中考幾何綜合變換旋轉(zhuǎn)翻折對(duì)稱

1、中考幾何綜合變換一折疊類問題折疊問題的思考方式： 折疊問題會(huì)出現(xiàn)在特殊三角形， 平行四邊形，矩形以及正方形中，一般在矩形和正方形中出現(xiàn)較多。當(dāng)折疊圖形有直角時(shí)，一定并且可以構(gòu)造出一線三等角模型，通過相似和全等來(lái)尋找線段之間的關(guān)系從而求解。折疊問題一定會(huì)伴隨著勾股定理出現(xiàn)，如果求線段長(zhǎng)， 可以設(shè)線段為x ，通過折疊前后圖形全等，在一個(gè)rt 中利用勾股定理建立方程思想， 從而求解。 如果復(fù)雜， 需要用到上面說(shuō)的一線三等角來(lái)轉(zhuǎn)化線段，進(jìn)而利用勾股定理。利用對(duì)稱的性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所形成的線段一定被折痕垂直平分，可以通過此性質(zhì)，延伸出多種做題方式1）利用垂直，以及正方形，矩形中的垂直，構(gòu)造雙垂直模型，

2、即射影定理，母子相似2）利用中點(diǎn)，可以構(gòu)造中位線，用中位線定理3）利用中垂線的性質(zhì)： 中垂線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。4.注：如果題目中出現(xiàn)對(duì)稱的字眼，其本質(zhì)也是折疊。1.如圖，矩形 ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將 BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F 處，過點(diǎn)F作FG / CD交BE于點(diǎn)G,連接CG .（ 1 ）求證：四邊形CEFG 是菱形；（2）若AB = 6, AD =10,求四邊形 CEFG的面積.2.如圖，在正方形 ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，（與D、C不重合），連接 AE,將 ADE 沿AE所在的直線折疊得到 AFE ,延長(zhǎng)EF交BC于G,連接AG,作GH XAG,與AE

3、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) H,連接CH.顯然AE是/ DAF的平分線，EA是/ DEF的平分線.仔 細(xì)觀察，請(qǐng)逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于180。的角平分線），并說(shuō)明理由.工旋轉(zhuǎn)類旋轉(zhuǎn)類題目一般伴隨著手拉手模型和半角模型，在我之前的資料中有半角模型的收錄。.其第一問通常是證明三角形全等，給出特殊條件，如旋轉(zhuǎn)角為30 60 90.其第二問一般是將特殊條件取消，證明三角形相似，證明過程和1 一樣，都是手拉手sas.其第三問往往是最難得題型，可以問當(dāng)。oo共線時(shí)，求出線段 長(zhǎng)，一般是利用1.2中所證明的結(jié)論，然后在此基礎(chǔ)上增加三角 形的相似來(lái)求解。.注：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于180時(shí)，注意分類討論，一般是求得

4、兩角互 補(bǔ)，線段參數(shù)互為相反數(shù)。.如圖， ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/BAC = / DAE = 90(1)如圖1,連接BE, CD, BE的廷長(zhǎng)線交 AC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)P,求證：BPXCD(2)如圖2,把 ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D落在AB上時(shí)，連接 BE, CD, CD 的延長(zhǎng)線交 BE于點(diǎn)P,若BC = 642 AD =3,求 PDE的面積.如圖1,菱形ABCD的頂點(diǎn)A, D在直線上，/ BAD = 60 ,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將菱形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0 V “V 30 ),得到菱形AB C D , B C交對(duì)角線 AC 于點(diǎn)M, C D交直線l于點(diǎn)N,連

5、接MN.(1)當(dāng)MN / B D時(shí)，求a的大小.(2)如圖2,對(duì)角線B D交AC于點(diǎn)H,交直線l與點(diǎn)G,延長(zhǎng)C B交AB于點(diǎn)E, 連接EH .當(dāng)AHEB的周長(zhǎng)為2時(shí)，求菱形 ABCD的周長(zhǎng).【問題探究】(1)如圖1, ABC和 DEC均為等腰直角三角形，/ ACB = /DCE=90 ,點(diǎn)B, D,E在同一直線上，連接 AD, BD.請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系： ;若AC=BC=，T5, DC = CE = V2,則線段AD的長(zhǎng)為;【拓展延伸】(2)如圖 2, 4ABC 和 4DEC 均為直角三角形，/ ACB = Z DCE = 90 , AC=Jf ,BC=W, CD =、/1, CE

6、=1.將 DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角/ BCD為a (0 “V 360 ),作直線 BD,連接AD,當(dāng)點(diǎn)B, D, E在同一直線上時(shí)，畫出圖 形，并求線段AD的長(zhǎng).4. (1)如圖1,菱形AEGH的頂點(diǎn)E、H在菱形ABCD的邊上，且/BAD=60,請(qǐng)直接寫出 HD ： GC ： EB的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)(2)將圖1中的菱形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖 2,求HD : GC: EB;(3)把圖2中的菱形都換成矩形，如圖 3,且AD： AB=AH： AE=1 ： 2,此時(shí)HD： GC： EB 的結(jié)果與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果(不必寫計(jì) 算

7、過程)；若無(wú)變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：折疊：1【分析】(1)根據(jù)題意和翻著的性質(zhì)，可以得到BCEBFE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法即可證明結(jié)論成立；(2)根據(jù)題意和勾股定理，可以求得 AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得 EF和DF的值，從而可以得 到四邊形CEFG的面積.【解答】(1)證明：由題意可得， BCEA BFE ,./ BEC=Z BEF, FE=CE, FG II CE,./ FGE = / CEB,./ FGE = Z FEG,FG= FE,FG= EC,四邊形CEFG是平行四邊形，又 CE=FE,四邊形CEFG是菱形；(2) .矩形 ABCD 中，AB = 6, AD=10, BC=

8、BF,，/BAF = 90 , AD=BC=BF=10,AF=8,DF= 2,設(shè) EF = x,貝U CE=x, DE = 6- x, FDE = 90 ,22+ (6-x) 2=x2,解得，x=1，20CE =竽 ，四邊形 CEFG的面積是：CE?DF=!2x2=2IL【點(diǎn)評(píng)】 本題考查翻折變化、菱形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確 題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.2【分析】過點(diǎn)H作HNXBM于N,利用正方形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明 ABG AFG,可推出 AG是/ BAF的平分線，GA是/ BGF的平分線；證明 ABGA GNH , 推出HN = CN

9、,得到/ DCH=/NCH,推出CH是/DCN的平分線；再證/ HGN = Z EGH , 可知GH是/ EGM的平分線.【解答】解：過點(diǎn)H作HNXBM于N ,則/ HNC= 90 ,四邊形ABCD為正方形，.AD=AB=BC, Z D = Z DAB = Z B=Z DCB = Z DCM =90 ,將 ADE沿AE所在的直線折疊得到 AFE, adea afe,./ D=/AFE=/ AFG = 90 , AD=AF, /DAE = /FAE,AF = AB,又 AG = AG, RtAABGRtAAFG (HL),./ BAG=/ FAG, /AGB = /AGF,AG是/ BAF的平分

10、線，GA是/ BGF的平分線；由知，/dae = /fae, /bag = /fag,又/ BAD = 90 ,/ GAF+/EAF= X 90 =45 ,2即/ GAH= 45 ,.GHXAG,Z GHA= 90 - Z GAH = 45 ,.A AGH為等腰直角三角形，AG= GH,. Z AGB+Z BAG = 90 , / AGB+/ HGN = 90 ,BAG=Z NGH,又/ B = /HNG =90 , AG = GH,.A ABGA GNH (AAS),BG= NH, AB=GN,BC= GN, BC- CG = GN - CG,BG= CN,.CN= HN,/ DCM =90

11、 ,.Z NCH = Z NHC= X 900 =45 , 2|.Z DCH =Z DCM - Z NCH = 45 ,./ DCH =Z NCH ,.CH是/ DCN的平分線；(D / AGB+Z HGN = 90 , Z AGF + Z EGH=90 ,由知，Z AGB = Z AGF ,./ HGN = Z EGH ,.GH是/ EGM的平分線；綜上所述，AG是/ BAF的平分線，GA是/ BGF的平分線，CH是/ DCN的平分線，GH 是/ EGM的平分線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題 關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)及全等的判定方法.旋轉(zhuǎn)

12、：1【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 AD=AE, AB = AC, / BAC - / EAF = / EAD - Z EAF ,求得/ BAE=Z DAC ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ ABE= / ACD ,根據(jù) 余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ ABE = /ACD, BE=CD,求得/ EPD = 90 ,得到 DE = 3, AB= 6,求得BD = 6 - 3= 3, CD = JaD+AC 2= 3后，根據(jù)相似三角形的性 質(zhì)得到pd = WE, pb= &而根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.55【解答】解：(1) ABC和 ADE是有公共頂點(diǎn)的

13、等腰直角三角形，/ BAC=/DAE = 90 .AD=AE, AB = AC, Z BAC - Z EAF = Z EAD - Z EAF ,即/ BAE=Z DAC ,坪二AC在 ABE 與 ADC 中，ZBAE=ZCM), bAE=ADABEAADC (SAS),./ ABE =/ ACD ,. /ABE+/AFB = /ABE+/CFP= 90 ,./ CPF =90 , BPXCD;(2)在 ABE 與acd 中，/EAB=/CABf , AB二ACABEAACD (SAS),./ ABE =Z ACD , BE=CD,. / PDB = Z ADC,./ BPD = Z CAB =

14、 90 ,./ EPD=90 ,BC= 6厄,AD=3,.DE=3我，AB=6,BD =6-3=3, CD = JaD2 +AC2=3/ BDPA CDA,BD = PD = PBCD AD AC,3 =PD=PB 35 36 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì), 勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2【分析】(1)證明AB MAADf N (SAS),推出/ B AM = / D AN ,即可解決問 題.(2)證明 AEB ZAGD ( AAS),推出 EB = GD , AE=AG,再證明 AHE AHG (SAS),推

15、出EH = GH,推出B D = 2,即可解決問題.【解答】解：(1)二.四邊形AB C D是菱形，.AB = B C = C D = AD,/ B AD =/ B C D = 60 ,.AB D , B C D是等邊三角形， MN / B C ,./C MN = /C B D =60 , /CNM=/C D B =60 ,.C MN是等邊三角形，,.C M = C N,MB = ND,. /AB M = /AD N=120 , AB = AD,. .AB MAD N (SAS),. B AM = / D AN,. / CAD = Z BAD = 30 ,2- a= 15 .(2)/ C B

16、D = 60 ,./ EB G= 120 ,. / EAG = 60 ,./ EAG+/ EB G= 180 ,四邊形EAGB四點(diǎn)共圓，./ AEB =Z AGD,. / EAB =Z GAD , AB =AD,.AEB AGD ( AAS),EB = GD , AE=AG,. AH= AH, / HAE =Z HAG ,AHEA AHG (SAS),EH= GH,. EHB的周長(zhǎng)為 2,.EH + EB +HB =B H+HG+GD = B D =2,AB = AB=2,菱形ABCD的周長(zhǎng)為8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

17、形解決問題，屬于中考?？?【解答】解：【問題探究】. ABC和 DEC均為等腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD, Z ABC = Z DEC = 45 =Z CDE. / ACB=Z DCE=90 ,./ACD = / BCE,且 AC=BC, CE=CDACDA BCE (SAS)./ ADC = Z BEC =45./ ADE = Z ADC+ZCDE=90AD BD故答案為：AD1BD 如圖，過點(diǎn) C作CFLAD于點(diǎn)F,. ZADC=45 , CF AD, CD =a/oDF= CF= 12-cf2=3AD = AF+DF = 4故答案為：4【拓展延伸】(2)若點(diǎn)D在BC右側(cè)，如圖

18、，過點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)F,. Z ACB=Z DCE=90 , AC =V21, BC = , CD W3, CE=1.Z ACD = Z BCE, CEACDA BCE./ ADC = Z BEC,. CD= /3, CE=1-1-de=7dc2+ce2=2. Z ADC = Z BEC, Z DCE = Z CFD = 90. DCEA CFD,. DE DC_ DCCF_DF即一 7s-CF - DF.CF = _1, DF=J.,AF = HkZ-CF2=AD = DF+AF = 3/3若點(diǎn)D在BC左側(cè)，B. / ACB=Z DCE=90 ./ ACD = Z BCE,AC CD,A

19、C =V2i|, BC =行，CD =73, CE=1.ACDA BCE./ ADC = Z BEC,./ CED = Z CDF-CD =|/3, CE=1-DE = VljC2+CE2=2. / CED = Z CDF, / DCE = Z CFD = 90. DCEA CFD,DE _DC _CEDC -CF -DF.AD= AF - DF =2s/34【答案】解：(1)連接AG,.菱形AEGH的頂點(diǎn)E、H在菱形ABCD的邊上，且/BAD=60 /.zGAE=dCAB=30 , AE=AH , AB=AD,. A, G, C 共線,AB-AE=AD-AH,.HD=EB,延長(zhǎng)HG交BC于點(diǎn)M,延長(zhǎng)EG交DC于點(diǎn)N,連接MN,交GC于點(diǎn)O,則GMCN也為 菱形，. GOIN , ZNGO=/AGE=30 ,*=cos30 =. GC=2OG,GM jisc-療HGND為平行四邊形， .HD-GN,. HD： GC： EB-1 ： 0. 1.(2)如圖2,連接AG, AC,&DC和 UHG都是等腰三角形, . AD: AC-AH: AG-1 : 0 ZDAC-ZHAG-30 ,.zDAH-ZCAG