周益春-材料固體力學(xué)課后習(xí)題解答

1、 13 習(xí)題1證明e恒等式eijkstjsktksjt證明習(xí)題2證明若，則aijbj證明aijaji;bijbjiaijbij第一章ajibji,aijbijajibjibjapqbpq00,即aijbij0又因?yàn)樗械闹笜?biāo)都是啞指標(biāo),apqbpqaijbij，所以2aijbij習(xí)題3已知某一點(diǎn)的應(yīng)力分量xy不為零，而xzyz0，試求過該點(diǎn)和z軸，與軸，y軸和z軸的方向余弦分別為x軸夾角為的面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解如圖1.1,過該點(diǎn)和z軸，與x軸夾角為的面的法線，其與cosa,sina,0,則由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式,iij，可求得該面上的應(yīng)力為由斜面正應(yīng)力表達(dá)式nijij，可求得正應(yīng)力為2

2、xxcos2xycossinyysin2剪應(yīng)力為習(xí)題4如已知物體的表面由f（x,y,z）0確定，沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷px,y,z。試寫出其邊界條件。解物體表面外表面法線的方向余弦為帶入應(yīng)力邊界條件，Ti汕），i,j1,2,3，得習(xí)題5已知某點(diǎn)以直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量為xx,yy,zz,xy,xz,yz，試求該點(diǎn)以柱坐標(biāo)利用三角公式可將上面的式子改寫為習(xí)題6一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力張量是某應(yīng)力值,表示的應(yīng)力分量。解如圖1.2，兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的方向余弦如下表所示:xyzrcos0sin000-sin0cos00z001注意由應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式mnijmijn，求得abac給定，式中

3、，a,b,c為常數(shù),求常數(shù)a,b,c，以使八面體面n(e1e2e3）上的應(yīng)力張量為零bc解由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式，()jiij，知八面體面上應(yīng)力張量為零需滿足如下方程組:解得abc2習(xí)題7證明(1)應(yīng)力的三個(gè)主方向互相垂直；(2)三個(gè)主應(yīng)力!，2，3必為實(shí)根證明(1)設(shè)任意兩個(gè)不同的主應(yīng)力為I，對應(yīng)的主方向?yàn)閚k、ni。根據(jù)主應(yīng)力定乂有:將以上兩式分別點(diǎn)乘nk和ni再相減，得b是對稱應(yīng)力張量，上式可改寫為所以應(yīng)力的三個(gè)主方向互相垂直(2)設(shè)任意兩個(gè)不同的主應(yīng)力為k、|，對應(yīng)的主方向?yàn)閚/lmjnJ、ni(i2,m2,n2)若i為復(fù)數(shù)，則2為其共軛復(fù)數(shù)，從而方向余弦nk(Ii,mi,ni)、

4、ni(a,m2,n2)互為共軛lil2mim2nin20與主方向相互垂直矛盾所以三個(gè)主應(yīng)力必為實(shí)數(shù)習(xí)題8證明球形應(yīng)力張量mI在任意斜面上的剪應(yīng)力為零，且正應(yīng)力為證明球形應(yīng)力張量由斜面應(yīng)力公式b(n)由斜面正應(yīng)力公式me1e1me2e2me3e3，得bn)lme1mme2?n，得bn(I222、mn)，設(shè)任意斜面的方向余弦為b?n,b(n)mmmInme3I,m,n由斜面剪應(yīng)力公式，得b(n)bnJ|b(n2J(I2m2n2)m20習(xí)題9求應(yīng)力偏量張量的不變量i解應(yīng)力張量可分解為球形應(yīng)力張量mI和應(yīng)力偏量張量S,(m-(ii2233)3應(yīng)力偏量張量S(Sij)(ijijm)，其主應(yīng)力方程為n?S

5、Snn，即ni(SijSnij)0(ji,2,3)上述方程存在非零解ni的必要條件是系數(shù)行列式為零，即SiiSnS12S21S22S31S32Si3SnS23S33Sn得到關(guān)于Sn的三次代數(shù)方程，Si?JiS#J2SnJ30其中Ji,J2和J3分別為應(yīng)力偏量張量的第一、第二、第三不變量設(shè)Si,S2和S3為應(yīng)力偏量張量的三個(gè)主值Siim，則習(xí)題ii設(shè)為二階對稱張量，證明由ijeipqejmnqn,pm導(dǎo)出的應(yīng)力一定滿足無體力的平衡方程證明ij,jipqjmnqn,pmj又ejm,j關(guān)于m,j反對稱，qn,pmj關(guān)于m,j對稱ij,jeipqejmnqn,pmj0，即卩ijeipqejmnqn,p

6、m滿足無體力的平衡方程，ij,j0忽略體力下的平衡微分方程3X1X25x20習(xí)題12已知直角坐標(biāo)系中各點(diǎn)的應(yīng)力張量ij5X；02x3，試求體積力分量02x30解根據(jù)平衡微分方程ij,jFi0,i,j1,2,3，得對誰偏導(dǎo)的問題得體積力分量為習(xí)題13如圖1.3所示的三角形截面水壩，材料的比重為，承受著比重為1液體的壓力，已求得應(yīng)力xxaxby解為yyexdyy，試根據(jù)直邊及斜邊上的表面條件確定系數(shù)a,b,c和dxydxay水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為ncos,sin，受外力Pxi,j1,2,3，在xytg處10,Py-y的作用2根據(jù)應(yīng)力邊界條件，Piijnj,水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為n1,0

7、，受外力Px1y,Py0的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，Piijnj,i,j1,2,3，在y處由上述兩個(gè)方程組，得a0,b21,cctg21Ctg,d外力是如何確定的tg習(xí)題14如圖1.4所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比重為的液體，右側(cè)為自由表面,如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系解試寫出以應(yīng)力分量表示的邊界條件。水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為cos,sin，受外力Pxycos,Py1-ysina的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，Piijnj,i,j1,2,3，在xytg處水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為cos,sin，受外力PxPy0的作用根據(jù)應(yīng)力邊界條件，Piijnj,i,j1,2,3，在xyth處解如圖所示，建立

8、平面直角坐標(biāo)系第二章習(xí)題1初始時(shí)刻位于a1,a2,a3的質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻t的位置為x1a1ka3;x2a2ka3;x3a3，其中k105，求格林應(yīng)變張量的分量。解采用拉格朗日描述法，Ui人aiUi（aa2,a3），得、1由格林應(yīng)變張量，EEgej，Eij-Ui,jUj,iu%jUm,j,得習(xí)題2證明ij是二階對稱張量的分量，而ij不是任何張量的分量。證明1(1)ij2Ui，jUj,i,顯然可得其對稱性對于笛卡爾直角坐標(biāo)系oxyz和oxyz，各坐標(biāo)軸之間的方向余弦如下表由彈性力學(xué)理論知，ijiijjij，恰與張量定義相吻合,是二階對稱張量的分量(2)設(shè)有一剪應(yīng)變張量Y，其分量ij2ijijij2ij

9、ij取任一矢量nknkek，則eiej?ekjkem，但2jjnkjk不能縮并為m，與假設(shè)丫是張量矛盾。根據(jù)張量的商判則，耳不是任何張量的分量。習(xí)題3為求平面應(yīng)變分量x、y、xy，將電阻應(yīng)變片分別貼在X方向，與x成60和120方向上，測得應(yīng)變值以0、60、120表示，試求y、xy解平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿x方向，與x成60和120方向上的方向余弦分別為V1（1,0）；V2（2,弓）；V3（J弓）2222根據(jù)V方向線元的工程正應(yīng)變公式，vjjVjVj，得求得習(xí)題4假設(shè)體積不可壓縮位移u1(x1,x2)與u2(x1,x2)很小，u30,在一定區(qū)域內(nèi)已知u11x2abx1cx12，其中c為常數(shù)，求u2X1

10、，X2體積不可壓縮，ii112233022u2X22X21b2cx1即u2X2X2022dx?b2cx112X2X2312X20 x203習(xí)題5在平面應(yīng)變狀態(tài)下,的應(yīng)變和位移的關(guān)系式。使用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)中應(yīng)變分量、位移分量的轉(zhuǎn)換公式，寫出在極坐標(biāo)中解在平面應(yīng)變狀態(tài)下，由應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式，ijiijjij，得代入U(xiǎn)i,jUj,i，即因此,rr2xxCOS2yySinxysin22xxSin2yyCOSxysin2xxSin2yySin2cos2r22xyiuuruxxxrxxuuruyyyryy1uvxy2ryyruuUrUurUrrurvvUrvurUrruruUUruuUruvvUrvuU

11、ru1ruuyyvruUrCOSuSinvUrcsinucosuUrcos,usinuvvsin,cosUrurxx.x22ycosr22sinxyyyarctgy1一sinxxxrarctg_y1cosyyxr將式（2）-（6）代入式（1）,得平面應(yīng)變狀態(tài)下，極坐標(biāo)中的應(yīng)變和位移的關(guān)系式:習(xí)題7證明由下式確定的應(yīng)變1-Ui,jUj,i恒滿足變形協(xié)調(diào)方程,emjkenilij,kl(1)(2)(3)(4)(5)(6)對于排列符號emjk關(guān)于j,k反對稱；eni|關(guān)于i,1反對稱、1即應(yīng)變ij2Ui，jUj,i恒滿足變形協(xié)調(diào)方程，emjkeniiij,kl0習(xí)題8假定物體被加熱至定常溫度場Tx1

12、,x2,x3時(shí)，應(yīng)變分量為112233T；123132，其中為線膨脹系數(shù)，試根據(jù)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程確定溫度場T的函數(shù)形式。解由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，ij,klkl,ijik,jljl,ik，得又定常溫度場Tx1,x2,x3應(yīng)滿足拉普拉斯方程，故TXi,X2,X3的函數(shù)形式中不應(yīng)含有高于或等于溫度場T的函數(shù)形式為其中，ki，k2，k3和c均為常數(shù)。習(xí)題9試導(dǎo)出平面應(yīng)變軸對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程解軸對稱平面應(yīng)變情況下，應(yīng)變分量為因此，平面應(yīng)變軸對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為習(xí)題1在某一平面軸對稱變形情況下，軸向應(yīng)變式（材料是不可壓縮的）d解平面軸對稱情況下，變形協(xié)調(diào)條件為：rdr HYPERLINK l bookm

13、ark35 222（222）TXiX2X32次的項(xiàng)dudururrdrdrrz為常數(shù)，試確定其余兩個(gè)應(yīng)變分量r和的表達(dá)當(dāng)材料不可壓縮時(shí)，體積應(yīng)變?yōu)榱?，?，代入上式，得解得丄C；r-C，式中，C是右邊界條件確定的常數(shù)2r22r2習(xí)題11試問什么類型的曲面在均勻變形后會變成球面。解均勻變形狀態(tài)可表示為其中，a;b;c;d1;d2;d3為常量設(shè)均勻變形前的坐標(biāo)為X0;yo;z0，則變形后的坐標(biāo)為曲面在均勻變形后變成球面，即x2y2z2R2略去剛體位移，當(dāng)x、y、z為主軸時(shí)，變形前的坐標(biāo)x0;y0;z0滿足變形前半軸為一巳，的橢球面在均勻變形后會變成球面。1a1b1c特別的，當(dāng)z時(shí)，表示球面均勻變形

14、后仍為球面。ua1xa2ya3z習(xí)題12若物體內(nèi)各點(diǎn)的位移分量為vb1xb2yb3z，其中，ai;bi;cii1,2,3均是常數(shù)。wc1xc2yc3z試證明，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)（這種變形狀態(tài)稱為均勻變形），并分別證明在均勻變形后的物體內(nèi)有：（1）直線在變形后仍然是直線；（2）相同方向的直線按同樣的比例伸縮；證明由位移分量求得物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量為xxa1，yyb2，zzc3xya2bi,yzb3C2,zxa3Ci(1)即物體內(nèi)所有各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)（均勻變形）（1）若物體內(nèi)任意一點(diǎn)P（x,y,z），變形后變?yōu)镻x,y,z坐標(biāo)x;y;z和x;y;z之間的關(guān)系為x1xxx;y1yyy

15、;z1zzz(2)X3X2X2X1y3y2y2y1Z3Z2Z2Z1(3)將式（3）代入式（2），并整理，得X3X2y3y2Z3Z2(4)X2X1y2y1Z2Z1（4丿式（4）表明直線在均勻變形后仍然是直線變形前，直線上的點(diǎn)P1（X1，y1，Z1），卩2&2,丫2乙）和P3（X33,Z3）滿足（2）變形前連接兩點(diǎn)P-!（x-!,y1,z1），F(xiàn)2（x2,y2,z2）的直線長度為r，方向余弦為I、m、n，變形后的兩對應(yīng)點(diǎn)R（X1,y1,Z1），P2（X2,y2,Z2）的直線長度為r，方向余弦為I、m、n（圖2.1）將式（2）代入上式，得r.1xx2X2X121yy2y2y121zz2Z2Z12(5

16、)將上式兩端除以r，得22X2X11 HYPERLINK l bookmark112 xx122y2y11yyi2Z2Z1zzr(7)xx2l21yy2m2zz而-rr對于方向相同的直線，具有相等的方向余弦常數(shù)。即r,其中，r為方向的應(yīng)變n，在均勻變形情況下，由式（(6)6）和（7），知r為相同方向的直線按同樣的比例伸縮；習(xí)題13物體的位移對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，試用球坐標(biāo)和笛卡兒坐標(biāo)表示位移分量和應(yīng)變分量。解位移對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，則任意一點(diǎn)的位移Ur沿半徑向量r的方向，并且只是r的函數(shù)，其余位移（1）由球坐標(biāo)系中的應(yīng)變-位移關(guān)系，得（2）笛卡兒坐標(biāo)中式中，rx2y2z2，f（r）比r1因此，由ij2山

17、打Uj,i，得-第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習(xí)題習(xí)題1、試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為:當(dāng)xyyzzx0時(shí)，三個(gè)互相垂直的應(yīng)力方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向。當(dāng)xyyzzx0時(shí)，三個(gè)xxC11xxC12yyC13zzC14xyC15yzC16zxyyC21xxC22yyC23zzC24xyC25yzC26zxzzC31xxC32yyC33zzC34xy035yzC36zxxyC41xxC42yyC43zzC44xyC45yzC46zxyzC51xxC52yyC53zzC54xyC55yzC56

18、zxzxCsixxC62yyC33zzC64xyC65yzC66zx互相垂直的應(yīng)變方向?yàn)橹鲬?yīng)變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力分量為:xyC41xxC42yyC43zzyzC51xxC52yyC53zz(b)zxC61xxC62yy63zz若使xyyzzx0，則式中xx,yy，zz具有非零解的條件為C41C42C43C51C52C530(c)QiC62C63上式即為x，y，z軸同時(shí)為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對稱于一個(gè)平面，如Oxy平面，則C15Ci6C25C26C35C36C45C460，而且qCji，此時(shí)(c)式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x,y，z軸為主方向的應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，其對應(yīng)

19、的剪應(yīng)力分量將成為xyC41xxC42yyC43zzyz0(d)zx0若應(yīng)變分量之間滿足xyC41xxC42yyC43zz0，則此點(diǎn)的應(yīng)變主方向和應(yīng)力主方向重合。如果材料性能對稱于Oxy，Oyz，Ozx三個(gè)平面，則有c14c24c34c560，此時(shí)(d)式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x，y，z軸為應(yīng)變的主方向時(shí)，也必定為應(yīng)力的主方向。但是，當(dāng)應(yīng)變主方向和正交軸不重合時(shí)，一般它與應(yīng)力的主方向是不重合的。對于各向同性彈性體，不需要任何補(bǔ)充條件，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向總是重合的。習(xí)題2、對于各向同性彈性體，試導(dǎo)出正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式。且進(jìn)一步證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)?23時(shí)，其主應(yīng)變的排列

20、順序?yàn)?23。解：各向同性條件下的廣義虎克定律為將上式中的(1)(2),(2)(3),(3)-(1)分別得:xxyyyyzzzzxxxxyyyyzzzzxxxxyy1Exxyyzz1Eyyzzxx1zzyy2Gxxyyzz2Gyyzzxx2Gzzxx證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)?3時(shí)，其主應(yīng)變的排列順序?yàn)?23且123，利用上述正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式有習(xí)題3、3.610解：設(shè)5將某一小的物體放入高壓容器內(nèi)，在靜水壓力2p0.45N/mm2作用下，測得體積應(yīng)變xxyy若泊松比v=0.3，試求該物體的彈性模量xxyyzzkk為第zz3p1.35N/mm2性條件下的廣義虎克xxyyzz3.6

21、105，故有應(yīng)力不變量，而xxyyzzP，1.35106pa定律為有：12e，其中體積應(yīng)變E351061.51010N/m21.5104N/mm2。習(xí)題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力P，且橫向變形完全被限制?。ㄈ鐖D所示）。試求應(yīng)力與應(yīng)變的比值（稱為名義楊氏模量，以Ec表示）。解：設(shè)柱體的軸線z軸,zz因?yàn)闄M向變形被限制,所以xxyy0。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律1xxyyzz1E1E1Exxyyzzyyxxxxzzzzyy得:xxxxyyzzyyxxzz，將此兩式相減得:yyyyxx，而泊松比v的理論取值范圍為1v1/2，故xxyyzz，將其代入廣義虎克定律得:圖3-1從而zz

22、，得解。習(xí)題5、在某點(diǎn)測得正應(yīng)變的同時(shí),也測得與它成60。和90。方向上的正應(yīng)變，其值分別為0100106,6050106,90150610，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變、最大剪應(yīng)變和主應(yīng)力52(E2.110N/mm0.3)。解：設(shè)該點(diǎn)的x,y軸向的正應(yīng)變分別為y，剪應(yīng)變?yōu)閤y。任意方向(為與x軸正向的夾角)上的正應(yīng)變?yōu)?-cos222所以xy，602xy0 xy0cos120Tsin120,90,解由此三式組成的方程組得該點(diǎn)的x,y和xy分別為：100106,y90150106,xy9046050.3106。(1)計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)變:xy和12xy22得該點(diǎn)的主應(yīng)變?yōu)?1157.2910107.29106

23、min(2)該點(diǎn)的最大剪應(yīng)變max1264.5810(3)計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)力:1157.291062107.29106據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得0-el2G,即ijij所以1157.29102107.291060、ekk1235010及E2.15210N/mm0.3代入上面三式得:22131.46N/mm,211.27N/mm,6.06N/mm2。習(xí)題6、根據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式W12ijj，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸、彎曲及圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式分別為：1lM2z1l-d2U扭轉(zhuǎn)dzG1P-dz。20GIp2。dz解：(1)桿件拉伸的應(yīng)變能公式推導(dǎo)：設(shè)桿件橫截面積為A，彈性模量為E，如圖建

24、立坐標(biāo)系。桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮同時(shí)軸向纖維間無相互作用力，即yyZZ0。據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式W112jj2xxxx(其余分量產(chǎn)生的應(yīng)變能為零)。短，軸向纖維間無剪切變形，即xyyzzx0。8Xg.-tlx圖3-2I-OdVAdx，其應(yīng)變能dU現(xiàn)在桿件上x處取一微段dx，其體積為工dUWdVxxxxAdx，而2整個(gè)桿件的拉伸應(yīng)變能為:idUL21N上)dxEAdu而xx,xxdxExx故dUWdV1xx2整個(gè)桿件的拉伸應(yīng)變能為:.dudx，1dudu1AdxEAdxEA2dxdx21112u拉伸dU1duEA-dx02。dxxxEu拉伸200dudx2dxNMx2oEA桿

25、件彎曲的應(yīng)變能公式的推導(dǎo):在材料力學(xué)中桿件在M(x)外力作用下發(fā)生純彎曲，僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形(其中中性層以內(nèi)的纖維層受壓縮，中興層以外的纖維層伸長)，而軸向纖維之間無相互作用的內(nèi)力，即xyyzzx0和yyzz0。在桿件上沿軸向去取一微段dx，在此微段的橫截面上取一個(gè)微面M(x)ydA，在dA上的應(yīng)力可為相同的，而M(x)yxxxxxx_EI11 ijijxxxx1M2(x)y2,dUWdVWdAdxWdydzdx。El2故u彎曲1dU01WdV0h22M(x)y2dydzdx，其中M(x)只與x有關(guān)。El2u彎曲112o2(x)Ely2dydzdx2M(x)ldx11MMx。oEl桿

26、件彎曲的撓度為1d，撓度曲線的曲率為-dsd2dxM(x)El圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導(dǎo)：設(shè)圓軸的軸向?yàn)閦軸。在材料力學(xué)中，圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面仍為平面，半徑仍為直線，且沿z軸相鄰兩截面的距離不變，故有xxyyzzyzzxxyxyyxyxxyxyxyxy0在圓軸軸向z處取一微段dz，在微段dz的橫截面(圓截面)上的半徑處取一微面積dA，dA上故u扭轉(zhuǎn)dUVWdV12vdAdz1M2(z)2vGl；2dAdz，M(z)只與z有關(guān),12M2(z)1u扭轉(zhuǎn)Gl；2dAdz1M2(z)lPdz11Glp211Glp務(wù)1dz2oGlpdz，11M2z112d即U扭轉(zhuǎn)dzGlpdz。20Glp2odzA

27、Glp2o2o的應(yīng)力可為相同的，那么dUWdVWdAdz。據(jù)平衡方程有：M(z)dAGdAAA而xydGGd，故M(z)G2dA，令I(lǐng)p2dA。RdzdzdzAAM(z)GlpdM(z)，而M(z)M(z)dzdzGlPlpGlp習(xí)題7、試推導(dǎo)體積變形應(yīng)變能密度Wv及畸變應(yīng)變能密度Wf的公式分別為:解：應(yīng)變張量可分為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和：ill即j1311jij。，不產(chǎn)生形狀畸變，它由球形應(yīng)力張量其中球形應(yīng)變張量表示體積變形（體積的等向收縮或膨脹）所引起，僅產(chǎn)生體積變形應(yīng)變能；而應(yīng)變偏量張量表示形狀畸變，不產(chǎn)生體積變形，它由應(yīng)力偏量張量所引起，僅產(chǎn)生畸變應(yīng)變能。應(yīng)力張量可分為球形應(yīng)力

28、張量和應(yīng)力偏量張量之和：(Tkk1S，即kkijSij，令Sijijkkijij變形應(yīng)變能密度W分為體積變形應(yīng)變能密度WV與畸變應(yīng)變能密度Wf之和,與梁鉸接，截面積為F2，F(xiàn)21111Wfkkijij11ij233j111i11kkijij_11ijijijij330；ij時(shí),1ijij0。1111jj0，故31二kk11ijij00ijiij91，11,iijijkk11ijij2jj62j1111iijj,Wfijij。62mii13eiijjkkii1312iik18ii。在A處固支，長為1，截面積為F1,ij截面慣性矩為I。桿BC在B處-ijijWv2即1129kk11jj其中jj3，

29、ij時(shí)，j1所以無論如何有：1kkjij31WW,Wf-2113293kk11Wv1kk116據(jù)虎克定律有：mke據(jù)虎克定律有：ijij，2G習(xí)題8、如圖所示結(jié)構(gòu)，梁AB22戸。材料彈性模量為E，B點(diǎn)受載荷P的作用，設(shè)梁的壓縮量為撓度曲線為ax2，和a均為待定的變形參數(shù)?？紤]桿BC的拉伸及梁AB的壓縮與彎曲，用最小勢能原理求B點(diǎn)的水平和垂直位移。C/ABXP圖3-3解：梁AB被壓縮，其變形能為桿BC被拉伸2，其變形能為U2U1Pi。22P2l-P2P1其中P2V2P,PP，2JIw2、2l。梁AB的撓度曲線為ax2，其彎曲變形能為外力功為：VPwxlPal2?？倓菽転閾?jù)最小勢能原理:其中和a可

30、以取任何值,0,a2B點(diǎn)的垂直位移為wal疋，水平位移為8EIPI3。8EI習(xí)題9、如圖所示，簡支梁長為I，抗彎剛度為EI，中點(diǎn)受P力作用，支座之間有彈性介質(zhì)支承,其彈性系數(shù)為k（即每單位長介質(zhì)對撓度提供的支反力）。設(shè)撓度曲線為wansin，試分別用n11李茲法和迦遼金法求梁中點(diǎn)B的撓度。圖3-4解：（1）用李茲法求梁中點(diǎn)B的撓度:撓度曲線為ansinn1簡支梁的變形能為:x0,ld2wx0,1滿足A,C兩點(diǎn)的邊界條件。U1d2wdx2dxEI44P42nan。1中點(diǎn)B處彈性支承的反力kWxl2w彈性支承的變形能為：U2kwdw0kwdanankandann12.nsin總變形能為:UU1U2

31、。外力功為:ansin1總勢能為:2an按李茲法有:anc13n2Plsin-2n4EI42kl3wmax2Pl3andan.nsin2.nansin-，2443nEI2kl(2)用迦遼金法求梁中點(diǎn)B的撓度:將撓度曲線wansin1EId3wdx3Pkw2lPsinndx02l3.n.n2Plsinsin2In4EI42kl3.nsin一。2代入y向平衡方程得:l0,將其代入迦遼金方法的積分式中得:21.nxkansindx2n0lan竺1cosnnk習(xí)題10、試用李茲法求如圖所示的一端固定、一端自由的壓桿臨界載荷PCr，設(shè)該壓桿的長度為I，P111-圖3-5x抗彎剛度為EI（常數(shù)），其撓度曲

32、線為wal1cos2I解：撓度曲線為walcos可以滿足所要求的邊界條件，壓桿失穩(wěn)后的彎曲應(yīng)變能為2IEI1U20d2wdx2dxEI2a122I12cos0 xdx2IEI2a122I-外力功VPd，其中d為失穩(wěn)后4由彎曲引起壓桿頂端處向下的豎直位移:勢能為:UV旦a；22I應(yīng)用李茲法有EIa1a1Pa；2I4Pa102I4ai如果a10，此方程雖然是滿足了，但是這表示該壓桿保持直的，根本沒有失穩(wěn)，所以a10。由此得：PPcr4I2EI2.4674嚴(yán)，此結(jié)果正好是精確解，這是因?yàn)樗O(shè)的撓度曲線正好是失穩(wěn)后的真實(shí)撓度曲線。習(xí)題11、已知如圖所示的半無限彈性體的界面上，承受垂直于界面的集中力P的

33、作用，試用位移法求位移及應(yīng)力分量。解：一、求位移函數(shù)u,w用位移法求解時(shí)，須求出滿足邊界條件及滿足以位移分量表示的平衡方程組：2rz2R5 RMzP0圖3-61e12r1er_2z2uU2r2w0,其中可以找到滿足平衡方程組的兩組特解:uAirzR2八zwA3R3(34(a)uA2r(b)RRzA1wA2R上述兩組特解的線性組合可作為通解:A2(c)八rzuFz2wA13(3R3rRRz114)Az-RR其中A1和A2由邊界條件來確定，將其代入由位移表示的應(yīng)力得:3zr2z31EA112jA2RRzE-A13z312zA2z1R5R3R3E-A3r異12rA2r5331RRRzA12RR5A2

34、R2R2z2zrzz(d)在邊界上(z=0面)，除外力作用點(diǎn)外,0,0，前一條件自然滿足，而后一條件由上式的第四式可得:(e)12A,A20另外假想過M點(diǎn)作一與邊界面平行的面，將半無限彈性體的上部取出，根據(jù)被取部分Z向平衡條件得:0z2rdr(f)(d)中的z代入(f)孕3z30rdrR5z0rdrR2EA2zrdr0R30，積分此式得:p21由式(e)、(g)解得-21A1A2(g)P12E將A1，A2代入(c)式得位移函數(shù)為:,A21(h)rzRrRRz3zR3(I)二、求應(yīng)力分量將A1、A2代回(d)，可得應(yīng)力分量的計(jì)算公式:RRz)3zr2V(j)RRzP3z32R5P3rz2三、討論

35、：1）以上所得應(yīng)力和位移，當(dāng)R增大時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變值迅速減小，即帶有局部性質(zhì)。2）當(dāng)R0時(shí)，各應(yīng)力分量都趣于無限大，這是因?yàn)榧僭O(shè)外力集中作用在一點(diǎn)的緣故，實(shí)際上載荷不可能加在一個(gè)幾何點(diǎn)上，而是分布在一個(gè)小面積上，因此實(shí)際應(yīng)力不會是無限大而是相當(dāng)大甚至已進(jìn)入塑性階段。根據(jù)圣維南原理，只要稍離集中力作用點(diǎn)，以上的應(yīng)力與位移公式仍可認(rèn)為是正確的。3）由（j）式可見，當(dāng)z=0時(shí)，在彈性半空間的邊界面上有z0,rz12PR22-這說明，邊界面上各點(diǎn)受到純剪切作用。r22(k)（j）式可得（I）式。這說明在z軸上各點(diǎn)受到兩向拉伸、向壓縮，它的主應(yīng)力為（m）式，以絕對值來比較,3比徑向及周向應(yīng)力2大得多。4）當(dāng)

36、r=0，R=z時(shí)，即在z軸上的各點(diǎn)，由以上結(jié)果是研究接觸問題的基礎(chǔ)。習(xí)題12、試用應(yīng)力函數(shù)22z2P1222z2P32z2rz0.rz2(I)C1zln22z2P3(m)z2C2r2C3zln2r122二rz2z1求解第11題中半無限彈勺z性體的界面上，承受垂直于界面的集中力沉陷。解：半無限彈性體的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用時(shí)的位移及應(yīng)力分量,并求水平邊界面上任意一點(diǎn)的P的作用是一個(gè)空間軸對稱問題，所有的物理分量都只是r和z的函數(shù)，與無關(guān)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入如下求應(yīng)力分量的公式:rz 其中r2rrz2(b)C12r2C24C3z8C32C2zr4C24C3z3r22C3z535222

37、22rz2rrz22C24C3zC1C24C32zr2C3Z3323222r222二rz2rrz22z2C24C33C28C32zr2C3Z3352r2z22r2z2z(c)rz在邊界上第四式可得:另外假想過件得：r2C24C32C22C3rz2C24C3r3z22z=0面)，除外力作用點(diǎn)外,0,rz0，前一條件自然滿足，而后條件由上式的12C24C3C24C32rM點(diǎn)作一與邊界面平行的面，rz將半無限彈性體的上部取出,根據(jù)被取部分Z向平衡條z2rdr(e)將(c)中的z代入(e)式并積分得P-41C2421C30式(d)中r為任意值，故只有分子為零，即 HYPERLINK l bookmar

38、k243 12C24C30 HYPERLINK l bookmark221 12Pp由式(f)、(g)解得C2和C3,C3,C24將C2和C3代入式(d)得z,rz。然后利用虎克定律求出，根據(jù)(f)(g)0求出C1得應(yīng)力分量為rz3r2zr21z21z2?23z2222rzrrr52(h)3P32zr23P22rzr2z2將(h)式代入以應(yīng)力分量表示的位移公式求出位移為利用上述位移公式求出水平邊界面上任意一點(diǎn)的沉陷為12Pwz0。Er習(xí)題13、如圖所示，設(shè)有半空間無限大彈性體，單位體積的質(zhì)量為，在水平邊界面上受均布壓力q的作用，試用位移法求位移分量和應(yīng)力分量（并假設(shè)在z=h處w=0）。解：由于

39、對稱（任意鉛直面都是對稱面）試假設(shè)u0,v0,ww(z)。這樣就得1e12x1e12x1e12x而在z向的平衡微分方程為d2wd2w積分后得dz2g0，簡化后得d2wdz22G1(a)dw(1dz2G1(b)wdwee2edwzdz，xy02zdz因?yàn)榘肟臻g無限大彈性體體力分量0111HHx1/f/圖所以上述假設(shè)在x，y向滿足以位移表示的平衡微分方程:2uX02vY02wZ0(c)(14G1其中A和B為積分常數(shù)。現(xiàn)據(jù)邊界條件來確定A和B。將以上的結(jié)果代入以位移分量表示應(yīng)力的物理方程xyz2G2G2G111e2e2e2uxvJywzGxy9yzG,zxGuyvwuzvJxwJywx（d）xy1g

40、zA,得zgzA,（e）xyyzzx0c在邊界面上（z=0面）XY0,Zq，即zz0q，代入（e）式得Aq。g再回代（e）式得應(yīng)力分量：xy1gzqzgzq(f)xyyzzx02并由（c）式得z向位移w(12)gzqB(g)4G1g為了確定常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。由于在z=h處w=0，代入（g）式得2Bh24G1g再回代（g）式得位移分量：w4GrL2qhz亦*至此位移分量和應(yīng)力分量全部求出。習(xí)題14、球形容器的內(nèi)半徑為求其應(yīng)力分量（不計(jì)體力）。解：這是一個(gè)空間球?qū)ΨQ問題，體力Kr=o，由位移分量表示的球?qū)ΨQ平衡微分方程2E1dUr2dUR22RR2Ur112dR2RdRR2Kr0得微分

41、方程解此微分方程得（其中A，B為積分常數(shù)）UrARBR2(a)a，外半徑為b內(nèi)部作用著壓力為Pi，外部壓力為Pe,試用位移法將Ur代入以位移分量表示應(yīng)力的物理方程得應(yīng)力分量的表達(dá)式：0。 0。 x6l 2EB1R3EB1R3(b)(c)代入如下邊界條件:Pe求解A和B得aa3b3RPeB2Eb3(d)將(d)式代入(a)式得徑向位移b3u1R2R3b_3a1T313a2R31231冬b3Pe。(e)將(d)式代入(b)式和(c)式得徑向正應(yīng)力R和切向正應(yīng)力(r和就是主應(yīng)力)第四章彈性平面問題的習(xí)題習(xí)題1、已知懸臂梁如圖所示，若梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出,試由平衡方程求出xy及并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量

42、能否滿足從應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程?qJ,1J111I,C-r“Xy圖4-1解：(1)由材料力學(xué)公式求正應(yīng)力而叫dx其中C1,d2Mxdx2dMxdxFx，解此微分方程得x22lC0為積分常數(shù)由邊界條件確定如下:C1C1xC0，0C00，QxC1Mxqx3c32qxylh3(2)據(jù)彈性力學(xué)平衡方程求xy及y據(jù)彈性力學(xué)平面問題平衡微分方程xxyF1X0 xy，不計(jì)體力，即FxFy0，xyyFy0 xy得由積分此式得2qx3y3lhxyoxy6qxyxyylh3qx2y2xylh3flx，用邊界條件確定待定函數(shù)f1x:xy同時(shí)xyc23qx4lhc223qxyxylh32蠱，它也滿足xyx00。2q

43、xy3lh3由邊界條件確定待定函數(shù)f2xf2xx00,2qxy33qxy2lh6qxy23qxy2lh竺，積分此式得2lhqxlf2x罟,它也滿足0。(3)驗(yàn)證應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程現(xiàn)在不計(jì)體力，即FxFy0，應(yīng)力分量應(yīng)滿足即要求而現(xiàn)在24qxy故不能滿足協(xié)調(diào)方程。82ii4 82ii4 習(xí)題2、如圖所示簡支梁，承受線性分布載荷，試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量（不計(jì)體力）解：（1選擇應(yīng)力函數(shù)R2=-qL/3門門qyR1=-qL/636xfiyfoy。這樣，應(yīng)力函數(shù)沿x軸的變化規(guī)律已定,而待定函數(shù)f2y，f1f0y只是坐標(biāo)y的函數(shù)。圖4-2載荷q沿x軸呈線性分布，可斷定y沿x軸呈線性分布?？闪钋矣羞吔鐥l

44、件yX00Co02故yPxf2y，解此微分方程得x（2）檢驗(yàn)域內(nèi)方程把應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程0（無體力）得x3d4f26dy4x獸dyd4f。dy4上式對于任意x均要滿足，故x的各次幕的系數(shù)為零,d4f20dfdy4，dy4dy20d4f20dy4個(gè)線性函數(shù)的程度（即艾雷應(yīng)力函數(shù)中解這些微分方程得根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)：艾雷應(yīng)力函數(shù)的系數(shù)可確定到只差的一次函數(shù)項(xiàng)并不影響應(yīng)力分量的大?。?，可令N0,Gy0，于是（3）檢驗(yàn)邊界條件,確定待定系數(shù)上下邊界為0,qxixy0,qxih3A8.h3Ab4b42D(a)由以上兩式分別相加、減得Ch 又據(jù)上下邊界中對x為任意值有3Ah2BhC0Ah443H42

45、Bh32Kh221638Ah42Ah24BhC02Bh33H42Kh221638xyh720得L0L0將（b）中的第1式加、減第3式得-Ah22C0,B02將（b）中的第3式加、減第4式得Ah4h26H2L16402Kh(b)(c)(d)(e)由（a）式中的第2式和（c）式得C-3q,A2lh2qlh32lR1R2ql根據(jù)外力平衡得l2，xq0rxdxR2lh在x=0的端面內(nèi)據(jù)R12hxydy2Hh3qlLh46由（e）式得K=0。由（a）式中的第1式得D由第（d）式和第（f）式得Hh2h24卡3Hy2Ldyq得qh2(f)80l其中qxjx，解此方程得Ri和R2：qql-qhql3,L10l

46、h3h80l4hh由壽xxdy022h6Ey2Fdy0F0，2h由2hxx0ydy02h2h6Ey3dy0E0。2x x 2qx3yx綜上得:y3qy2x23qx2xylh341hlh32qxy34qylh34qy3亍3qyx2h10lhqy2ihqx莎ql2用y應(yīng)力函數(shù)為2qy33qylh32lhq2l3qy10lhqiy33qlg80l4hqhyqly80l4hO習(xí)題3、已知載荷分布如圖所示，即當(dāng)周期分別為（1）Ll，如圖4-3（b）所示。（2）L2l，如圖4-3（d）所示，且取x的偶函數(shù)。（3）L2l，如圖4-3（e）所示，且取x的奇函數(shù)。圖4-3o1qxy(a)qrrFiii1L-ii

47、(b)qL1TTIi匕L-(d)q試用傅氏級數(shù)寫出qx的表達(dá)式，并寫出集中載荷情況下的表達(dá)式。解：（1）周期為Ll，如圖4-3（b）所示。首先將y軸平移d，于是在新坐標(biāo)系中,0,當(dāng)丄x*c2*q,當(dāng)cxc，將qx按傅立葉級數(shù)展0,當(dāng)cx*-2Ancos空1Bnsin*2nxl 其中An12iqx22nx,*cosdx(n=0,1,2,)如圖4-3Bn(c)12?qx2AoBn所示,2nx*sindx(n=1，)cqdxccqcosc4qclc.2nxcqsinldx2qsinn2nc2qcl2q1.2nsininc2ncosl2qc,且當(dāng)c0時(shí)，即為集中載荷的情形，那么設(shè)L2l，如圖4-3(d

48、)所示，且取x的偶函數(shù)。對原來的載荷qx進(jìn)行偶性延拓后按傅立葉級數(shù)展開成:nxnxcosBnsin其中Bnl0q疋A0lcqdxcllqnxxcosdxl.nx,xsindxl2An_l(n=0,1,2,)，0(n=1,2,)令P2qc,且當(dāng)c設(shè)L21，如圖對原來的載荷4qcl0時(shí),dcnx4qndncqcosdxcossindclnll即為集中載荷的情形，那么4-3(e)所示，且取x的奇函數(shù)。進(jìn)行奇性延拓后按傅立葉級數(shù)展開成:“nxAncosBnsinl其中而于是,An11-ql1nxcosxdxl21nx,Bnqxsindxl0l2dcnxBndcqsindxqxA02n10(n=0,1,

49、2,),0(n=1,2,)4q.nd.ncsinsinnllqx巴十吟sin警嚀，令p2qc，且當(dāng)C0時(shí)即為集中載荷的情形，那么2P.nd.nxqxsinsinln1ll習(xí)題4、連續(xù)板墻的中間一段如圖所示，試用三角函數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。yPP圖4-4解：先將y軸平移I,得新坐標(biāo)系XoY，在新坐標(biāo)系XoY下將邊界載荷化為三角函數(shù)形式的qX，周期為2L,其中Ll在連續(xù)板墻的上邊界，即Y=h處，利用第3題中的（2）得兩處集中載荷P作用下的qX12coscosMn1(a)在連續(xù)板墻的下邊界，即Y=0處,在兩處分布載荷q作用下:其中AnBnAn其中據(jù)外力平衡得A02Ancos1nXBnsin,

50、L1L2LLqxLLqcqdXnXcosdXLnXsindXLLqdXc(n=0,1,2,),(n=1,2,）nXqcosrdX4qcLnXqcosdXL4qcosnnncsinL2qcL2L1.ncsincosn1nLcosL2qc。(b)P.2L1.ncnXqX1sincosLcn1nLL設(shè)三角級數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)和相應(yīng)的應(yīng)力分量為這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和協(xié)調(diào)方程的。現(xiàn)在利用邊界條件確定待定常數(shù)m、Am、Bm、Cm、Dmm、Am、Bm、Cm、Dm。(1)由于板墻的幾何形狀及所受載荷均對稱與YoZ平面，有XXXxxx,yyXyyx,xyXXYX對任何Y值都成立，于是AmBmCmDm0。所

51、以應(yīng)力函數(shù)為其中。相應(yīng)的應(yīng)力分量是:XXm2cosmX(Am+2Dm)shmY1(c)YYm)chmYmCmyshmYDmychmY2mcosmXAmshmYBmchmYCmYshmYmYchmY(d)XY2msinm1mX(Bm9)shmYm(e)(Am%)chmYmDmYshmYCmYchmY(2)上、下邊的剪應(yīng)力為零，即XY0,0,XYYh,0得XY2msinmXAm(f)XYyh2msinmX(Bm9)shmhm(g)(AmD)chmmhDmhshmhCmhchmh(3)上邊界正應(yīng)力YY和(a)式得YY2mcosmXAmshmhBmchmhCmhshmhPDmhchmh12cosm1L

52、mlcos(h)（4）下邊界正應(yīng)力YYY0qX和（b）式得YYy02mcosmXBmm1P2L1L1m.mcmXsincoscm1mLL(i)）得方LrmXrmX由（f）、（g）、（h）、（i）四式中cos項(xiàng)和sin項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)相等（其中LL程組XoY下的應(yīng)力從上述方程組中解出Am,Bm,Cm,Dm然后代入（C）、（d）、（e）三式中得到新坐標(biāo)系XX,YY,XY。再進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化:因?yàn)閏遠(yuǎn)小于|，可以認(rèn)為即周期可為2l。然后以Xxl,Yy代入新坐標(biāo)系XoY下的應(yīng)力XX,YY,XY，將新坐標(biāo)系XoY下的應(yīng)力XX,YY,XY轉(zhuǎn)化為舊坐標(biāo)系xoy下的應(yīng)力xx7yy7xyo習(xí)題5、已知復(fù)應(yīng)力函數(shù)cz2，

53、式中c為實(shí)常數(shù)，試求其所代表的應(yīng)力狀態(tài)。3解：設(shè)應(yīng)力函數(shù)2zcz,2zcz。z2cz,z2c,2cz,設(shè)zxiy。據(jù)第一、第二應(yīng)力組合公式y(tǒng)yyyxx8cxxx2ixy8cx所以xy0,xx0,yy8cx。它可表示為一個(gè)矩形板純彎曲純的應(yīng)力狀態(tài)。如圖4-5所示，設(shè)h22x0yydX梁寬為1，其中彎矩-2322x8cxdxch03pM廣o玉yx.工、一圖4-51 1 #習(xí)題6、如圖4-6所示，無限大板中的一點(diǎn)作用有集中力p,試用復(fù)勢zAin乙zBZnz求解板中的應(yīng)力和位移。解：設(shè)zAz21BlnzB，而z-z據(jù)第一應(yīng)力組合yyxxrr4Rez現(xiàn)集中力P作用在坐標(biāo)原點(diǎn)0,而原點(diǎn)0是復(fù)勢z,z的孤立

54、奇點(diǎn),應(yīng)將原點(diǎn)挖去一個(gè)小圓域而形成多連通域。則復(fù)勢z,z應(yīng)為RxiRylnzK1KRxiRy*z,zlnz*z。其中外力2K1Ryo,RxP。而現(xiàn)在為平面應(yīng)力狀態(tài)，3,為材料的泊松比。故復(fù)勢1Ainz和lnz*z,zKP12Klnz*z(a)zBlnzB代入(a)式得P門,*z02K1KPK(b)(1)求應(yīng)力分量在極坐標(biāo)中，zireA.sinrAcosrrr3ABcosryr-Pr/Q/:/xoL-I圖4-6其中A,B由(b)式確定，且(2)求位移分量位移的復(fù)勢表示為其中A,B由(b)式確定,習(xí)題7、如圖4-7所示，半徑為a的圓板,在其兩側(cè)相對著的等長弧段上作用著壓應(yīng)力p,試求板中圖4-8 的

55、應(yīng)力。解：這是軸對稱問題，宜采用極坐標(biāo)表示。設(shè)復(fù)應(yīng)力函數(shù)（或復(fù)勢）z,z，則rrrr2ir2zz2e2izz(a)而應(yīng)力邊界條件為rri現(xiàn)在rr將rr展開成三角級數(shù)形式得其中Cmrrimeimpe數(shù)時(shí)，Cm0，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),rrm2p即C0-2rr在單連通域中，yJo圖4-72itep,0,P,0,rr(b),mCm1m2m11m2imme0,1,im|ped2,ip2imemeimeimeim當(dāng)m為奇2p.sinm。故並sinmeimsinmcosmisinmsin(c)PdPd現(xiàn)在孔邊載荷的合力RxRy0，復(fù)勢z和z為單值函數(shù)，有AiB10,AoBq0oz展開成級數(shù)得zAmzmm0mzBm

56、Zm0(d)aei，將(c),(d)兩式代入(b)式得兩邊對應(yīng)的eim項(xiàng)的系數(shù)相等正幕：m=0時(shí),AoAo2C0,(A0aAo0)m=1時(shí),AaBiaCi,AiBiCi自然成立。m=2時(shí),A2aBoC2,A2A2C2apa2sin23的偶數(shù)時(shí)，Cm,AmAmCmam2pamsinm負(fù)幕：m綜上得:3的奇數(shù)時(shí),AmAm0Bm2m2CBmAmCBm11m2pamsinm2AmZmm011m2pamsinmm22rei，并將上述三式代入式，分離實(shí)部和虛部得習(xí)題8、試求如圖所示無窮大板承受純剪切載荷時(shí)橢圓孔邊的應(yīng)力。1olxJIi1丁1_1解：采用復(fù)變函數(shù)保角變換方法求解此平面應(yīng)力問題。（一）、選擇變

57、換函數(shù)選擇將橢圓孔外域映射成單位圓內(nèi)域的變換函數(shù):其中Rmab2，在單位圓周上有b（二）、計(jì)算幾何項(xiàng):2m市20。而21（三）、計(jì)算邊界載荷及由于孔邊界不受外力，故式中A。s,0,A0RxRy02ReA0BoiR與無窮遠(yuǎn)處S。得0,ReAo0A1B10,則Bo的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。iRsmyyxx現(xiàn)無窮遠(yuǎn)處為純剪應(yīng)力狀態(tài)，2ixyis，于是12iRsiCDq，其中函數(shù)f在外域解析，其積iRs0,故0（四）、計(jì)算復(fù)勢（五）、返回Z平面（物理平面）由應(yīng)力邊界條件橢圓邊界上的0;當(dāng)時(shí)，橢圓孔邊的S作用的無限大板，其中間有一橢圓孔，試用習(xí)題9、如圖4-9所示，在無窮遠(yuǎn)處承受均勻拉應(yīng)力曲線坐標(biāo)（橢圓坐標(biāo)）求橢

58、圓孔邊的應(yīng)力分布。 解：采用由zCch所導(dǎo)出的橢圓坐標(biāo)，較容易得出橢圓孔的邊界條件，使該問題的求解過程變得較簡單。設(shè)域內(nèi)一點(diǎn)以直角坐標(biāo)表示為：zxiy，對應(yīng)的橢圓坐標(biāo)為：i。則zCchCchcosiCshsinxiy，所以(a)xCchcosyCshsin當(dāng)為常數(shù)時(shí)，（a）式表示相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程。令0表示直角坐標(biāo)系中的橢圓孔，則應(yīng)有(b)aCch0,bCsh0由（b）式可定出o和c。當(dāng)時(shí)，即表示無限大的橢圓。對題中的問題選取復(fù)勢：2zACsh,zBC（c）式中A，B均為待定的復(fù)常數(shù)，下面驗(yàn)證復(fù)勢可滿足應(yīng)力和位移邊界條件，并確定復(fù)常數(shù)A，B。當(dāng)時(shí)，xyP，即卩P；當(dāng)0時(shí)（即在橢圓孔的邊界上）0

59、。由zCch可得：生Csh,e-de21shshshsh，于是zACchdzAchshActh（d）當(dāng)時(shí)，yx4Rez2P，而當(dāng)時(shí)，cth1。所以，A&。由（c）和（d）式可求得2邊界條件，即時(shí),2ish2e2i只要再適當(dāng)選取常數(shù)在橢圓孔上,12:shsh移的復(fù)勢表達(dá)式，因此有zz0,zz0，即0,P,0。于是0。這樣就滿足了無窮遠(yuǎn)處的使由復(fù)勢確定的應(yīng)力滿足橢圓孔處的邊界條件，問題就得到解決。2i2ie1sh2sh0,0,=Ach202e2iz，注意到Ashsh20。因此有Bch。若取B2iechAch2生，可求得shBch，2ch20，則當(dāng)0時(shí)有這樣便滿足了橢圓孔處的邊界條件。因此，本問題的

60、復(fù)勢被確定為pC22ch20。還需檢驗(yàn)由此復(fù)勢得到的位移是否滿足位移單值條件。由位上式中的K在平面應(yīng)力狀態(tài)下汁。上式中的雙曲函數(shù)均是以2為周期的函數(shù)，因此當(dāng)繞const的任一橢圓一周后，位移v將恢復(fù)為起始位移值，這就保證了位移的單值性。橢圓孔邊的應(yīng)力可由4Rez2pRecth2咖求得；當(dāng)ch2cos20時(shí),0,因此其最大值在長軸的端點(diǎn),2psh2ch20。0cos2處,其最大應(yīng)力值為由(b)式可求出0和c：C222ab,sh20maxzCchCchcosiCshsinxiy,所以xCchcosyCshsin當(dāng)為常數(shù)時(shí)，(a)式表示相應(yīng)的雙曲線參數(shù)方程。(a)令0表示直角坐標(biāo)系中的雙曲線AB段。