2021-2022學(xué)年寧夏銀川一中高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年寧夏銀川一中高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖象判斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A2. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為純虛數(shù)，則的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.3. 命題“，則”及其逆命

2、題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】首先判斷原命題的真假，寫(xiě)出其逆命題，即可判斷其真假，再根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)槊}“，則”為真命題，所以其逆否命題也為真命題；其逆命題為：則，顯然也為真命題，故其否命題也為真命題；故命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題有4個(gè)；故選：D4. 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.5. 下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D6.

4、下列四個(gè)函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；D.利用函數(shù)的圖象判斷.【詳解】A. ，不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；B. 在上遞增，但在定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；C. 在上遞增，但在定義域R上不單調(diào)，故錯(cuò)誤； D. ，其圖象如圖所示：由圖象知：定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故正確，故選：D7. 有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù).冬奧會(huì)志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)，則每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者

5、進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排列，可求出每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)，再求出4名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個(gè)項(xiàng)目全排列，共有種排法，所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的方法數(shù)為種，因?yàn)?名志愿者參加3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)的總方法數(shù)種，所以每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為，故選：D8. 設(shè)，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C

6、【解析】【分析】根據(jù)題意，寫(xiě)出，作差即可.【詳解】由題意，則，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，正確弄清由到時(shí)增加和減少的項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9. 為了解人們對(duì)環(huán)保知識(shí)的認(rèn)知情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)地區(qū)隨機(jī)選取個(gè)居民進(jìn)行了環(huán)保知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查（滿(mǎn)分為100分），并根據(jù)問(wèn)卷成績(jī)（不低于60分記為及格）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分為，六組），若問(wèn)卷成績(jī)最后三組頻數(shù)之和為360，則下面結(jié)論中正確的是（ ）A. B. 問(wèn)卷成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.5C. D. 以樣本估計(jì)總體，若對(duì)地區(qū)5000人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則約有2000人及格【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所有小矩形的面積之和為1求出，即

7、可判斷C，求出最后三組頻率之和，根據(jù)頻數(shù)，可判斷A；根據(jù)頻率等于小矩形的面積計(jì)算出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率即可判斷B；求出及格的頻率，從而可求出及格人數(shù)，即可判斷D.【詳解】解：，解得，故C錯(cuò)誤；，故A正確；問(wèn)卷成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，故B錯(cuò)誤；不低于60分頻率為，則約有人及格，故D錯(cuò)誤.故選：A.10. 果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時(shí)間t（天）滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為，若采摘后5天，這種水果失去的新鮮度為20%，采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為40%，采摘下來(lái)的這種水果失去50%的新鮮度大概是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）A. 第10天B. 第12天C. 第14天D.

8、第16天【答案】B【解析】【分析】按照題目所給條件，求出m和a即可.【詳解】依題意有 ，解得 ，m=0.1，代入 得 ，當(dāng)h=05時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)得，故選：B.11. 已知函數(shù)，若在上有且僅有2個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】討論、時(shí)，取最大值時(shí)的值，由其周期性找到第三個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的值，由此確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第1次取到最大值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第2次取到最大值，由知：當(dāng)時(shí)，第3次取到最大值故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論的范圍，通過(guò)確定第二、三個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的值，進(jìn)而得到的取值范圍.12. 已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的取值范圍是（ ）A.

9、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，通過(guò)討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸

10、近線與直線平行，通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式： 平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 向量是單位向量，則_.【答案】【解析】【分析】由題意可得，利用向量的模的運(yùn)算代入求值即可得答案.【詳解】，.故答案為：.14. 已知a，b表示兩條直線，表示三個(gè)不重合的平面，

11、給出下列命題：若=a，=b，且ab，則；若a，b相交且都在，外，a，b，則；若a，a，則；若a，a，=b，則ab.其中正確命題的序號(hào)是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】解析：錯(cuò)誤，與也可能相交；錯(cuò)誤，與也可能相交；錯(cuò)誤，與也可能相交；正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知.故答案為：15. 設(shè)，圓，若動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)A、C，動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)B、D，則的最大值是_【答案】【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線位置關(guān)系和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖像，設(shè)圓心到其中一條直線的距離為d，根據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【詳解】，圓心M(1，

12、3)，半徑r，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，且，如圖，設(shè)AC和BD中點(diǎn)分別為F、G，則四邊形EFMG為矩形，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.16. 已知，成等比數(shù)列，且.若，則_（填“”或“”或“ . ,【點(diǎn)睛】數(shù)列中比較大小的方法：（1）根據(jù)通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。唬?）利用作差法（作商法）比較.三解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17. 的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積.（1）求B；（2）若abc成等差數(shù)列，的面積為，求b.【答案】

13、（1） （2）【解析】【分析】（1）由三角形面積公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)已知式子可求得B；（2）由abc成等差數(shù)列，可得，再由的面積為，可得，然后利用余弦定理可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】，即，.【小問(wèn)2詳解】成等差數(shù)列，兩邊同時(shí)平方得：，又由（1）可知：，由余弦定理得，解得，18. 如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)平面ABCD的一個(gè)法向量與的數(shù)量積為0，即得結(jié)論；（2）通過(guò)設(shè)，利用平面ABCD的一個(gè)法向量與的夾角的余弦值為，計(jì)算即可得結(jié)果

14、.【詳解】（1）證明：由題意以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因?yàn)?，由勾股定理得等腰底邊上的高?，依題意可得，.又因?yàn)椋謩e為和的中點(diǎn)，所以，依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，由此可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面；（2）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由已知得，整理得，又因?yàn)?，解?所以線段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，屬于中檔題.19. 已知雙曲線的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】

15、（1） （2）-4【解析】【分析】（1）直接由離心率和點(diǎn)代入雙曲線求得即可；（2）先表示出，再通過(guò)點(diǎn)P橫坐標(biāo)的范圍求出最小值.【小問(wèn)1詳解】依題又，所以，故雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由已知得，設(shè)，于是，因此，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，為.20. 某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多

16、進(jìn)行20輪游戲（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的期望；（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）證明數(shù)列，（i1，2，19）是等比數(shù)列；求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率【答案】（1）5；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨(dú)立，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，即可求出X的期望；（2）根據(jù)累計(jì)得分為i的概率為，分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；根據(jù)可求出，再根據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為

17、，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，X的分布列為：X3456PE（X）5（2）證明：n1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2點(diǎn)，則，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：（）i（i2）2，即累計(jì)得i2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過(guò)2點(diǎn)，其概率為，（）累計(jì)得分為i1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒(méi)超過(guò)2點(diǎn)，得1分，其概率為，（i2，3，19），數(shù)列，（i1，2，19）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列數(shù)列，（i1，2，19）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，各式相加，得：，（i1，2，19），活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為服從二項(xiàng)分

18、布，從而找到所求變量與的關(guān)系，列出分布列，求得期望；第二問(wèn)主要是遞推式的建立，分析判斷如何得到分的情況，進(jìn)而得到，利用數(shù)列知識(shí)即可證出，借由的結(jié)論，求出，分析可知，從而解出21. 已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和，若，求的取值范圍.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)后得到，直接寫(xiě)出切線即可；（2）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性，端點(diǎn)作差確定最大值，得到不等式，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】若，因，所以曲線在處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.則在上的最小值為，最大值為，所以，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由，可得，即的取值范圍是.22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（）求曲線的極坐標(biāo)方程；（）若直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值.【答案】()