清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)第十次課件接觸-碰撞

1、非線性有限元第10-碰撞 計(jì)算固體力學(xué)1第10章 接觸-碰撞引言接觸界面方程 摩擦模型 弱形式 有限元離散 顯式方法 21 引言 在制造加工過(guò)程的仿真中包括接觸和碰撞。例如，在薄金屬板的成型中，模具和工件之間接觸面的模擬；汽車碰撞和擠壓成型的模擬，都需要有接觸滑移界面。接觸問(wèn)題的失效形式是相互作用的接觸面發(fā)生破壞。 對(duì)于接觸-碰撞，將展示Lagrangian網(wǎng)格的控制方程和有限元程序。在接觸中，物體的控制方程與前面介紹的方程是一致的，但在接觸界面上，需要增加動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的條件。 關(guān)鍵條件是不可侵徹性條件：即兩個(gè)物體不能互相侵入的條件，不可侵徹性不能表示為一個(gè)簡(jiǎn)單的方程，所以，發(fā)展了幾種簡(jiǎn)單的

2、方法。其中兩個(gè)基于最近點(diǎn)映射的形式： 1）顯式動(dòng)態(tài)問(wèn)題適用的率形式； 2）主要適用于隱式方法的平衡解答。 此外，經(jīng)典的Coulomb摩擦模型和界面本構(gòu)模型。31 引言 給出控制方程的弱形式，處理接觸界面約束的4種方法：1 Lagrange乘子法，2 罰方法，3 增廣的Lagrangian法，4 攝動(dòng)的Lagrangian法。 由Lagrange乘子法，在接觸問(wèn)題的離散化中，在接觸界面上乘子必須是近似的。乘子必須滿足法向面力是壓力的約束。 在罰方法中，面力不等式源于Heaviside分步函數(shù)，該函數(shù)被嵌入在罰力之中。4 1 引言 接觸-碰撞問(wèn)題是屬于最困難的非線性問(wèn)題之一，因?yàn)樵诮佑|-碰撞問(wèn)題中

3、的響應(yīng)是不平滑的。 當(dāng)發(fā)生瞬時(shí)接觸時(shí)，垂直于接觸界面的速度是瞬時(shí)不連續(xù)的。對(duì)于Coulomb摩擦模型，當(dāng)出現(xiàn)粘性滑移行為時(shí)，沿著界面的切向速度是不連續(xù)的。 接觸-碰撞問(wèn)題的這些特性給離散方程的時(shí)間積分帶來(lái)了明顯的困難，削弱了Newton算法的功能。 因此，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê退惴ㄊ侵陵P(guān)重要的，并且在獲得強(qiáng)健的求解程序中，規(guī)則化的技術(shù)是非常有用的。52 接觸界面方程模擬接觸-碰撞問(wèn)題的標(biāo)記 接觸界面包含兩個(gè)物體表面的交界。 接觸界面包括兩個(gè)物體處于接觸的兩個(gè)物理表面，它們是重合的，在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)表面一般不重合，分為主控和從屬表面。接觸界面是時(shí)間的函數(shù)，確定它是接觸-碰撞問(wèn)題解答的重要部分。 在通

4、用有限元軟件中，接觸算法能夠處理多個(gè)物體的相互作用，然而多個(gè)物體的接觸包含成對(duì)物體的相互作用。因此，從考慮兩個(gè)物體的問(wèn)題入手。62 接觸界面方程 在主控接觸表面的每一點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系統(tǒng)，可以構(gòu)造相切于主控物體表面的單位矢量：物體A的法線給出為 在接觸界面上有即兩個(gè)物體的法線方向相反。以局部分量的形式表示速度場(chǎng) 在三維問(wèn)題中希臘字母下角標(biāo)的取值范圍為2；當(dāng)問(wèn)題是二維時(shí)，接觸表面成為一條線，取值為1。 72 接觸界面方程 物體由標(biāo)準(zhǔn)場(chǎng)方程控制：質(zhì)量、動(dòng)量和能量的守恒，應(yīng)變度量，以及本構(gòu)方程。接觸增加了條件： 1 在界面上，兩個(gè)物體不可相互侵入和面力滿足動(dòng)量守恒； 2 橫跨接觸界面的法向面力不能為拉

5、力。 按照要求分類： 1 對(duì)于位移和速度的要求作為運(yùn)動(dòng)學(xué)條件， 2 對(duì)于面力的要求作為動(dòng)力學(xué)條件。 8不可侵徹性條件2 接觸界面方程一對(duì)物體的不可侵徹性條件可以表示為交集為零 例如，如果物體在旋轉(zhuǎn)中，對(duì)于P 點(diǎn)接觸Q 點(diǎn)是可能的，而一個(gè)不同的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可能導(dǎo)致P 點(diǎn)與S 點(diǎn)接觸。結(jié)論是，除了以一般的形式，找不到其它的方程表示P 點(diǎn)沒(méi)有侵入物體A 的事實(shí)。 兩個(gè)物體不允許重疊，這可以視為一個(gè)協(xié)調(diào)條件。對(duì)于大位移問(wèn)題，不可侵徹性條件是高度非線性的，并且一般不能以位移的形式表示為一個(gè)代數(shù)方程或者微分方程。其困難源于在一個(gè)任意運(yùn)動(dòng)中，不可能預(yù)先估計(jì)到兩個(gè)物體的哪些點(diǎn)將發(fā)生接觸。9不可侵徹性條件運(yùn)動(dòng)學(xué)2

6、接觸界面方程 由于以位移的形式表示交集為零的公式是不可能的，所以，在接觸過(guò)程的每一階段中以率形式或者增量形式表示不可侵徹性方程是很方便的。其率形式應(yīng)用到物體A和B上發(fā)生接觸的部分，即是位于接觸表面上的那些點(diǎn) 兩個(gè)物體的相互侵徹速率 利用 點(diǎn)乘 得到上兩式 并且利用法線是正交于與平面相切的單位矢量的事實(shí)。 10不可侵徹性條件2 接觸界面方程 對(duì)于在接觸表面上的任意點(diǎn)，不可侵徹性條件限制了相互侵徹速率成為負(fù)值，表示當(dāng)兩個(gè)物體發(fā)生接觸時(shí)，它們或者必須保持接觸 或者脫離 。 對(duì)于接觸區(qū)域上的所有點(diǎn)當(dāng)滿足上式時(shí)，精確滿足不可侵徹性條件。然而，公式與交集為零不是等價(jià)的。在大多數(shù)數(shù)值方法中，僅在瞬時(shí)時(shí)刻注意

7、到該式，對(duì)于接近分離而沒(méi)有接觸的點(diǎn)，相互侵徹是可能的。該式僅適用于處于接觸的成對(duì)點(diǎn)。11不可侵徹性條件2 接觸界面方程 上面強(qiáng)化公式將不連續(xù)性引入速度時(shí)間歷史中。在接觸之前，法向速度是不相等的，而在隨后發(fā)生碰撞，法向速度分量必須滿足公式。在時(shí)間上的這些不連續(xù)性使得離散方程的時(shí)間積分變得很復(fù)雜。 間隙率是相互侵徹率的負(fù)數(shù)。 相對(duì)切向速度給出為12動(dòng)力學(xué)面力條件2 接觸界面方程 橫跨接觸界面，面力必須服從動(dòng)量平衡。由于界面上沒(méi)有質(zhì)量，這就要求兩個(gè)物體上面力的合力為零： 在法線方向上，不考慮在接觸表面之間的任何粘性，法向面力不能是拉力。其條件表示為 這個(gè)條件要求 為正數(shù)，物體B上的面力在A的單位法線

8、上的投影， 它指向物體B。對(duì)應(yīng)于物體A和B，注意到上面的表達(dá)式是不對(duì)稱的。為了定義法向面力，選擇其中一個(gè)物體的法向，并且物體法向面力的符號(hào)將取決于選擇的這個(gè)法向。 13定義切向面力為面力條件2 接觸界面方程切向面力投影到主控接觸表面上的面力合力，由動(dòng)量平衡要求當(dāng)應(yīng)用接觸的無(wú)摩擦模型時(shí)，切向面力為零 在前面建立接觸界面方程中，盡管選擇了其中一個(gè)物體為主控物體，當(dāng)兩個(gè)接觸表面是重合時(shí)，且滿足公式 ，對(duì)于物體，這些方程是對(duì)稱的。因此，選擇哪個(gè)物體作為主控物體是沒(méi)有關(guān)系的。但是，當(dāng)兩個(gè)表面不重合時(shí)，如在大多數(shù)數(shù)值求解中，則主控物體的選擇會(huì)改變結(jié)果。14單一接觸條件2 接觸界面方程由法向面力不是拉力的條

9、件 由不可侵徹性條件得到單一接觸條件 當(dāng)物體發(fā)生接觸并且保持接觸時(shí)， 而當(dāng)接觸停止 ，并且法向面力消失 ，乘積總是為零。 這個(gè)方程也可以表示為接觸力的法向分量不工作的事實(shí)。 15相互侵徹度量2 接觸界面方程 在物體B上的點(diǎn)P侵入到物體A的內(nèi)部，定義為至物體A的表面上任意點(diǎn)的最小距離。在用坐標(biāo) 表示點(diǎn)P到物體A表面上的任意點(diǎn)之間的距離給出為 圖示物體B上的點(diǎn)P已經(jīng)侵入物體A。尋找相互侵徹的度量，它表示為 在物體A上的點(diǎn)Q是最接近于物體B上的點(diǎn)P：它是點(diǎn)P在A上的正交映射。16相互侵徹度量2 接觸界面方程相互侵徹量 為上式的最小值，并且考慮到僅當(dāng)P在物體A內(nèi)部時(shí)才是非零的。通過(guò)檢驗(yàn)法線到物體A在

10、上的投影，可以檢驗(yàn)后面的條件：當(dāng)投影是負(fù)值時(shí)，點(diǎn)P是在物體A的內(nèi)部，因此有相互侵徹，否則P不在A的內(nèi)部，沒(méi)有相互侵徹。所以，相互侵徹的定義是 令相互侵徹度量對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)取值為零，求出 最小值。172 接觸界面方程 考慮發(fā)生部分侵徹的兩個(gè)表面。主控物體是9節(jié)點(diǎn)等參單元，所以表面A 的3個(gè)節(jié)點(diǎn)是二次映射定義： 從屬物體B的表面為一條水平線，給出為例子10.1在例子中的相互侵徹已經(jīng)被夸大了。注意到沿著界面有 對(duì)于在表面B上的點(diǎn)P，找到相互侵徹。求點(diǎn)Q 正交投影的最小值 182 接觸界面方程例子10.1取最小化給出為數(shù)值求解上式的根為r0.2451，因此Q點(diǎn)位置為， 對(duì)于在表面B上的點(diǎn)P，找到相互侵徹

11、。求點(diǎn)Q 正交投影的最小值 192 接觸界面方程 當(dāng)兩個(gè)物體是不光滑或者不是局部地凸?fàn)顣r(shí)，這種定義相互侵徹的方法將會(huì)遇到困難。如在圖示情況下， 的最小值是不唯一的：這里有兩個(gè)點(diǎn)為P的正交投影。在這種情況下，難以建立一種方法，能夠唯一地定義相互侵徹的度量。通過(guò)一個(gè)有轉(zhuǎn)折表面的侵徹，說(shuō)明正交映射點(diǎn)求解的不唯一性。 相互侵徹度量202 接觸界面方程 在ABAQUS/Standard和/Explicit中的接觸模擬功能具有明顯的差異。 在/Standard中的接觸模擬或者是基于表面（surface）或者是基于接觸單元（contact element）。因此，必須在模型的各個(gè)部件上創(chuàng)建可能發(fā)生接觸的表面

12、。然后，必須判斷哪一對(duì)表面可能發(fā)生彼此接觸，稱之為接觸對(duì)。最后，必須定義控制各接觸面之間相互作用的本構(gòu)模型。這些接觸面相互作用的定義包括如摩擦行為等。 在/Explicit中的接觸模擬可以利用通用（“自動(dòng)”）接觸算法或者接觸對(duì)算法。通常定義一個(gè)接觸模擬只需簡(jiǎn)單地指定所采用的接觸算法和將會(huì)發(fā)生接觸作用的表面。在某些情況下，當(dāng)默認(rèn)的接觸設(shè)置不滿足需要時(shí)，可以指定接觸模擬的其它形式；例如，考慮摩擦的相互作用力學(xué)模型。21 在電子工業(yè)中，為了評(píng)估產(chǎn)品的耐久性，仿真分析正代替跌落試驗(yàn)。電子產(chǎn)品跌落模擬 通用接觸算法(general contact)22Global ModelLCD Submodel電子

13、產(chǎn)品跌落模擬 非線性有限元的應(yīng)用232 接觸界面方程 在/Standard和/Explicit中的力學(xué)接觸算法具有本質(zhì)的區(qū)別，體現(xiàn)在如何定義接觸條件：1 /Standard在施加接觸約束時(shí)采用嚴(yán)格主從權(quán)重：約束從屬表面節(jié)點(diǎn)不能侵入主控表面。而主控表面上的節(jié)點(diǎn)原則上可以侵入從屬表面。/Explicit包括這個(gè)公式，但是典型地默認(rèn)應(yīng)用平衡主從權(quán)重。242 /St和/Ex都提供了有限滑動(dòng)接觸公式。在/St中的二維有限滑動(dòng)公式要求主控表面是光滑的；而在/Ex的主控表面是由面元構(gòu)成的，除非是解析剛性表面，其主控表面可以是光滑的。3 /St和/Ex都提供了小滑移接觸公式。在/St中的小滑移公式根據(jù)從屬節(jié)點(diǎn)

14、的當(dāng)前位置向主控節(jié)點(diǎn)傳遞載荷。/Ex總是通過(guò)固定點(diǎn)傳遞載荷。4 /Ex在接觸邏輯中可以考慮殼和膜的當(dāng)前厚度和中面偏移，/St不能。 /Ex通用接觸算法的許多優(yōu)勢(shì)在/St中不具備。由于上述的差異，所以在/St分析中定義的接觸不能導(dǎo)入/Ex中，反之亦然。2 接觸界面方程253 摩擦模型 一般將切向面力的模型稱之為摩擦模型?；旧嫌腥N形式的摩擦模型：1 Coulomb摩擦模型，它是基于經(jīng)典摩擦理論的模型。2 界面本構(gòu)方程，由方程給出切向力，類似于材料本構(gòu)方程。3 粗糙潤(rùn)滑模型，模擬界面的物理特性，常用于微觀尺度。摩擦能量消耗，本構(gòu)問(wèn)題磨損材料損耗，本構(gòu)問(wèn)題263 摩擦模型 在Coulomb摩擦模型

15、應(yīng)用于連續(xù)體中，它應(yīng)用在接觸界面的每一點(diǎn)，如果A和B是在x處接觸，則Coulomb摩擦模型 是一個(gè)變量，由動(dòng)量方程的解答確定。兩個(gè)物體在一點(diǎn)處接觸的條件意味著法向力 ，因此，兩個(gè)表達(dá)式的右端項(xiàng)恒正。 條件(a)作為粘著條件：當(dāng)在一點(diǎn)處的切向面力是小于臨界值時(shí)，不允許相對(duì)切向運(yùn)動(dòng)，即兩個(gè)物體為粘著的。 條件(b)對(duì)應(yīng)于滑動(dòng)條件，該方程的第二部分表示切向摩擦的方向必須是與相對(duì)切向速度的方向相反。273 摩擦模型Coulomb摩擦模型 Coulomb摩擦更類似于剛塑性材料本構(gòu)。如果將切向速度理解為應(yīng)變，將切向面力理解為應(yīng)力，則上式中的a)式可以理解為屈服函數(shù)。當(dāng)屈服準(zhǔn)則不滿足時(shí)，切向速度將為零；一旦

16、滿足了屈服準(zhǔn)則，則切向速度沿著由b)式確定的方向。這些特征平行于剛塑性材料模型。 283 摩擦模型界面本構(gòu)方程 界面行為的本構(gòu)模型源于凸凹不平導(dǎo)致的表面粗糙度，發(fā)生在微觀尺度上即使是最光滑的表面。在滑動(dòng)中，摩擦是由粗糙部分的相互作用生成的。最初的滑動(dòng)引起了這些粗糙部分的彈性變形，所以，真正的粘著條件不會(huì)自然產(chǎn)生，是所觀察到行為的理想化。在滑動(dòng)過(guò)程中，伴隨著粗糙部分的彈性變形是粗糙表面的研磨。粗糙的彈性變形是可逆的，而研磨是不可逆的，因此，自然地將初始滑動(dòng)歸屬于彈性特性，而后面的滑動(dòng)歸屬于塑性特性，屬于非關(guān)聯(lián)塑性。29摩擦滑移屈服表面 Mohr-Coulomb本構(gòu)模型 滑移方向（塑性流動(dòng)）是水平

17、的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。這是非關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)的例子。對(duì)于連續(xù)體和多軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的行為，M-C準(zhǔn)則具有普適性。它應(yīng)用于模擬顆粒狀的土壤和巖石。 M-C準(zhǔn)則是基于這樣的概念，即當(dāng)任意面上的切應(yīng)力和平均法向應(yīng)力達(dá)到臨界組合時(shí)在材料中發(fā)生屈服 c是內(nèi)聚力，通過(guò) 定義內(nèi)摩擦角。 3 摩擦模型303 摩擦模型界面本構(gòu)方程對(duì)于Coulomb類型性能的屈服函數(shù)，對(duì)應(yīng)于Coulomb摩擦條件： 在二維情況下，屈服函數(shù)包括以斜率為 的兩條斜線。 在三維情況下，屈服函數(shù)是一個(gè)圓錐。 314 弱形式 對(duì)于Lagrangian網(wǎng)格，建立動(dòng)量方程和接觸界面條件的弱形式。當(dāng)接觸表面是作為L(zhǎng)格式處理時(shí)，這一形式也

18、適用于ALE網(wǎng)格。為了簡(jiǎn)單，從無(wú)摩擦接觸開(kāi)始，后面介紹切向面力的處理。將下面的公式限制在面力或者位移邊界的情況，進(jìn)而描述相應(yīng)的所有面力或者速度分量。接觸表面既不是面力也不是位移邊界。物體A的全部邊界為 注意到 在接觸問(wèn)題中，奇異性發(fā)生在邊界，如赫茲接觸(1881)。然而與斷裂力學(xué)不同的是，奇異性沒(méi)有顯示任何的工程意義，因?yàn)楸砻娲植诙鹊拇嬖诘窒嗽趹?yīng)力中出現(xiàn)的更接近奇異性的行為。 32 自然變分原理是對(duì)原物理問(wèn)題的微分方程和邊界條件建立對(duì)應(yīng)的泛函，再使泛函取駐值得到問(wèn)題的解答，但是其未知場(chǎng)函數(shù)需要滿足一定的附加條件。而廣義變分原理（或稱約束變分方程）不需要事先滿足附加條件，采用lagrange乘

19、子法和罰函數(shù)法將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個(gè)修正泛函，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值。稱為無(wú)附加條件的變分原理。 對(duì)于罰函數(shù)方法，將罰參數(shù)取正值，對(duì)修正泛函得到的近似解只是近似地滿足附加條件，罰參數(shù)值越大，附加條件的滿足程度就越好。而在實(shí)際計(jì)算中，罰函數(shù)只能取有限值，所以利用罰函數(shù)求解只能得到近似解。4 弱形式334 弱形式Lagrange乘子弱形式強(qiáng)加接觸約束的通常方法是借助于Lagrange乘子。 令Lagrange乘子試函數(shù)為 相應(yīng)的變分函數(shù)為 弱形式為其中侵徹率變分為 這個(gè)弱形式不等式是等價(jià)于動(dòng)量方程、面力邊界條件、內(nèi)部連續(xù)條件（廣義的動(dòng)量平衡）和接觸界面條件：不可侵徹性、法向面力的動(dòng)

20、量平衡和無(wú)摩擦條件。Lagrange乘子場(chǎng)僅要求為C-1連續(xù)，因?yàn)樗膶?dǎo)數(shù)并不出現(xiàn)在弱形式中。要求法向界面力是壓力，這是對(duì)Lagrange乘子在試空間的一種限制。 虛功率為344 弱形式Lagrange乘子弱形式 比較Hu-Washizu變分原理，借助于Lagrange乘子，上面的方法是在弱形式中附加約束的標(biāo)準(zhǔn)方法。與Hu-W形式的唯一區(qū)別是約束為一個(gè)不等式。利用高斯積分關(guān)系，通過(guò)積分證明 從弱不等式可以推導(dǎo)出強(qiáng)形式，但是，必須考慮關(guān)于變分函數(shù)的不等式。一旦變分函數(shù)是不受約束時(shí)，對(duì)于與變分函數(shù)相乘的項(xiàng)的符號(hào)則沒(méi)有限制，并且由密度原理該項(xiàng)必須為零。 從上式中的前兩個(gè)積分得到 即在物體A和B上，滿

21、足動(dòng)量方程和自然邊界條件。 Lagrange乘子強(qiáng)形式35從上式聯(lián)立消去 得到關(guān)于法向面力的動(dòng)量平衡條件： 4 弱形式Lagrange乘子強(qiáng)形式 在接觸表面被積函數(shù)的所有項(xiàng)中，除最后一項(xiàng)外，變分函數(shù)是任意的，因此獲得了等式， 由上式被積函數(shù)最后一項(xiàng)的變分函數(shù)為負(fù)值 推論 必然是非正的，即弱不等式表示不可侵徹條件 364 弱形式 在罰方法中，以沿接觸表面施加不可侵徹性約束作為罰法向面力。對(duì)比于Lagrange乘子法，罰方法允許一些相互侵徹。然而，它更容易編程并且廣泛應(yīng)用?？紤]兩種形式的罰方法：1 罰數(shù)正比于相互侵徹率 的平方； 2 罰數(shù)為相互侵徹及其率的任意函數(shù)。 在非線性問(wèn)題的應(yīng)用中，第二種方

22、法是更有用的，因?yàn)樗俣认嚓P(guān)罰數(shù)允許更多的相互侵徹。 在罰方法中，變分和試函數(shù)與在Lagrange乘子法中的項(xiàng)完全相同。對(duì)于罰方法，弱形式到強(qiáng)形式的等價(jià)性可以表述如下如果 其中 率相關(guān)的罰方法（penalty） 侵徹脫離 374 弱形式率相關(guān)的罰方法（penalty） 罰參數(shù) 可以是空間坐標(biāo)的函數(shù)。相應(yīng)于罰方法的弱形式不是一個(gè)不等式；由式中出現(xiàn)的Heaviside分步函數(shù)引入了接觸問(wèn)題的非連續(xù)性質(zhì)。這種弱形式并不意味著不可侵徹條件，在罰方法中，它僅僅近似地得到滿足。類似L方法，證明弱形式包含著強(qiáng)形式，得到 不像L乘子弱形式，罰弱形式?jīng)]有強(qiáng)制橫跨接觸界面速度的連續(xù)性；事實(shí)上，橫跨界面的速度將是不連

23、續(xù)的?？梢詮墓街械玫讲贿B續(xù)的量級(jí)，給出 在相關(guān)法向速度分量中的不連續(xù)反比于罰參數(shù)，隨罰增加而減小。 384 弱形式接觸約束方法 對(duì)于任何節(jié)點(diǎn)和單元之間的縫隙，g為正，不存在接觸；g為負(fù)值或者為零，存在接觸的節(jié)點(diǎn)對(duì)（單元對(duì)），施加約束條件。 通過(guò)簡(jiǎn)單地用乘子乘以上式給出的縫隙條件，給出Lagrange乘子的方法。接觸縫隙條件 視為作用在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的一個(gè)“力”以防止侵徹。 39 在罰函數(shù)方法中，最終縫隙值將不是零，而是一個(gè)小量，取決于所選擇的參數(shù)值。罰函數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)是可以根據(jù)判別,能夠給出一個(gè)可接受結(jié)果的實(shí)際需要的參數(shù)值，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。實(shí)際上，在一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題中，這不是簡(jiǎn)單的工作，特別是對(duì)于涉

24、及梁、板、或殼單元與實(shí)體單元之間的接觸問(wèn)題。 4 弱形式罰函數(shù)方法 一種能夠避免Lagrange乘子求解困難的方法是罰函數(shù)。罰方法是在接觸節(jié)點(diǎn)之間附加一個(gè)剛度為beta的非線性彈簧。 404 弱形式攝動(dòng)的Lagrangian弱形式(Perturbed)其中 上式被積函數(shù)的第二項(xiàng)為L(zhǎng)agrange乘子弱形式的攝動(dòng)；由于 是大數(shù)， 很小。 增廣的Lagrangian弱形式(Augmented) 是求解過(guò)程待定的正參數(shù)，被積函數(shù)第二項(xiàng)為侵徹率的高階項(xiàng)。 通過(guò)在弱形式中附加上強(qiáng)化切向面力連續(xù)性的一項(xiàng)，所有上面的公式可以修改以便處理界面摩擦。 415 有限元離散 對(duì)于接觸-碰撞問(wèn)題的所有方法（罰方法、L

25、agrange乘子法等），在弱形式的表述中包括標(biāo)準(zhǔn)虛功率和接觸界面變分的貢獻(xiàn)合成。當(dāng)在無(wú)接觸狀態(tài)時(shí)，可以精確地離散標(biāo)準(zhǔn)虛功率，因此，這里關(guān)注各種接觸界面弱形式的離散化。 應(yīng)用Lagrangian網(wǎng)格，包括UL和TL格式。在TL格式中，必須以變形表面的形式施加接觸界面條件。離散化也適用于ALE格式，只要在接觸表面的節(jié)點(diǎn)為L(zhǎng)節(jié)點(diǎn)。它們不能直接應(yīng)用到Eulerian格式，因?yàn)榧僭O(shè)已經(jīng)有了描述接觸表面的參考坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系不能在一個(gè)E網(wǎng)格中定義。在L網(wǎng)格中，接觸表面對(duì)應(yīng)于網(wǎng)格邊界的一個(gè)子集。 425 有限元離散 Lagrange乘子法橫跨接觸界面，兩個(gè)物體的速度不一定必須是連續(xù)的，可以C0連續(xù)；相互

26、侵徹條件源于弱形式的離散化。注意到速度場(chǎng)的近似也定義了位移場(chǎng)的近似。試函數(shù)的空間定義如下 由于是L網(wǎng)格，以材料坐標(biāo)表示速度場(chǎng)的有限元近似，也可寫(xiě)成單元坐標(biāo)的形式，因?yàn)檫@兩組坐標(biāo)是等價(jià)的。速度場(chǎng)為 如果物體A和B的節(jié)點(diǎn)編號(hào)不同，兩個(gè)速度場(chǎng)可寫(xiě)成為一個(gè)表達(dá)式：435 有限元離散 Lagrange乘子法在接觸表面上Lagrange乘子場(chǎng)是C-1形狀函數(shù) 變分函數(shù)為 弱形式為 r為殘數(shù)，以節(jié)點(diǎn)速度的形式可以表示相互侵徹率： 可以消除在物體A和B的節(jié)點(diǎn)之間的區(qū)別，將上式表示為445 有限元離散 Lagrange乘子法利用形狀函數(shù)，給出法向分量和速度的乘積的近似和侵徹率 將離散弱形式寫(xiě)成為 因?yàn)槭遣坏仁剑?/p>

27、所以控制方程的提取必須小心。對(duì)于那些沒(méi)在接觸界面上的節(jié)點(diǎn)，可以直接地從第一個(gè)求和項(xiàng)中提取方程，由于節(jié)點(diǎn)速度的變分為任意的，得到標(biāo)準(zhǔn)的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：在第一個(gè)求和項(xiàng)中的余下部分重新以接觸界面的局部坐標(biāo)系寫(xiě)成，并組合第二個(gè)求和項(xiàng)，給出 455 有限元離散 Lagrange乘子法 由于切向節(jié)點(diǎn)速度是沒(méi)有約束的，對(duì)于節(jié)點(diǎn)速度的系數(shù)，弱不等式服從一個(gè)等式 上面的運(yùn)動(dòng)方程和接觸界面條件，加之應(yīng)變位移方程和本構(gòu)方程，對(duì)于半離散模型組成了方程的完備系統(tǒng)。對(duì)于沒(méi)有在接觸界面上的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程是與沒(méi)有約束的情況一樣的。 以矩陣形式寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)組合這種形式與內(nèi)部、外部和慣性的功率的矩陣形式，給出 考慮到變分項(xiàng)的任

28、意性，得到運(yùn)動(dòng)方程和相互侵徹條件 (為作用在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上一個(gè)防止侵徹的“力”) 465 有限元離散 Lagrange乘子網(wǎng)格 構(gòu)造Lagrange乘子網(wǎng)格具有一定的難度。一般說(shuō)來(lái)，兩個(gè)接觸物體的節(jié)點(diǎn)是不重合的，如左圖所示。因此，有必要建立一種方法處理不相鄰的節(jié)點(diǎn)。 一種可能性表示在左圖中，選擇Lagrange乘子場(chǎng)中的節(jié)點(diǎn)為主控物體的接觸節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)物體比另一個(gè)的網(wǎng)格更加細(xì)劃時(shí)，這種簡(jiǎn)單的方法是無(wú)效的。Lagrange乘子的粗網(wǎng)格則導(dǎo)致相互侵徹。 另一種方法是無(wú)論在物體A或B上出現(xiàn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則放置Lagrange乘子節(jié)點(diǎn)，如右圖所示。這種方法的不足之處是當(dāng)物體A和B上的節(jié)點(diǎn)接近時(shí)，一些L乘子單元

29、非常小。這可能導(dǎo)致方程的病態(tài)條件。在三維情況下，這種方法是不可行的。475 有限元離散 Lagrange乘子網(wǎng)格 對(duì)于一般性的應(yīng)用，Lagrange乘子必須單獨(dú)構(gòu)造網(wǎng)格，這種網(wǎng)格獨(dú)立于其它任何網(wǎng)格，但是，至少細(xì)劃到二者之中較為細(xì)劃的那個(gè)網(wǎng)格程度。 Lagrange乘子法的主要缺點(diǎn)是對(duì)于L乘子網(wǎng)格的需要。像在簡(jiǎn)單二維例子中看到的，這可能引入了復(fù)雜性。在三維問(wèn)題中，這個(gè)工作是更為復(fù)雜的。當(dāng)接觸界面變化時(shí)，網(wǎng)格必須隨著時(shí)間變化。在罰方法中，沒(méi)有必要建立附加的網(wǎng)格。 與罰方法比較，Lagrange乘子法的優(yōu)點(diǎn)是沒(méi)有用戶設(shè)定的參數(shù)，并且當(dāng)節(jié)點(diǎn)相鄰時(shí)，接觸約束幾乎精確得到滿足。當(dāng)節(jié)點(diǎn)不相鄰時(shí)，可能會(huì)稍微的

30、違背不可侵徹性，但是不會(huì)像罰方法那么明顯。然而，對(duì)于高速碰撞，L乘子法常常導(dǎo)致非常不平順的結(jié)果，因此，L乘子法更適合于靜態(tài)和低速接觸問(wèn)題。 485 有限元離散 例10.2 一維接觸-碰撞有限元方程接觸條件 當(dāng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生接觸時(shí)，節(jié)點(diǎn)1的速度必須小于或等于節(jié)點(diǎn)2的速度。如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)速度相等，節(jié)點(diǎn)保持接觸狀態(tài)。運(yùn)動(dòng)方程為： 左端最后一項(xiàng)是在節(jié)點(diǎn)1和2之間由接觸引起的節(jié)點(diǎn)力。這些力大小相等且方向相反，當(dāng)Lagrange乘子為零時(shí)消失。除了在發(fā)生接觸的節(jié)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程與無(wú)約束的有限元方程是一致的。 采用Lagrange乘子法495 有限元離散 對(duì)于取單位面積的對(duì)角化質(zhì)量矩陣，方程可以寫(xiě)成為其中 ，第四個(gè)

31、方程為不可侵徹性條件 其中，kI 為單元 I 的剛度。在無(wú)接觸的裝配剛度矩陣中，即左上角的33矩陣是奇異的，而當(dāng)應(yīng)用附加的接觸界面條件，完整的44矩陣成為非奇異的。通過(guò)組合G矩陣（E10.2.2）與裝配剛度得到關(guān)于小位移彈性靜力學(xué)的方程： 例10.2 一維接觸-碰撞有限元方程505 有限元離散 例10.3 二維問(wèn)題 采用4節(jié)點(diǎn)四邊形單元模擬發(fā)生接觸的兩個(gè)物體。以物體A上邊界坐標(biāo)的形式（單元坐標(biāo)投影到接觸線上）寫(xiě)出在接觸線上的速度場(chǎng)為： 單位法線為其中515 有限元離散 例10.3 二維問(wèn)題由公式（10.5.17）給出矩陣：G矩陣（10.5.19）給出為 由一個(gè)線性場(chǎng)近似Lagrange乘子：

32、上面的矩陣類似于桿的一致質(zhì)量矩陣：在節(jié)點(diǎn)1處的接觸導(dǎo)致在節(jié)點(diǎn)2處的力，反之亦然。接觸節(jié)點(diǎn)力是嚴(yán)格地沿著y方向；由于矩陣的奇數(shù)列為零，所有接觸節(jié)點(diǎn)力的x方向分量為零，接觸界面是無(wú)摩擦的。52 在碰撞接觸中，罰方法發(fā)揮了類似的作用。在Lagrange乘子法中，在接觸界面處發(fā)生碰撞的時(shí)刻，速度在時(shí)間上是不連續(xù)的，如圖所示。這些不連續(xù)性在物體中傳播，并且導(dǎo)致不可忽視的振蕩。罰方法可以考慮作為接觸界面條件的規(guī)則化：它平順了不連續(xù)的速度，并且保持了動(dòng)量守恒。通過(guò)允許兩個(gè)物體的部分重疊，它僅放松了一個(gè)條件，即不可侵徹性條件。這是為了平滑結(jié)果所付出的一個(gè)小的代價(jià)。 5 有限元離散 在規(guī)則化的過(guò)程中，使得難以處理的解答，即由于解答引起的不連續(xù)性或奇異性，經(jīng)過(guò)人為