分類解析抽象函數(shù)問(wèn)題

1、分類解析抽象函數(shù)問(wèn)題我們?cè)趯W(xué)習(xí)一類函數(shù)時(shí),往往會(huì)遇到?jīng)]有給出解析式的函數(shù),稱為抽象函數(shù), 而這類問(wèn)題往往抽象性強(qiáng),敏捷性大,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往感覺(jué)到很困惑,讓我們和同學(xué)們一起來(lái)解決這類問(wèn)題問(wèn)題一：敏捷摸索會(huì)求函數(shù)定義域例 1：函數(shù)yfx的定義域?yàn)?,就函數(shù)yxflog2x22的定義域是xg2或,就可以把其分析：這里需要把log2x22看作一個(gè)整體來(lái)求解21,就可以解得2解：由于log2x22相當(dāng)于fx中的 x ,就log2x22x2中的 x ,或者說(shuō)對(duì)于函數(shù)fx評(píng)注：對(duì)于抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題,就肯定要看清晰f中的gx看作一個(gè)整體,問(wèn)題就會(huì)迎刃而解問(wèn)題二：條件賦值判定奇偶例 2：已知fx的定義域

2、為 R ,且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x 、 y 滿意fxyfxfy,求證：fx是偶函數(shù)分析：此題中可設(shè) x 、 y 為詳細(xì)的值,可確定 f x = 0 時(shí)詳細(xì)的 x 值,再判定 f x 的奇偶性解：在 f xy f x f y 中,令 x y 1 得到 f 1 f 1 f 1,就可以得到 f 1 0,令 x y 1,得到 f 1 f 1 f 1,就得到 f 1 0,于是 f x f 1 xf 1 f x f x,就 f x 是偶函數(shù)評(píng)注：對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性,結(jié)合其特點(diǎn),不妨取特別值來(lái)解決問(wèn)題三：利用圖象判定單調(diào)性例 3：已知偶函數(shù)fx在,0上是減函數(shù),問(wèn)fx是在0,上是增函數(shù)仍是減函數(shù),并證明你的結(jié)論

3、分析：此題可依據(jù)圖形來(lái)結(jié)合該函數(shù)是偶函數(shù)且是減函數(shù),畫(huà)出函數(shù)的示意圖,以形助數(shù),使問(wèn)題得到迅速地解決解：如圖 1,就簡(jiǎn)單知道fx是在,0上是增函數(shù),證明如下：任取x 1x20fx1x2x 10,由于fx是在0 ,上是減函數(shù),所以fx 1fx 2,又fx是偶函數(shù),所以x 1f,fx2fx2,從而fx 1fx2,故fx在0,上是增函數(shù)評(píng)注：往往有許多關(guān)于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的問(wèn)題,就可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決yO x圖 1 問(wèn)題四：奇妙求解函數(shù)值就f例 4：已知fx的定義域?yàn)?R,且fxyfxfy對(duì)一切正實(shí)數(shù)x 、y 都成立,如f84,2分析：此題可取特別值代入即可解決問(wèn)題解：在條件fxyfxyfy中

4、,令x4y4,就得到f8f4ff412f44,就得到f42f22,又令x2,就得到ff2,所以2評(píng)注：實(shí)際上可通過(guò)緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換,經(jīng)過(guò)有限次的迭代,發(fā)覺(jué)函數(shù)具有周期性,就可以利用 周期性奇妙解答問(wèn)題五：爭(zhēng)論方程根的問(wèn)題例 5：已知函數(shù)fx對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都滿意f1xf1x,并且方程fx0有三個(gè)實(shí)數(shù)根,就這三個(gè)實(shí)數(shù)根之和是分析：求抽象函數(shù)的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題也是常見(jiàn)的題型,關(guān)鍵是抓住對(duì)稱軸分析解決解：由f1x1xf1x知道直線x1 是函數(shù)fx圖象的對(duì)稱軸,又方程xf1x0有三個(gè)實(shí)根,就由對(duì)稱性可以知道1x 、x 關(guān)于直線 3對(duì)稱,所以x2x3必定是方程的一個(gè)根,其余兩個(gè)根=212,故x1x2x33評(píng)注：查找對(duì)稱,從而確定根的特點(diǎn),最終尋求到解決的方法與思路問(wèn)題六：求解析式例 6：設(shè)函數(shù)fx存在反函數(shù),gxf1x,hx與gx的圖象關(guān)于直線xy0對(duì)稱,就函數(shù)hx的解析式,實(shí)際上是求yhx的圖象上任意一點(diǎn)Px0, y0的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)分析：要求yhx系解 ：hx圖 象 上 任 意 一 點(diǎn)Px0, y0關(guān) 于 直 線yx的 對(duì) 稱 點(diǎn)y0, x 0適 合ygx, 即x0y 0,g又gxf1x,所