21-22版 全稱量詞與存在量詞

1、1.5.1全稱量詞與存在量詞第一章1.5全稱量詞與存在量詞1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.3.會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷 它們的真假.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，生活中，我們經(jīng)常聽(tīng)到“全體起立，所有人到操場(chǎng)集合，”也有“南使孤帆遠(yuǎn)，東風(fēng)任意吹”這種體現(xiàn)出任意的句子的詩(shī)情畫(huà)意；我們還經(jīng)常聽(tīng)到“有的同學(xué)考上了清華大學(xué)，有的同學(xué)沒(méi)有交作業(yè)，”還有“我該如何存在”這種拷問(wèn)心靈的歌詞.而這里出現(xiàn)了一些在我們數(shù)學(xué)中非常重要的量詞，“全體，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我們就對(duì)含有這些量詞的命題展開(kāi)討論.導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、全稱量詞與全

2、稱量詞命題二、存在量詞與存在量詞命題三、依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍內(nèi)容索引一、全稱量詞與全稱量詞命題問(wèn)題1下列語(yǔ)句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？(1)x3；(2)2x1是整數(shù)；(3)對(duì)所有的xR，x3；(4)對(duì)任意一個(gè)xZ,2x1是整數(shù).提示語(yǔ)句(1)(2)中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無(wú)法判斷它們的真假，所以它們不是命題.語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語(yǔ)句，因此語(yǔ)句(3)(4)是命題.知識(shí)梳理全稱量詞與全

3、稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)表示_全稱量詞命題含有的命題形式“對(duì)M中一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“xM，p(x)”全稱量詞任意注意點(diǎn)：(1)從集合的觀點(diǎn)看全稱量詞命題是陳述某集合中的所有的元素都具有某種性質(zhì)的命題，全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的，也可能是無(wú)限的，由題目而定；(2)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)充出來(lái)，例如：命題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形的對(duì)角線都互相平分”；(3)要判定全稱量詞命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立；(4)要判定全稱量詞命題“xM，p(

4、x)”是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.例1判斷下列命題是否為全稱量詞命題并判斷真假.(1)對(duì)任意直角三角形的兩銳角A，B，都有sin Acos B；解含有全稱量詞“任意”，故是全稱量詞命題.真命題；(2)自然數(shù)的平方大于或等于零；解全稱量詞命題.表示為nN，n20.真命題；(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口都向上.解全稱量詞命題.對(duì)于任意二次函數(shù)，它的圖象的開(kāi)口都向上.假命題.反思感悟(1)判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題，主要看命題中是否有“所有的，任意一個(gè)，一切，每一個(gè)，任給”等表示全體的量詞，有些命題的全稱量詞是隱藏的，要仔細(xì)辨別.(2)判斷真假時(shí)用直接法或間接法，直接法就是對(duì)陳述的集合中每

5、一個(gè)元素都要使結(jié)論成立，間接法就是找到一個(gè)元素使結(jié)論不成立即可.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列全稱量詞命題的真假.(1)每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360；解真命題；(2)任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；解負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，假命題；(3)xy|y是無(wú)理數(shù)，x2是無(wú)理數(shù).解x 是無(wú)理數(shù)，但x22是有理數(shù)，假命題.二、存在量詞與存在量詞命題問(wèn)題2下列語(yǔ)句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個(gè)xR，使2x13；(4)至少有一個(gè)xZ，x能被2和3整除.提示容易判斷，(1)(2)不是命題.語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取

6、值進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的陳述句，因此(3)(4)是命題.知識(shí)梳理存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)，有些、有的符號(hào)表示_存在量詞命題含有的命題形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”存在量詞xM，p(x)注意點(diǎn)：(1)從集合的角度看，存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個(gè)元素具有某種性質(zhì)的命題；(2)有些命題可能沒(méi)有寫(xiě)出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題；(3)要判斷存在量詞命題“xM，p(x)”是真命題，只需要在集合

7、M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可；(4)要判斷一個(gè)存在量詞命題是假命題，需對(duì)集合M中的任意一個(gè)元素x，證明p(x)都不成立.例2判斷下列命題是否為存在量詞命題，并判斷真假.(1)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；解存在量詞命題，表示為xZ，x既能被2整除，又能被3整除.真命題.(2)某個(gè)四邊形不是平行四邊形；解存在量詞命題，表示為xy|y是四邊形，x不是平行四邊形.真命題.(3)方程3x2y10有整數(shù)解；解可改寫(xiě)為存在一對(duì)整數(shù)x，y，使3x2y10成立.故為存在量詞命題.真命題.(4)有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x22x40.解存在量詞命題，由于2244120，因此方程無(wú)實(shí)根.假命題.反思感悟(1

8、)判斷一個(gè)命題是否為存在量詞命題，主要看命題中是否有“存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有些，有一個(gè)，對(duì)某些，有的”等表示部分的量詞，有些命題的存在量詞是隱藏的，要仔細(xì)辨別.(2)判斷真假時(shí)用直接法或間接法，直接法就是對(duì)陳述的集合中有一個(gè)元素使結(jié)論成立即可，間接法就是對(duì)集合中所有的元素使結(jié)論不成立.跟蹤訓(xùn)練2判斷下列存在量詞命題的真假.(1)存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直；解菱形的對(duì)角線互相垂直，真命題；(2)至少有一個(gè)整數(shù)n，使得n2n為奇數(shù)；解n2nn(n1)，故n和n1必為一奇一偶，其乘積為偶數(shù)，假命題；(3)xy|y是無(wú)理數(shù)，x2是無(wú)理數(shù).解當(dāng)x時(shí)，x2仍是無(wú)理數(shù)，真命題.三、依據(jù)含量詞命

9、題的真假求參數(shù)的取值范圍例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命題p：“xB，xA”是真命題，求m的取值范圍.解由于命題p：“xB，xA”是真命題，解得2m3.即m的取值范圍為m|2m3.延伸探究1.把本例中命題p改為“xA，xB”，求m的取值范圍.解p為真，則AB，因?yàn)锽，所以m2.解得2m4.2.把本例中的命題p改為“xA，xB”，是否存在實(shí)數(shù)m，使命題p是真命題？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解由于命題p：“xA，xB”是真命題，所以不存在實(shí)數(shù)m，使命題p是真命題.反思感悟依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的求解方法(1)首先根據(jù)全稱量詞和存在量詞

10、的含義透徹地理解題意.(2)其次根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3若命題“xR，x24xa0”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解命題“xR，x24xa0”為真命題，方程x24xa0存在實(shí)數(shù)根，則(4)24a0，解得a4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a4.1.知識(shí)清單：(1)全稱量詞命題、存在量詞命題的概念.(2)含量詞的命題的真假判斷.(3)依據(jù)含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍.2.方法歸納：定義法、轉(zhuǎn)化法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：有些命題省略了量詞，全稱量詞命題強(qiáng)調(diào)“整體、全部”，存在量詞命題強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”

11、.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列命題是全稱量詞命題的是A.任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)B.有的菱形是正方形C.梯形有兩邊平行D.xR，x2101234解析選項(xiàng)A中的命題含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題，選項(xiàng)C中，“梯形有兩邊平行”是全稱量詞命題.12342.下列命題中是存在量詞命題的是A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B.任意一個(gè)負(fù)數(shù)都比零小C.每一個(gè)正方形都是矩形D.一定存在沒(méi)有最大值的二次函數(shù)解析D選項(xiàng)是存在量詞命題.12343.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是A.每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向上B.存在一條直線與已知直線不平行C.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，若ab0，則abD.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使

12、等式x22x10成立解析B，D是存在量詞命題，故應(yīng)排除；對(duì)于A，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象開(kāi)口向下，也應(yīng)排除，故應(yīng)選C.12344.命題p：xR，x22x50是_(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是_命題(填“真”或“假”).解析命題p是存在量詞命題，因?yàn)榉匠蘹22x50的判別式22453”的另一種表述方式的是A.有一個(gè)xR，使得x23B.對(duì)有些xR，使得x23C.任選一個(gè)xR，使得x23D.至少有一個(gè)xR，使得x23解析“”表示“任意的”.162.下列命題中既是全稱量詞命題又是真命題的是A.xR,2x10 B.若2x為偶數(shù)，則xNC.菱形的四條邊都相等 D.是無(wú)理數(shù)123

13、45678910111213141516解析對(duì)A，是全稱量詞命題，但不是真命題，故A不正確；對(duì)B，是全稱量詞命題，但不是真命題，故B不正確；對(duì)C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對(duì)D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確.123456789101112131415163.下列命題中的假命題是A.xR，|x|0 B.xR,2x101C.xR，x30 D.xR，x210解析當(dāng)x0時(shí)，x30，故選項(xiàng)C為假命題.123456789101112131415164.下列存在量詞命題是假命題的是A.存在xQ，使4x20B.存在xR，使x2x10C.有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D.有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)1234567

14、891011121314155.以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x20C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使 216123456789101112131415解析A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x0時(shí)，x20，所以B既是存在量詞命題又是真命題；16123456789101112131415166.(多選)下列命題中是存在量詞命題的是A.有些自然數(shù)是偶數(shù)B.正方形是菱形C.能被6整除的數(shù)也能被3整除D.存在xR，使得|x|012345678910111213141516解析選項(xiàng)A是存在量詞命題；選項(xiàng)

15、B可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；選項(xiàng)C可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而選項(xiàng)D是存在量詞命題.123456789101112131415167.命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1x)(19x)20”用“”寫(xiě)成存在量詞命題為_(kāi).x0解析存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“xM，p(x)”.123456789101112131415168.給出下列命題(1)xR，x20；(2)xR，x10；(3)aRQ，bRQ，使得abQ.其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi).2解析(1)當(dāng)x0時(shí)，x20，是假命題；(2)存在x2，使得x10，真命題；1

16、23456789101112131415169.判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性.解為全稱量詞命題，且為假命題，如取t1，(2)存在實(shí)數(shù)x，使得x23x40；解為存在量詞命題，且為真命題，因?yàn)榕袆e式b24ac250，所以存在實(shí)數(shù)x，使得x23x40.12345678910111213141516(3)存在實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得3x4y50；解為存在量詞命題，且為真命題，如取實(shí)數(shù)對(duì)(2,0)，則3x4y50成立.(4)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.解為全稱量詞命題，且為真命題.1234567891011121314151610.已知命題“3x2,3ax

17、20”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由3ax20，得3a2x，3x2，2x3，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是A.xZ，x29x2B.xR，x22x10C.每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.x2，x31 B.a1C.a1 D.a112345678910111213141516解析依題意方程x22xa0無(wú)實(shí)根，所以必有44a0，解得a3，xa恒成立，則a的取值范圍是_.a3解析對(duì)于任意x3，xa恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，所以a3.拓廣探究1234567891011121314151615.已知Ax|1x2，命題“xA，x2a0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是A.a4 B.a4 C.a5 D.a512345678910111213141516解析當(dāng)該命題是真命題時(shí)，只需