行列式的概念

1、 在現(xiàn)實(shí)世界中，變量與變量之間的依賴關(guān)系可分為線性的和非線性的兩大類。線性代數(shù)主要是研究線性函數(shù)，把問題化為求解線性代數(shù)方程組之類的運(yùn)算。特別在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，原來難以計(jì)算的高階線性代數(shù)方程組的解可以很快地算出來，這就促進(jìn)了線性代數(shù)的廣泛應(yīng)用和發(fā)展。行列式和矩陣是討論和解線性方程組的重要工具。10.1 n階行列式1.1 二階行列式設(shè)二元線性方程組為1 . 二、三階行列式用消元法求得,當(dāng)時(shí),可得該方程組的惟一解化為定義1規(guī)定式 并稱該式左端為二階行列式,右端為二階行列式的展開式 aij (i=1,2;j=1,2)稱為二階行列式的元素，橫排的稱為行，豎排的稱為列其中i為行標(biāo)，j為列標(biāo)。=352

2、4例1 計(jì)算下列行列式 解原式=解原式=158=1.2 三階行列式 定義2 定義用32個(gè)數(shù)組成的記號(hào)“對(duì)角線法”例2 計(jì)算下列三階行列式：練習(xí)（書P233 ）1.3 余子式和代數(shù)余子式 行列式中，將元素 aij 所在的行與列劃掉，剩余的元素保持原來的位置所組成低一階的行列式稱為元素aij 的余子式，記為Mij,定義元素aij 的代數(shù)余子式為 如，三階行列式的代數(shù)余子式，練習(xí)：求下列行列式的代數(shù)余子式 （1）（2）解：解：2.、階行列式定義 3階行列式已經(jīng)定義，規(guī)定4階行列式2、n階行列式通常，把上述定義簡(jiǎn)稱為按行列式的第1行展開解 因?yàn)閍12=a13=0 所以由定義2.2、n階行列式 一個(gè)三階

3、行列式可以用三個(gè)二階行列式來表示，所以可以用二階行列式來定義三階行列式，可以用三階行列式來定義四階行列式，依此類推，一般地，可以用n個(gè)n-1階行列式來定義n階行列式，下面給出n階行列式的定義：定義 設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，規(guī)定n階行列式其中 A1j=(-1)1+jM1j ( j=1,2,n ) 這里M1j為元素a1j的余子式，即為劃掉A的第1行第j列后所得的n-1階行列式，A1j稱為a1j的代數(shù)余子式例4 計(jì)算行列式(下三角行列式).解 由定義，將Dn 按第一行展開，得行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素都是二項(xiàng)式，則此行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成

4、相應(yīng)的行（列），其余的行（列）不變的兩各行列式的和3、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2 如果把行列式D的某一列（行）的每一個(gè)元素同乘以一個(gè)常數(shù)k則此行列式的值等于kD也就是說，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面 如果把行列式的某兩列（或兩行）對(duì)調(diào)，則所得的行列式與原行列式的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反 如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零 如果行列式的某兩列（或兩行）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零 “行列式的兩列對(duì)應(yīng)元素成比例”就是指存在一個(gè)常數(shù)k，使ali=kalj(l=1,2n) 性質(zhì)3性質(zhì)4推論性質(zhì)5 如果把行列式的某一列（行）的每一個(gè)元素加

5、上另一列（行）的對(duì)應(yīng)元素的k倍，則所得行列式與原行列式的值相等由于行列式的整個(gè)計(jì)算過程方法靈活，變化較多，為了便于書寫和復(fù)查，在計(jì)算過程中約定采用下列標(biāo)記方法：1.以（r）代表行，（c）代表列2.把第i 行（或第i 列）的每一個(gè)元素加上第j 行（或第j 列）對(duì)應(yīng)元素的k倍，記作（ri）+k（rj）或（ci）+k（cj）3.互換i 行（列）和j 行（列），記作（ri）（rj）或（ci）（cj）性質(zhì)604320-1-11044700-1600011 行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n） 行列式D的一行元素分別與另一行對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之乘積的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n, ij）例按第