運(yùn)籌學(xué)-庫(kù)存論

1、運(yùn)籌學(xué)庫(kù)存論庫(kù)存論庫(kù)存論中的根本概念庫(kù)存論的研究背景： 現(xiàn)代企業(yè)中，物資的管理是一項(xiàng)重要工作，核心是合理解決物資供需配合和調(diào)節(jié)問題。物資儲(chǔ)藏量過小，致使不能及時(shí)供給生產(chǎn)而產(chǎn)生停頓，所造成的損失將大大超過物資貯存所需的費(fèi)用；物資儲(chǔ)藏量過大，那么造成物資積壓，過多的占用流動(dòng)資金。 庫(kù)存控制要求管理者在滿足要求的條件下，制定出合理的貯存策略。庫(kù)存控制系統(tǒng)及其根本概念庫(kù)存控制系統(tǒng)包含以下三個(gè)根本環(huán)節(jié)：供給輸入 需 求輸 出儲(chǔ)存存儲(chǔ)物不斷通過輸入、儲(chǔ)存、輸出三個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)滿足需要在這樣的系統(tǒng)中，決策人員可以通過控制物資的購(gòu)入時(shí)間和購(gòu)入數(shù)量來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的運(yùn)行，使供求關(guān)系更合理1需求 需求是庫(kù)存系統(tǒng)的輸出，它可以

2、是常量，如自動(dòng)生產(chǎn)線上各個(gè)班對(duì)某種材料的需求量；也可以是一個(gè)隨機(jī)變量，如商品的銷售量 需求或輸出的規(guī)律有大致以下幾種情況：連續(xù)均勻斷續(xù)需求無(wú)法控制需求確定需求隨機(jī)2供給 供給是庫(kù)存系統(tǒng)的輸入，庫(kù)存的貨物由于不斷輸出而減少，必須及時(shí)作補(bǔ)充供給可以通過訂貨、采購(gòu)和內(nèi)部生產(chǎn)來(lái)進(jìn)行 根據(jù)物資的來(lái)源，物資輸入有以下兩種方式：訂購(gòu)物資批量輸入物資輸入速率可以視為無(wú)窮大通過生產(chǎn)均勻的儲(chǔ)存入庫(kù)物資輸入速率 3庫(kù)存物 也叫存儲(chǔ)物庫(kù)存論中提到的庫(kù)存物具有廣泛的意義在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，一切暫存在倉(cāng)庫(kù)中的物資以及在生產(chǎn)過程中的在制品都是庫(kù)存物，生產(chǎn)結(jié)束后的成品也是庫(kù)存物貯存模型的分類 為了得出最優(yōu)的庫(kù)存策略，就必須首先

3、將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求出模型的最優(yōu)解 庫(kù)存問題經(jīng)長(zhǎng)期的研究，已經(jīng)得出了一些行之有效的模型從這些模型來(lái)看，大體可為兩類：確定型存貯模型隨機(jī)性存貯模型 一類是確定性庫(kù)存模型，即模型中的數(shù)據(jù)都是確定的數(shù)值，另一類叫做隨機(jī)性庫(kù)存模型，即模型中含有隨機(jī)變量與庫(kù)存有關(guān)的根本費(fèi)用工程 庫(kù)存論是研究如何庫(kù)存，也就是，庫(kù)存多少、何時(shí)庫(kù)存使庫(kù)存費(fèi)用最小的理論因此，我們必須首先明確與庫(kù)存有關(guān)的費(fèi)用工程與庫(kù)存有關(guān)的根本費(fèi)用有以下幾項(xiàng)： 1訂購(gòu)費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 這是每訂購(gòu)一批貨物必須支付的有關(guān)費(fèi)用它包括各種手續(xù)費(fèi)、電信往來(lái)、派人員外出采購(gòu)的旅差費(fèi)等這些費(fèi)用每次訂購(gòu)都要承擔(dān)，與訂購(gòu)量的多寡無(wú)關(guān)因此，訂

4、購(gòu)的次數(shù)越少，訂購(gòu)的費(fèi)用越小，訂購(gòu)的次數(shù)越多，訂購(gòu)的費(fèi)用越大 如果庫(kù)存供給是由企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)自行解決的，那么訂購(gòu)費(fèi)相當(dāng)于生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)它是在每批產(chǎn)品投產(chǎn)前的工藝準(zhǔn)備、設(shè)備調(diào)整費(fèi)，與投產(chǎn)批次有關(guān)，與批量無(wú)關(guān) 我們用C1表示一次訂貨的訂購(gòu)費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 2存儲(chǔ)費(fèi) 也叫庫(kù)存費(fèi)這是與庫(kù)存直接相關(guān)的費(fèi)用包括保管費(fèi)、利息、保險(xiǎn)費(fèi)、稅金、庫(kù)存物的變質(zhì)損失等這類費(fèi)用與庫(kù)存物數(shù)量的多少及庫(kù)存時(shí)間的長(zhǎng)短成正比所以庫(kù)存量越少越好 庫(kù)存費(fèi)有一種常用的算法是單位物資在單位時(shí)間內(nèi)的庫(kù)存費(fèi)占該項(xiàng)物資單位本錢的百分比例如一件物資本錢為100元，月庫(kù)存費(fèi)占1，那么月庫(kù)存費(fèi)為1元 我們用C2表示單位貨物在方案期內(nèi)的庫(kù)存費(fèi) 3缺貨損失費(fèi)

5、 也叫中斷費(fèi)用它是由于庫(kù)存應(yīng)付不了需要使供給中斷所造成的經(jīng)濟(jì)損失例如由于原材料供給不上而造成的機(jī)器和工人停工待料的損失；由于供貨中斷而導(dǎo)致的為顧客效勞水平的下降，以及緊急采購(gòu)所需要的高費(fèi)用等 不過，缺貨或供貨中斷，有時(shí)那么是一種經(jīng)營(yíng)策略如在商品銷售中，有時(shí)允許一些商品短期少量缺貨這往往是一種經(jīng)營(yíng)策略因?yàn)檫@樣做可將節(jié)約的一局部資金用于熱門貨的訂購(gòu)和銷售，加速資金周轉(zhuǎn)，提高經(jīng)濟(jì)效益 缺貨損失費(fèi)的估計(jì)比較困難即它一般難以用精確的數(shù)量來(lái)表示這項(xiàng)費(fèi)用的估計(jì)往往具有近似和任意的性質(zhì)但這并不意味著這項(xiàng)費(fèi)用可以被無(wú)視 我們用C3表示單位貨物的缺貨損失費(fèi) 4總費(fèi)用 一般情況下，由于庫(kù)存物資的單價(jià)都是固定不變的，

6、因此，本章計(jì)算的總費(fèi)用大局部都不包括用于購(gòu)置物資的費(fèi)用而是將訂購(gòu)費(fèi)、存儲(chǔ)費(fèi)與缺貨損失費(fèi)之和稱為總費(fèi)用，用C表示那么： 庫(kù)存總費(fèi)用C=訂購(gòu)費(fèi)+存儲(chǔ)費(fèi)+缺貨損失費(fèi) 庫(kù)存論要解決的問題便是尋找一個(gè)供給周期t0及供給批量Q0，使得庫(kù)存問題總費(fèi)用為最小 庫(kù)存策略 決定供給即進(jìn)貨周期的長(zhǎng)度及供貨批量的決策方法，稱為庫(kù)存策略 常用的庫(kù)存策略有如下兩種：l -循環(huán)策略 有時(shí)也稱為定期供給法這種方法是每隔時(shí)間 ，就補(bǔ)充供給庫(kù)存量Q2，S策略 有時(shí)也稱為定點(diǎn)供給法這種方法是當(dāng)庫(kù)存量下降到一定數(shù)量時(shí)，就訂貨補(bǔ)充庫(kù)存量使庫(kù)存量提高到S 代表訂貨點(diǎn)儲(chǔ)存量，即當(dāng)庫(kù)存量Q低于時(shí)，就補(bǔ)充訂貨 需要記憶的變量及其含義：變量含義

7、一次訂貨的訂購(gòu)費(fèi)用或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用單位貨物在計(jì)劃期內(nèi)的儲(chǔ)存費(fèi)（費(fèi)用、件 時(shí)間）缺貨損失費(fèi)庫(kù)存總費(fèi)用（庫(kù)存總費(fèi)用=訂購(gòu)費(fèi)+存儲(chǔ)費(fèi)+缺貨損失費(fèi)）R總需求量Q訂購(gòu)批量t周期r輸出速度10.2 確定性庫(kù)存模型模型一：補(bǔ)充供給時(shí)間很短，不允許缺貨這類問題的特征是：1一種貨物在某一方案期如一年內(nèi)的總需求量為常數(shù)R，在該方案期內(nèi)，以一定的批量Q分假設(shè)干批訂購(gòu)，即最大庫(kù)存量為Q2當(dāng)庫(kù)存量下降到零時(shí)，可以立即得到充分補(bǔ)充，即在時(shí)間t內(nèi)，當(dāng)庫(kù)存量下降到零時(shí)，立即恢復(fù)到其最大庫(kù)存量Q3沒有缺貨現(xiàn)象意味著短缺損失費(fèi)用為無(wú)限大.4每次訂貨的周期相同這類庫(kù)存模型可用圖 表示在上圖中，庫(kù)存量由Q以均勻的速度在t時(shí)間內(nèi)下降到0

8、，然后，立即充分補(bǔ)充庫(kù)存，使庫(kù)存量恢復(fù)到Q如此循環(huán)往復(fù)現(xiàn)在我們的問題是，如何確定進(jìn)貨批量和進(jìn)貨周期，使其庫(kù)存費(fèi)用為最小。這個(gè)問題可以用定期供給法即t0-循環(huán)策略來(lái)解決 由于不允許缺貨，故方案期內(nèi)的庫(kù)存總費(fèi)用C=訂 購(gòu)費(fèi)+庫(kù)存費(fèi) 顯然，訂購(gòu)總費(fèi)用= ， 表示訂貨批數(shù)n 庫(kù)存費(fèi)=平均庫(kù)存量 由于貨物是一次輸入均勻輸出，所以平均庫(kù)存量為 .因此，庫(kù)存費(fèi)為 故總費(fèi)用函數(shù)為C= + 顯然，C是關(guān)于Q的一元函數(shù)由微積分知識(shí)便 可求解此極值問題令 解得1 又因?yàn)?故C在Q0到達(dá)最小值這時(shí)，批數(shù) 2 供給周期 3 最小費(fèi)用 4 故此問題的最優(yōu)策略為：每隔 供給一批， 每批供給 件，這時(shí)總費(fèi)用最小為 公式1就是

9、著名的經(jīng)濟(jì)批量公式，簡(jiǎn)稱公式它是英國(guó)的哈里斯在1915年提出來(lái)的 例1 設(shè)某產(chǎn)品的年總需求量為256件，且需求是均勻的設(shè)每生產(chǎn)一批不管產(chǎn)量多少需花費(fèi)于購(gòu)置工具和模型、設(shè)計(jì)型式、調(diào)節(jié)機(jī)器等根本費(fèi)用80元每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的直接本錢為100元每件每年的庫(kù)存費(fèi)用占生產(chǎn)本錢的10%，包括保險(xiǎn)費(fèi)、占有費(fèi)用的利息和貶值消耗今欲決定生產(chǎn)的最正確批量及每年的生產(chǎn)批數(shù)解 R=256件，C1=80元，C2=10010%=10元，方案期為一年故有： 因此，最優(yōu)批量為64件，每年生產(chǎn)4批，即每3個(gè)月生產(chǎn)一批 模型2 補(bǔ)充供給需一定時(shí)間，不允許缺貨這類問題的特征是：1一種貨物在某一方案期如一年內(nèi)的總需求量為常數(shù)R，在該方案

10、期內(nèi)以一定的批量Q分假設(shè)干批訂購(gòu)2當(dāng)庫(kù)存量下降到0時(shí)，可以立即得到補(bǔ)充但庫(kù)存量不是由零立即上升到最大庫(kù)存量Q1，然后再均勻輸出，而是在時(shí)間t1內(nèi)以速度r1均勻地進(jìn)貨，同時(shí)又以速度r2均勻地出庫(kù)，且r1r2直至到達(dá)最大庫(kù)存量Q1，然后以均勻速度r2輸出3不允許缺貨，且?guī)齑媪坑?緩慢增加到Q14訂貨周期相同 這類庫(kù)存模型可用上圖表示在上圖中，庫(kù)存量由0以均勻的速度r1-r2增加到最大庫(kù)存量Q1，然后又以均勻速度r2輸出，如此循環(huán)往復(fù)現(xiàn)在我們的問題是：如何確定進(jìn)貨批量和進(jìn)貨周期，使其庫(kù)存費(fèi)用為最小 這個(gè)問題可以用定期供給法即t0-循環(huán)策略來(lái)解決Q1r1-r2r2 為了求出最優(yōu)解，我們先來(lái)建立費(fèi)用函數(shù)

11、: 由于不允許缺貨，那么庫(kù)存總費(fèi)用C=訂購(gòu)費(fèi)+庫(kù)存費(fèi) 顯然，訂購(gòu)費(fèi)= 為了計(jì)算庫(kù)存費(fèi)，需求出最大庫(kù)存量Q1： Q1=批量Q - 進(jìn)貨時(shí)間內(nèi)的出庫(kù)量=Q t1 r2 又t1=Q/ r1,故 于是平均庫(kù)存量= 所以庫(kù)存費(fèi)= 從而總費(fèi)用 C是Q的一元函數(shù)，故由微積分知識(shí)即可求得問題的最優(yōu)解. 得 5 令訂貨周期為 , 6 最小費(fèi)用 . 7 假設(shè)令r20那么式5，6，7與1，3，4分別合為同一公式即在進(jìn)貨時(shí)間內(nèi)假設(shè)沒有貨物出庫(kù)，那么模型2就變成了模型1 例2 某廠每月需某種產(chǎn)品100件，由內(nèi)部生產(chǎn)解決，設(shè)每月生產(chǎn)率為600件，每批裝配費(fèi)為10元，每件每月產(chǎn)品庫(kù)存費(fèi)為元求最正確批量及生產(chǎn)周期一年按300

12、個(gè)工作日計(jì) 解 由題知，方案期T=1月，R=100件，r1=600件月，r2=100件月，Cl=10元，元月件故最正確批量為 最正確生產(chǎn)周期 由于每年 300個(gè)工作日，故每月 300/12=25天為工作日對(duì)，個(gè)月相當(dāng)于 0.69 2517天故最正確生產(chǎn)周期為17天 模型3 進(jìn)貨時(shí)間很短，允許缺貨 我們?cè)诘谝粋€(gè)模型的根底上，建立一個(gè)存在缺貨現(xiàn)象時(shí)，補(bǔ)充供給時(shí)間很短或稱瞬時(shí)供給的庫(kù)存模型這里所謂的缺貨，是指庫(kù)存為零以后仍存在輸出需要的情況這類問題的特征是：1最大庫(kù)存量為Q2庫(kù)存量由Q以速度r均勻輸出，在時(shí)間t1時(shí)庫(kù)存量降為0，而在仍存在輸出需要的情況下，將補(bǔ)充庫(kù)存時(shí)間推遲一個(gè)時(shí)期，然后，再立即將庫(kù)

13、存恢復(fù)到最大庫(kù)存量 Q3允許有缺貨現(xiàn)象和存在缺貨損失4每次訂購(gòu)周期相同 這類庫(kù)存模型可用圖來(lái)表示庫(kù)存量由Q以均勻的速度r輸出，在時(shí)間t1時(shí)庫(kù)存量降至0，但沒有立刻補(bǔ)充庫(kù)存，而是拖后t2時(shí)間，然后再立刻將庫(kù)存補(bǔ)充到最大庫(kù)存量Q如此循環(huán)往復(fù)現(xiàn)在我們的問題是：尋求一個(gè)最優(yōu)策略，即求出最正確庫(kù)存量Q0及供給周期t0，使得庫(kù)存總費(fèi)用最小 由于允許缺貨，故總費(fèi)用函數(shù)為：C=訂購(gòu)費(fèi)+庫(kù)存費(fèi)+缺貨費(fèi)設(shè)供給周期t，那么在一個(gè)方案期內(nèi)的訂購(gòu)次數(shù)為1/ t次，故訂購(gòu)費(fèi)為C1/ t 由于Q只能滿足t1時(shí)間內(nèi)的需求，故0，t1內(nèi)的平均庫(kù)存量為Q/2因此，0，t內(nèi)的平均庫(kù)存量為Qt1/2t ，這也是整個(gè)方案期內(nèi)的平均庫(kù)存

14、量又由于貨物的輸出率為r，故直線l的斜率為-r，所以t1=Q/r,故平均庫(kù)存量為 因此，庫(kù)存費(fèi)為 設(shè)在t1，t時(shí)間內(nèi)的缺貨量為Q，那么在0，t時(shí)間內(nèi)的平均缺貨量為 又在圖 中的左數(shù)第一個(gè)陰影三角形中知Q=r(t-t1)所以，平均缺貨量為 故缺貨費(fèi)用為 因此，總費(fèi)用函數(shù)為 上式中C1，C2，C3均為，故總費(fèi)用函數(shù)為Q與t的二元函數(shù) 由微積分中二元函數(shù)極值的求法，只需解如下方程組： 即 解之得：最正確最高庫(kù)存量 8 最正確訂購(gòu)周期 9 最小總費(fèi)用 10 假設(shè)令C3，這時(shí)即為不允許缺貨由于 那么 與模型1中公式完全一樣 在模型3中，由于允許缺貨，求出的周期為模型1中不允許缺貨情況下求出的周期 的 倍

15、由于 1，所以兩次訂貨間隔的時(shí)間延長(zhǎng)了 在模型3中，假設(shè)在供給周期t0內(nèi)不允許缺貨，那么在理論上，訂貨批量應(yīng)為： (11) 假設(shè)允許缺貨，那么訂貨批量只需 S0與Q0關(guān)系為： (12) 顯然，S0Q0，其差值S0Q0即為缺貨量Q即 例3 某工廠每年需要某種原料1000噸，每次訂購(gòu)費(fèi)為6000元，每噸每月庫(kù)存費(fèi)50元在不允許缺貨與允許缺貨兩種情形下，求工廠對(duì)該原料的最優(yōu)訂貨批量、每年訂貨次數(shù)及費(fèi)用缺貨費(fèi)為900元噸解 設(shè)方案期為一年，那么r=1000噸，Cl=6000元，C2=5012=600元年，C3=900元噸 1不允許缺貨時(shí)， 訂貨次數(shù)為 最小費(fèi)用 但由于訂貨次數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，故可以比較訂貨

16、次數(shù)分別為7次和8次的費(fèi)用 假設(shè)每年訂貨7次，那么訂貨批量為，費(fèi)用為7ClC2假設(shè)每年訂貨8次，那么訂貨批量為1000/8=125，費(fèi)用為8Cl 125C2=85500由此可見，取每年訂貨次數(shù)為7次，批量為噸，費(fèi)用為，費(fèi)用最省2允許缺貨時(shí) 每年訂購(gòu)次數(shù)為r/S0，缺貨量Q= S0Q0 最小費(fèi)用 由于訂貨次數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，故分別取5次或6次來(lái)比看哪個(gè)方案較好假設(shè)訂貨5次，那么理論批量為1000/5=200，最大庫(kù)存量為C3/(C2+C3)200=120，將Q=120及代入總費(fèi)用函數(shù) 中，得總費(fèi)用為66000元 假設(shè)訂貨6次，那么理論批量為，最大庫(kù)存量為C3/(C2+C3) 166.67100將Q=

17、100，t=1/6代入總費(fèi)用函數(shù) 中，得總費(fèi)用為66000元 由此可見，無(wú)論年訂貨次數(shù)為5還是6，總費(fèi)用都是一樣的故取訂貨次數(shù)為5，批量為120，費(fèi)用最少為66000元， 比不允許缺貨時(shí)的總費(fèi)用少了18857元因此，允許缺貨，有時(shí)可以作為一種經(jīng)營(yíng)策略 模型4 生產(chǎn)需要一定時(shí)間，允許缺貨這種問題的特征是：1最大庫(kù)存量為Q2庫(kù)存量由Q以速度r2均勻輸出至庫(kù)存量為零而在仍存在輸出需要的情況下，將補(bǔ)充庫(kù)存的時(shí)間推遲一個(gè)時(shí)期，然后再以速度r1均勻進(jìn)貨，同時(shí)又以速度r2均勻出庫(kù)，且r1r2，直到庫(kù)存量到達(dá)Q 3允許存在缺貨現(xiàn)象4訂貨周期相同這類庫(kù)存模型可用以下圖表示 圖中，庫(kù)存量由Q以均勻速度r2輸出，在

18、時(shí)間t1時(shí)，庫(kù)存量降至0，但沒有立即補(bǔ)充庫(kù)存，而是拖后了t3t1時(shí)間，在t3時(shí)刻以均勻速度r1補(bǔ)充庫(kù)存，從而使庫(kù)存以勻速r1r2增加到最大庫(kù)存量Q如此循環(huán)往復(fù)現(xiàn)在我們的問題是，如何確定最優(yōu)最大庫(kù)存量及進(jìn)貨周期，使庫(kù)存的總費(fèi)用最小 為此，我們?nèi)孕枰冉①M(fèi)用函數(shù)由于允許缺貨，故 總費(fèi)用C=訂購(gòu)費(fèi)+庫(kù)存費(fèi)+缺貨費(fèi)顯然，訂購(gòu)費(fèi)=C1/t有庫(kù)存的時(shí)間為0 , t1 及 t 3 , t ，故t時(shí)間內(nèi)的平均庫(kù)存量為 由于入庫(kù)速度為r1，出庫(kù)速度為r2，故庫(kù)存增長(zhǎng)速度為r1r2直線l2的斜率為r1r2，故tt3= Q/(r1-r2), 又因?yàn)槌鰩?kù)速度為r2 , 故直線l1 的斜率為 r2 ，因此 t1=Q/

19、r2所以平均庫(kù)存量為： 令 那么庫(kù)存費(fèi)為 有缺貨的時(shí)間為 t1 , t3 ，最大缺貨量為，那么t時(shí)間內(nèi)平均缺貨量為 在圖中，依相似三角形性質(zhì)有： 因此平均缺貨量為 在圖中三角形里， 而 故 又前面已求出 從而 所以 因此 所以，平均缺貨量為 因而，平均缺貨費(fèi)為 綜上所述，總費(fèi)用為： 是Q與t的二元函數(shù)根據(jù)二元函數(shù)求極值方法，只要解下面方程組： 即 解之得最正確訂購(gòu)周期 13 最正確庫(kù)存量為 14 其中 為了保證t0時(shí)間內(nèi)的需求,理論最正確訂購(gòu)量為 (15) 最正確缺貨量為 :Q=S0 Q0 最小費(fèi)用 16 在上述公式中，假設(shè)令r1，即進(jìn)貨速度很大，那么進(jìn)貨時(shí)間很短，這時(shí)k1/r1，公式13，1

20、4，15變?yōu)槟Ｐ?的公式假設(shè)令r1，C3那么13，14，15變?yōu)槟Ｐ?的公式假設(shè)令C3，那么13，14，15變?yōu)槟Ｐ?的公式因此，模型4是綜合模型，模型1，2，3都是它的特殊情況 模型5 批量折扣模型，瞬時(shí)進(jìn)貨，不允許缺貨上述幾種確定性庫(kù)存模型中，都是假定庫(kù)存物資的單價(jià)固定不變因此考慮最小總費(fèi)用時(shí)，對(duì)用于購(gòu)置物資的費(fèi)用不加考慮但是在大批購(gòu)置物資時(shí)，物資出售單位，為了鼓勵(lì)用戶多購(gòu)物，對(duì)于購(gòu)貨較多的用戶，在價(jià)格上會(huì)給予一定的優(yōu)惠因此，貨物的單價(jià)u，便成了購(gòu)貨量Q的函數(shù)uQ故在考慮最小費(fèi)用時(shí)，必須考慮用于購(gòu)貨的費(fèi)用由模型1可知這時(shí)總費(fèi)用應(yīng)為 一般地，u(Q)是一個(gè)階梯函數(shù)，不妨設(shè) 01，稱為價(jià)格折扣

21、率 這時(shí)CQ也是個(gè)分段函數(shù)，在各段上，對(duì)CQ求導(dǎo)得： 此式只有在Q*點(diǎn)可能不成立 然后將CQ0與CQ*進(jìn)行比較，最小者相應(yīng)的批量即為最優(yōu)批量 10.3 隨機(jī)性庫(kù)存模型 上一節(jié)研究確實(shí)定性庫(kù)存模型，都是假設(shè)需求量及供給時(shí)間是確定不變的，是理想化了的模型實(shí)際上，在生產(chǎn)或經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，有很多偶然因素會(huì)影響到需求量及供給周期比方商店銷售某種商品，會(huì)因各種原因而影響到它的銷售量因而需求量不是一個(gè)確定的常數(shù)，而是一個(gè)隨機(jī)變量因此，必須用概率方法來(lái)研究本節(jié)將介紹兩種隨機(jī)性的庫(kù)存模型 模型6 進(jìn)貨時(shí)間很短，需求是隨機(jī)離散模型為了說(shuō)明這類問題，先看一個(gè)例子：某店出售電風(fēng)扇，銷售量是一個(gè)離散隨機(jī)變量設(shè)每臺(tái)利潤(rùn)為30

22、元，如賣不出去，就要等到下一年夏季才能賣出，那么需支付庫(kù)存費(fèi)每臺(tái)10元換句話說(shuō)，假設(shè)商店備貨比實(shí)際需要少一臺(tái)，就要損失利潤(rùn)30元，如果多備一臺(tái)，就要損失庫(kù)存費(fèi)10元那么這種情況下，如何確定訂購(gòu)量，才能使得損失最少？由于庫(kù)存量及缺貨量都是隨機(jī)離散的，那么總費(fèi)用也是隨機(jī)的因此，我們討論的損失最少是損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望值最小 一般地，某貨物隨訂隨到，需求量 r是離散型隨機(jī)變量，其概率為 Prr=0，1，2，訂購(gòu)量為Q，單位庫(kù)存費(fèi)為C2，單位缺貨費(fèi)為C3，訂購(gòu)費(fèi)C1=0求出最優(yōu)訂貨量，使得總損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望最小1當(dāng)供過于求時(shí)，r Q，損失費(fèi)為庫(kù)存費(fèi)Q - rC2，數(shù)學(xué)期望為： 2當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)，rQ，損失費(fèi)

23、為缺貨費(fèi)r - QC3，故數(shù)學(xué)期望為 因此，總損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望值為： 下面確定Q0，使ECQ0最小由于ECQ0最小，故滿足： 即 整理得 因此，Q0為滿足 的整數(shù)令 稱M為臨界值 下面我們解決所謂“報(bào)童問題它是這類庫(kù)存模型的典型例子例1 報(bào)童問題某報(bào)童每天向郵局訂購(gòu)報(bào)紙假設(shè)干份，并且一提出訂購(gòu)，就可立即拿到報(bào)紙每天報(bào)紙的零售量是個(gè)隨機(jī)離散變量，其概率分布如下表： 需求量r(單位：千張)91011121314概率P(r)0.050.100.250.350.150.10并且，他每賣出一份報(bào)紙，便可賺元；假設(shè)賣不出去時(shí)，退回郵局每份需賠償元問他需訂購(gòu)多少報(bào)紙，才能保證損失最小而賺錢最多？解 C2元每

24、份，C3元每份，所以臨界值 而 Q0=12，即12為最正確訂購(gòu)批量 報(bào)童問題是管理中很重要的一個(gè)模型，它對(duì)于季節(jié)性商品或易腐爛易變質(zhì)的商品訂購(gòu)具有特殊重要的價(jià)值在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中可以證明：假設(shè)需求量是隨機(jī)離散的，那么它在某段時(shí)間間隔內(nèi)是服從泊松分布的，即 為平均售出數(shù) 例2 某商店擬出售甲商品每單位甲商品本錢60元，售出價(jià)80元如不能售出必須減價(jià)為50元，減價(jià)后一定可以售出根據(jù)過去經(jīng)驗(yàn)平均售出數(shù)為6單位問該店訂購(gòu)量應(yīng)為多少？ 解 由題目知，每單位缺貨損失為C3=80 60=20元，每單位滯銷損失為C2=60- 50=10元，又=6，所以 臨界值為 由統(tǒng)計(jì)表知： 故Q0=7，即訂貨7單位時(shí)，損失最小對(duì)

25、于需求量r是連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，可類似地討論，最正確訂購(gòu)量Q0由 來(lái)確定其中P(r)為r的密度函數(shù) 前面介紹的幾種庫(kù)存模型采取的都是t0-循環(huán)策略下面我們將介紹一種，S型庫(kù)存策略模型7 需求是隨機(jī)離散的，S型庫(kù)存策略前面已經(jīng)定義了定點(diǎn)庫(kù)存法，亦即，S型策略這種方法是庫(kù)存量有一個(gè)最高的和最低的界限，每隔一段時(shí)間檢查一次庫(kù)存量，當(dāng)庫(kù)存量低于最低限時(shí)，那么補(bǔ)充庫(kù)存至S，假設(shè)庫(kù)存量高于時(shí)，那么不補(bǔ)充庫(kù)存量設(shè)某階段開始時(shí)原有庫(kù)存量為h，由于需求量是隨機(jī)的，故事前難以知道需求的準(zhǔn)確數(shù)值，因而決策者就無(wú)法決定訂貨量Q假設(shè)訂貨量缺乏，那么需承擔(dān)缺貨費(fèi)；假設(shè)供貨有余，那么需承擔(dān)庫(kù)存費(fèi)因此，有必要求出一個(gè)最優(yōu)的，S策略，從而決定訂貨量，使總費(fèi)用最小 下面我們來(lái)討論如何確定最優(yōu)的與S先求S：設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)，需求量r的概率為Pri=Pi，i=1，2，n，其中0 r1r2rn是 r可能取到的數(shù)值， 在本階段開始時(shí)，庫(kù)存量為h，設(shè)訂貨量為Q，那么庫(kù)存量S=hQ各種費(fèi)用為訂購(gòu)費(fèi)：Cl購(gòu)貨費(fèi)：uQ=u(S-h)，u為貨物單價(jià)庫(kù)存費(fèi)：當(dāng)rS時(shí)，需支付庫(kù)存費(fèi)為C2S-r因此，庫(kù)存費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為 缺貨費(fèi)：當(dāng) r