函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、 高考明方向1. 懂得函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義2. 會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì). 備考知考情1. 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的熱點(diǎn),常見(jiàn)問(wèn)題有：求單調(diào)區(qū)間,判定函數(shù)的單調(diào)性, 求參數(shù)的取值,利用函數(shù)單調(diào)性比較數(shù)的大小, 以及解不等式等 客 觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,最值的確定與簡(jiǎn)潔應(yīng)用2. 題型多以挑選題、填空題的形式顯現(xiàn),如與導(dǎo)數(shù)交匯 命題,就以解答題的形式顯現(xiàn) . 一、學(xué)問(wèn)梳理 名師一號(hào) P15 留意：爭(zhēng)論函數(shù)單調(diào)性必需 先求函數(shù)的定義域,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 定義域的子集單調(diào)區(qū)間 不能并 ！學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性1. 單調(diào)函數(shù)的定義2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)

2、間的定義如函數(shù) f x 在區(qū)間 D上是 增函數(shù)或減函數(shù) ,就稱(chēng)函數(shù) f x 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性, 區(qū)間 D叫做 f x 的單調(diào)區(qū)間 .留意：1、名師一號(hào) P16 問(wèn)題探究 問(wèn)題 1 關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)留意哪些問(wèn)題？1定義中 x1,x2 具有任意性 ,不能是規(guī)定的特定值2函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間必需是定義域的子集；3定義的兩種變式 ：設(shè)任意 x1,x2a,b且 x10 fx在a,b上是增函數(shù)；x1x2fx1fx20 fx在a,b上是減函數(shù)2、名師一號(hào) P16 問(wèn)題探究 問(wèn)題 2 單調(diào)區(qū)間的表示留意哪些問(wèn)題？單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě),不能用

3、并集符號(hào)“ ”聯(lián)結(jié) ,也不能用 “或”聯(lián)結(jié)學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 單調(diào)性的 證明方法： 定義法及導(dǎo)數(shù)法名師一號(hào) P16 高頻考點(diǎn) 例 1 規(guī)律方法 1 定義法 : 利用定義 證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：任取 x1、x2D,且 x10,就 fx在區(qū)間 D 內(nèi)為增函數(shù)；如 果 f x0,就 1 為減 增 函數(shù),f x 為增 減函數(shù)f x3互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性4yfgx是定義在 M 上的函數(shù),如 fx與 gx的單調(diào)性相同,就其復(fù)合函數(shù) fgx為增函數(shù)；如 fx、gx的單調(diào)性相反,就其復(fù)合函數(shù) fgx為減函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)” 同增異減 ”5. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反函

4、數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用名師一號(hào) P17 特色專(zhuān)題 1求某些函數(shù)的值域或最值2比較函數(shù)值或自變量值的大小3解、證不等式4求參數(shù)的取值范疇或值5作函數(shù)圖象二、例題分析：（一 函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 例 1. （1）名師一號(hào) P16 對(duì)點(diǎn)自測(cè) 1 判定以下說(shuō)法是否正確偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩1函數(shù) fx2x1 在, 上是增函數(shù) 2函數(shù) fx1 x在其定義域上是減函數(shù) 3已知 fxx,gx 2x,就 yfxgx在定義域上是增函數(shù) 答案： 例 1. （2）名師一號(hào) P16 高頻考點(diǎn)例 1（1）2022 北京卷 以下函數(shù)中,在區(qū)間 0, 上為增函數(shù)的是 Ayx1 Cy2xByx12 Dylog0.5x1 答案：

5、A. 例 2. （1）名師一號(hào) P16 高頻考點(diǎn)例 1（2）判定函數(shù) fxax x1在1,上的單調(diào)性,并證明法一：定義法設(shè) 1x1x2,就 fx1fx2ax1 x11 ax2 x21 ax1x21ax2x11x11x21ax1x2x11x21 1x1x2,x1x20,x210. 當(dāng) a0 時(shí),fx1fx20,即 fx1fx2,函數(shù) yfx在1, 上單調(diào)遞增同理當(dāng) a0,即 fx1fx2,函數(shù) yfx在1, 上單調(diào)遞減法二：導(dǎo)數(shù)法 留意：名師一號(hào) P17 高頻考點(diǎn) 例 1 規(guī)律方法 1.判定函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；2.用定義法判定 或證明 函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值作差 變形 判號(hào)定論,其中

6、變形為關(guān)鍵,而變形的方法有因式分解、配方法等；3. 用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)潔快捷,應(yīng)引起足夠的重視（二）求復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間 例 1. 名師一號(hào) P16 高頻考點(diǎn) 例 2（1）求函數(shù) yx|1x|的單調(diào)增區(qū)間；yx|1x|1,x1,2x 1,x0.就 x3. 函數(shù) ylog1 x 24x3的定義域?yàn)?3,13, 又 ux24x3 的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為 x2,且開(kāi)口向上,ux24x3 在,1上是減函數(shù),在3, 上是增函數(shù)而函數(shù) ylog1 u 在0, 上是減函數(shù),3ylog1 x24x3的單調(diào)遞減區(qū)間為 3,3單調(diào)遞增區(qū)間為 , 1留意：名師一號(hào) P17 高頻考點(diǎn) 例 2 規(guī)律方法求函

7、數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法1利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間2定義法：先求定義域,再利用單調(diào)性定義3圖象法：假如 fx是以圖象形式給出的,或者fx的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間4導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2例 2. （2） 補(bǔ)充 ylog1x4log1xf20,22答案：增區(qū)間：1 , 4；減區(qū)間：0,14練習(xí):ylog2x2log2x答案：增區(qū)間：2,；減區(qū)間：0, 2（三）利用單調(diào)性解（證）不等式及比較大小例 1. （1）名師一號(hào) P17 特色專(zhuān)題典例 1 已知函數(shù) fxlog2x1 1x,如 x11,2,x2 2,就 Afx1

8、0,fx20 Bfx10 Cfx10,fx20, fx20 【規(guī)范解答】函數(shù) fxlog 2x1 1x在1, 上為增函數(shù),且當(dāng) x11,2時(shí), fx1f20,即 fx10. 例 1. （2）名師一號(hào) P17 特色專(zhuān)題 典例 2 x24x3,x0,已知函數(shù) fx就不等式x22x3,x0,fa24f3a的解集為 A2,6 B1,4 C1,4 D3,5 【規(guī)范解答】 作出函數(shù) fx的圖象,如下列圖,就函數(shù) fx在 R 上是單調(diào)遞減的由 fa24f3a,可得 a243a,整理得 a23a40,即a1a40,解得 1a4,所以不等式的解集為 1,4留意: 本例分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以并.（四）已知單調(diào)性求

9、參數(shù)的值或取值范疇例 1.1 名師一號(hào) P17 特色專(zhuān)題 典例3 a 2 x x 2已知函數(shù) f x 1 x1, x 2 滿意對(duì)任意的實(shí)數(shù) x1x2,都有 f xx 1 1 x f x2 2 02成立,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇為 A,2 B.,13 8 C,2 D. 13 8,2【規(guī)范解答】 函數(shù) fx是 R 上的減函數(shù),a20,于是有 a221 2 21,由此解得 a13 8,即實(shí)數(shù) a 的取值范疇是,13 8 . 例 2.1（補(bǔ)充） 假如函數(shù) f x ax 22x3 在區(qū)間 ,4 上單調(diào)遞增,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 _答案 1 4,0 解析 1當(dāng) a0 時(shí),fx2x3,在定義域 R 上單調(diào)

10、遞增,故在 ,4上單調(diào)遞增；2當(dāng) a 0時(shí),二次函數(shù) fx的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x1 a,由于 fx在,4上單調(diào)遞增,所以 a0,且1 a4,解得 1 4a0,就由 f x0 得 x 2a,當(dāng) x 2a時(shí),f x0,fx單調(diào)增,當(dāng)2ax 2a時(shí), fx單調(diào)減,fx的單調(diào)減區(qū)間為 2a,2a,從而 2a2,a2. 變式： 如 f x x 36ax 在區(qū)間 2,2 單調(diào)遞減,就 a 的取值范疇是？點(diǎn)評(píng) fx的單調(diào)遞減區(qū)間是 2,2 和 fx在2,2上單調(diào)遞減是不同的,應(yīng)加以區(qū)分本例亦可用 x2 是方程 f x3x26a0 的兩根解得 a2. 例 2.3（補(bǔ)充）,32 上單調(diào)遞減,如函數(shù)fxlog1x3a

11、x 在 2就實(shí)數(shù)a的取值范疇是（）A9 ,12 B 4 ,12 C4 ,27 D 9 ,27 答案： A 溫故知新 P23 第 9 題如函數(shù)fxlog1x2ax3 a 在區(qū)間22,a的取值范疇是上單調(diào)遞減,就實(shí)數(shù)計(jì)時(shí)雙基練 P217 基礎(chǔ) 7 計(jì)時(shí)雙基練 P217 基礎(chǔ) 8、10 8、設(shè)函數(shù)fxax1在區(qū)間2,上是增函數(shù) , x2 a那么 a 的取值范疇是答案 : 1,x x ax ax 在區(qū)間 1,內(nèi)單調(diào)遞減 , 10、設(shè)函數(shù)fx（ 2）如a0且 f求 a 的取值范疇 . 答案 : 1,（五）抽象函數(shù)的單調(diào)性例 1. （補(bǔ)充） 已知 f x 為 R上的減函數(shù),那么滿意f |1 | f 1 的

12、實(shí)數(shù) x 的取值范疇是 xA1,1 B0,1 C1,00,1 D, 11, 答案： C 解析：由于 fx為減函數(shù),f|1 x|1,就|x|1 且 x 0,即 x1,00,1練習(xí)：yfx 是定義在f1,1 上的增函數(shù),解不等式f1x1x2答案： 0,1溫故知新 P12 第 8 題 留意：解抽象函數(shù)的不等式通常立足單調(diào)性定義 或借助圖像求解例 2. 計(jì)時(shí)雙基練 P216 培優(yōu) 4 0；函數(shù)f x 的定義域?yàn)?,且對(duì)一切x0,y0都有fxf x fy,當(dāng)x1 時(shí),有f y（1） 求f1的值；（2） 判定f x 的單調(diào)性并加以證明；（3） 如f42,求f x 在 1,16 上的值域 .答案: 單調(diào)增

13、;0,4留意： 有關(guān)抽象函數(shù)單調(diào)性的證明通常立足定義 練習(xí): 計(jì)時(shí)雙基練 P218 培優(yōu) 4 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?,且對(duì)一切x yR 0,f12. f都有f x fyfxy ,當(dāng)x0時(shí),有31 求證 : f x 在 R 上是減函數(shù)；2 求fx 在3,3 上的最大值與最小值 . 答案:2; 2課后作業(yè) 一、計(jì)時(shí)雙基練 P217 基礎(chǔ) 1-10 課本 P16-17 變式摸索 1、2；二、計(jì)時(shí)雙基練 P217 基礎(chǔ) 11、培優(yōu) 1-4 課本 P18 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1、2、3 預(yù)習(xí) 其次章 第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 補(bǔ)充：練習(xí) 1：函數(shù) fxx3a,x0 且 a 1 0a1,又由 fx在 Rax,

14、是 R 上的減函數(shù),就a 的取值范疇是 A0,1 B1 3,1 C0,1 3 D0,2 3 分析： fx在 R 上為減函數(shù),故fxaxx0為減函數(shù),可知上為減函數(shù)可知, fx在 x0 時(shí)的值恒大于 fx在 x 0 時(shí)的值,從而 3a1. 解析： fx在 R 上單調(diào)遞減,0a1,1 3a1. 3a1.答案： B 練習(xí) 2：3ax4a x1 ,又由 fx在,1上單增,3a0,a3 ,又由于 fx在 R上是增函數(shù),為了滿意單調(diào)區(qū)間的定義,fx在,1上的最大值 35a 要小于等于fx在1,上的最小值 0,才能保證單調(diào)區(qū)間的要求, 35a0,即 a3 5 ,由可得 1a3. 解法 2：令 a 分別等于3

15、 5、0、1,即可排除 A、B、C,應(yīng)選 D. 點(diǎn)評(píng) fx在 R 上是增函數(shù), a 的取值不僅要保證 fx在,1上和 1, 上都是增函數(shù),仍要保證 x11,x21 時(shí),有 fx1fx2練習(xí) 3：如函數(shù) fx2x2lnx 在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間函數(shù),就實(shí)數(shù) k 的取值范疇是 A1, B1,3 2 C1,2 D3 2,2 k1,k1內(nèi)不是單調(diào)答案B x4x1 x,由 f x0,解析由于 fx定義域?yàn)?0,f 得 x1 2. 據(jù)題意,k11 2k1,k10解得 1k3 2,選 B. 練習(xí) 4: 已知函數(shù)y2x33 ax212x1,2 ,就 a 的值1 如函數(shù)在 R上是單調(diào)增函數(shù),就 a 的取值范疇是 . 解析: 如函數(shù)在 R 上是單調(diào)增函數(shù)由于y6x26 ax12開(kāi)口方向向上,所以0,即36a2420,即2