2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學高三一模數(shù)學（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 20 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學高三一模數(shù)學（文）試題一、單選題1已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A4B-4C3D-3【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方得到，再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出復數(shù)，即可得到，從而得到的虛部；【詳解】解：因為，所以，因為，所以，于是所以的虛部為4.故選：A.2已知集合，若，則實數(shù)m的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析】對分兩種情況討論，化簡集合，解一元二次不等式化簡集合，再根據(jù)交集的結果，即可

2、得到答案；【詳解】，當時，不成立；當時，故選：C.3已知向量，是兩個不共線的向量，與共線，則（）A2BCD【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的充要條件建立方程直接求解.【詳解】因為與共線，所以，所以，因為向量，是兩個不共線的向量，所以，解得，故選：C4人類已進入大數(shù)據(jù)時代，目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從級別躍升到，乃至級別（，）由國際數(shù)據(jù)公司的研究結果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：）的散點圖根據(jù)散點圖，下面四個選項中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和實際的函數(shù)模型是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)散點圖及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征即可求解.【詳解】解：

3、由散點圖知：全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量隨年份的增加而增加，且增加的速度越來越快，因為的圖象是一條直線， 的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，的圖象，隨x增大，y增大，圖象越來越陡峭，所以D選項正確，A、B、C選項錯誤.故選：D5習近平主席“綠水青山就是金山銀山”的反復叮嚀，人們已經(jīng)耳熟能詳，由此帶來的發(fā)展方式轉化，實實在在地改變著中國的樣貌某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.25%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關系為 （其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為

4、常數(shù)，為原污染物總量）.若前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%，則要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過濾小時，則正整數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)： ）（）A9B11C13D15【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件得到，從而得到，再解不等式即可.【詳解】前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%，則，則，由題意知： ，可得，即，即還需要過濾11小時.故選：B.6已知雙曲線在第一象限上存在一點，與中心、右焦點構成一個正三角形，則雙曲線的離心率（）ABCD【答案】D【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得出，將點代入雙曲線方程，結合以及離心率公式得出雙曲線的離心率.【詳解】因為，所以由得出，即解得或（舍）即故選：D7某大

5、學有兩家餐廳，某同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率是；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率是；則該同學第2天去餐廳用餐的概率是（）ABCD【答案】B【分析】由題設，應用全概率公式可直接求得該同學第2天去餐廳用餐的概率.【詳解】設 “第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，由題意得：，由全概率公式，得：，因此，該同學第天去餐廳用餐的概率為.故選：B.8如圖，已知在中，點在邊上，且滿足，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理計算作答.【詳解】在中， ，則，因，則，在中，由

6、余弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，所以.故選：D9將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關于點對稱，則的最小值為（）ABCD【答案】A【分析】由三角恒等變換得，進而得，再結合題意得，再解方程即可得答案.【詳解】解：，所以，因為的圖象關于點對稱依題意得解得，的最小值為.故選：A.10已知圓，點在拋物線上運動，過點引直線，與圓相切，切點分別為，則的最小值為（）AB2CD8【答案】C【分析】利用切線性質(zhì)，構造的長度關于的函數(shù)關系，再求函數(shù)的最小值即可.【詳解】圓的方程：，可知，故四邊形的面積，當取最小值時最小，設，則，當時，取最小值為，的最小值為故選：1

7、1已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）ABCD【答案】B【分析】尋找滿足條件的球心與半徑，通過解直角三角形求解【詳解】如圖，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心、，連接，取中點，為的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，在直角OMN中，由得，球的半徑，球的體積.故選：B.12若函數(shù)的圖象關于點對稱，且對任意的，都有，則m的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】利用對稱性可得，解出，將不等式分離參數(shù)得，將作等價變形得，構造函數(shù)，通過導數(shù)求得（

8、需先證）進而得解.【詳解】由題意，即，所以，因為，所以，因為，所以，考慮函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以當時，注意到，考慮函數(shù)，所以，所以當時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當且僅當時可取等號，所以，所以，當且僅當時可取等號，所以，故選：A.二、填空題13設命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】為假命題，為真命題，將問題轉化為，求出函數(shù)的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題得，為真命題，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，.故只需.故答案為：14數(shù)列的前n項和為，則_【答案】【分析】由，結合已知條件及等比數(shù)列前n項和公式求值.【詳解

9、】由題設知：=.故答案為：.15設函數(shù)，若方程有四個不相等的實根，且，則的取值范圍為_【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性作出圖象，結合圖象，得到且，求得，化簡，結合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：由題意，當時，滿足，所以在與上的圖象關于對稱，作出圖象，如圖所示，因為，可得且，所以，所以，所以，又由，令，則原式化為，因為其對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，可得，所以的取值范圍是.故答案為: 16已知實數(shù)滿足，則的最大值為_.【答案】【分析】設，為坐標原點，則，由題意兩點在圓上，且三角形為等邊三角形，由的幾何意義為兩點到直線的距離與之和，記線段的中點分別是，到直線的距離為，根據(jù)，且即

10、可得答案.【詳解】解：設，為坐標原點，則，由，可得兩點在圓上，且，則，所以三角形為等邊三角形，的幾何意義為兩點到直線的距離與之和，記線段的中點分別是，到直線的距離為，則有，且，所以，所以的最大值為，故答案為：.三、解答題17若等比數(shù)列的各項為正，前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結果【詳解】(1)設各項為正的等比數(shù)列的公比為，則，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項公式為

11、.(2)因為是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以在的等式兩邊同乘以，得由等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項和.18如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）方法一：相似三角形法 由（1）可知于是，故因為，所以，即故四棱錐的體積方法二：

12、平面直角坐標系垂直垂直法由（2）知,所以建立如圖所示的平面直角坐標系，設因為，所以，從而所以，即下同方法一. 方法三【最優(yōu)解】：空間直角坐標系法建立如圖所示的空間直角坐標系，設，所以，所以，所以所以，即下同方法一. 方法四：空間向量法由，得所以即又底面，在平面內(nèi)，因此，所以所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即所以，即下同方法一.【整體點評】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法二構建平面直角坐標系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標系和空間向量的垂直的坐標運算求得矩形的另一個邊長,

13、為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉化求得矩形的另一邊長.19某城市一入城交通路段限速50公里/小時，現(xiàn)對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在4050公里/小時之間的車輛有150輛.(1)求n的值；(2)估計這n輛小汽車車速的中位數(shù)；(3)根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，估計某輛小汽車在該路段被罰款的概率.【答案】(1)；(2)46；(3).【分析】（1）解方程即得解；（2）設這輛小汽車車速的中位數(shù)為，解方程即得解.（3）這50

14、0輛小車中，有輛小車超速以上，即可可以估計某輛小汽車在該路段被罰款的概率.【詳解】(1)解：由直方圖可知，車速在公里/小時之間的頻率為，所以，得.(2)解：設這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得，所以可以估計這輛小汽車車速的中位數(shù)為46.(3)解：由交通法規(guī)可知，小車速度在55公里/小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在公里/小時之間的有輛，由統(tǒng)計的有關知識，可以認為車速在公里/小時之間的小車有70輛.又小車速度在公里/小時之間的有輛，所以這500輛小車中，有輛小車超速以上，故可以估計某輛小汽車在該路段被罰款的概率為.20已知橢圓的左右焦點分別為，其離心率為，P為橢圓C上一動點，面積的最大值

15、為.(1)求橢圓C的方程；(2)過右焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在定點Q，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)設出橢圓C的半焦距，根據(jù)離心率及三角形面積列出方程組求解即得.(2)當直線l斜率存在時，設出直線l的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，設出點Q坐標，借助韋達定理計算探討即可得解，然后討論直線l斜率不存在的情況作答.【詳解】(1)設橢圓C的半焦距為c，因離心率為，則，由橢圓性質(zhì)知，橢圓短軸的端點到直線的距離最大，則有，于是得，又，聯(lián)立解得，所以橢圓C的方程為：.(2)由(1)知，點，當直線斜率存在時，

16、不妨設，由消去y并整理得，假定在x軸上存在定點Q滿足條件，設點，則，當，即時，當直線l斜率不存在時，直線l：與橢圓C交于點A，B，由對稱性不妨令，當點坐標為時，所以存在定點，使得為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；(3)是否存在一條直線與函數(shù)的圖象相切于兩個不同的點？并說明理由.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)2(3)不存在，理由見解析【分析】（1）

17、求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）不等式恒成立，即恒成立，分和求出函數(shù)的最小值即可得出答案；（3）令，假設存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的切點，不妨，可得曲線在兩切點處的切線方程，再根據(jù)題意列出方程組，整理從而可得出結論.【詳解】(1)解：當時，函數(shù)的定義域為，則，令，得，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)解：由，得，令，當時，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因為，所以恒成立矛盾，當時，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，令，因為函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，綜上，使不等式恒成立的整數(shù)a的最小值為2；(3)解：令，假設存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的切點，不妨，則處切線的方程為：，處切線的方程為：，因為，為同一直線，所以，即，整理得，消去得，令，由與，得，記，則，所以為上的單調(diào)減函數(shù)，所以，從而式不可能成立，所以假設不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的切點.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，還考查了不等式恒成立問題及導數(shù)的幾何意義，考查了分類討論思想和計算能力，難度較大.22在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓的極坐標方程；(2)橢圓，射線與圓的交點為O，P，與橢圓