公式為 t t a t t

17、 t * ta = 2S-S（2）Latt（7-24）b =（S-S（2）由（7-24）式可以看出，線性趨勢分析預測模型（7-23）中的截距和斜率不是固定不變的， 隨著新的觀察值的出現(xiàn)而不斷調整。（二）平滑初始值Sa）、S（2）的確定由于平滑初始值S（i）、S（2）對未來的分析預測值的影響不是很大，在市場預測實踐中，S01）、S02）通常按如下方式近似確定：S（i）= S（2）= Y -（Y4 - Y1）（n30）0013S（1）= S（2）= Y.（n330）（7-25）有關二次指數(shù)平滑法的計算步驟和EViews軟件應用，將通過例題予以說明?！纠?0】某地區(qū)19982005年的人口數(shù)據(jù)如表7

18、-13,運用二次指數(shù)平滑法預測該地區(qū) 2006年底的人口數(shù)。表7-13二次指數(shù)平滑值計算表（a =0.4）單位：人年份tYtS（1）1S（2）t19981114333113496.2113161.519992115823114426.9113667.620003117171115524.5114410.420014118517116721.5115334.820025119850117972.9116390.120036121121119232.1117526.920047122389120494.9118714.120058123626121747.3119927.4Z解：取a =0.4,

19、S=S（2）= Y -（Y4 - YJ =112938.3。計算S和S（2），列表于表 7-130013tt之中。2005 年的 S（i）=121747.3, S（2）=119927.4 代入（7-44）式，得到a 8 =2 X 121747.3-119927.4=123567.2b = 0.4 （121747.3 -119927.4） =1213.2781-0.4于是，所求t=8時的趨勢預測模型為：Y = 123567.2 + 1213.27T8 + T預測2006年底該鎮(zhèn)人口數(shù)，則8+T=9,T=1Y 9=123567.2+1213.27 X 1=124780 （人）若利用EViews軟件

20、計算，在進入指數(shù)平滑窗口后中，選擇Double, Alpha（a ）之后輸入0.4，點擊OK，得到運算結果，見表7-13。表7-13二次指數(shù)平滑計算結果Original Series: Y（原序列 Y）Forecast Series: YSM （預測序列即平滑后得序列YSM ）0.4000Parameters: Alpha （平滑系數(shù) a ）End of Period Levels:(樣本末期)Mean （截距 a ）123677.6Trend （斜率 b ）1309.641Sum of Squared Residuals （殘差平方和） Root Mean Squared Error （均方

21、根誤差）73807.4796.05173所建立得趨勢分析預測模型為云8 t = 123677 .6 + 1309 .6T運用EViews軟件計算的結果與前面的計算結果略有差異，主要是由于初始平滑的確定 不同所引起。而運用它們進行預測所得結果則十分接近。利用EViews軟件得到的模型預測 2004年底人口數(shù)，則9 = 8 1 = 123677 .6 + 1309 .6 x 1 w 124987(人)三、霍特(Holt)雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法是使用兩個參數(shù)(即平滑系數(shù))分別對原時間序列的數(shù)據(jù)水 平和序列的趨勢增量進行平滑，以此為基礎建立線性趨勢模型進行預測?；籼仉p參數(shù)線性指

22、數(shù)平滑法由兩個平滑公式和一個預測模型所組成。即平滑公式at=a Yt+(1-a )(at 1+bt 1)b 邛(a -a 1) + (1-p )b 1(7-26)預測模型t t I IY T = a + b T(7-27)上式中：at為序列第t期水平的指數(shù)平滑值，并作為線性趨勢預測模型的截距；bt為序 列趨勢增量的指數(shù)平滑值，并作為線性趨勢預測模型的斜率；a、p為平滑系數(shù)，且0a 1,0P 1;其他符號意義同前。在霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑性中，平滑系數(shù)a、p的值，應根據(jù)序列各期數(shù)據(jù)增量的波 動情況，選用不同的a、p值進行多次試算，最終選擇使均方誤差、估計標準誤差或者最近 幾期相對誤差絕對值較小的

23、那組a、p值進行預測；對于序列水平的平滑初始值a0和趨勢 增量的平滑初始值b。，通常按如下方法確定，即令b (Y - Y ) + (Y - Y ) + (Y - Y ) Y -Y033a0=Y1-b0下面舉例說明霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法的應用。霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法數(shù)據(jù)計算表表 7-14單位：百千瓦時b【例11】某地區(qū)19982005年農村用電量數(shù)據(jù)見表7-14第(2)欄，試預測2004年該 地區(qū)農村用電量。年份tYta(甲)（1）（2）（3）19981844.50844.50133.4319992963.2970.57128.28200031106.91102.87131.10200141

24、244.81239.38134.89200251473.91424.09169.76200361655.71624.77191.41200471812.71814.44190.19200581980.11992.36181.60Z解：應用plot命令繪散點圖(略)知，該地區(qū)農村用電量大體呈線性上升趨勢變動，因此可以應用霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法預測。取a =0.5, p =0.7,b =J +J + (丫4一丫=133.4303a =Y-=844.5-133.43=711.07利用1 (7-26)式計算氣、bt。例如：aja Y+(1-a )(a0+b0)=0.5X844.5+0.5X (711

25、.07+133.43)=844.5bjp (aa0) + (1-p )b0=0.7 X (844.5-711.07)+0.3 X 133.43=133.43氣=0.5X963.2+0.5X (844.5+133.43)=970.57=0.7 X (970.57-844.5)+0.3 X 133.43=128.28其余類推，計算結果分別列于表7-14第(3)、(4)欄。當 t=8 時，氣=1992.36b8=181.6于是，建立線性趨勢預測模型為= 1992.36 + 181.6T8 + T預測2006年該地區(qū)農村用電量，則8+T=9,T=1,人- 、9=1992.36+181.6X 1 = 2

26、173.96(百千瓦時)霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法適用于大體呈線性上升或下降趨勢變動的時間序列。由于這 種方法使用了兩個平滑系數(shù)，與布朗單參數(shù)線性指數(shù)平滑法(即二次指數(shù)平滑法)相比較，它 更具有靈活性；并且只要兩個平滑系數(shù)選取得當，能夠獲得較好的預測效果，其預測精確程 度一般高于二次指數(shù)平滑法。但霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法也有其不足，那就是選取兩個適 宜的平滑系數(shù)值時，計算工作量大，需要進行多次試算。霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法也可以借助于EViews軟件來實現(xiàn)。在平滑方法中選擇Holtel-Winter-No seasonal (霍特-溫特斯無季節(jié)模型)；輸入平滑系數(shù) Alpha(a )和Beta(

27、 p )的值(在上例中a =0.5,p =0.7)；點擊OK后，可迅速得到模型參數(shù)估計結果(見 表 7-15)。表7-15霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法計算結果Original Series: YForecast Series: YSMParameters: AlphaBetaSum of Squared ResidualsRoot Mean Squared Error0.50000.700014357.9742.36444End of Period Levels: MeanTrend1989.965180.4921估計的模型為:云 8 t = 1989 .97 + 180 .49 T運用EView

28、s軟件計算的結果與前面的計算結果略有差異，主要是由于初始平滑的確定 不同所引起。而運用它們進行預測所得結果則十分接近。利用EViews軟件得到的模型預測 值為y9 = y8 1 = 1989 .97 + 180 .49 x 1 w 2170 .46 （百千瓦時）四、布朗三次指數(shù)平滑法布朗三次指數(shù)平滑法是在二次指數(shù)平滑后的時間序列基礎上再作一次平滑，求得各期的 三次指數(shù)平滑值，并根據(jù)一次、二次、三次指數(shù)平滑值的滯后誤差規(guī)律，建立二次拋物線趨 勢預測模型，對現(xiàn)象未來進行外推預測的一種方法。三次指數(shù)平滑值的計算公式為：S（3）= S（2）+ （1 - a ）S（3）（7-28）ttt-1上式中：S；3）為第t期的三次指數(shù)平滑值；其它符號意義同前。由于經過三次平滑后，S01）、S02）、S