新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 6.3　等比數(shù)列 學(xué)案

1、PAGE PAGE 96. 3等比數(shù)列1. 通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義. 2. 探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系. 3. 能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題. 4. 體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 【教材梳理】1. 等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q0)，即eq f(an1,an)q(nN*)，或eq f(an,an1)q(nN*，n2). (2)等比中

2、項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2ab. 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1. 該式又可以寫成aneq f(a1,q)qn，這表明q1時(shí)，an是常數(shù)與指數(shù)函數(shù)(關(guān)于n)的乘積. (2)前n項(xiàng)和公式：Sneq blc(avs4alco1(na1（q1），,f(a1（1qn）,1q)f(a1anq,1q)（q1）.)當(dāng)q1時(shí)，該式又可以寫成Sneq f(a1,1q)eq f(a1,1q)qn，這表明q1時(shí)，Sn的圖象是指數(shù)型函數(shù)yAqxAeq blc(rc)(avs4alco1(Af(a1,1q)圖象上

3、一群孤立的點(diǎn). 3. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1)與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)在等比數(shù)列an中，anamqnm(n，mN*). 在等比數(shù)列an中，若mnpq2k，m，n，p，q，kN*，則amanapaqaeq oal(2,k). 在公比為q的等比數(shù)列an中，取出項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)ak，akd，ak2d，仍可組成一個(gè)等比數(shù)列，公比是qd. m個(gè)等比數(shù)列，由它們的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成一個(gè)新數(shù)列，仍然是等比數(shù)列，公比是原來(lái)每個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)的公比之積. 若an，bn均為等比數(shù)列，公比分別為q1，q2，則kan(k0)仍為等比數(shù)列，且公比為q1；anbn仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2；eq blcrc(avs4alco1(f(

4、an,bn)仍為等比數(shù)列，且公比為eq f(q1,q2). 當(dāng)an是公比為q(q0)的正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列l(wèi)gan是等差數(shù)列，首項(xiàng)為lga1，公差為lgq. (2)與和有關(guān)的性質(zhì)等比數(shù)列連續(xù)k項(xiàng)的和仍為等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，仍為等比數(shù)列，且公比為qk(q1，或q1且k為奇數(shù)). 在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)，則eq f(S偶,S奇)q. 在等比數(shù)列中，當(dāng)qm1時(shí)，eq f(Sn,Sm)eq f(1qn,1qm)，n，mN*. 在等比數(shù)列中，SnmSnqnSm，n，mN*. 【常用結(jié)論】4. 等比數(shù)列的單調(diào)性(1)當(dāng)a10，q1或a10，0q0，0q1時(shí)，等比數(shù)列a

5、n是遞減數(shù)列；(3)當(dāng)q1時(shí)，它是一個(gè)常數(shù)列；(4)當(dāng)qan1，nN*. 解：amnaman，則an可能為等比數(shù)列，又an10C. T2 021的值是Tn中最小的D. T4 0421解：因?yàn)閍2 021a2 02210，所以a1a4 0421，即aeq oal(2,1)q4 0411，又因?yàn)?a11，所以aeq oal(2,1)1且q4 0411，所以q1，所以A正確；因?yàn)閑q f(a2 0211,a2 0221)0，所以a2 02110，且a2 02210，即 a2 0211且a2 0221，所以a2 020a2 0221aeq oal(2,2 021)10，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?a11，q1，

6、所以等比數(shù)列an是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)閍2 0211且a2 0221，所以T2 021的值是Tn中最小的，所以C正確；因?yàn)閍1a4 042a2a4 041a2 021a2 0221，所以T4 042a1a2a4 0421，所以D錯(cuò)誤. 故選AC. 命題角度2等比數(shù)列中的最值(范圍)問(wèn)題已知等比數(shù)列an中，a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是 ()A. (，1 B. (，0)(1，) C. 3，) D. (，13，) 解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則S3a1a2a3a2eq blc(rc)(avs4alco1(1qf(1,q)1qeq f(1,q)，當(dāng)q0時(shí)，S31qeq f(1,q)12eq

7、 r(qf(1,q)3(當(dāng)且僅當(dāng)q1時(shí)取等號(hào))；當(dāng)q0時(shí)，S31eq blc(rc)(avs4alco1(qf(1,q)12eq r(（q）blc(rc)(avs4alco1(f(1,q)1(當(dāng)且僅當(dāng)q1時(shí)取等號(hào)). 所以S3(，13，). 故選D. 【點(diǎn)撥】 等比數(shù)列中的最值(范圍)問(wèn)題，要抓住基本量a1，q等，充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，合理調(diào)用相關(guān)知識(shí)構(gòu)造函數(shù)，再用基本不等式法、單調(diào)性法等求值域. 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為_. 解：因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a3a4a2a3a4，所以aeq oal(3,3)a3a2a4，則aeq oal