函數(shù)單調(diào)性教案

1、一、 教學(xué)背景：“函數(shù)的單調(diào)性”是新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué) 1第一章第三節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要的性質(zhì)， 從知識的結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)，解決各種問題中都有著廣泛的應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)：知 識與技能：理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象的關(guān)系。初步掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。過 程與方法：通過觀察、歸納、抽象、概括等形成概念領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。情 感態(tài)度與價值觀：在研究的過程中，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，使學(xué)生勇于提出問題，樂

2、于探索問題，最終解決問題，感受數(shù)學(xué)的魅力。三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念。學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性。四、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇：本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課， 采用教師啟發(fā)講授， 學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法， 通過創(chuàng)設(shè)情境， 引導(dǎo)探究， 師生交流， 最終形成概念，獲得方法 本節(jié)課使用多媒體輔助教學(xué)， 為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識五、教學(xué)過程：.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題圖示是某市一天 24小時內(nèi)的氣溫變化圖，觀察這個氣溫變化圖，iot0/r一一 ， I L 反J， 1 L -1 _I_ J * J_ _ E_ 一 、Q74； 6Z 8 10 12 14 16

3、18 20 22 24 Mh問題1: (1)請同學(xué)們指出該天的氣溫在如何變化？怎樣用數(shù)學(xué)語言 來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？(2)同學(xué)們還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等.學(xué)生活動：獨(dú)立思考教師行為：提問、引導(dǎo)學(xué)生作答設(shè)計(jì)意圖：要想認(rèn)識和理解函數(shù)單調(diào)性這一抽象的定義，必須從幾 何直觀入手，即從函數(shù)圖象入手。這個問題的設(shè)置就是想通過實(shí)際生 活中的一個例子，讓學(xué)生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認(rèn) 識，為下一步對概念的理性認(rèn)識做好鋪墊。同時通過這個實(shí)例，讓學(xué) 生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相關(guān)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的興 趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的

4、好奇心。2抽象思維，概念的形成過程問題2:給同學(xué)們一分鐘的時間畫出函數(shù)Y X 1和Y = X2的圖象，回答下面兩個問題：（ 1） 分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的， 在哪個區(qū)間是下降的？學(xué)生活動：小組合作探求問題的答案教師行為：在問題1 的基礎(chǔ)之上， 通過學(xué)生們熟悉的兩個圖象，進(jìn)一步強(qiáng)化他們對圖象的感性認(rèn)識， 引導(dǎo)學(xué)生能用自然語言描述出圖象的變化規(guī)律，讓學(xué)生大膽去說，教師逐步修正、完善學(xué)生的說法，最后給出正確答案。設(shè)計(jì)意圖： 從數(shù)學(xué)學(xué)科這個整體來看， 數(shù)學(xué)的高度抽象性造就了數(shù)學(xué)的難懂、難教、 難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律，在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入

5、手，從具體開始，逐步抽象。 以同學(xué)們熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)為切入點(diǎn)， 順應(yīng)了同學(xué)們的認(rèn)知規(guī)律，做到了直觀和具體。（ 2）同學(xué)們能根據(jù)初中學(xué)過的知識，用數(shù)學(xué)語言來描述一下“上升”和“下降”的含義嗎？學(xué)生活動： 小組合作探求問題的答案教師行為： 在知識過渡的關(guān)鍵點(diǎn)處， 教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)變量的角度去分析問題，給學(xué)生一定的時間，讓他們通過觀察、思考、探究對問題做出答案。 有條件的情況下， 教師可通過 “幾何畫板” 展示 Y X 1圖象上A點(diǎn)的運(yùn)動情況，讓x學(xué)生觀察x和y值的變化。運(yùn)用初中所 學(xué)知識就能得到結(jié)論：函數(shù)Y X 1在R上隨著x的增大，y也增大。 我們稱這樣的函數(shù)y為增函數(shù)。同理我們把y隨

6、著x的增大而減小的 函數(shù)稱為減函數(shù)。用類比的方法，我們得到：函數(shù)Y = X2在區(qū)間，0上，隨著x的增大，y相應(yīng)的減少。在區(qū)間0, 上，隨著x的增大，y相應(yīng)的增大。 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對圖象的認(rèn)識由感性上升到理性，這是一個難點(diǎn)。如 果能運(yùn)用幾何畫板，就會使問題變得直觀，讓學(xué)生更好的體會數(shù)與形 的完美結(jié)合。問題3:你能推斷y x %圖象的升降趨勢嗎？學(xué)生活動：小組合作、交流教師行為：就學(xué)生目前的認(rèn)知水平，無法得知函數(shù) y x力的圖象， 學(xué)生陷入了困境，在不知圖象的前提下，我們能得知圖象的升降趨勢 嗎？教師把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生大膽猜想?？梢酝葡耄瑢W(xué)們在沒 有圖象的前提之下，會想通過給函數(shù)的自變量取特

7、殊值來說明函數(shù)的 增減性，對學(xué)生的思考的預(yù)想：預(yù)想 1:如當(dāng) x1 0.5時，yi 2.5;當(dāng) x2 1 時，V2 2,顯然 0.52由止匕推斷：當(dāng)x增大時，y隨著減小，會得出結(jié)論函數(shù)在區(qū)間 0, 上為減函數(shù)。預(yù)想 2:如當(dāng) x = 1 時，y1 2;當(dāng) x2=2 時，y2 2.5,顯然 12,2 2.5此推斷：當(dāng)x增大時，y隨著增大，會得出結(jié)論函數(shù)在區(qū)間0, 上 為增函數(shù)。同學(xué)們的猜想對嗎？用“幾何畫板”做出y x月圖象，并及時提問，為什么會出錯？因?yàn)椴荒苡锰厥獾膬蓚€值來判斷。 我們以前學(xué)的概念是描述性定義，怎樣用精確的數(shù)學(xué)語言來定義呢？.給出定義，剖析概念教師提問：1.請大家說說上述定義的

8、“增大”是什么意思？（比較）比較至少是幾個量之間？（兩個）怎樣取這兩個量？取特殊值可以嗎？（不可以，必需取遍整個區(qū)間的所有值）能做到一一全部都取出來嗎？（不能，任意取”和X2） 引導(dǎo)學(xué)生寫出單調(diào)性的嚴(yán)格定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮 ,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上 的任意兩個自變量的值Xi和X2,當(dāng)XiX2時，都有f(xj f(X2)，那么 就說函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D稱為函數(shù)f(X)的單調(diào)增區(qū) 間。如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值Xi和X2, 當(dāng)Xif(X2),那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是減 函數(shù)，D稱為函數(shù)f(X)的單調(diào)減區(qū)間。圖象的變化趨勢為:圖3

9、圖4對定義的分析：(1)區(qū)間：函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)(2)任意：Xi和X2具有任意性，不能用特殊值代替。(3)函數(shù)的單調(diào)性與Xi,X2的誰大誰小無關(guān)，表現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的一種趨勢設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)的單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過 程，在這個過程中，留給學(xué)生思維的時間和空間，在課堂上隨學(xué)生的思路的變化而變化，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的探究能力.范例講解，運(yùn)用概念例1如圖，是定義在閉區(qū)間卜5 , 5上的函數(shù)y f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是y f(x)是函數(shù)還是減函數(shù)？學(xué)生活動：獨(dú)立思考教

10、師行為：直接提問設(shè)計(jì)意圖：心理學(xué)認(rèn)為概念一旦形成，必須及時加以鞏固.設(shè)計(jì)例1, 通過直觀的的圖象加深學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性等概念的理解.注意：函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于 它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào) 性問題，同時，在區(qū)間的端點(diǎn)處若有定義，可開可閉，但在整個定義 域內(nèi)要完整。例2判斷函數(shù)f(x)=x2在(0,)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明結(jié)論.學(xué)生活動：獨(dú)立思考教師行為：直接提問證明：設(shè)任意的Xi,X2(0,)且與乂2,則22/、/、f(Xi) f(X2) Xi X2 (Xi X2)(Xi X2)由 Xi X2,得 Xi X2 0于是 f(X

11、1) f (x2) 0 即 f(X1) f (x2)所以，f(x)=x2ft (0,)上是增函數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生從簡單的函數(shù)入手，體會用定義證明函數(shù)單調(diào)性的 方法，有助于學(xué)生的理解。例3物理學(xué)中的玻意耳定律p % (k是正常數(shù))告訴我們，對于一 定量的氣體，當(dāng)體積V減小時壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)單調(diào)性證明之.學(xué)生活動：獨(dú)立思考 教師行為：提問：1. p %是函數(shù)嗎？.你能畫出p %的圖像嗎?. p/是否具有單調(diào)性，請猜想.證明你的猜想.證明：設(shè)任意的Vi，V2(0,)且 V1 v2Pi p2k v2viv1V2因?yàn)関1 v2 ,則v1v2 0 因?yàn)閗0所以kv2 Vi 0ViV2即R P2所以

12、體積V減小，壓強(qiáng)P將增大.設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)方法證明物理學(xué)中的一個定理， 體現(xiàn)了學(xué)科之間的 整合，突出了函數(shù)單調(diào)性的重要性。沒有按照傳統(tǒng)的證明函數(shù)單調(diào)性 的“四步曲”，而是設(shè)置了四個問題，盡可能的讓學(xué)生去思考，這樣 不僅可以提高學(xué)生探究問題的能力，還可以加深學(xué)生對定義的理解.總結(jié)：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：任意取值：即設(shè)該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值 X1和X2 ,且x2 作差變形：作差f(Xi) f(X2)(因式分解、配方、有理式等)判斷定號：確定f(Xi) f(X2)的符號得出結(jié)論：根據(jù)定義作出結(jié)論.歸納小結(jié)，鞏固新知?dú)w納小結(jié)是鞏固新知不可或缺的環(huán)節(jié)之一，這個環(huán)節(jié)對培養(yǎng)學(xué)生 的歸納概括能力、自我獲

13、取知識的能力是十分重要的。 本節(jié)課我們采 用了探究的方法來研究函數(shù)單調(diào)性的概念，從幾何直觀入手，最終抽象出概念，希望同學(xué)們能夠?qū)W會這種探究問題的方式。對于函數(shù)單調(diào) 性的應(yīng)用，學(xué)習(xí)中要注意證明單調(diào)性的過程、步驟和格式。感受數(shù)學(xué) 與實(shí)際相結(jié)合，體會數(shù)學(xué)的魅力，注重?cái)?shù)與形的和諧美。.布置作業(yè)，提高升華必做題：1.舉一個實(shí)際生活中的例子，說明函數(shù)在定義域上是減函數(shù).2.書后32頁第4題，39頁第1、2題選作題：探究函數(shù)的單調(diào)性；探究一次函數(shù)y kx b和2,二次函數(shù)y ax bx c及反比例函數(shù)y %的單調(diào)性。設(shè)計(jì)意圖：基于函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容的特點(diǎn)及學(xué)生實(shí)際， 對課后書面作業(yè) 實(shí)施分層設(shè)置，安排基本練習(xí)題和深化探究題.學(xué)生完成作業(yè)的形式 為必做、選做兩種.設(shè)置必做題的目的是鞏固本節(jié)課應(yīng)知應(yīng)會的內(nèi)容， 面向全體學(xué)生，人人必須完成。設(shè)置選做題的目的是為了提升能力， 發(fā)展智力，選做題難度稍大一些，要求學(xué)生根據(jù)個人的實(shí)際情況盡力 完成，對學(xué)有余力的尖子生要求他們要完成， 讓每一個學(xué)生都得到符 合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣.六、教學(xué)評價學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果評價當(dāng)然重要，但是更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的過程 評價.教師應(yīng)當(dāng)高度重視