自動(dòng)控制原理課件第七講

1、基本要求1.掌握根軌跡的定義，根軌跡方程、幅值條件和相角條件；2.掌握根軌跡的繪則，掌握采用繪制根軌跡的方法；能根據(jù)根軌跡定性分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的規(guī)律。3.二階系統(tǒng)性能取決于？R(s)C(s)+_12 e3100%Mpt 5 wsn 2ns(s 2 n )控制系統(tǒng)的性質(zhì)，取決于其閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)位置jjdS1nS平面0-nS24.1根軌跡法的基本概念引例:Kg開環(huán)傳遞函數(shù)：G0 (s) s(s 1)w2ns(s 2 wn )閉環(huán)傳遞函數(shù)：Gc (s) s2Kgs K參數(shù)變化時(shí)？g閉環(huán)特征方程：s K 0s2g閉環(huán)特征根： 1 11 4Ks1,2g22R(s)Kg/s(s+1)C(s)

2、-欠阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)序號(hào)123456Kg00.10.250.5s10-0.113-0.5-0.5+j0.5-0.5+js2-1-0.887-0.5-0.5-j0.5-0.5-jKg:0 根軌跡圖根軌跡起點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)根軌跡與系統(tǒng)性能開環(huán)極點(diǎn)左半平面，穩(wěn)定在坐標(biāo)原點(diǎn)有一極點(diǎn),屬I型系統(tǒng)Kg僅與開環(huán)增益有一個(gè)系數(shù)差0k0.25過阻尼臨界阻尼欠阻尼,實(shí)部不變,調(diào)節(jié)時(shí)間基本不變,但超調(diào)增加3.動(dòng)態(tài)性能2.穩(wěn)態(tài)性能1.穩(wěn)定性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)(例如參數(shù)Kg)連續(xù)變化時(shí)， 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在s平面上變化的軌跡稱為根軌跡。思考：如何畫根軌跡？控制系統(tǒng)的根軌跡定義根軌跡方程開環(huán)傳遞函數(shù)

3、G0 (s) G(s)H (s)閉環(huán)傳遞函數(shù)G (s) C(s) G(s)c1 G (s)R(s)o開環(huán)傳遞函數(shù)ZPK模型m(s z j )j 1G (s) Kogn(s pi )i1思考:與開環(huán)增益區(qū)別?歸一化m(1 k j s)j 1G (s) Koon(1 pi s)i1S=0m=0?m z jj 1 KKogn pi零值極點(diǎn)？i 11 G0 (s) 0G0 (s) 1根軌跡方程m(s z j )j 1 1Kgn(s pi )i1幅值方程m(s z j )j 1充分必要條件 1K幅角方程gn(s pi )i 1s sgmn (s z) (s pi )jj 1i 1s sg 1800 (2

4、k 1), k 0,1,2,.4.2繪制根軌跡圖的則1根軌跡的連續(xù)性法則1：在s平面上的根軌跡是連續(xù)的。2根軌跡的對(duì)稱性法則2：在s平面上的根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。3根軌跡的分支數(shù)法則3：根軌跡的分支數(shù)與系統(tǒng)的階數(shù)相等。4根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)幅值方程nm(s pi ) Kg(s z j ) 0i1j 1Kg 0s=-pi根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)Kg=0是根軌跡的起點(diǎn)幅值方程1nm.(s pi ) (s z j ) 0Ki1j 1gKg s Z j剩余根軌跡的？m條根軌跡終止于系統(tǒng)的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)根軌跡終止于系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)Kg是根軌跡的終點(diǎn)m(s z)1jj 1nK(s

5、 pi )gi11limKg 0Kgm(s z j )sm1snmj 1 lim lim 0limnsnsss(s pi )i1s z jm條根軌跡終止于系統(tǒng)的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處5根軌跡的漸近線法則5：當(dāng)nm時(shí)，有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為 、交點(diǎn)為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處 180 ( 2k 1 )0,k 0,1,2.,n m 1n mnm pi z ja1j 1 n mn mKg例4-2開環(huán)傳遞函數(shù)為：G (s) 0s(s 1)(s 5)確定根軌跡的支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。無窮遠(yuǎn)處漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。解：具有3條根軌跡起點(diǎn)分別在-p

6、1=0,-p2=-1和-p3=-5由于m=0，終點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處3 pi i1 2 n m 180 (2k 1) 180 (2k 1)00n m當(dāng)k=0時(shí)， 3 603，當(dāng)k=1時(shí)， 2 180 ，k=2, 3 3006根軌跡在實(shí)軸上的分布法則六：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。Im實(shí)驗(yàn)點(diǎn)p1sp1 0 s1z1 0Rep2p2mn充分必要條件：i 1s zi j 1s pj 180 (2k 1)例4-3開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Kg (s 0.5)G (s) 0試求實(shí)軸上的根軌跡。解：s2 (s 1)(s 1.5)(s 4)分離點(diǎn)7根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

7、根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)法則七：如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則這兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)(無窮遠(yuǎn)零點(diǎn))之間有根軌跡，則這兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)位置的計(jì)算m(s z j )重根法N (s)j 1G (s) K K0ggnD(s)(s pi )i1F(s) D(s) Kg N(s) 0F(s) D(s) Kg N(s) 0解一定是分離點(diǎn)？N(s)D(s) N(s)D(s) 0Kg (s 1)例4-4反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s) 0(s 0.1)(s 0.5)試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和

8、會(huì)合點(diǎn)的位置解：由實(shí)軸根軌跡的判別，實(shí)軸上根軌跡位于-0.5,-0.1和(-，-1區(qū)間。由實(shí)軸分離點(diǎn)的判別，在-0.5,-0.1區(qū)間有一個(gè)分離點(diǎn)，在(-，-1區(qū)間有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。N (s) (s 1)D(s) (s 0.1)(s 0.5) s2 0.6s 0.05N(s)D(s) N(s)D(s) 0s1 1 0.67 1.67；s2 1 0.67 0.33會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)8根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開S平面上共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出發(fā)角mn 180 (2k 1) xcjij1i1 i x入射角：根軌跡趨于S平面上共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)的終止角mn 180 (2k 1) yrjij1 j yi1根軌跡與虛

9、軸的交點(diǎn)9法則9：若根軌跡與虛軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)的值及相應(yīng)的Kg值，可在閉環(huán)特征方程中令s=j，然后分別令其實(shí)部和虛部為零求得；也可由判據(jù)求得根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)Kg稱為臨界根軌跡增益，用Kgp表示。KgG (s) 例4-6開環(huán)傳遞函數(shù)為0s(s 1)(s 2)求根軌跡和虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界開環(huán)增益。 3s2 2s K 0s3解：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為g( j)3 3( j)2 2 j K 0令s=j 0gp起點(diǎn) 0 62KgpKgp j 2臨界根軌跡增益根軌跡和虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)m z j1j 1 K 6 * 3Kop gp n1* 2 pii 1法則1:根軌跡是連續(xù)的法

10、則2:根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱法則3:根軌跡分支數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)相等法則4:根軌跡起于系統(tǒng)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn),終止于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(m個(gè)有限零點(diǎn),n-m個(gè)無限零點(diǎn)）法則五:nm時(shí),有n-m條根軌跡沿著與實(shí)軸交角為 、交點(diǎn)為 的一組漸近線趨于s平面的無窮遠(yuǎn)處根軌跡繪則總結(jié)法則六：實(shí)軸上根軌跡法則七：根軌跡回合點(diǎn)和分離點(diǎn)法則八：根軌跡的出射角和入射角法則九：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡繪則總結(jié)4.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制Kg (s 2)G (s) 例4-8 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為os(s 3)(s2 2s 2)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：繪制根軌跡圖的步驟如下：( 1 ) 求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為1j。( 2 ) 根

11、軌跡共有4條，起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)0， 3，-1 j，一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)2，其余三條終止于無窮遠(yuǎn)處。4.6 利用繪制系統(tǒng)的根軌跡rlocus(num,den)該函數(shù)可以在復(fù)平面里繪制出Q(s)=1+k*num(s)den(s)=0閉環(huán)特征方程的根軌跡，增益k自動(dòng)變化。rlocfind（num,den）該函數(shù)命令可計(jì)算出與根軌跡上極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。KgG (s) 例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)os(s 3)(s2 2s 2)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)Kg的范圍。num=0,1den=conv(1,0,conv(1,3,1,2,2)%繪制系統(tǒng)根軌跡rlocus(num,den);k,p=rl

12、ocfind(num,den) %求系統(tǒng)根軌跡增益sgridnumc,denc=cloop(k*num,den) %計(jì)算figure(2);反饋函數(shù)%step(numc,denc);階躍響應(yīng)第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡法分析系統(tǒng)性能的最大優(yōu)點(diǎn)就是可以直觀地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于恰當(dāng)?shù)奈恢茫@得理想的系統(tǒng)性能穩(wěn)定性分析。動(dòng)態(tài)性能分析（閉環(huán)零極點(diǎn)位置）穩(wěn)態(tài)性能分析（積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，增益）根軌跡分析步驟1.2.3.畫出系統(tǒng)的根軌跡圖在根軌跡上確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布分析系統(tǒng)的性能典型二階系

13、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2Go (s) ns(s 2 n )當(dāng)變化時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡如圖閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 js1,2 jn1 2n arccos 為阻尼角調(diào)節(jié)時(shí)間要求超調(diào)量要求21 e3100%Mp arccos t sn利用這一關(guān)系還可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)要求確定開環(huán)系統(tǒng)的增益或其它參數(shù)。高階系統(tǒng)怎么分析？利用閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)化簡(jiǎn)為二階，同樣處理KgG (s) 例4-13(P148)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)os(s 4)(s 6)階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量Mp 18%，試確定開環(huán)增益Ko。若要求閉環(huán)系統(tǒng)解：繪制Kg由0變化到時(shí)系統(tǒng)的根軌跡關(guān)系曲線Mp 18%60做圖幅值方程 1.2 sA,Bj2.1

14、Kg OA CA DA 43.8 44KgK 1.83o4 6根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)和的關(guān)系(p132(4-31)式), 可求得s3=7.6，(A,B)為主導(dǎo)極點(diǎn)思考？如果區(qū)域內(nèi)沒有滿足要求的根軌跡，或者在實(shí)現(xiàn)時(shí)因?yàn)槲锢淼牡仍蚨鵁o法應(yīng)用時(shí)，怎么辦？考慮根軌跡校正，改變根規(guī)跡形狀！1增加開環(huán)極點(diǎn)在系統(tǒng)中增加開環(huán)極點(diǎn)，會(huì)使系統(tǒng)根軌跡向右彎曲和推移。并且當(dāng)增加的極點(diǎn)越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，根軌跡的右移越明顯。增加極點(diǎn)后會(huì)使系統(tǒng)根軌跡向s右半平面方向移動(dòng)，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)根軌跡如下圖a所示。KgW (s) ( p 0)K1s(s p )1若系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)槠湎鄳?yīng)的根軌跡如下圖b所示。KgW (s) ( p p )K21s(s p )(s p)12開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響2增加開環(huán)零點(diǎn)例4-12設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KgKKW (s) ( p p )K21s(T s 1)(T s 1)s(s p )(s p)1212如果在系統(tǒng)中增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)镵g (s z)W (s) Ks(s p )(s p )