相似三角形的判定

1、相似三角形的判定【目的要求】1.使學(xué)生理解相似三角形和相似比的概念，掌握相似三角形的判定定理，會(huì)靈活運(yùn)用這些定理解決一些簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算問(wèn)題。會(huì)按已知相似比作一個(gè)三角形與已知三角形相似。2.通過(guò)相似三角形判定定理的學(xué)習(xí)，要求了解類(lèi)比方法的作用，認(rèn)識(shí)類(lèi)比方法是獲取新知識(shí)的一種重要方法?！局R(shí)要點(diǎn)】 一、相似三角形1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所截成的三角形與原三

2、角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，（簡(jiǎn)敘為兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似）。(2)如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似。）(3)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。）6.直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊

3、對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線(xiàn)的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8.相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2【重點(diǎn)和難點(diǎn)分析】重點(diǎn)：1.相似三角形的有關(guān)概念及相似三角形的基本定理。(1)相似三角形的定義中突出的一個(gè)特征是“形狀相同但大小不一定相同”，這是和全等三角形的重點(diǎn)區(qū)別，以下表中我們也可以看出：圖 形對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊全等三角形A=

4、AB=BC=CAB=ABAC=ACBC=BC相似三角形A=AB=BC=C（K為任意正實(shí)數(shù)）全等三角形是相似三角形的一種特殊情況，即相似比為1。(2)表示兩個(gè)三角形相似時(shí)注意通常要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在相應(yīng)的位置上，這樣比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 例如：圖2圖中A對(duì)應(yīng)著P，B對(duì)應(yīng)著M，C對(duì)應(yīng)著N。因此兩個(gè)三角形相似應(yīng)寫(xiě)為ABC PMN。(3)相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“ ”型。在利用定理證明時(shí)要注意A型圖的比例，每個(gè)比的前項(xiàng)是同一個(gè)三角形的三條邊，而比的后項(xiàng)是另一個(gè)

5、三角形的三條對(duì)應(yīng)邊，它們的位置不能寫(xiě)錯(cuò)，尤其是要防止寫(xiě)成的錯(cuò)誤。2.相似三角形的判定定理。(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類(lèi)型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類(lèi)比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。(3)在掌握相似三角形的判定方法的基礎(chǔ)上我們?cè)倏碦t相似判定的特殊性。A.利用一對(duì)銳角來(lái)判定

6、（Rt兩銳角互余及等角的余角相等）。B.利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例（勾股定理）。C.利用雙垂直（Rt斜邊上高線(xiàn)）。這就是從一個(gè)基本問(wèn)題出發(fā)運(yùn)用類(lèi)比，聯(lián)想特殊到一般反過(guò)來(lái)指導(dǎo)特殊的思維方法。從而發(fā)散我們的思維。提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 3.相似三角形的基本圖形.平行線(xiàn)型：即A型和 型、雙A型。.相交線(xiàn)型： A.具有一個(gè)公共角， 在ABC與ADE中A是它們的公共角，且BCAC，DEAB。B.具有一條公共邊和一個(gè)公共角在ABC與DBA中AB是它們的公共邊， 且BAD=C，B是它們的公共角。C.具有對(duì)頂角在ABC中ADBC，BEAC則使AME與BMD中1與2是對(duì)頂角4.掌握相似三角形的判定定理并且

7、運(yùn)用相似三角形定理證明三角形相似及比例式或等積式?！镜湫屠}】 例一、已知：如圖9在ABC中，D、E分別是BC、AB上的任一點(diǎn)，EFMCDM求證：AEFABD。分析：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊或比例或?qū)?yīng)角相等為條件，證明其它三角形相似，即已知的EFM與CDM屬 型，求證的AEF與ABD屬A型。EFBC是利用EFMCDM推出而且又是AEFABD的條件。證明：EFMCDM 1=2 EFBCAEFABD例二、已知：如圖10，在RtABC中ACB=90，CDAB，E為AC的中點(diǎn)，ED、CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)F。求證：ACDF=BCCF分析：1.求證等積式一般先改寫(xiě)成等比式。 2.從求證的結(jié)論看四條線(xiàn)段分別在

8、ABC、DCF中但很明顯兩個(gè)三角形不相似，在這樣的情況下一般需要找一個(gè)過(guò)渡比（或叫做中間比）通過(guò)證兩對(duì)三角形相似來(lái)證明。證明：在ABC與CBD中 ACB=90，CDAB，B=BABCCBD，A=1E是AC中點(diǎn)，CDABAE=EC=EDA=22=3、A=13=1在FBD與FDC中F=F、3=1即 ACDF=BCCF例三、已知：如圖11，ABC中M、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，ME、CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)D，且。求證：AM=DB分析：當(dāng)圖形中不存在明顯的成比例線(xiàn)段的基本圖形時(shí)，應(yīng)考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)造出基本圖形創(chuàng)造代換條件。證明：過(guò)M作MNDC AM=DB 例四、已知：AD是RtABC中A的平分線(xiàn)，C

9、=90，EF是AD的垂直平分線(xiàn)交AD于M，EF、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)N。求證：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB分析：1.本題要應(yīng)用“等量代替”公理，線(xiàn)段的等量代替是證等積式或等比式的橋梁，體現(xiàn)在： (1)AD是CAB的平分線(xiàn)，1=2，1，N是同角余角，得1=N，2=N從而解決AMENMD證明。(2)EF所在直線(xiàn)是AD的垂直平分線(xiàn)，通過(guò)添加輔助線(xiàn)連結(jié)NA，NA=ND，使證明ND2=NCNB，變?yōu)樽CNA2=NCNB。證明：(1)連結(jié)NA AD是BAC的平分線(xiàn) 1=2 NE是AD的垂直平分線(xiàn) 5=6=90，NA=ND ACB=90 1=4 2=4 AMENMD(2)NA=ND，NMAD3=4 24=22，即ANC=CAB 7=B，ANC=ANC NACNBA NA2=NCNB 即ND2=NCNB例五、已知：如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一點(diǎn)，CFBE于F。求證：EBDF=AEDB分析：1.求證等積式一般先將其化為等比式，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證等比式，再將求證等比式轉(zhuǎn)化為求證兩個(gè)三角形相似。2.證明ABEFBE的條件；已具備