專題07 線段中點(diǎn)及角平分線的計(jì)算【含答案】

1、專題07線段中點(diǎn)及角平分線的計(jì)算考點(diǎn)1：利用線段的中點(diǎn)可以得到線段相等或有倍數(shù)關(guān)系的等式來輔助計(jì)算，由相等的線段去判斷中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)必須在線段上才能成立 訓(xùn)練1： 線段中點(diǎn)問題eq avs4al(類型1) 與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算1如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC8 cm，CB6 cm，點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)(1)求線段MN的長(zhǎng)(2)若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足ACCBa cm，其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并說明理由(第1題)解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，所以CMeq f(1,2)ACeq f(1,2)84(cm)，CNeq f(1,2)BCeq f(1,2)63(

2、cm)所以MNCMCN437(cm)(2)MNeq f(1,2)a cm.理由如下：同(1)可得CMeq f(1,2)AC，CNeq f(1,2)BC，所以MNCMCNeq f(1,2)ACeq f(1,2)BCeq f(1,2)(ACBC)eq f(1,2)a cm.eq avs4al(類型2) 與線段中點(diǎn)有關(guān)的說明題2畫線段MN3 cm，在線段MN上取一點(diǎn)Q，使MQNQ；延長(zhǎng)線段MN到點(diǎn)A，使ANeq f(1,2)MN；延長(zhǎng)線段NM到點(diǎn)B，使BN3BM.(1)求線段BM的長(zhǎng)；(2)求線段AN的長(zhǎng)；(3)試說明點(diǎn)Q是哪些線段的中點(diǎn)解：如圖(第2題) (1)因?yàn)锽N3BM，所以BMeq f(1

3、,2)MN.因?yàn)镸N3 cm，所以BMeq f(1,2)31.5(cm)(2)因?yàn)锳Neq f(1,2)MN，MN3 cm，所以AN1.5 cm.(3)因?yàn)镸N3 cm，MQNQ，所以MQNQ1.5 cm.所以BQBMMQ1.51.53(cm)，AQANNQ3 cm.所以BQQA.所以點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)，也是線段AB的中點(diǎn) 訓(xùn)練2： 線段分點(diǎn)問題eq avs4al(類型1) 與線段分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算(設(shè)參法)3如圖，B，C兩點(diǎn)把線段AD分成243的三部分，M是線段AD的中點(diǎn)，CD6 cm，求線段MC的長(zhǎng)(第3題)解：設(shè)AB2k cm，則BC4k cm，CD3k cm，AD2k4k3k9k(cm)

4、因?yàn)镃D6 cm，即3k6，所以k2.所以AD18 cm.又因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn)，所以MDeq f(1,2)ADeq f(1,2)189(cm)所以MCMDCD963(cm)eq avs4al(類型2) 線段分點(diǎn)與方程的結(jié)合4A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，4個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)(1)幾秒后，原點(diǎn)恰好在A，B兩點(diǎn)正中間？(2)幾秒后，恰好有OAOB12?(第4題)解：(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s，依題意得x3124x，解得x1.8.所以1.8 s后，原點(diǎn)恰好在A，B兩點(diǎn)正中間(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)：124t2(t3)，即

5、t1；點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)：4t122(t3)，即t9.所以1 s或9 s后，恰好有OAOB12.考點(diǎn)2：角平分線的定義是進(jìn)行角度計(jì)算常見的重要依據(jù)，因此解這類題要從角平分線找角的數(shù)量關(guān)系，利用圖形中相等的角的位置關(guān)系，結(jié)合角的和、差關(guān)系求解 題型1： 角平分線間的夾角問題(分類討論思想)1已知AOB100，BOC60，OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的度數(shù)解：(1)如圖，當(dāng)OC落在AOB的內(nèi)部時(shí)，因?yàn)镺M平分AOB，ON平分BOC，所以BOMeq f(1,2)AOBeq f(1,2)10050，BONeq f(1,2)BOCeq f(1,2)6030.所以MONBOMBON503020.(

6、第1題) (2)如圖，當(dāng)OC落在AOB的外部時(shí)，因?yàn)镺M平分AOB，ON平分BOC，所以BOMeq f(1,2)AOBeq f(1,2)10050，BONeq f(1,2)BOCeq f(1,2)6030.所以MONBOMBON503080.綜上可知，MON的度數(shù)為20或80. 題型2： 巧用角平分線解決折疊問題(折疊法)2如圖，將一張長(zhǎng)方形紙斜折過去，使頂點(diǎn)A落在A處，BC為折痕，然后把BE折過去，使之落在AB所在直線上，折痕為BD，那么兩折痕BC與BD間的夾角是多少度？(第2題)解：因?yàn)镃BA與CBA折疊重合，所以CBACBA.因?yàn)镋BD與ABD折疊重合，所以EBDABD.又因?yàn)檫@四個(gè)角的

7、和是180，所以CBDCBAABDeq f(1,2)18090，即兩折痕BC與BD間的夾角為90. 題型3： 巧用角平分線解決角的和、差、倍、分問題(方程思想)3如圖，已知COB2AOC，OD平分AOB，且COD19，求AOB的度數(shù)(第3題)解：設(shè)AOCx，則COB2x.因?yàn)镺D平分AOB，所以AODeq f(1,2)AOBeq f(1,2)(AOCBOC)eq f(3,2)x.又因?yàn)镃ODAODAOC，所以19eq f(3,2)xx，解得x38.所以AOB3x338114. 題型4： 巧用角平分線解決角的推理問題(轉(zhuǎn)化思想)4如圖，已知OD，OE，OF分別為AOB，AOC，BOC的平分線，D

8、OE和COF有怎樣的關(guān)系？說明理由(第4題)解：DOECOF.理由如下：因?yàn)镺D平分AOB，所以DOBeq f(1,2)AOB.因?yàn)镺F平分BOC，所以BOFeq f(1,2)BOC.所以DOBBOFeq f(1,2)AOBeq f(1,2)BOCeq f(1,2)AOC，即DOFeq f(1,2)AOC.又因?yàn)镺E平分AOC，所以EOCeq f(1,2)AOC.所以DOFEOC.又因?yàn)镈OFDOEEOF，EOCEOFCOF，所以DOECOF. 題型5： 角平分線與線段中點(diǎn)的結(jié)合5如圖，(1)已知AOB90，BOC30，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度數(shù)(2)如果(1)中AOB，其

9、他條件不變，求MON的度數(shù)(3)如果(1)中BOC(90)，其他條件不變，求MON的度數(shù)(4)從(1)(2)(3)的結(jié)果中能得到什么樣的規(guī)律？(5)線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒解法，請(qǐng)你模仿(1)(4)，設(shè)計(jì)一道以線段為背景的計(jì)算題，給出解答，并寫出其中的規(guī)律(第5題)解：(1)因?yàn)镺M平分AOC，ON平分BOC，所以MOCeq f(1,2)AOC，NOCeq f(1,2)BOC.所以MONMOCNOCeq f(1,2)AOCeq f(1,2)BOCeq f(1,2)(AOBBOC)eq f(1,2)BOCeq f(1,2)AOB45.(2)MONeq f(1,2)AOBeq f(,2).(3)MONeq f(1,2)AOB45.(4)從(1)(2)(3)的結(jié)果中可看出：MON的大小總等于AOB的一半，而與BOC的大小變化無關(guān)(5)可設(shè)計(jì)的問題：如圖，線段ABa，延長(zhǎng)AB到C使BCb，點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的