信號(hào)與系統(tǒng)課件第五章復(fù)頻5

1、F (s) L f (t) f (t)estdtdj 1 2jf (t)L1stF(s)F(s)e dsdjs平面jw2 1 1 0s1s Let (t) Res 1(s )2Ltet (t) Res aLet cost (t) s Res (s )2 2Let sin t (t) Res (s )2 2n!(s )n1Ltnet (t) Res a 部分分式展開(kāi)法 留數(shù)法5-5反變換1.)將F(s)化成最簡(jiǎn)真分式29s 114 s s5s)s62例：F (15s2s 5s 6 371s 2s 37e3t 32et)tt(f)t ()2.)求F（s）分母多項(xiàng)式等于零的根，將F（s）分解成部分分

2、式之和3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換 。 一、部分分式展開(kāi)法（Haviside展開(kāi)法）m1m.1s0bba1.1s0an1n 1、mn, D(s)=0無(wú)重根假設(shè)D(s)=0的根為s1，s2， ，sn，則可以將F(s)表示為：nnKf ( )e i1 ( t)st tKiF (s)iii1sis)F ( sss sK(|s)i ii 2、mn, D(s)=0有重根（假設(shè)s1為p重根）， s sLs spD s s sp11nN s K1 p1K1 pK12LD sp 1p2s ss sss111Kp1K11s s1Kns snLs sp1N s D s N

3、s D s d ppKs ss Ksds 1 p111 p1ssss11N s d pk1s s1 p p k !d s pkK1kD s ss1 2、m=n時(shí)，先通過(guò)長(zhǎng)除，將其變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于s的真分式和多項(xiàng)式的和：用部分分式法求原信號(hào)f(t)1s(1) F (s) (2) 5s 6s2 2s 5s21s 4(3)(4) 4)3s2 (s2s(s 1)2 2、約當(dāng)輔助定理 2）est中的實(shí)部滿(mǎn)足Re(st)0，積分曲線(xiàn)為ABC BB t=n時(shí)，不能用此方法求解！這時(shí)的解決方法：先用長(zhǎng)除進(jìn)行預(yù)處理！1F (s) 例:S=j2S =0（二重） 4)3s2 (s212,31d n 1nst Re s

4、k ( n 1)! ds n 1( s s k )F ( s ) e s s k4、留數(shù)法與部分分式分解法比較：1）部分分式分解法只能解決有理函數(shù)，而留數(shù)法不受有理函數(shù)的限制；2） 留數(shù)法不能解決m=n的情況，部分分式分解法可以；3） 留數(shù)法在數(shù)學(xué)上比部分分式分解法嚴(yán)密。部分分式分解法涉及的基礎(chǔ)知識(shí)比留數(shù)法簡(jiǎn)單。三、極零點(diǎn)與極零圖j1、 H(s) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)極點(diǎn)：使H(s)等于無(wú)窮大的s平面上的點(diǎn)，即D(s)=0的根。零點(diǎn)：使H(s)等于零的s平面上的點(diǎn)，即N(s)=0的根。H (s) N (s)D(s) 2、 H(s) 的極零圖j 關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng) 在s平面上將H(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)全部標(biāo)出后的

5、圖。H (s) N (s)D(s)1(s )2 2H (s) 、極零圖的特性： ij 0從極零圖分析時(shí)域特征 0 0H (s) 1is1H (s) 1iH (s) s ais a0 0 0 H(s) 的極點(diǎn)決定了其原函數(shù)中各個(gè)子信號(hào)的基本模式。 負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)如：e-t，t e-t，t2 e-t左半s平面內(nèi)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于衰減振蕩 e-tsinwt， e-t coswt0 0 0虛軸上共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于等幅振蕩；正實(shí)軸上的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的波形；右半s平面內(nèi)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于增幅振蕩。5-6.變換的基本性質(zhì)t )UL ： U例1(s)1L ：sin tt j(2t (例je )tLe

6、(t)2 j11j1j s j 2ss22拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線(xiàn)性nki fi (t)i1n ki F (s)i1微分df (t)dtsF (s) f (0 )積分t f ( ) d 0F (s) f ( )dss時(shí)移f (t t0 ) (t t0 )e st0 F (s)頻移f (t )e s0 tF(s s0 )拉氏變換的基本性質(zhì)（2）s 1 af (at)F尺度變換af (0 ) lim sF (s)lim f (t) 初值定理t 0slim f (t) f () lim sF (s)終值定理t s0f1(t)* f2 (t)F1 ( s ). F2 ( s )卷積定理12j F1

7、(s) * F2 (s)f1(t). f2 (t)求Le3t (2t 1)例3： (2t 1) (2(t 1 )2L (t) 11 1L (2t) 12s s2s 1 s21sL (2t 1) e1( s3)1Le3t (2t 1) e2s 3設(shè)：L f (t ) F (s)一、微分性質(zhì)1. 時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)df (t) sF (s) f (0 )Ldtdf (t )stst udv uv vdudt eedf (t )dt00f (t ) e stf (t )( s)e st dt00f (t ) s f (0 ) sF (s) e stf (t )e st dt00L df (t) sF (s

8、) f (0 )dt s 1 1s例1：L (t) L d (t )dtd 2 f (t ) ssF (s) f (0 ) f (0 )Ldt 2d 2f (t) sF (s) sf (0 ) f2L(0 )dt 2dn f (t )n1n1 sF (s) sf (0 ) L fn(0 )Ldtn設(shè)：L f (t) F (s)Lt f (t) dF (s)2.頻域?qū)?shù)性質(zhì)dsd11例1：Lt (t ) ()s2()sdsn! )d n1例2：Lt n (t ) (1)n()ssn1dsn d (11(s )2例3：Ltet )dss 設(shè)：L f (t) F (s)二. 積分性質(zhì)f ( )d 1

9、 F (s)tLs0t(f) d ( Ls )()t )證：L令f0 (s) F (s)tF(s)s (s ) df (t 0s00ttf ( )d L )d Lf ( )d Lf (0t101L f ( )d s f ( )d s F (s)L df (t) sF (s) f (0 )dt 復(fù)頻域微分與積分 L f t, a F s, a 對(duì)參變量微分與積分 La2f t, ad a a2 F s, ad sa1a1f t, aF s, a L a a f t L sF sd stLt f t d F sds三.平移性質(zhì)設(shè)：L f (t) F (s)1.時(shí)域平移(延遲定理)f(t)(t-t0

10、)f(t-t0)(t-t0)f(t)(t)tttt0t0L f (t t0 ) (t t0 ) e0 F (s) st例1：有始周期函數(shù)的拉氏變換f(t)設(shè)f (t)為第一個(gè)周期函數(shù)1L f1(t) F1(s)1.1則：L f (t) F (s)t11 esTT/2Tf1 (t ) f1 (t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T ) 證：f (t ) L f (t) F (s) esT F (s) e2sT F (s) 111 F (s)1 esTe2 sTe3sT 11F (s)1 e sT11f(t)L f (t) F (s)1 e sT11.Tt( t ) ( t )

11、( t f)T/2T12T s211F1 ( s ) ess111esT/2) 1 (1F(s) (s)1esT1 e sT /2 ss例2：f(t)f (t ) t (t ) (t T )T sTe1F (s)Ts2s2f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )11 e sTT e sTF (s) s2s2s 思考：這個(gè)信號(hào)的收斂域？2.頻域平移性質(zhì)Letf (t) F (s )1(s )21例1：Ltet (t )Lt (t) s2s例2：Let cost (t )s Lcost s2 2(s )2 2初值定理：如果f(t)和 f(t) 的導(dǎo)數(shù)也存在，并有變換

12、，則：(0)()L df (t) sF (s) f (0 )df (t)e st dt0證明：dtdtdf (t)df (t)df (t)00000 st st stedt edt f (t) |edtdtdt0dtdf (t)e st dt dtdf (t)e st dt dt0 f (0 ) f (0 ) 0sF (s) f (0 ) f lim ft()sFlimst0s初值定理：如果f(t)和 f(t) 的導(dǎo)數(shù)也存在，并有變換，則：lim()(0)fft0tsFlims()s3s2 4s 5例1：已知F (s) 求f (0 )s(s2 2s 3)3s2 4s 5 lim 3 2s 3)

13、s (s2s21F (s) s2 1s2f(t)= (t)-s(t)113sf(0+)=0lim sF (s) lim 但1s s2s初值定理：如果f(t)和 f(t) 的導(dǎo)數(shù)也存在，并有變換，則：lim()(0)fft0tsFlims()s如果f(t) 中含有沖激函數(shù)（或其導(dǎo)數(shù)）limsF(s不)存在，就不能用上式直接求初值?；虺龑⑦^(guò)長(zhǎng)這時(shí)可以先通F(s)變成一個(gè)真分式Fp(s)與一個(gè)關(guān)于s的多項(xiàng)式之和，然后將初值定理表示為：lim()(0)fft0tsFlpims()s終值定理：如果f(t)和f(t)的導(dǎo)數(shù)存在，f(t)的LT也存在，且F(s)的極點(diǎn)位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在

14、單極點(diǎn)，lim f (t )存在時(shí)t lim sF (s) lim f (t) f ()則：s0t 證：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)d0f (t)estdt limsF (s) f (0 )limdts0s0df (t ) lim estdts0 f (ft() f (0 ) lim sF (s) f (0 )0 dt0s0lim sF (s) lim f (t) f ()s0t F(s)的極點(diǎn)位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在單極點(diǎn) 01不存在a0例：f(t)=eat(t)f()=lim sF (s) 0 lim sF (s) 1 s0a 0a 0a 0 s01F (s) s a不存在 卷積定理 時(shí)域

15、卷積定理 1 F ( s ) * F( s )12f1 (t ). f 2 (t ) 復(fù)頻域卷積定理 2 jF1 ( s ). F 2 ( s )f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( s ). F 2 ( s ) LTt0f1( ) f2 (t )dedtstf (t)*f (t)120tf ( )f2 (t )edtdst10000f ( )f (t ) (t )estdtd1200 )F (s)e )es F (s)sf (df (d1221 F1(s)F2 (s)F s 1例：求原函數(shù)f(t)s s F s 1 1 1Le t t L f t 1 F s s s s 111 1s e t e t t Le t t L ft sf (