§4位移變分方程最小勢(shì)能原理

1、11.4位移變分方程-最小勢(shì)能原理學(xué)習(xí)要點(diǎn):本節(jié)討論最小勢(shì)能原理。首先根據(jù)虛功原理推導(dǎo)應(yīng)變能的一階變分表達(dá)式，然后根據(jù)任意幾何可能位移場(chǎng)與真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能的關(guān)系，得到真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能取最小值的結(jié)論。最小勢(shì)能原理用數(shù)學(xué)方程描述：總勢(shì)能的一階變分為零，而且二階變分大于零。最小勢(shì)能原理等價(jià)于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力邊界條件，所以，對(duì)于一些按實(shí)際情況簡(jiǎn)化后的彈性力學(xué)問題，可以通過最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的平衡微分方程和面力邊界條件。 本節(jié)通過例題對(duì)此作了說 明。推導(dǎo)中設(shè)應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的函數(shù)，因此最小勢(shì)能原理是位移 解法在變分原理中的應(yīng)用。進(jìn)入本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)之前，應(yīng)該首先學(xué)

2、習(xí)有關(guān) 泛函和變分的基礎(chǔ)知識(shí)。學(xué)習(xí)思路：.總勢(shì)能；.總勢(shì)能的變分；.最小勢(shì)能原理；.最小勢(shì)能原理推導(dǎo)彎曲問題的平衡微分方程和面力邊界條件；.最小勢(shì)能原理推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)問題的平衡微分方程和面力邊界條件。卜面根據(jù)虛功方程推導(dǎo)僅應(yīng)用于彈性體的最小勢(shì)能原理。設(shè)應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的函數(shù)，則應(yīng)變能密度函數(shù)的一階變分為上式推導(dǎo)中，應(yīng)用了格林公式“。三制，將上式代入虛功方程，則1JT為切=fJJ 雙明叫JJ W二豺上式表示外力虛功等于彈性體應(yīng)變能的一階變分。定義外力勢(shì)能為-jJ 及% M-JJ F黑金-Jp3%dS注意到虛位移與真實(shí)的應(yīng)力無關(guān)，因此在虛位移過程中外力保持不變， 即變分與外力無關(guān)。而且積分和變分

3、兩種運(yùn)算次序可以交換的，所以外力勢(shì)能的 一階變分可以寫作即=_川為3城仍回代可得噩7十叫二陽=0其中Et稱為總勢(shì)能，它是應(yīng)變分量的泛函。由于應(yīng)變分量通過幾何方程 可以用位移分量表示，所以總勢(shì)能又是位移分量的泛函。區(qū)二ff凡西一jJ凡小一口 K幽asVV“公式表明，在所有幾何可能的位移中，真實(shí)位移將使彈性體總勢(shì)能的一 階變分為零，因此真實(shí)位移使總勢(shì)能取駐值。以下證明：對(duì)于彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，總勢(shì)能將取最小值。將幾何可能位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變代入總勢(shì)能表達(dá)式，可以得到幾何可能位移 對(duì)應(yīng)的總勢(shì)能EJd)= JU及3 +3地)1 展 JJ 巴將上式減去真實(shí)應(yīng)變分量的總勢(shì)能，可得&（玻-&（芍）=山%（%+西

4、）一0式畤）即-凡網(wǎng)肥-JJ區(qū)鬲ds將/嗎）按泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上的小量，有% +甌代黑陶陶二&氏）+叫（%）+:粵網(wǎng) J&二九 6”仍久今）月知式畤）回代可得線（若）-圖為）=JJJ 犯與）+ #乜（陶四-巾 坨網(wǎng)dV-JJ %&dS二四十或耳F上凡由于總勢(shì)能的一階變分為零，因此線）-E式為）二貸其總勢(shì)能的二階變分為步6可即見。山圣陶題d/V 福 葭由于. at eh.積4 =-= （- Str 3芭一 -2Un （&./）0 ABAT由于應(yīng)變能密度函數(shù)為正定函數(shù)，即只有在所有的應(yīng)變分量全部為零時(shí)其才可能為零，否則總是大于零的，因此西二2（0以上證明了在所有的可能位移場(chǎng)中，真實(shí)位移場(chǎng)

5、的總勢(shì)能取最小值。所 以這一原理稱為最小勢(shì)能原理。數(shù)學(xué)描述即總勢(shì)能的一階變分為零，而且二階變 分是正定的(大于零)。必須強(qiáng)調(diào)指出的是，真實(shí)位移與其他的可能位移之間的差別在于是否滿 足靜力平衡條件，所以說最小勢(shì)能原理是用變分形式表達(dá)的平衡條件。通過總勢(shì)能的一階變分為零，可以推導(dǎo)出平衡微分方程和面力邊界條件, 這和虛功原理是相同的，即最小勢(shì)能原理也等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條 件。虛功原理和最小勢(shì)能原理之間的差別在于：虛功原理不涉及本構(gòu)關(guān)系， 適用于任何材料，只要滿足小變形條件；最小勢(shì)能原理除了小變形條件之外， 還 需要滿足應(yīng)變能密度函數(shù)表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系，因此僅限于線性和非線性彈性體。最后，將最小

6、勢(shì)能原理完整的敘述為：在所有幾何可能位移中，真實(shí)位 移使得總勢(shì)能取最小值。該方法是以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問題 的。當(dāng)然，選擇的位移函數(shù)必須是在位移已知的邊界上滿足位移邊界條件，對(duì)于面力邊界是不需要考慮的，因?yàn)槊媪吔鐥l件是會(huì)自動(dòng)滿足的。例2:圖示直梁，分布載荷q(x)作用在軸線所在的鉛垂平面內(nèi)。用最小勢(shì)能原 理推導(dǎo)問題的平衡微分方程和面力邊界條件。解：該梁為超靜定結(jié)構(gòu)。在梁的端面，施加適當(dāng)?shù)募s束使梁不能產(chǎn)生剛體位移， 施加適當(dāng)?shù)募袅蛷澗?，使梁保持平衡。設(shè)w(x)表示梁的撓度，表示梁軸線變形后的曲率半徑，則梁的應(yīng)變能 為1 ft 疝工二竺由于 踮，并且注意到對(duì)于小變形問題,1O-

7、JP 荷7所以上式可以寫作本問題的面力邊界為梁的上下表面，作用分布載荷 q(x),則外力功為梁的總勢(shì)能為1=22五)2(一對(duì)上式作一階變分并且令其為零，有上不力18El =jZ(-y)2dx- grjSvdx = 0加將身改才亞寓嗎jw qqVA-u-VL-=因魯3拘：_r(e亨 d=cdx; * dx dx二田售9約心網(wǎng)廿 cfctdxdx*整理nJ得 =卬曹(嚶比仔梟班熱 axdxdrdx因此dJ d%、/ 2 (EF J Z)g =0,此嘮=1必加X可由=0,密空=心etc ；(可沖二H粵出百)tj dxdx3 d(%)部,除哈)i卜瑞3今卜源力=。上述關(guān)系式的第1式即問題的平衡方程，第

8、2, 3和4式為梁邊界條件。以上根據(jù)最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出梁的彎曲問題對(duì)應(yīng)的平衡微分方程和面力 邊界條件。例3:應(yīng)用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)柱體扭轉(zhuǎn)問題的基本方程和邊界條件。解：對(duì)于柱體扭轉(zhuǎn)的位移解法，位移分量用扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)表示為U = 一火尸 Y二審雙， 加二審（三7）與上述位移分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為嘰二 G火黑一了）， r = （袈十，） TOC o 1-5 h z fixSy由于其他的應(yīng)力分量全部為零，所以柱體的應(yīng)變能為令。二白J由jj a斗匕通力二;?djj （黑-了）*黑*4心心 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2GH 堂2” 如oy二If （袈一

9、丁尸+（嬰4L呼 辦oy則2。由于柱體的側(cè)表面不受外力的作用，不存在外力功的問題。在端面上， 作用有扭矩T,產(chǎn)生扭矩的是x和y方向的面力Fsx和Fsy,而z方向的面力Fsz為 零。根據(jù)柱體扭轉(zhuǎn)的位移表達(dá)式，本問題的虛位移為u=0,v=0, w=因此，柱體所有表面的外力虛功均為零。根據(jù)最小勢(shì)能原理，5H、= J（P +涉）二珥=02k -Cf r.9P i片R、火/叭u j詆=4 1（丁一刃方（可）+（何+）鞏號(hào)）心加學(xué) 以 roc oy dy=2fr 黃（歲 r）鴕（袈）題觸力-2盯守癡比二0Y dbc ox中 uy利用高斯積分公式，上式簡(jiǎn)化為(-I-yl +- J 7- sinE五玳看掰 t

10、撓曲線表達(dá)式是無窮級(jí)數(shù)，它給出了本問題的精確解答。 這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快，只要取少數(shù)幾項(xiàng)就可以得到足夠的精度。 最大撓度在梁的中點(diǎn)，即=/ 處，因此如果取一項(xiàng)，有。這一結(jié)果與精確值十分接近。由于上述位移試函數(shù)表示的撓曲線方程在求二階導(dǎo)數(shù)后仍為正弦函數(shù), 所以二階導(dǎo)數(shù)在x=0和x=l處仍舊為零。本問題的靜力邊界條件是梁的絞支處彎矩為 0,所以該表達(dá)式也滿足面 力邊界條件，因此這一試函數(shù)也可以應(yīng)用于伽遼金法求解。注意到j(luò)（球在一力擊吧也二0 a七，將位移試函數(shù)公式代入上式并且積分，可以得到與瑞利里茨法相同的結(jié)果。例5:圖示矩形薄板，四邊固定，受有平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示，試用瑞利一里茨法

11、求解。解：設(shè)位移試函數(shù)為sinb十寸m , mvix .再吁尸二 W 5GSS 丁上式中m和n為正整數(shù)，在邊界x=0, a,和y=0, b上，u=v=0,所以試函數(shù)滿 足位移邊界條件。由于問題屬于平面應(yīng)力問題，所以!啜十(更r+2正空史，yy法次2備熱心力因此凡 2(112) du & .du3 加、 du d dv2() + 2() 4- 2v()It3x34理班9y 9An dy 3 dA dy+嗚走命+琛+酰 d dy世8U _ E 價(jià) 加 a皈;-2)4 1我直觥 9 Sv嗚自好噓喙總a翱中將位移試函數(shù)代入上述公式求導(dǎo)數(shù)后再積分，并且注意到方程dU亞ffiTDC . M7TV , 1s

12、in drdy d b8UdBMQ十“)a b了幡=fj耳力出羽依.力孫,sin - dx 儂Etc，世4NQ -d) + la2(L + p)sin陽m ,汽xysin -dxdya bAmn和Bmn,從而位例 6:圖示矩形薄板，邊固定，而另外一條邊的位移給定為由此可見，只要體力的分布是已知的，通過積分即可以求得待定系數(shù) 移分量可以求解，根據(jù)幾何方程可以得到應(yīng)變分量，再由物理方程求出應(yīng)力分量。.JEXv = -7S111 s任 受有平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示，試用伽遼金法求解。解：設(shè)位移試函數(shù)為以二工工sm他T位移試函數(shù)滿足位移邊界條件。由于問題沒有面力邊界條件，因此我們 可以認(rèn)

13、為位移試函數(shù)滿足面力邊界條件， 即可以采用伽遼金方法求解。由于問題 屬于平面應(yīng)力問題，有ina o22曠 2 &c辦8% 4 L-p 3,+14口乳優(yōu)Q 7)曠 2 3/2 8xdy將位移試函數(shù)代入上式，積分后可得加油/Q-/) 2&1+)a占14M = JJ只向0 0a &%=心血0 0超 tu . ray i sin d?cdyb bmjrx . 然沖sindxdy 十Eji叮jV . XX . jfJTDC .門鳳下 sin sinsin dxdyba a b積分后，求解關(guān)于Amn和Bmn的線性方程組則問題可解。如果 5完全相同。=0,則問題與例本問題當(dāng)然可以采用瑞利一里茨法求解。但是，

14、一般的講，使用伽遼金 法求解相對(duì)的工作量要小一些。例7:應(yīng)用瑞利里茨法求解橢圓截面柱體和矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn)函數(shù)(x, y)。解：柱體的扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為求解變分方程，其中Io由公式確定。對(duì)于橢圓截面柱體，根據(jù)其扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲情況，設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)為 =Axy。(x, y)其中A為任意常數(shù)。將上式代入公式，積分后可得3孚 2+1+,1)2 1I0本來是泛函，它取極值的必要條件是一階變分為零，但現(xiàn)在I0是A的函數(shù),其取極值的必要條件為二等5 + 1)/+口7的=0上述結(jié)果與精確解很接近上述結(jié)果與精確解很接近。居-*/孑刃= rr0(工，力=rrxy所以 a o因此Q +b 0對(duì)于矩形截面桿，同樣根據(jù)橫截

15、面的翹曲，設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)為吸了)二的+ * - ，。將上式代入公式，積分后可得 TOC o 1-5 h z Io =-3(+1)2 +4(2y(+)Ca 44/bG4“yDC +QQJ?Q-aV (4 +1) C+- a5b(A + x)D(A+ - a3is (a 3 + fe2 )DC迤=0, 組=0)組=o所以:】廠求解可得為:一7（/ -+ 135口皆（后 3） 7（ d+十匕*）7/（3/ 十35夕）21d 皮尸321/6+6。76.351 +豺口）21心6 32k皆+心將上述待定系數(shù)代入公式，可得扭矩為15G21Q5（? 4）1234aV 4s J圖E J +不）+ 1皿了的最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，即,九 161a -747口皆+426*工 =r =+ = Gr(1 十月+ Da2) - G/b253甲 37(d+*)+107q 的田)對(duì)于矩形截面桿，同樣根據(jù)橫截面的翹曲，設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)為鞏巷了) = Axy + Cg? -將上式代入公式，積分后可得冊(cè)=13(+1)3 44+(1+苧)C=44/504)一|帖/1)。斗QQJ?Q-a5fe3(J4+l)C+-tf5i(j4 + l)D-h-a3b3(J4-l)D+