經(jīng)典層合板理論(The-classical-Laminated-Plate-Theory)

1、經(jīng)典層合板理論（CLPT） 僅以此文來復(fù)習(xí)整理一下復(fù)合材料理論的學(xué)習(xí)，水平有限，如有錯誤請指正。 1. 前提假設(shè) 經(jīng)典層合板理論是建立在基爾霍夫假設(shè)之上?；鶢柣舴蚣僭O(shè)就三點(diǎn)。 1 變形前垂直于中面的直線在變形后仍保持直線。 2 這條垂直于中面的直線在變形過程中的長度不變。 3 這條垂直于中面的直線在變形后仍垂直于中面。 這三點(diǎn)說的是啥意思呢？我們可以想象一下，一塊矩形板放在三維直角坐標(biāo) 系里，中面于XOY 面重合，兩條鄰邊分別和x 軸，y 軸重合。前兩條的意思就是 說板在z 方向的法向應(yīng)變?yōu)?，即zz= 0。第三條的假設(shè)導(dǎo)致板的橫向剪切應(yīng)變 為0，即xz= yz= 0 其實(shí)這個理論如果放在梁理

2、論里面就是歐拉-伯努利梁。不考慮橫向的剪切 應(yīng)變。若考慮橫向剪切應(yīng)變的梁則為鐵木辛柯梁理論，若應(yīng)用在板則是一階剪切 變形層合板理論(The First-Order Shear Deformation Laminated Plate Theory。) 這個 以后我會整理。 2. 點(diǎn)的位移 廢話不說，直接上圖(3.32)。 基于上述假設(shè)。我們可以得出板上任意一點(diǎn)（x,y,z）的位移。 z0 x u = u 0 y v = v 0 z0 w = 0 注意：在經(jīng)典層合板理論中，撓度是關(guān)于坐標(biāo)z 的函數(shù)。而在一階剪切變 形理論中，變形后的橫向法線不再垂直于板的中面。因此撓度不再是關(guān)于 z 的函數(shù)。 3.

3、 應(yīng)變 位移方程寫完了再來看應(yīng)變。這里分兩種情況， 情況1. 板的變形為小撓度，小變形。屬于線彈性范圍內(nèi)。 直接用彈性力學(xué)中的公式給出（很輕松隨意） = u0 2 x2 x z 0 x = v0 2 0 v x + 0 y y z y2 xy = u0 0 y 2z 2 xy xz = yz = z = 0 情況 2. 板的變形為大撓度，大變形。屬于超彈性范圍內(nèi)。應(yīng)變則用下式計(jì) 算。 x + x) x) y + y) z ) z + z) z ) 2 2 = 1 v z + y + u y u z + v y v z + y E 2 E E xx xx = u = v 1 2 ( 1 2 (

4、u x) u y) 2 2 + (v + (v 2 2 yz + ( + ( 2 2 E zz = 1 2 ( u z) 2 + (v 2 + ( 2 E xy = 1 u y + v x + u x u y + v x v y + x y E xy = 1 u z + x + u x u z + v x v z + x z z 當(dāng)然在這種方法里我們認(rèn)為變形很小，略去高階無窮小量以后即得到情況1 中的小變形公式。 4. 層合板本構(gòu)方程 我們得到了應(yīng)變的方程，下面重點(diǎn)來嘍。我們將寫出板的內(nèi)力N和板的彎 （扭）矩M。針對于單層板寫成張量形式： 令0IJ= 0,IJ = C = C 0+ zC 0

5、IJKL KL IJKL KL IJKL KL IJ h h 2 h2 = = C KL KL h h 2 h2 = z = zC KL KL h h 2 h2 C ; z2C N IJ 2 h2 2 IJ dz 2 h2 2 IJKL h 0dz + zC h IJKL 0dz M 我們令 IJ 2 h2 IJ dz h2 h IJKL 0dz + z2C 2 IJKL 0dz h2 IJKL dz = A; zC IJKL dz = B h2 IJKL dz = D 因此我們得出 N IJ = A 0+ B KL KL 0 M = B 0+ D IJ KL KL 0 Aij 為拉伸剛度矩陣, Dij 為彎曲剛度矩陣, Bij 是彎曲-拉伸耦合剛度矩陣。 如果對于層合板來說就是把每一層的結(jié)果按層數(shù)和順序加起