數(shù)學史教案(朱家生)

1、閩 江 學 院 教 案課 程 名 稱 ： 數(shù)學史 課 程 代 碼 ： 授課專業(yè)班級 ： 10數(shù)本（1）（2）（3）（4）授 課 教 師 ： 陳福松 系 別 ： 數(shù)學系 2012 年 9 月 1 日緒論 一、教學時間安排：3學時二、教學目的、要求：1.了解數(shù)學史研究對象；2.理解學習數(shù)學史的意義。三、教學的重點和難點：數(shù)學史研究對象和學習數(shù)學史的意義的介紹四、教學方法和教學手段：講授法、多媒體輔助五、教學過程設(shè)計：導入、新課、小結(jié)六、教學內(nèi)容：數(shù)學是人類文明的一個重要組成部分。與其他文化一樣，數(shù)學科學也是幾千年來人類智慧的結(jié)晶。（數(shù)學是人類文明的一個重要組成部分？）（1）從遠古時期的結(jié)繩記事、屈

2、指記數(shù)到借助于現(xiàn)代電子計算機進行計算、證明與科學管理，從利用勾股測量等具體的操作到抽象的公理化體系的產(chǎn)生，所有這些，都構(gòu)成了科學史上最富有理性魅力的題材。（1）隨著時代的進步，數(shù)學科學的思想、方法與內(nèi)容已經(jīng)滲透到人類生活的各個領(lǐng)域，科學技術(shù)包括社會科學的數(shù)學化已成為一種共識。（數(shù)學科學的思想、方法與內(nèi)容已經(jīng)滲透到人類生活的各個領(lǐng)域？科學技術(shù)包括社會科學的數(shù)學化已成為一種共識？）人類的現(xiàn)實生活需要數(shù)學、國家的發(fā)展、科學技術(shù)的進步更離不開數(shù)學。（20世紀中葉，美、蘇兩國在檢討本國科技落后時，尋找到的最終根源都是“數(shù)學問題”沒處理好）因此，具備一些必需的數(shù)學知識和一定的數(shù)學思想方法，是現(xiàn)代人才基本素

3、質(zhì)的非常重要的組成部分。（為什么說具備必需的數(shù)學知識和一定的數(shù)學思想方法，是現(xiàn)代人才基本素質(zhì)的非常重要的組成部分？）（1）與其他學科相比，數(shù)學是一門積累性很強的學科，他的許多重大理論都是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。（天文學地心學說；物理學燃素說，等等都被推翻了。）如果我們不去追溯古今數(shù)學思想方法的演變與發(fā)展，也就不可能真正理解數(shù)學的真諦，正確把握數(shù)學科學發(fā)展的方向。（許多有成就的數(shù)學家都關(guān)注數(shù)學發(fā)展史。如我國的華羅庚、蘇步青、吳文俊、張奠宙、法國的龐加萊等大數(shù)學家都非常關(guān)注數(shù)學史的發(fā)展）。法國著名數(shù)學家龐加萊說過：“如果我們要預(yù)知數(shù)學的未來，最適合的途徑就是研究數(shù)學這門科學的歷史和

4、現(xiàn)狀?！保?“如果我們要預(yù)知數(shù)學的未來，最適合的途徑就是研究數(shù)學這門科學的歷史和現(xiàn)狀?！?誰的名言？）數(shù)學史主要研究數(shù)學科學發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律，簡單地說就是研究數(shù)學的歷史。（數(shù)學史主要研究什么？）它不僅追溯數(shù)學內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學科學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。（1）數(shù)學史的研究對象不僅包括具體的數(shù)學內(nèi)容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內(nèi)容，是一門交叉性學科。（如果人類文明史去掉數(shù)學史，那么人類文明史將會變成？）（1）研究與學習數(shù)學史，可以弄清數(shù)學發(fā)展過程中的基本史實，再現(xiàn)其本來面貌，同時透過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)

5、學成就、理論體系與發(fā)展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數(shù)學科學發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì)，幫助我們掌握數(shù)學的思想、方法、理論和概念，認識數(shù)學科學與人類社會的互動關(guān)系以及研究數(shù)學思想的傳播與交流史，了解數(shù)學家的生平等。（為什么要學數(shù)學史？）（1）具體而言，學習數(shù)學史至少具有以下一些重要意義：首先，每一門科學都有其發(fā)展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史性又有其現(xiàn)實性。其現(xiàn)實性首先表現(xiàn)在科學概念與方法的延續(xù)性。（今日的科學研究在某種程度上是對歷史上科學傳統(tǒng)的深化和發(fā)展，或者是對歷史上科學難題的解決，因此，我們無法割裂科學現(xiàn)實與科學史之間的聯(lián)系。）數(shù)學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數(shù)學

6、更是積累性科學，其概念和方法更具有延續(xù)性。（2）科學史的現(xiàn)實性還表現(xiàn)在為我們今日的科學研究提供經(jīng)驗教訓和歷史借鑒，預(yù)見科學未來，使我們在明確科學研究的方向上少走彎路或錯路，為當今科技發(fā)展決策的制定提供依據(jù)。（2）我國著名數(shù)學史家李文林先生曾經(jīng)說過：“不了解數(shù)學史就不可能全面了解數(shù)學科學?！保?）美國數(shù)學史家M.克萊因曾經(jīng)說過：“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學活動密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個時代尤為明顯?！薄皵?shù)學不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學更重要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術(shù)家十分有用，同時影響著政治家和神學家的

7、學說”。（2）例如，古希臘（公元前600年公元前300年）的數(shù)學家們強調(diào)嚴密的推理和由此得出的結(jié)論，他們不關(guān)心這些成果的實用性，而是要人們?nèi)ミM行抽象的推理，從而激發(fā)對理想與美的追求。通過對希臘數(shù)學史的考察，就容易理解為什么古希臘會具有很難為后世超越的優(yōu)美文學、極端理性化的哲學以及理想化的建筑與雕塑了。再者，當我們學習過數(shù)學史后，自然會有這樣的感覺：數(shù)學的發(fā)展并不合乎邏輯?；蛘哒f，數(shù)學發(fā)展的實際情況與我們今日所學的數(shù)學教科書很不一致。（3）通過對數(shù)學史的學習和研究，既可以使數(shù)學類專業(yè)的學生在接受數(shù)學專業(yè)訓練的同時，獲得人文科學方面的修養(yǎng)；也可使文科或其他專業(yè)的學生了解數(shù)學概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)

8、。此外，歷史上數(shù)學家的業(yè)績與品德也會在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。（3）思考題：1、簡述數(shù)學史研究的對象是什么？2、簡述數(shù)學史與數(shù)學教育的關(guān)系。3、簡述文科與理科學生學習數(shù)學史的必要性。第一章 源自河谷的古老文明數(shù)學的萌芽一、教學時間安排：3學時二、教學目的、要求：1、了解數(shù)學的起源與世界古老文明產(chǎn)生的關(guān)系；2、探討古埃及和古巴比倫人古老的數(shù)學知識在我們的生活中哪些還具有現(xiàn)實意義。三、教學的重點和難點：數(shù)學的起源與世界古老文明產(chǎn)生的關(guān)系及古埃及和古巴比倫人古老的數(shù)學的介紹。四、教學方法和教學手段：講授法、多媒體輔助五、教學過程設(shè)計：導入、新授課、小結(jié)六、教學內(nèi)容。數(shù)學，作為人類文明的

9、重要組成部分，有著非常悠久的歷史。據(jù)文字記載，至少在5000年以前，人類就已有了數(shù)學活動。數(shù)學是人類文明的一部分，最早出現(xiàn)于尼羅河中下游的古埃及、幼發(fā)拉底河與底格里斯河兩河流域的古巴比倫、黃河流域的中國和恒河流域的印度。但就國外數(shù)學發(fā)展的源頭而言，客觀地講，一般還應(yīng)首推古埃及與古巴比倫。（4）1.1 古埃及的數(shù)學我們知道，非洲的尼羅河是世界上最長的河流之一。早在公元前3000年左右，在這條河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隸制國家，其地理位置與現(xiàn)在的埃及區(qū)別不大。打獵、漁業(yè)及畜牧業(yè)是古埃及人最初的謀生方式。一年一度的尼羅河的洪水給這片谷地帶來的肥沃的淤泥，那些以游牧為生的古埃及人便在這里定居

10、下來，由狩獵轉(zhuǎn)向耕種。在發(fā)展農(nóng)業(yè)的同時，手工業(yè)與貿(mào)易也隨之迅速發(fā)展起來，這些都推動了自然科學各學科知識的積累。（4）提到古埃及，大家就會自然想到作為世界七大奇跡之一的金字塔。位于開羅附近的吉薩省的胡夫金字塔法老胡夫的陵墓是埃及最大的金字塔，大約建于公元前2500年左右。該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個方向，邊長230.5m，塔高146.6m（現(xiàn)高約137m）。近年來，科學家們通過古埃及人在建造神奇的金字塔、獅身人面像以及神廟的同時，也建立了相當發(fā)達的數(shù)學。從公元前3000年起，古埃及人就已經(jīng)有了象形文字。（流傳至今的古埃及文獻，大部分是以僧侶文（又稱祭司文）書寫在紙草上保存下來

11、的，人們通常稱其為紙草書）。（6）保存至今有關(guān)數(shù)學的紙草書主要有兩種：一種是陳列于英國倫敦大不列顛博物館東方展室中的蘭德紙草書，這是由英國人蘭德1858年搜集到的；另一種收藏于俄國莫斯科美術(shù)博物館，被稱為莫斯科紙草書，這是由俄羅斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的。這兩份紙草書都是公元前2000年前后的作品，為古埃及人記錄一些數(shù)學問題的問題集。人們對古埃及人數(shù)學的了解主要來自這些紙草書以及其他保留至今的歷史文獻。（6）1.1.1 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人使用的是十進制記數(shù)制，并且有數(shù)字的專門符號。當在一個數(shù)中出現(xiàn)某個數(shù)碼的若干倍時，就將它的符號重復(fù)寫若干次，即遵守加法的法則，這說明，古埃及人

12、的記數(shù)系統(tǒng)是疊加制而不是位值制。古埃及人已有了分數(shù)的概念，但他們僅使用單位分數(shù)也就是分子為1的分數(shù)，表示整體的若干等份中的一份，只有2/3是一個例外。（6）古埃及人的乘法運算與除法運算是通過疊加來進行的。（7）1.1.2 古埃及的代數(shù)古埃及紙草書中出現(xiàn)的“計算若干”的問題，實際上相當于方程問題，他們解決這類問題的方法是試位法。古埃及人還用它來解二次甚至更高次的方程。（7）在古埃及紙草書中還有有關(guān)數(shù)列問題的記載。（8）等比數(shù)列也已在古埃及紙草書中出現(xiàn)。1.1.3古埃及的幾何學古埃及的幾何學是尼羅河的贈禮。尼羅河水泛濫后沖刷去了許多邊界標記，洪水退后也需要重新勘測土地的界線，這一切，為他們認識基本

13、幾何形狀和形成幾何概念提供了實際背景。在兩種紙草書的110個問題中，有26個是幾何問題，其中大部分是計算土地的面積與谷物的體積，還有許多與金字塔有關(guān)。（8）古埃及人認為圓的面積等于直徑的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圓周率近似地取為3.16。（8）著名數(shù)學史家貝爾形象地將古埃及的正四棱臺的體積公式稱為“最偉大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通過具體問題說明了高為h、底邊長為a和b的正四棱臺的體積公式是：略1.2古巴比倫的數(shù)學古巴比倫，又稱美索波達米亞（錯誤），位于亞洲西部的幼發(fā)拉底河與底格里斯河兩河流域，大體上相當于今天的伊拉克。大約是在公元前3000年左右，古巴比倫人在這里建立了自己的

14、奴隸制國家。（9）在過去相當長的一段時間內(nèi)，人們對于古巴比倫數(shù)學的認識是通過古希臘文化中的零星資料得到的。（9）19世紀后期，考古學家開始發(fā)掘美索波達米亞遺址，在發(fā)掘的過程中，人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)以萬計的不同時期的泥板，他們用膠泥制成的，一塊完整的泥板與手掌的大小差不多，上面寫有符號，這種符號是用斷面呈三角形的尖棍刻寫的，呈楔形，故人們稱之為楔形文字。（10）（人們?yōu)槭裁窗压虐捅葌惖奈淖址Q為楔形文字？）1.2.1古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫法，其記數(shù)系統(tǒng)是60進制。（10）古巴比倫人也使用分數(shù)，他們總是用60作分母，因此古巴比倫人的分數(shù)系統(tǒng)是不成熟的。（10）與古埃及人相仿，古巴比

15、倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來進行的，在已發(fā)現(xiàn)的泥版書中，大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表。倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進行，指數(shù)表和插值法一起用來解決復(fù)利問題的。1.2.2古巴比倫的代數(shù)在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學已出現(xiàn)了用文字敘述的代數(shù)問題。（11）古巴比倫人可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式，由于他們沒有負根的概念，二次方程的負根不予考慮。他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法。（11）最令人感興趣的是哥倫比亞大學普林頓收集館中收藏的第322號泥板，這是一張勾股數(shù)數(shù)表（即x+y=z的整數(shù)解）表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式：x=2

16、uv,y=u-v,z=u+v而這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學中一個極為重要的成就。（11.2.3古巴比倫的幾何在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因為實際中的幾何問題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，他們的面積和體積計算是按照一些固定的法則和公式給出的。（12）古巴比倫人還有把相當復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng)。（12）古巴比倫人錯誤地認為，圓臺或棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積。這一事實表明，古巴比倫的計算方法還是經(jīng)驗型的，這些結(jié)果都沒有經(jīng)過證明。（12）1.2.4古巴比倫的天文學在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法，他們的年歷是從春分開始的

17、，一年有12月，每月有30天。（12）所謂“星期”也就是指星的日期，我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時代所創(chuàng)立的。（12）從古巴比倫和古埃及的數(shù)學，可以看出，它們的內(nèi)容都與那個地區(qū)的社會和生活的需要密切相關(guān)。（13）古巴比倫人對天文學的研究比較感興趣，因此，相對而言，他們的以60進位記數(shù)法為基礎(chǔ)的算術(shù)與代數(shù)較為領(lǐng)先。（13）古埃及人偏重于測量與建筑施工，因而他們的幾何成果比較突出。以上情況表明，數(shù)學從她的萌芽之日起，就是以實際需要為基礎(chǔ)的，離開了實際需要，數(shù)學研究就缺少了直接動力，數(shù)學也就不能迅速發(fā)展了。（13）需要指出的是，在古巴比倫或古埃及的數(shù)學知識還僅僅表現(xiàn)為對于一些實際問題觀察的結(jié)果

18、以及某些經(jīng)驗的積累，數(shù)學學科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們察覺，更談不上掌握了。在古埃及和古巴比倫時代，數(shù)學還只是作為一種用來處理日常生活中遇到的計算與度量問題的工具或者方法，其所給出的僅僅是“如何去做”，而基本沒有涉及到“為什么這樣做”，這標志著他們的數(shù)學還遠沒有進入理性思維的階段。（13）從這個意義上來說，數(shù)學作為一門科學還遠遠沒有建立起來。（13）思考題：1、進一步收集閱讀相關(guān)資料，進行整理研究，初步探討數(shù)學的起源與世界古老文明產(chǎn)生的關(guān)系。2、進行調(diào)查研究，探討古埃及和巴比倫人哪些古老的數(shù)學知識在我們的生活（包括學習、工作等）中還具有現(xiàn)實意義。3、在古埃及和古巴比倫人的數(shù)學中，

19、大量地使用了歸納的思想。試通過對他們文獻資料的研究，闡述他們是如何利用這種思想發(fā)現(xiàn)和得到數(shù)學結(jié)論的，并進一步探討這種古老的思想方法對于我們今天的數(shù)學研究的現(xiàn)實意義。4、試比較古埃及人和巴比倫人解方程的飯飯，探討他們各自對后來的數(shù)學發(fā)展的啟迪作用。第二章 地中海的燦爛陽光希臘的數(shù)學一、教學時間安排：3學時二、教學目的、要求：1、了解古典時期的希臘學派對數(shù)學科學的發(fā)展的重要貢獻；2、了解第一次數(shù)學危機的起因及畢氏學派對危機所采取的態(tài)度；3、了解亞歷山大時期的希臘數(shù)學；4、了解歐幾里得幾何原本對數(shù)學及整個科學的發(fā)展的重大意義。三、教學的重點和難點：第一次數(shù)學危機的起因與畢氏學派對危機所采取的態(tài)度及歐

20、幾里得幾何原本對數(shù)學及整個科學的發(fā)展的重大意義的介紹。四、教學方法和教學手段：講授法、多媒體輔助五、教學過程設(shè)計：導入、新授課、小結(jié)六、教學內(nèi)容：從公元前2000年左右到公元前30年，古希臘人（又稱海倫人）以巴爾干半島、愛琴海諸島和小亞細亞沿岸為中心，在包括北非、西亞和意大利半島南部及西西里島的整個地中海地區(qū)建立起了一系列奴隸制國家。（希臘數(shù)學是希臘人創(chuàng)造的嗎？）特別是在公元前5、6世紀西波戰(zhàn)爭以后，雅典取得了希臘社會的霸主地位，經(jīng)濟生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個基礎(chǔ)上產(chǎn)生了在整個世界文明史中都占有十分重要地位的希臘文化，數(shù)學也是其中非常重要的一個組成部分。（14）希臘一些城市加強與海外

21、各地的商業(yè)聯(lián)系，為希臘接觸并吸收優(yōu)秀的東方文化提供了方便。（15）從公元前6世紀起，由于經(jīng)濟和政治的進步，希臘出現(xiàn)了歐洲文化的第一個高峰，希臘數(shù)學就是其中的重要成就之一。（15）數(shù)學史上把公元前6世紀至公元前3世紀的希臘數(shù)學稱為古典時期的希臘數(shù)學或前期希臘數(shù)學，而把公元前3世紀至公元6世紀稱為后期希臘數(shù)學，希臘眾多的數(shù)學學派的工作把數(shù)學研究推進到一個嶄新的階段。（15）2.1希臘數(shù)學學派與演繹數(shù)學的產(chǎn)生在公元前6世紀公元前3世紀期間，先后出現(xiàn)了許多數(shù)學學派，（什么時候出現(xiàn)許多數(shù)學學派？）他們的工作使得希臘數(shù)學得以長足的發(fā)展，其中最有影響的有愛奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、巧辯學派和柏拉圖學派。（

22、15）2.1.1愛奧尼亞學派和演繹證明以演繹證明為基本特征的數(shù)學，最早誕生于古希臘愛奧尼亞地區(qū)的海濱城市米利都。（15）（什么城市？什么數(shù)學成就？）享有“希臘科學之父”盛譽的泰勒斯（公元前636公元前546）在這里創(chuàng)立了古希臘歷史上的第一個數(shù)學學派愛奧尼亞學派。（15）（誰創(chuàng)立？數(shù)學什么學派？）泰勒斯是一個精明的商人，青壯年時代，他依靠自己的聰明才智，在商場上積累了足夠的財富，使他的后半生能夠從事游歷和研究。（15）（可見足夠的經(jīng)濟基礎(chǔ)，才能讓天才更好地發(fā)揮其才能。）關(guān)于泰勒斯的生平和學術(shù)工作雖然沒有確切可靠的材料，但他的成就還是被后人肯定。（15）（是金子總會發(fā)光，）泰勒斯對數(shù)學科學發(fā)展的貢

23、獻不僅在于他發(fā)現(xiàn)一些定理，更重要的是泰勒斯對它們提供了某種邏輯推理。（16）從泰勒斯開始，人們已不僅僅利用直觀和實驗來尋求數(shù)學結(jié)論了。泰勒斯已經(jīng)將邏輯學中的演繹推理引入了數(shù)學，奠定了演繹數(shù)學的基礎(chǔ)，這使得他獲得了第一位數(shù)學家和論證幾何學家鼻祖的美譽。（16）泰勒斯曾用全等三角形的知識計算出海船到海岸的距離，因此他被西方學者稱為“測量學的鼻祖”。（16）（因什么獲得測量鼻祖的美譽？）客觀地講，就數(shù)學科學而言，以泰勒斯為首的愛奧尼亞學派并不出色，但他們在哲學特別是自然哲學方面的工作也是無與倫比的，他們肯定在一切表面現(xiàn)象的千變?nèi)f化之中，有一種始終不變的東西，這一原始物質(zhì)的內(nèi)蘊本質(zhì)是守恒的，而所有的物

24、質(zhì)形式都可用它來解釋，這種理解思維的觀念，正是希臘科學精神的精髓之所在。（16）（）2.1.2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數(shù)”畢達哥拉斯是古希臘哲學家、數(shù)學家、天文學家和音樂理論家，出身于愛琴海中的薩摩斯海（今希臘東部小島），青年時期，他曾經(jīng)離開家鄉(xiāng)，到世界各地游學，游歷過埃及和巴比倫，可能還曾向泰勒斯或他的門徒學習過幾何、哲學，40歲左右，他定居意大利半島南部的克羅多內(nèi)，并在這里組織了一個集政治、宗教和學術(shù)研究于一體的秘密會社，這就是著名的畢達哥拉斯學派。（16）在學術(shù)方面，這個學派主要致力于哲學和數(shù)學的研究。相傳希臘文中“哲學”和“數(shù)學”這兩個詞就是由畢達哥拉斯學派創(chuàng)造的。（16）盡管人們將許

25、多幾何學的成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派的基本信條卻是“萬物皆數(shù)”。（16）在畢達哥拉斯學派看來，萬物的本質(zhì)就是數(shù)，這個學派一個重要成員就曾經(jīng)說過：“人們所知道的一切事物都包含數(shù)，因此，沒有數(shù)既不可能來表達也不可能來理解任何事物?！彼麄冋J為：數(shù)是由單子或1生成的，因此將1命名為“原因數(shù)”，（數(shù)是由什么生成的？“1”被命名為什么數(shù)？）（16）每一個數(shù)都被賦予了特定的屬性，而一切數(shù)中最神圣的是10，他們信奉和崇拜10，認為它是完美、和諧的標志。（他們認為什么數(shù)是完美、和諧的標志？）（16）這種“萬物皆數(shù)”的觀念從另一個側(cè)面強調(diào)了數(shù)學對客觀世界的重要作用，這也是數(shù)學化思想的最初表達形式。（17

26、）（什么思想的最初表達形式？）畢達哥拉斯學派的初步數(shù)學化思想促進了對自然數(shù)的分類研究。（他們定義了許多概念）（17）畢達哥拉斯學派許多關(guān)于數(shù)的規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，都是借助圖形的直觀分析而得到的。（17）他們常把數(shù)以點的形式排成各種圖形。（見教材17）畢達哥拉斯學派認為，“美是和諧與比例”，這是他們對科學美所持的基本觀點。（18）（他們對科學美所持的基本觀點是什么？）在對各種自然物體的本質(zhì)討論中，他們認為，最美的圖形在平面上是圓，在空間是球，整個地球、天體和宇宙是一個圓球，宇宙中的各種物體都作均勻的圓周運動。（18）（最美的圖形是什么？）最完美的數(shù)是10，因為10=1+2+3+4，并將1，2，3，4稱為

27、四象。他們認為音樂的基本原則是數(shù)量原則，音樂節(jié)奏的和諧是由高低、長短、輕重各種不同的音調(diào)，按照一定數(shù)量比例組成的，他們研究了一些美的比和比例關(guān)系；（18）（音樂的基本原則是什么？）畢達哥拉斯不僅把“美是和諧與比例”的科學美學思想用于音樂和天文學，還十分廣泛地將其應(yīng)用到建筑、雕刻、地學、生物學 、醫(yī)學等領(lǐng)域。（18）（美只用于音樂和雕刻？）西方學者認為，有關(guān)直角三角形的“勾股定理”最早是由畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)的。（據(jù)傳，畢達哥拉斯學派為了慶祝這條定理的發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛來祭神，感謝科學藝術(shù)女神繆斯對他們的垂青，因此有人詼諧地將這個定理稱為“百牛定理”，但迄今為止并沒有畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明這一定

28、理的直接證明。）（18）（什么是“百牛定理”？）按照“萬物皆數(shù)”的觀點，畢達哥拉斯學派相信：任何量都可以表示成兩個整數(shù)之比（即某個有理量）。（18）這在幾何上相當于對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段作為單位線段，將所給定的兩條線段劃分為整數(shù)段。他們稱這樣的兩條線段為“可公度量”，既有公共的度量單位。（19）（什么是可公度量？）據(jù)亞里士多德的著作記載，畢達哥拉斯學派曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)正方形的對角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段，其證明與我們現(xiàn)在的中學數(shù)學教科書中證明是無理數(shù)的方法相同。相傳該學派的成員希帕索斯還因為研究這一問題被拋入大海處以極刑。（19）（數(shù)學的研究不是一帆風順的）由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)，

29、畢達哥拉斯學派“萬物皆數(shù)”的信條受到了沖擊，這在數(shù)學史上稱為“第一次數(shù)學危機”。（第一次數(shù)學危機發(fā)生的原因是什么？）希臘人對第一次數(shù)學危機的態(tài)度不是積極地去解決，而是想方設(shè)法去回避它，這就使得從畢達哥拉斯學派開始的對數(shù)的研究專項對型的探討，雖然這種轉(zhuǎn)向最終導致了幾何學的迅速發(fā)展，但在客觀上使得希臘數(shù)學在代數(shù)方面的發(fā)展與其幾何學的成就是很不對稱的。（態(tài)度怎樣？什么原因使其研究轉(zhuǎn)向？）（19）2.1.3芝諾悖論與巧辯學派巧辯學派又稱詭辯學派畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)的不可公度量向希臘數(shù)學提出了一個難題，這就是如何處理離散與連續(xù)、有限與無限的關(guān)系。（提出一個什么難題？）（19）大多數(shù)希臘數(shù)學家回避這個問題，

30、轉(zhuǎn)而去研究幾何量之間的關(guān)系去了。（19）來自盧卡尼亞的一位哲學家芝諾，針對當時對無限、運動和連續(xù)等人們認識模糊不清的概念，提出了45個違背常理的悖論，把這些矛盾暴露出來，在希臘數(shù)學界引起了巨大的震動。（針對什么問題？提出幾個悖論？）（19）芝諾關(guān)于運動的三個悖論是：（1）二分說：物體運動是不存在的；（2）阿基里斯追龜說：阿基里斯是古希臘神話中的“神行太?！?，卻永遠追不上烏龜；（3）飛箭靜止說：飛箭在飛行中的某一瞬間總是停留在某一確定的位置上，他此時是不動的，因此說飛箭實際上是靜止的。（19）芝諾的悖論在當時是十分困難的，因為他的問題已經(jīng)涉及到對于當時的希臘數(shù)學家而言還很模糊的無限與連續(xù)的概念。

31、更重要的是，人們明知它的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒他，這就促使人們開始思考一個理論能否自圓其說的問題。毫無疑問，這也成為公理化思想方法產(chǎn)生的一個重要原因。（19）（芝諾的悖論在當時為什么困難？“自圓其說”與“公理化思想方法產(chǎn)生”的關(guān)系？）巧辯學派創(chuàng)立、活動于雅典。這個學派中聚集了各方面的學者大師，如文法、修辭、辯證法、人文，以及幾何、天文和哲學方面的學者。（20）巧辯學派研究的主要目標之一是用數(shù)學來討論宇宙的運轉(zhuǎn)。（20）巧辯學派的名字與著名的尺規(guī)作圖不能問題緊密地聯(lián)系在一起的。（20）（什么學派的名字與著名的尺規(guī)作圖不能問題緊密地聯(lián)系在一起的？）巧辯學派在芝諾的那些悖論讓古希臘人傷透腦

32、筋的時候，提出了三大著名作圖問題，又讓古希臘人陷入了困惑。（20）（感謝對手?。┧^三大尺規(guī)作圖不能問題是指，只允許用圓規(guī)和直尺作一正方形，使其與給定的圓面積相等；給定立方體的一邊，求作另一立方體之邊，是后者體積兩倍于前者體積；三等分任一已知角。（20）（三大尺規(guī)作圖不能問題是指什么？）圍繞三大作圖不能問題，希臘數(shù)學家們表現(xiàn)出了杰出的數(shù)學思想和方法。許多數(shù)學成果都是研究這三個問題的副產(chǎn)品。（20）（研究不但要重視結(jié)果，更要重視研究的過程，及過程中產(chǎn)生的副產(chǎn)品。）（故事：煮石頭、煮鐵釘）巧辯學派及其他希臘學者，所以要把作圖工具只限于直尺和圓規(guī)，反映了他們對數(shù)學的這樣一個認識：即他們強調(diào)在研究一個

33、概念之前必須證明它的存在性，只有從真理出發(fā)，依靠演繹推理才能獲得真理。在他們看來，直線和圓客觀上是存在的，所以只有用直線和圓構(gòu)作出來的圖形才能保證在邏輯上沒有矛盾，這樣的思想促進了希臘數(shù)學的嚴密化。（21）（希臘學者為什么要把作圖工具只限于直尺和圓規(guī)？）2000多年來，三大作圖（不能）問題的研究，花費了人們的大量心血。（人們對此研究了多少年？）直至1831年，法國數(shù)學家萬采爾首先證明倍立方問題和三等分任意角問題不能用尺規(guī)作圖來解決，接著德國數(shù)學家林德曼于1882年又證明了的超越性，因而否定了用尺規(guī)化圓為方的可能性，到此，三大尺規(guī)作圖（不能）問題才徹底得以解決。（什么時間？什么人？解決了什么問題

34、？2000多年來的研究過程的意義？）（21）2.1.4柏拉圖學派繼巧辯學派之后領(lǐng)導希臘數(shù)學活動的是柏拉圖學派。（繼巧辯學派之后領(lǐng)導希臘數(shù)學活動的是什么學派？）（21）柏拉圖是古希臘哲學家和教育家，出生于雅典的貴族家庭。（柏拉圖出生于何地？）（21）公元前407年，柏拉圖20歲時曾拜年逾六旬的蘇格拉底為師，他是蘇格拉底最杰出的學生，深受蘇格拉底邏輯思想的影響。（柏拉圖幾歲拜誰為師？受誰的邏輯思想的影響？）（21）公元前399年，在蘇格拉底被雅典重建的民主政權(quán)處死后，柏拉圖被迫開始了為期12年的游歷生涯，他先后去了麥加拉、埃及等地，后回到了雅典。（21）（柏拉圖12年的游歷生涯為何稱為被迫？游歷了

35、哪些地方？）公元前387年，柏拉圖在雅典創(chuàng)建了歐洲歷史上第一所綜合性的、傳授知識、培養(yǎng)上層統(tǒng)治者的學校，學校兼收女生，并實行分層次教育。（在什么時間？什么地點？創(chuàng)建什么性質(zhì)的學校？是否招收女生？）（21）柏拉圖對于數(shù)學科學在培養(yǎng)人的思維能力方面的作用有比較充分的認識。據(jù)說在他學校的門口甚至掛上 “不懂幾何者不得入內(nèi)”的告示。（柏拉圖對于數(shù)學科學在培養(yǎng)人的思維能力方面的認識如何？ “不懂幾何者不得入內(nèi)”的告示說明了什么？）（21）柏拉圖學派特別強調(diào)要用數(shù)學來解釋宇宙，因而特別重視對立體幾何的研究。（柏拉圖學派為什么特別重視對立體幾何的研究？）（21）柏拉圖學派把德謨克利特的原子論和畢達哥拉斯的數(shù)

36、學成就等結(jié)合起來，提出了幾何學的原子說。（柏拉圖學派結(jié)合什么成果？從而提出了幾何學的原子說。）（21）柏拉圖學派設(shè)想物質(zhì)世界的本原不是土、氣、水和火，而是兩種直角三角形，即正方形之半與等腰三角形之半。因為這兩種圖形是最完美的圖形，它們可以無限分下去。因此，神就用它們構(gòu)成4種正多面體的界面：火微粒是正四面體，圡微粒是立方體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面體；最初一切是混亂的，后來它們才被安排好，從而形成了宇宙。（柏拉圖學派設(shè)想物質(zhì)世界的本原是什么？為什么？）（21）柏拉圖在其老師蘇格拉底邏輯思想的影響下，明確提出了數(shù)學的演繹證明應(yīng)遵循的邏輯規(guī)則。他指出：“首先我假定某個我認為是最有力的假定，

37、然后肯定凡與之相符合的就是真的，無論是關(guān)于原因還是別的什么，只要與之不符合的，我就認為它是不真的。”這里柏拉圖明確提出，數(shù)學證明是以某些自明的假設(shè)，即公理作為出發(fā)點，然后經(jīng)過一系列嚴格的邏輯推理，他稱之為“假設(shè)法”。（22）顯然這正是公理化方法的開端，對于形成歐幾里得幾何學的公理演繹系統(tǒng)和推進希臘數(shù)學的發(fā)展具有極為重要的意義?？梢哉f，這是古希臘方法論的最高成就。這也表明至少從柏拉圖時代起，數(shù)學就已經(jīng)有了公理化的思想。（柏拉圖在誰邏輯思想的影響下，明確提出了數(shù)學的演繹證明應(yīng)遵循的邏輯規(guī)則？古希臘方法論的最高成就是什么？我們認為數(shù)學公理化的思想至少從柏拉圖時代起就已經(jīng)有了。 ）（22）柏拉圖學派中

38、最杰出的數(shù)學家應(yīng)首推歐多克索斯。有人認為，古希臘數(shù)學家中，他的地位僅次于阿基米德。他的數(shù)學成果成為歐幾里得幾何原本，特別是第5、6、7卷的主要內(nèi)容。他對數(shù)學的最大貢獻是運用公理法建立了比例理論，其中包括相當嚴密的實數(shù)定義，處理了所謂“不可公度量”既無理數(shù)問題。（柏拉圖學派中最杰出的數(shù)學家是誰？歐多克索斯對數(shù)學的最大貢獻是什么？）（22）歐多克索斯的學生梅奈赫莫斯是圓錐曲線理論的創(chuàng)始人。并形成了最早的圓錐曲線理論。（最早的圓錐曲線理論是由誰建立的？）（22）柏拉圖學派的亞里士多德對數(shù)學的最大貢獻是建立了形式邏輯學。亞里士多德把形式邏輯規(guī)范化和系統(tǒng)化，使之上升為一門科學。（亞里士多德對數(shù)學的最大貢

39、獻是是什么？）（22）2.2希臘數(shù)學的黃金時代（有前人的積奠才有黃金時代的出現(xiàn)）早期數(shù)學的進程在很大程度上取決于人類歷史發(fā)展的進程。（早期數(shù)學的進程在很大程度上取決于什么的進程？）（23）亞歷山大城是托勒密王國的首都，經(jīng)歷代托勒密國王的經(jīng)營，成為當時整個地中海地區(qū)最大的城市，在這里興建了藏書達六十萬卷的圖書館，國家設(shè)立了研究機構(gòu)，其研究人員由國家供養(yǎng)。優(yōu)秀數(shù)學家云集于此，亞歷山大學派由此產(chǎn)生。（關(guān)鍵詞：最大城市、興建圖書館、六十萬卷、國家、研究機構(gòu)、研究人員、國家供養(yǎng)。）（亞歷山大學派如何產(chǎn)生的？）（23）亞歷山大的東征，客觀上促進了東西方文化的融合，數(shù)學由此產(chǎn)生了新的生長點。（一分為二地看問

40、題。當你遇到困難時，是否也看到了機遇？）（23）亞歷山大時期的數(shù)學發(fā)展有兩個方向，其一是沿著畢達哥拉斯、柏拉圖開辟的方向，繼續(xù)致力于純粹數(shù)學理論的研究，并使之系統(tǒng)化，其代表人物有歐幾里得、阿波羅尼斯；其二是以阿基米德為代表，致力于研究數(shù)學與天文、物理、力學、光學等學科的結(jié)合，在繼承古典時期研究成果的基礎(chǔ)上，不斷開拓新的領(lǐng)域。（亞歷山大時期的數(shù)學發(fā)展沿那兩個方向發(fā)展？代表人物是誰？）（23）阿基米德、歐幾里得、阿波羅尼斯并稱亞歷山大時期的三大數(shù)學巨人。他們的工作，使得希臘數(shù)學的發(fā)展達到了前所未有的最高水平。（那些數(shù)學家被稱為亞歷山大時期的三大數(shù)學巨人？黃金時代的代表應(yīng)有眾多杰出的數(shù)學家、數(shù)學學派

41、的出現(xiàn)。）（23）2.2.1歐幾里得與他的幾何原本歐幾里得出生于雅典，曾受教于柏拉圖學院。雅典衰落后，應(yīng)托勒密國王的邀請，來亞歷山大城主持數(shù)學學派的工作。（歐幾里得出生于何地？應(yīng)誰的要求到亞歷山大主持數(shù)學學派的工作？）（24）歐幾里得是一位溫和仁慈的藹然長者，學生們都很尊敬他。他嚴謹治學，不圖名利，據(jù)說當托勒密國王向他詢問學習幾何知識的捷徑時，他答道：“幾何無王者之道”。當有一位學生剛學完第一個幾何命題便問歐幾里得學了幾何后將得到什么好處時，歐幾里得則幽默地對侍者說：“拿一個便士給這位先生，因為他總要從他學習的東西中獲取好處的?！保?“幾何無王者之道” 是誰的名言？）（24）歐幾里得是一位勤奮

42、的學者，他以滿腔熱情將以雅典為代表的希臘數(shù)學成果，運用歐多克索斯曾經(jīng)部分采用過的嚴密的邏輯方法重新編纂成書。（將什么為代表的希臘成果，運用誰曾經(jīng)部分采用過的嚴密的邏輯方法重新編纂成書？）（24）歐幾里得首先收集、整理已有的數(shù)學成果，以命題的形式作出表述，完善前人的各種定理并給于重新證明，使其達到無懈可擊的地步。然后，他做出了自己的偉大創(chuàng)造：對定義進行篩選，選擇出具有重大意義的公理，邏輯地、嚴密地按演繹方法組織命題及其證明，最后形成了具有公理化結(jié)構(gòu)和嚴密邏輯體系的幾何原本。它是在公元前300年左右完成的。（歐幾里得如何完成幾何原本的？在整理過程中有那些偉大創(chuàng)造？幾何原本完成的時間？）（24）“原

43、本”希臘文的原意是指一學科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理。（24）歐幾里得幾何原本的原稿早已丟失，現(xiàn)在版本是以希臘評注家泰奧恩編寫的修訂本為依據(jù)的。全書分13卷，共有465個命題。（原稿已丟失，現(xiàn)在版本是以誰編寫的修訂本為依據(jù)的？全書分幾卷？共有幾個命題？）（25）前六卷相當于平面幾何內(nèi)容，第一卷首先用23個定義給出了點、線、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了5個公設(shè)和5個公理。（25）值得指出的是，由于幾何原本中第5公設(shè)所闡述的事實不像其他4個公設(shè)那樣明顯，人們懷疑它可能由前4條公設(shè)推出，（既不獨立于前4條公設(shè)）。因此，在幾何原本問世以后的2000多年中，許多人都曾試圖由其它的公設(shè)給出這一

44、公設(shè)的證明。直到19世紀初由于羅巴切夫斯基、高斯、波爾約等人的工作導致了“非歐幾何”的誕生，人們才知道該公設(shè)是不能由其它公設(shè)推導出來的，從而證明了這5個公設(shè)是相互獨立的。同時，隨著非歐幾何的誕生，人們關(guān)于幾何的認識也從歐幾里得的框架中解放出來，使得幾何學得到迅速的發(fā)展。（25）（第5公設(shè)，因何原因引來無數(shù)數(shù)學家2000多年的不懈研究？可見數(shù)學家對問題的態(tài)度。我們從中可得到什么收獲？）幾何原本是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，是約300年來希臘數(shù)學成果、方法、思想和精神的結(jié)晶，其內(nèi)容和形式對幾何學本身和數(shù)學邏輯的發(fā)展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間里一直盛行不衰。他經(jīng)歷多

45、次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版后，至今已有一千多種不同的版本。除了圣經(jīng)之外，沒有任何其他著作、其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與幾何原本相比。但幾何原本超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，卻是圣經(jīng)所無法比擬的。（26）（ 幾何原本是古希臘數(shù)學家誰的一部不朽之作，是約多少年來希臘數(shù)學成果、方法、思想和精神的結(jié)晶？自哪年第一個印刷本出版后，至今已有多少種不同的版本？影響可與圣經(jīng)比擬的數(shù)學著作是哪一本？ ）誠然，正如一些現(xiàn)代數(shù)學家所指出的那樣，幾何原本存在著一些結(jié)構(gòu)上的缺陷，但這絲毫無損于這部著作的崇高價值。它的影響之深遠。使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義詞。它集中體現(xiàn)了

46、希臘數(shù)學所奠定的數(shù)學思想、數(shù)學精神，是人類文化遺產(chǎn)中的瑰寶。（26）（從幾何原本結(jié)構(gòu)上的缺陷與其歷史上的影響，是否看出瑕疵掩蓋不了其崇高價值？）歐幾里得還寫了許多其他出色的著作，他對天文學和光學都有研究，但在純數(shù)學方面保留下來的僅有兩本：（1）數(shù)據(jù)這是在幾何原本基礎(chǔ)上進一步研究幾何學的一本問題集，共95個問題；（2）論圖形的分割，研究將圖形分割成比例的問題，共有36個問題。（純數(shù)學方面的著作保留下來的有幾本？各有幾個問題？）（27）2.2.2阿基米德的數(shù)學成就古希臘最偉大的數(shù)學家非阿基米德莫屬。（27）阿基米德出生于意大利西西里島的敘拉古。他的父親是天文學家，母親出生于名門望族，且知書達理。（

47、阿基米德出生于何處？）（27）青年時代的阿基米德曾到號稱“智慧之都”的亞歷山大城求學，當時亞歷山大的學術(shù)空氣較為自由，學生們可以自由地選擇內(nèi)容聽講并參加討論和研究。這里的科學研究包括四個方面：文學、數(shù)學、天文學和醫(yī)學，由于希臘天文學實際是一種數(shù)理天文學，以天體運動的數(shù)學設(shè)計為其主要內(nèi)容，而醫(yī)學和占星術(shù)也含有數(shù)學，故數(shù)學在亞歷山大占有主導地位。（當時亞歷山大的學術(shù)空氣如何？科學研究包括哪些方面？數(shù)學在亞歷山大占有主導地位嗎？）（27）在亞歷山大期間，阿基米德系統(tǒng)地閱讀了歐幾里得的幾何原本，研究了古希臘時期巧辯學派代表人物的著作及安提豐等人關(guān)于三大幾何問題討論的種種方法，特別是安提豐和歐多克索斯的

48、窮竭法對阿基米德影響最為深刻，以至后來發(fā)展成為他處理無限問題的基本工具。（在亞歷山大期間，阿基米德系統(tǒng)地閱讀了誰的數(shù)學著作？研究了古希臘時期誰的著作及安提豐等人關(guān)于什么問題討論的種種方法？特別是誰的窮竭法對阿基米德影響最為深刻，以至后來發(fā)展成為他處理無限問題的基本工具？ ）（27）阿基米德學成后返回故鄉(xiāng)，并終身保持同亞歷山大學派的聯(lián)系，研討學問，成為亞歷山大學派最杰出的代表。他一直住在敘拉古。（阿基米德發(fā)明了投石炮、火鏡等先進武器，讓敵人吃盡苦頭。）（27）公元前212年，羅馬人在其統(tǒng)帥馬塞路斯的率領(lǐng)下圍攻敘拉古，由于叛徒出賣，羅馬人趁敘拉古人慶祝女神節(jié)的狂歡之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵

49、劍下，臨死前還在思考幾何問題。（阿基米德臨死前還在思考什么問題？）（27）阿基米德的數(shù)學著作流傳至今，按時間順序，依次為拋物線的求積、論球和圓柱、論螺線、論劈錐曲面體與球體、圓之度量、沙粒計，這些論著無一不是數(shù)學創(chuàng)造的杰出之作，正如英國數(shù)學史家希思所指出的，這些論著“無一例外地都被看作是數(shù)學論文的紀念碑。解題步驟的循循善誘，命題次序的巧妙安排，嚴格摒棄敘述的枝節(jié)及對整體的修飾潤色，總之，給人的完美印象是如此之深，使讀者油然而生敬畏的感情?！保?8）阿基米德在力學方面的貢獻也是相當杰出的。他是古希臘絕無僅有的應(yīng)用試驗進行力學研究的人，因而也是這門學科當之無愧的創(chuàng)始人。（28）阿基米德應(yīng)用力學方法

50、進行數(shù)學規(guī)律探索的倡導者和典范。在他的一篇題為方法論的手抄本中，他斷言“力學便于我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而幾何則能幫助我們對結(jié)論作出證明”。這一手抄本是海伯格1906年在君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的，那是阿基米德給埃拉托塞尼的一封信。（29）阿基米德用力學方法探索數(shù)學結(jié)論的基本思想是：為了找出所求圖形的面積和體積 ，可將它分成很多窄的平行條和重心為已知的圖形，利用杠桿平衡原理及已知圖形的面積、體積，便可探求出未知圖形的面積和體積來。（29）雖然“窮竭法”在歐幾里得幾何原本中已有記載，甚至更早的還可追溯到歐多克索斯，但是任何人都難以否認這樣的事實；阿基米德對窮竭法的運用代表了古代用有限方法處理無限問題的最高水平。（3

51、2）將運動觀點引入數(shù)學，也是阿基米德數(shù)學思想的重要組成部分，這集中反映在論螺線一書中。阿基米德對螺線的定義，其思想方法在古代數(shù)學中是獨樹一幟的。（32）阿基米德杰出創(chuàng)造微小三角形的引入，它本質(zhì)上類同于微積分中的微分三角形，阿基米德的這一例子，是希臘幾何中可以找到的孕育微分法的為數(shù)不多的最為優(yōu)秀的杰作之一。（32）2.2.3阿波羅尼斯與圓錐曲線阿波羅尼斯出身于小亞細亞西北部的城市柏加，青年時代的阿波羅尼斯曾客居亞歷山大城，追隨歐幾里得的學生學習數(shù)學。他寫過多部數(shù)學著作，但以圓錐曲線最為成功，是古希臘繼幾何原本之后的又一部力作。（出生于何處？最為成功的數(shù)學著作是哪一部？）（33）阿波羅尼斯的圓錐曲

52、線共8卷，有487個命題，現(xiàn)存前7卷，第一卷給出了圓錐曲線的定義和基本性質(zhì)。在這一卷中，阿波羅尼斯首創(chuàng)了通過改變截面的角度，從一對對頂圓錐得到三種圓錐曲線的方法，并依據(jù)曲線的做法推導出它們的特征關(guān)系式，進而導出了圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線等的定義和性質(zhì)，甚至還得到類似于在坐標變換下曲線性質(zhì)的不變性的結(jié)論。（33）（甚至還得到類似于在坐標變換下曲線性質(zhì)的不變性的結(jié)論。 這個難度較大。）需要指出的是，阿波羅尼斯的方程是用幾何語言敘述的。（共幾卷？有幾個命題？在研究圓錐曲線首創(chuàng)了什么方法？阿波羅尼斯的方程是用什么語言敘述的？）（33）2.3希臘數(shù)學的衰落雖然希臘數(shù)學自阿波羅尼斯之后開始走下坡

53、路，但在后來的歲月里也還是有一些數(shù)學成就值得人們?nèi)パ芯康?。?3）代數(shù)的重大進展是產(chǎn)生了代數(shù)符號。第一次系統(tǒng)地提出符號的是丟番圖。丟番圖是希臘化的巴比倫人，其主要著作算術(shù)，堪稱古代數(shù)學的典籍，共13卷。（代數(shù)符號的產(chǎn)生是代數(shù)的重大進展。第一次系統(tǒng)地提出符號的是誰？他的什么著作堪稱古代數(shù)學的典籍？共幾卷？）（33）丟番圖是當時解代數(shù)方程的大師，在算術(shù)中，絕大多數(shù)問題是不定方程，考察的范圍是14次。（丟番圖在算術(shù)中，絕大多數(shù)是什么方程？考察的范圍是？）（34）帕普斯在總結(jié)希帕恰斯和梅乃勞斯工作的基礎(chǔ)上，寫成三角學的最早系統(tǒng)論著數(shù)學匯編。在該書中有著名的托勒密定理：在圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線之積等于

54、兩對對邊乘積之和。帕普斯的數(shù)學匯編被認為是古希臘數(shù)學的安魂曲（帕普斯在總結(jié)誰的工作的基礎(chǔ)上，寫成三角學的最早系統(tǒng)論著數(shù)學匯編？帕普斯的什么數(shù)學著作被認為是古希臘數(shù)學的安魂曲？）（34）總之，亞歷山大時期大大開拓了希臘數(shù)學的領(lǐng)域，正是由于這個時期的成就，希臘數(shù)學才能作為一個比較完整的體系載入史冊。在這一時期，定量研究有了很大進展，但并沒有使偏重幾何的方向發(fā)生逆轉(zhuǎn)。算術(shù)和代數(shù)中，演繹式的邏輯結(jié)構(gòu)始終沒有建立起來；三角學的研究尚未擺脫天文學。這就決定了對于數(shù)的研究仍然是直觀的、經(jīng)驗的，其發(fā)展是緩慢的，從而使幾何的發(fā)展步履艱難。（亞歷山大時期，定量研究有了很大進展，偏重幾何的方向是否發(fā)生發(fā)生逆轉(zhuǎn)？算術(shù)

55、和代數(shù)中，演繹式的邏輯結(jié)構(gòu)是否建立建立起來？三角學的研究是否擺脫天文學？對于數(shù)的研究仍然是直觀的、經(jīng)驗的嗎？因什么發(fā)展的緩慢，才使幾何的發(fā)展步履艱難？）（34）整個希臘數(shù)學的消亡是由于羅馬人的入侵所導致的。（34）（消亡的原因？）公元前146年，羅馬人征服了希臘本土。公元前47年，凱撒縱火焚毀停泊在亞利山大港的埃及船隊，大火延及該城，并無情地將圖書館兩個半世紀以來收集的藏書毀于一炬，羅馬統(tǒng)治者推崇的基督教的傳播，迅速地以強烈的宗教狂熱淹沒了豐富的科學想像，使希臘數(shù)學蒙受了更大的災(zāi)難。查封學園，禁止學習研究數(shù)學，使歐洲數(shù)學進入了漫長的黑暗時期。（34）思考題：1、試從數(shù)學科學發(fā)展的角度，探討古希

56、臘把邏輯學中的演繹證明引入數(shù)學的理由，并進一步論述數(shù)學與邏輯的關(guān)系。2、古典時期的希臘學派對數(shù)學科學的發(fā)展最重要的貢獻有哪些？并通過對資料的分析，論述團隊協(xié)作對數(shù)學發(fā)展的重要性。3、畢達哥拉斯學派是怎樣引起第一次數(shù)學危機的？他們?yōu)槭裁匆獙@次數(shù)學危機采取回避的態(tài)度？這種態(tài)度對數(shù)學發(fā)展有什么重要的影響？4、希臘數(shù)學學派的數(shù)學觀各有什么相同與不同的地方，它們對數(shù)學以及整個科學的發(fā)展有什么影響？5、希臘數(shù)學的鼎盛時期為什么會出現(xiàn)在亞歷山大時期？試論述數(shù)學科學發(fā)展與社會發(fā)展的關(guān)系。6、歐幾里得幾何原本對數(shù)學以及整個科學的發(fā)展有什么重要影響？其重要影響的成就有哪些？7、阿基米德是如何用力學方法發(fā)現(xiàn)和證明

57、球體積計算公式的？是比較他的方法與其他民族，如中國古代數(shù)學家的球體積計算公式的推導方法的異同。8、圓錐曲線的概念是如何提出的？古希臘的數(shù)學家們又是如何得到圓錐曲線的？9、希臘數(shù)學最重要的成就有哪些？他們留給了人哪些問題？這些問題為什么在希臘人的手里無法解決？10、收集閱讀相關(guān)資料，并對其進行整理，論述歐幾里得和阿基米德的科學精神和愛國主義情操。第三章 來自東方的繼承者與傳播者印度與阿拉伯的數(shù)學一、教學時間安排：3學時二、教學目的、要求：1、了解古印度數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展主要的貢獻及數(shù)學發(fā)展特色；2、了解古阿拉伯數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展主要的貢獻及數(shù)學研究的特色；3、了解古阿拉伯數(shù)學家阿爾.花拉子米對代

58、數(shù)學發(fā)展的貢獻。三、教學的重點和難點：古印度數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展主要的貢獻及數(shù)學發(fā)展特色、古阿拉伯數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展主要的貢獻及數(shù)學研究特色的介紹。四、教學方法和教學手段：講授法、多媒體輔助五、教學過程設(shè)計：導入、新授課、小結(jié)六、教學內(nèi)容。當希臘人在愛琴海岸創(chuàng)造的高度數(shù)學文明被來自異族的侵略者毀滅之后，延續(xù)了1000多年的古希臘文明雖在數(shù)學上留給后人無比豐富的遺產(chǎn)，但同時也留下了許多問題。首先，希臘數(shù)學的嚴格演繹推理的特點在發(fā)明創(chuàng)造時卻是一個缺陷，因為許多發(fā)明創(chuàng)造都是以不慎嚴謹?shù)牟孪胪茰y為出發(fā)點的，而正是這一點又為希臘數(shù)學所不齒。因此，希臘數(shù)學失去了許多發(fā)明創(chuàng)造的大好時機。如希臘人的窮竭法關(guān)于無

59、限的討論已相當深入，但是囿于嚴謹而終與發(fā)現(xiàn)微積分的一般方法失之交臂。再者，同樣由于嚴謹性的考慮，代數(shù)學相對來說受到了冷遇。由于古希臘數(shù)學的巨大影響力，這種情形一直持續(xù)了幾百年，然而就是在古希臘數(shù)學文明衰微、歐洲處于長達1000年的中世紀黑暗時期，“西方不亮東方亮”，在世界的東方，希臘殘留的火花得到了保存與傳播，這就是印度與阿拉伯的數(shù)學.（36）3.1印度的數(shù)學地處恒河流域的印度與古巴比倫、埃及和中國一樣，也是人類文明的發(fā)祥地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達羅毗荼人的哈拉帕青銅文化。（具體見教材36）（印度文明最早可以上溯到公元前多少年左右居住在印度河流域的達

60、羅毗荼人的哈拉帕青銅文化？）（36）從5世紀始，印度文明又不斷受到其他民族的侵占。（37）大約在5000年前印度人就興建起了具有相當規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書寫、計算和度量衡的體系。由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟來源，很早就開始觀察星象，編寫歷書，因而帶動了數(shù)學研究。另外，印度是一個宗教盛行的國家，釋迦牟尼創(chuàng)建的佛教曾流傳到中國等地，這一教派的“繩法經(jīng)”在科學文化方面有較高的水平，也是在數(shù)學史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。（什么時候起印度有了書寫、計算和度量衡的體系？什么帶動了印度數(shù)學研究？佛教的“繩法經(jīng)”是在數(shù)學史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。）（37）印度遠古時期的文字是書寫在棕櫚葉和白樺