信號與系統(tǒng)課件第四章1講

1、1 第四章 Z變換基本要求1、深刻理解Z變換的定義，收斂域和基本 性質(zhì)2、會根據(jù)Z變換的定義和性質(zhì)求一些常用 序列的Z變換3、深刻理解Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系4、正確理解Z變換的性質(zhì)的應(yīng)用條件5、能用冪級數(shù)展開法、部分分式法及留數(shù) 法求Z反變換2 4.1 Z變換及其收斂域 第四章 Z變換 4.2 Z反變換 4.3 Z變換的性質(zhì) 4.4 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系 4.5 信號線性變換小結(jié)3 4.1 Z變換及其收斂域一、由抽樣信號的拉氏變換引出Z變換 設(shè)xs(t)是連續(xù)信號x(t)的理想抽樣信號，則其中T為抽樣時間對上式兩邊取拉氏變換，得到：4令5二、Z變換的定義（直接由離散時間序列X(n)定

2、義）序列x(n)的單邊Z變換為：式中Z為復(fù)變量6 對一切n值都有定義的序列x(n)，也可以定義雙邊Z變換 如果x(n)是因果序列，則其雙邊Z變換與單邊Z變換是等同的 在實際的離散系統(tǒng)中所遇到的序列一般是因果性的，所以我們著重討論單邊Z變換7三、Z變換的收斂域1、定義 對任意給定的有界序列x(n)，使其Z變換式收斂的所有Z值的集合，稱為Z變換X(Z)的收斂域2、級數(shù)收斂的充分必要條件為8例1、求單邊序列的Z變換，其中a為正實數(shù)。解：按單邊Z變換的定義，有利用等比級數(shù)定理其中RezjImz09例2、求序列的Z變換解：因為涉及到n取負(fù)的情況，按雙邊Z變換 定義求解10令m=-n， 則再將m變?yōu)閚利用

3、等比定理求級數(shù)則11其收斂域為RezjImz0 一個序列的Z變換要包括Z變換的表達(dá)式和相應(yīng)的收斂域，二者缺一不可 否則， Z變換的表達(dá)式不能與序列一一對應(yīng)表達(dá)式一樣收斂域不同12由于x(n)有界，所以要求所以收斂域為：RezjImz03、收斂域的形式有限長序列 因為X(z)是有限項之和，所以只要級數(shù)的每一項有界，則級數(shù)收斂。即13右邊序列的Z變換為：右邊序列 右邊序列是有始無終的序列。序列在nn1時，有非零的有限值，在nn2時，序列值為零。其Z變換為：n20n13、收斂域的形式16等號右邊：第二項為有限長序列的Z變換，收斂域為第一項是Z的正冪級數(shù)，按阿貝爾定理可知，存 在一個收斂半徑Rx2，級

4、數(shù)在以原點為中心、 Rx2為半徑的圓內(nèi)絕對收斂綜合此兩項，左邊序列的收斂域為RezjImz0左邊序列3、收斂域的形式17雙邊序列 這類序列是指當(dāng)n為任意值時，x(n)皆有值的序列，可看作一個左邊序列和一個右邊序列之和。其Z變換為上式右邊：第一項為右邊序列Z變換，收斂域為第二項為左邊序列Z變換，收斂域為3、收斂域的形式18如果則存在公共區(qū)域，即RezjImz03、收斂域的形式雙邊序列19四、典型序列的Z變換1、單位函數(shù)序列的Z變換收斂域為整個Z平面202、單位階躍序列的Z變換若則該級數(shù)收斂，等于213、斜變序列的Z變換解：已知單位階躍序列的Z變換為223、斜變序列的Z變換234、指數(shù)序列的Z變換

5、當(dāng)，級數(shù)收斂24課堂練習(xí)：的Z變換求收斂域：255、單邊正弦序列的Z變換單邊余弦序列根據(jù)歐拉公式26 4.2 Z反變換是一一對應(yīng)關(guān)系 在給出象函數(shù)及其收斂域的情況下，可以求出 象原函數(shù)x(n)（一）冪級數(shù)展開法（長除法）由Z變換的定義 只要把X(z)在給定的收斂域內(nèi)按z-1的冪展開，則級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)的值。27例4.2-1 已知求x(n)。解：因為收斂域是Z平面的圓外區(qū)域，所以x(n)是右邊序列。級數(shù)是Z的負(fù)冪級數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的降冪排列所以原函數(shù)為（一）、冪級數(shù)展開法（長除法）28（一）、冪級數(shù)展開法（長除法）29例2 已知求x(n)。解：由收斂域可知原函數(shù)為左邊序列

6、要展成Z的正冪級數(shù)，即將X(z)的分子、分母升冪排列（一）、冪級數(shù)展開法（長除法）30用長除法得：所以，原函數(shù)為；將X(z)的分子、分母升冪排列（一）、冪級數(shù)展開法（長除法）31總結(jié)：1、當(dāng)X(z)的收斂域為 x(n)必為因果序列（右邊序列），X(z)應(yīng)展開為Z的負(fù)冪級數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的降冪排列，再進(jìn)行長除。2、當(dāng)X(z)的收斂域為x(n)為左邊序列，X(z)應(yīng)展開為Z的正冪級數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的升冪排列，再進(jìn)行長除（一）、冪級數(shù)展開法（長除法）32（二）、部分分式展開法因為常用的Z變換對為所以在對X(z)做部分分式展開時，力求得到形如的形式33步驟：1. 將X(z)

7、除以z，得到2. 將展成部分分式，方法同拉氏變換3. 將展開的部分分式乘以z，即得到X(z)的表達(dá)式4. 對各部分分式進(jìn)行Z反變換5. 寫出原序列x(n)（二）、部分分式展開法34一、當(dāng)X(z)只含單極點 式中zi是單極點，Ai是待定系數(shù)（極點zi的留數(shù)）（二）、部分分式展開法35于是可得X(z)的反變換為（二）、部分分式展開法36二、當(dāng)X(z)含有一r重極點式中Ai的確定同單極點系數(shù)的確定相同Bj的確定與拉氏變換類似：（二）、部分分式展開法37查表求Z反變換（二）、部分分式展開法38例4.2-2 已知收斂域為試求Z的反變換解：（二）、部分分式展開法39所以其反變換為（二）、部分分式展開法40

8、（三）、留數(shù)法（圍線積分法）留數(shù)的定義設(shè)z0 為函數(shù) f(z) 的孤立奇點，那么積分為與C無關(guān)的定值，以2 i 除這個積分值，所得的數(shù)叫做在z0的留數(shù)。記作41羅倫級數(shù)定理其中C為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。（三）、留數(shù)法（圍線積分法）42（三）、留數(shù)法（圍線積分法）圍線積分法的推導(dǎo)（利用柯西積分定理）已知RezjImz將上式兩端同時乘以zk-1，并沿圍線C積分得：根據(jù)柯西積分定理所以R43X(z)的反變換的圍線積分表示式如下：其中c是包圍所有極點的閉合積分路線則（三）、留數(shù)法（圍線積分法）441、當(dāng)z=zi 是一階極點時2、當(dāng)z=zi 是r階極點時（三）、留數(shù)法（圍線積分法）45例：求的Z反變換解：當(dāng)n=1時，有極點當(dāng)n=0時，有極點（三）、留數(shù)法（圍線積分法）46（三）、留數(shù)法（圍線積分法）47（三）、留數(shù)法（圍線積分法）48留數(shù)輔助定理如果圍線積分的被積函數(shù)F(Z)在整個Z平面上除有限個極點外都是解析的，且當(dāng)Z時,F(Z