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文檔簡介

1、第十三章 群集合的概念1特殊群3半群與含幺半群1群及其性質(zhì)2陪集與拉格朗日定理4正規(guī)子群512.1 本章學(xué)習(xí)要求重點(diǎn)掌握一般掌握了解11 半群、群、子群及性質(zhì)2 元素的周期及計(jì)算3 生成元與循環(huán)群4 陪集與拉氏定理 3商群及性質(zhì)2正規(guī)子群性質(zhì)與同態(tài)核13.2半群與含幺半群定義13.2.1 在二元代數(shù)中,若二元運(yùn)算“”滿足結(jié)合律,則稱為半群;特別地,若半群中的二元運(yùn)算“”滿足交換律,則稱為可交換半群。定義13.2.2 設(shè)為半群,若S中存在關(guān)于運(yùn)算“”的幺元e,則稱此半群為獨(dú)異點(diǎn)(或含幺半群),有時(shí)也記為;若獨(dú)異點(diǎn)中運(yùn)算“”滿足交換律,則稱為可交換獨(dú)異點(diǎn)(可交換含幺半群)。例13.2.1 設(shè)A是非

2、空集合,AA表示所有A到A的函數(shù)集合,運(yùn)算“”表示映射的復(fù)合運(yùn)算,證明是半群。分析 只需證明運(yùn)算“”滿足封閉性和結(jié)合律。證明 對f, gAA, 顯然有fgAA, 故封閉性成立。又函數(shù)復(fù)合運(yùn)算“”滿足結(jié)合律,所以是半群。例13.2.2 設(shè)S是一個(gè)集合,P(S)是S的冪集合,試證明代數(shù)系統(tǒng) 與都是可交換的含幺半群。分析 運(yùn)算“”和“”顯然滿足交換律,因此只需說明 與是半群,并計(jì)算它們的幺元即可。例13.2.2(續(xù))證明 顯然運(yùn)算“”和“”均滿足結(jié)合律和交換律,因此它們是可交換的半群。易證和S分別是 和的幺元。因此, 與是可交換的含幺半群。例13.2.3 設(shè)n0, 1, 2, , n1, 定義n上的

3、運(yùn)算n 如下:x, yn, xnyxy (mod n)(即xy除以n的余數(shù))。證明是含么半群。證明:封閉性:x, yn, 令kxy (mod n), 則0kn1, 即kn, 所以封閉性成立;例13.2.3(續(xù))結(jié)合律:x, y, zn, 有(xn y)n zxy+z (mod n)xn (yn z)所以結(jié)合律成立。單位元:xn, 顯然有 0nxxn0=x所以0是單位元。故是含么半群。子半群和子含幺半群將子代數(shù)應(yīng)用于半群,可得下面的定義:定義13.2.3 如果是半群,T是S的非空子集,且運(yùn)算“” 對T封閉,則稱是半群的子半群;如果是含幺半群,T是S的非空子集,eT。且運(yùn)算“”對T封閉,則稱是含幺

4、半群的子含幺半群。例13.2.4 設(shè)是含幺半群, M = a | aS,xS 有ax = xa,則 是的子含幺半群。分析 需證明兩點(diǎn):幺元存在,運(yùn)算“” 封閉。證明 (1) 設(shè)e是半群的幺元,則xS,顯然有e x = x e,因此,eM。進(jìn)而M是S的非空子集。例13.2.4(續(xù))(2)對任意a, bM,由M的定義知,xS,有a x = x a, b x = x b,又運(yùn)算“*”滿足結(jié)合律,則(a b) x = a (b x) = a (x b) = (a x) b = (x a) b = x (a b),即 xS, (a b) x = x (a b),因此,(ab) M。由(1)、(2)可知:

5、是的一個(gè)子含幺半群。半群同態(tài)利用代數(shù)系統(tǒng)中同態(tài)與同構(gòu)概念,得到半群(含幺半群)的同態(tài)與同構(gòu)。設(shè)和是兩個(gè)半群,映射f:ST,對任意元素a, bS,都有f(ab) = f(a) f(b),則映射f就是半群到半群的同態(tài)映射。半群同態(tài)(續(xù))如果半群和是含幺半群,其中e,1分別是和的幺元,而且映射f滿足: a, bS, f(ab) = f(a) f(b),且f(e) = 1。則映射f就是含幺半群到的同態(tài)映射。當(dāng)f是單射、滿射、雙射時(shí),相應(yīng)的同態(tài)為單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)。例13.2.5 設(shè)映射f:N6,且xN,f(x) = x(mod 6),則(1)f是半群到的同態(tài)映射;(2)f是含幺半群到的同態(tài)映射。分析

6、 (1),需證明 a, bN,有f(a + b) = f(a) +6 f(b) ; (2),在(1)的基礎(chǔ)上,還需說明f(0) = 0。例13.2.5(續(xù))證明 (1) a, bN,有 f (a + b) = (a + b)(mod 6) = (a (mod 6) + b (mod 6)(mod 6) = a (mod 6)+6 b (mod 6) = f(a) +6 f(a),所以f是同態(tài)映射。(2)根據(jù)f的定義,顯然有f(0) = 0,又根據(jù)(1),則f是含幺半群到的同態(tài)映射。結(jié)論設(shè)f是二元代數(shù)到的滿同態(tài),則根據(jù)第十五章同態(tài)的性質(zhì),容易得到如下結(jié)論: (1)若是半群,則也是半群;(2)若含

7、幺半群,則也是含幺半群。13.2.2 元素的冪設(shè)S, *是一個(gè)半群, 對x S, 可定義:x=x, x=x x, x=x x= x x=x x x, xn=xn-1 x=x xn -=x x x x。 如果S, *有單位元e, 可以定義:x0=e元素的冪(續(xù))由于結(jié)合律的滿足, 同樣有 如下的公式: ax ay=ax+ y (a)=a例13.2.6 (1)設(shè)是半群,aS, M = an | nZ+,則是的子半群;(2)設(shè)是含幺半群,aS, M = an | nN,則是的子含幺半群;分析 (1)M是非空子集,運(yùn)算“” 封閉。 (2)還需說明幺元e在M中。例13.2.6(續(xù))證明 (1)a = a

8、1M,所以M是非空集合。對nZ+,anS,因此M是S的非空子集。對an,amM,n,mZ+,則anam = an+m,n + mZ+, anamM。故運(yùn)算“” 封閉。是的子半群。(2)幺元e = a0M,即幺元在M中。類似(1),同理可證是的子含幺半群。13.2.3 循環(huán)半群定義13.2.4 (1)在半群中,若存在一個(gè)元素aS,使得對任意xS,都有x = an,其中nZ+,則稱為循環(huán)半群,并稱a為該循環(huán)半群的一個(gè)生成元,M = a | (aS)且a是S的生成元稱為該循環(huán)半群的生成集;定義13.2.4(續(xù))(2)在含幺半群中,若存在一個(gè)元素aS,使得對任意xS,都有x = an,其中nN,則稱此

9、循環(huán)含幺半群為循環(huán)含幺半群(或循環(huán)獨(dú)異點(diǎn)),并稱a為該循環(huán)含幺半群的一個(gè)生成元,M = a | (aS)且a是S的生成元稱為該循含幺半群的生成集。例13.2.7 判斷含幺半群是否是一個(gè)循環(huán)含幺半群?分析 根據(jù)定義,判別含幺半群(或半群)是循環(huán)含幺半群(循環(huán)半群)的關(guān)鍵是計(jì)算生成元。如何計(jì)算生成元呢?首先假設(shè)生成元存在,然后根據(jù)定義得到方程,通過解這個(gè)方程來計(jì)算生成元。 例13.2.7(續(xù))如在本例中,不妨假設(shè)aN是的生成元,則根據(jù)生成元的定義,對nN,mN,使得n = am = ma讓n = 1,有1 = ma,因此a = 1。這說明,如果有生成元,則生成元必須為1。下面還需驗(yàn)證1是生成元。例

10、13.2.7(續(xù))解 由于存在元素1N,使得對任意nN,都有:n = (n1)+1 = 1+(n1) = 1+1+1+1 = 1n,特別對幺元0N,有0 = 10。所以,“1”是生成元。因此,該半群一定是循環(huán)含幺半群。定理13.2.1 循環(huán)半群都是可交換半群。分析 由于循環(huán)半群中的每個(gè)元素都可以表示為生成元的方冪形式,可以使用這種表示形式來證明。證明 設(shè)aS是循環(huán)半群的生成元。則對x, yS,存在m, nZ+,使得x = am,y = an,所以x y = am an = am+n = an+m = an am = y x,故運(yùn)算“”是可交換的,即是可交換半群。推論13.2.1 循環(huán)含幺半群都

11、是可交換含幺半群。例13.2.8 判斷含幺半群是否是循環(huán)含幺半群?若是,請求出其所有的生成元。分析 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,共有6個(gè)元素,則可以判別每一個(gè)元素是否是生成元。解 由于6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,0是幺元,則0肯定不是生成元,對其他元,有: 、1 = 0, 1 = 1, 1 = 2, 1 = 3, 14 = 4, 15 = 5, 所以“1”是的生成元; 例13.2.8(續(xù))、2 = 0, 2 = 2, 2 = 0, 2 = 2,, 所以“2”不是的生成元; 、3 = 0, 3 = 3, 3 = 0, 3 = 3,, 所以“3”不是的生成元;、4 =

12、0, 4 = 4, 4 = 2, 4 = 0,, 所以“4”不是的生成元;、5 = 0, 5 = 5, 5 = 4, 5 = 3, 54 = 2, 55 = 1, 所以“5”是的生成元。例13.2.8(續(xù))因此,含幺半群有兩個(gè)生成元“1”、“5”,則是循環(huán)含幺半群。另解 不妨設(shè)a6是生成元,則x6,mN,有x = am = ma (mod 6),特別地,當(dāng)x = 1時(shí),有1 = ma (mod 6),即kZ,使得ma = 6k + 1,即ma + (k)6 = 1。因此,(a, 6) = 1,即a與6的最大共因子為1。例13.2.8(續(xù))反之,對 a6,如果(a, 6) = 1,則kZ,使得1

13、 = ma + 6k,因此,對x6,有x = (xm)a + 6(xk),xm,xkZ,根據(jù)“+6”的定義,則x = axm,xmZ,因此,a是生成元。例13.2.8(續(xù))綜上所述,a6是生成元的充分必要條件是(a, 6) = 1??紤]集合6中,可得“1”、“5”是的生成元,則是循環(huán)含幺半群。計(jì)算生成元方法: 首先假設(shè)生成元存在,然后根據(jù)定義得到方程,通過解這個(gè)方程來計(jì)算生成元。推廣(1)是循環(huán)含幺半群;(2)對an, 若(a, n) = 1,則a是的生成元;(3)當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí),n中除幺元“0”以外,其他一切元素都是生成元。 定理與推論定理13.2.2 在每個(gè)有限循環(huán)半群中,至少有一個(gè)冪等元存

14、在。 推論13.2.2 設(shè)為一個(gè)有限半群,則中至少存在一個(gè)冪等元。 作業(yè)P295:3、6、9、1313.3 群及其性質(zhì)定義13.3.1 設(shè)為二元代數(shù)系統(tǒng),滿足如下性質(zhì):(1)“”在G中滿足結(jié)合律,即a, b, cG,有(ab) c = a (bc);(2)G中存在關(guān)于“”的幺元e,即eG,使得aG,ea = ae = a;(3)G中每個(gè)元素a都有逆元a1,即aG,都a1G,aa1 = a1a = e。則稱二元代數(shù)系統(tǒng)為群。概括:群是滿足結(jié)合律、有幺元,每個(gè)元有逆元的二元代數(shù)系統(tǒng)為群定義13.3.2在群中,(1)若運(yùn)算“”滿足交換律,即a, bG,都有ab = ba,則稱為可換群或阿貝爾(Abe

15、l)群;(2)集合G的基數(shù)稱為群G的階(Order),記為|G|。若群的階有限,則稱之為有限群,否則稱為無限群。例13.3.1 證明是群,其中n是正整數(shù)。分析 需要證明4點(diǎn):封閉性;結(jié)合律;幺元存在;逆元存在。證明 (1)封閉性: x, yn,令k = x + y (mod n),則0kn 1,即kn,所以封閉性成立。例13.3.1(續(xù))(2)結(jié)合律:x, y, zn,有(x +n y) +n z = x + y + z (mod n) = x +n (y +n z),所以結(jié)合律成立。(3)幺元:xn,顯然有 0 +n x = x +n 0,因此,0是幺元。例13.3.1(續(xù))(4)逆元存在:

16、xn,如果x = 0,顯然01 = 0,如果x0,則有n xn,顯然x +n (nx) = (nx) +n x = 0,所以x1 = (nx),因此,xn,x有逆元。綜上,是群。例13.3.2 設(shè)X是任意集合,S = f:XX | f是雙射函數(shù),運(yùn)算“”是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算,證明是群。證明 (1)封閉性:f, gS, f, g是雙射,則fg也是雙射,即fgS。故封閉性成立。(2)結(jié)合律:由于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算“”滿足結(jié)合律,因此,在集合S也滿足結(jié)合律。例13.3.2(續(xù))(3)幺元存在:恒等映射IXG,且fS,有IX f = f IX = f,因此,恒等映射IX是幺元。(4)逆元存在:fS, f是雙射

17、,則f1S,且有f1 f = f f1 = IX,因此,f1就是f關(guān)于“”的逆元。由(1)、(2)、(3)和(4)可知,是群。說明說明 被稱為變換群,如果X是有限集合,設(shè)|X| = n,此時(shí)稱為n階置換群。變換群在幾何學(xué)中有十分廣泛的應(yīng)用。定理13.3.1在群中,有:(1)群G中每個(gè)元素都是可消去的,即運(yùn)算滿足消去律;(2)群G中除幺元e外無其他冪等元;(3)階大于1的群G不可能有零元;(4)a, bG,都有(ab)1 = b1a1;(5)群 的的運(yùn)算表中任意一行(列)都沒有兩個(gè)相同的元素。定理13.3.1(續(xù))分析 由于可逆元就是可消去元,因此(1)顯然可證。(2)和(3)分別是證明唯一性和

18、存在性問題,通常采用反證法證明。(4)顯然。(5)采用反證法證明。定理13.3.1(續(xù))證明 (1)由于可逆元就是可消去元,而群G中每個(gè)元素都是可逆元,則G中的任何元素都是可消去的,即運(yùn)算滿足消去律。(2)對幺元e,由于ee = e,所以e是冪等元。現(xiàn)假設(shè)a是群G中的冪等元,即aa = a,則aa = ae,使用消去律,則有a = e。因此,幺元e是G的唯一冪等元。定理13.3.1(續(xù))(3)假設(shè)群G的階大于1且有零元,則 = ,即是冪等元,因此由(2)有 = e,由于|G|1,則xG,x,由是零元,有x = ,又 = e是幺元,則有x = x = x,則, = x,這與x矛盾。因此,G中無零

19、元。注意:如果|G| = 1,則有G = e,此時(shí)e既是幺元又是零元。定理13.3.1(續(xù))(4)由于群G中的運(yùn)算滿足結(jié)合律,且每個(gè)元素都有逆元,有推論12.3.1知,結(jié)論成立。(5)假設(shè)群G的運(yùn)算表中某一行(列)有兩個(gè)相同的元素,設(shè)為a,并設(shè)它們所在的行表頭元素為b,列表頭元素分別為c1, c2,這時(shí)顯然有c1c2。而a = bc1 = bc2,由消去律可得c1 = c2,矛盾。群中元素的周期設(shè)G,*是一個(gè)群,對aG,可定義: a=e,a=a,a=a a, an=an- a=a an-=a a a; a-=a-,a-= (a-), a-n=(a-)n= a- a- a-。由冪方的定義知: a

20、m an=am+n=an+m=an am; (am)n=amn。元素的周期(續(xù))對群中的元a,由冪方可得到如下的一個(gè)序列:, an,, a2,a1,a0,a1,a2,, an,這個(gè)序列有周期嗎?如果有周期,其最小正周期為多少?分析 在上述序列中,如果存在整數(shù)p和q,其中pq,使得ap = aq,則由消去律有aqp = e,元素的周期(續(xù))此時(shí)pq就是序列的一個(gè)周期,因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)m,有am+(pq) = ame = am,即,對任意的正整數(shù)n,如果an = e,則n是序列的周期。元素的周期(續(xù))反之,如果n是序列的周期,肯定有an = e。為什么呢?因?yàn)橛芍芷诘亩x可知,如果n是周期,則對任

21、意的整數(shù)m,由am+n = am,即aman = am,由消去律,可得an = e。定義13.3.3 設(shè)e是群的幺元,aG,(1)使得an = e成立的最小正整數(shù)n稱為a的周期或?yàn)樵豠的階,記為|a|;(2)若不存在這樣的正整數(shù)n,使得an = e,則稱a的周期無限,即對nZ + ,都有an e。顯然,群中幺元e的周期為1 定理13.3.3設(shè)a是群中的元素,則:(1)如果a的周期為n,則對任意的整數(shù)i,有ai a1, a2, , an ,且對任意的p, q1, 2, ., n, p q,有apaq;(2)如果a的周期無限,則對任意的整數(shù)p, q, p q,有apaq;(3)a和它的逆元a1的

22、周期相同。例13.3.3 計(jì)算實(shí)數(shù)加群中元素的周期。分析 在中幺元為“0”,所以有0 = 0,而對aR,且a0,及nZ + 有an = an + a = a + an = a + a + + a = na0 ,因此,此時(shí)僅有“0”有周期“1”,而其余元素的周期無限。結(jié)論 在實(shí)數(shù)加群中,0的周期為1,而其余實(shí)數(shù)的周期無限。定理13.3.3設(shè)是一個(gè)群,aG,若a的周期為m,則an = e當(dāng)且僅當(dāng)m | n。分析 a的周期為m,則根據(jù)以前的分析,序列, an, , a2, a1, a0, a1, a2, , an, , 的最小正周期為m,因此,當(dāng)m | n時(shí),就有an = e。反之,由于在一個(gè)周期

23、a1, a2,am中只有am = e,因此,如果an = e那么一定有m | n。定理13.3.3(續(xù))證明 “” (反證法) :設(shè)an = e,若m不整除n,則qZ,使得n = mq + r(1rm1),由a的周期為m,且an = e,有:an = amq+r = amqar = (am)qar = eqar = ar = e,由于1rm1,這就與a的周期為m矛盾,所以有m | n。定理13.3.3(續(xù)) “”:設(shè)m | n。則kZ,使得n = mk,于是有: an = amk = (am)k = ek = e,總結(jié) 如果證明形如m | n這樣的結(jié)論,可以采用反證法,即假設(shè)m不能整除n,則q

24、Z,使得n = mq + r(1rm1)。例13.3.4設(shè)是一個(gè)群,對a,bG,若a的周期為3,b的周期為5,且有:ab = ba,則ab的周期為15。證明 設(shè)ab的周期為n,由于ab = ba,且運(yùn)算“”滿足結(jié)合律,所以有:(ab)15 = a15b15 = ee = e,由定理13.3.3可知:n|15,即n可能是1, 3, 5, 15。例13.3.4(續(xù))當(dāng)n = 1, 3, 5,有: (ab)1 = abe (若ab = e,則a = b1,故b1的周期為3,則b的周期也為3,矛盾),(ab)3 = a3b3 = eb3 = b3e (因b的周期為5),(ab)5 = a5b5 = a

25、5e = a3a2 = a2e(因a的周期為3),n = 15時(shí),才有(ab)n = e。故ab的周期為15。例13.3.4(續(xù))另證 設(shè)ab的周期為n,由ab = ba有(ab)n = anbn = e,所以有(ab)n)3 = a3nb3n = e3 = e,又a的周期為3,則由上式可得a3nb3n = eb3n = e,即b3n = e,由b的周期是5,則根據(jù)定理13.3.3,有5 | 3n,例13.3.4(續(xù))因?yàn)?5, 3) = 1,所以可得5 | n,同理,由(ab)n)5 = a5nb5n = a5ne = a5n = e,且a的周期為3,可得3 | 5n,即是3 | n,由3|

26、n, 5|n,且(3, 5) = 1,則15 | n,例13.3.4(續(xù))又因?yàn)?(ab)15 = a15b15 = ee = e,而n是周期,則n | 15,由15|n, n|15,且n是正整數(shù),可得n = 15。故ab的周期為15。推廣設(shè)是一個(gè)群,對a,bG,若a的周期為n,b的周期為m,且有:ab = ba,則:(1)若(n, m) = 1,則ab的周期為nm;(2)若(n, m)1,則ab的周期為n,m(n,m表示n與m的最小共倍數(shù))。定理13.3.5有限群中每個(gè)元素的周期都有限,且不大于群G的階。證明 對aG,構(gòu)造a, a, a, , an, 由運(yùn)算“”的滿足封閉性知:a, a, a

27、, , an, G,因?yàn)閨G|是有限的,所以a, a, a, , an, 中必有相同的元素,不妨假設(shè): ax = ay (yx),定理13.3.5(續(xù))在式的左右兩端同時(shí)作用一個(gè)ax,有:axax = ay ax = e,即有: ayx = e (yx0),由周期定義可知:元素a的周期一定小于等于(yx),所以a的周期有限。如果(yx)大于群G的階,類似可找到小于G的階的n,使得an = e 13.3.3 子群定義13.3.4 設(shè)是群,如果(1)S是G的非空子集;(2)S在運(yùn)算“”下也是群,即是群。則稱是的子群。對任意的群, 和是群G的子群。由于任何群都有這兩個(gè)子群,故稱之為平凡子群,將的非平

28、凡子群稱為真子群。例13.3.5計(jì)算群的所有子群。分析 6共有26 1個(gè)非空子集,并判別哪些是子群。解 集合6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5的所有的非空子集:一元子集:0,1,2,3,4,5;二元子集:0, 1,0, 2,0, 3,0, 4,三元子集:四元子集:例13.3.5(續(xù))五元子集:0, 1, 2, 3, 4, 5。此時(shí)僅有四個(gè)子集:0,0, 3,0, 2, 4,0, 1, 2, 3, 4, 5,關(guān)于運(yùn)算“ +6”滿足:(1)封閉性:運(yùn)算“+6”關(guān)于集合0,0, 3,0, 2, 4,0, 1, 2, 3, 4, 5是封閉的;(2)結(jié)合律:顯然成立;例13.3.5(續(xù))(3)逆元

29、存在:對集合0,有:01 = 0;對集合0, 3,有:01 = 0,31 = 3;對集合0, 2, 4,有:01 = 0,21 = 4,41 = 2;對集合0, 1, 2, 3, 4, 5,有:01 = 0,21 = 4,31 = 3,41 = 2,51 = 1;例13.3.5(續(xù))(4)幺元存在:對集合0,0, 3,0, 2, 4,0, 1, 2, 3, 4, 5,都有幺元“0”存在; 由(1)、(2)、(3)、(4)知:,是的子群引理13.3.1設(shè)是一個(gè)群,是的子群,則:(1)子群的幺元eS也是的幺元eG;(2)對aS,a在S中的逆元aS1就是a在G中的逆元aG1。證明 (1)eS是的幺元

30、,則eS2 = eS,又S G,則eSG,由上式可知eS也是群的一個(gè)冪等元。所以有:eS = eG。引理13.3.1(續(xù))(2)對aS,a在S中的逆元為aS1S,則有a aS1 = aS1 a = eS = eG,由于S G,所以a,aS1G,有aS1 = aG1。引理13.3.1說明,如果S是G的子群,則S的幺元就是G的幺元,S中任意元a在S中的逆元也是a在G中的逆元。定理13.3.5 如何判別一個(gè)子集是子群?定理13.3.5 設(shè)S是群的非空子集,S是群G的子群的充分必要條件是:(1)對a, bS,都有abS;(2)對aS,都有a1S。證明 充分性:要證明是群,需證明運(yùn)算“”對S封閉,結(jié)合律

31、成立,S有幺元和S中的任意元有逆元。定理13.3.5(續(xù))封閉性:由(1)知道運(yùn)算“” 對S封閉;結(jié)合律:“”在G中滿足結(jié)合律,S是G的子集,所以“”也在S中滿足結(jié)合律。有幺元:S是非空的子集,所以存在元aS,由條件(2)可得a1S,再由條件(1)知道aa1S,即G的幺元e = aa1S。對任意的bS,eb = be,所以e也是S的幺元。定理13.3.5(續(xù))有逆元:由條件(2),即對任意aS,都有a1S,則aa1 = a1a = e,又因?yàn)橐呀?jīng)證明e是S的幺元,所以,在中a1也是a的逆元。綜上,是群,進(jìn)而是的子群。定理13.3.5(續(xù))必要性:即證明當(dāng)是的子群時(shí),條件(1)和條件(2)成立。

32、如果是的子群,顯然運(yùn)算“” 對S封閉,即條件(1) 成立。根據(jù)引理10.1可知,S中a的逆元也是a在G中的逆元,因此有對aS,都有a1S,故條件(2)也成立。定理13.3.6設(shè)S是群的非空子集,S是子群的充分必要條件是:對a,bS,都有ab1S。分析 根據(jù)定理13.3.5證明證明 必要性:如果S是G的子群,則對a,bS,由定理13.3.5可知,b1S,進(jìn)而ab1S,所以必要性成立。定理13.3.6(續(xù))充分性:即如果對a,bS,都有ab1S,來證S是G的子群。S非空,所以存在cS,則由已知有cc1S,即幺元e = cc1S,則對aS, ,由已知及eS,有ea1S,即a1S;又對a, bS,由b

33、S,則b1S,則ab a (b1)1S,由定理13.3.5可知,是的子群。例13.3.6設(shè)是一個(gè)群,對任意的aG,令S = an | nZ,Z是整數(shù),證明是子群。分析 使用定理13.3.6來證明。證明 顯然S非空。對x, yS,則存在n, mZ,x = an,y = am,則xy1 = an (am)1 = anm,且nmZ,所以xy1 = anmS,故由定理13.3.6可得,是的子群。推論與定理推論13.3.1 對群中的任意元a的整數(shù)方冪組成的子集是子群,即S = an | nZ,Z是整數(shù)是的子群。如果S是群的有限非空子集,則S還有更弱的判斷定理:定理13.3.7 設(shè)S是群的有限非空子集,則

34、S是子群的充分必要條件是a, bS,有abS。定理13.3.7(續(xù))證明:必要性:顯然。充分性:根據(jù)定理13.3.5,只需證明對aS,有a1S。對aS,則由已知有a2 = aaS, a3 = a2aS, ,an = an1aS, ,令H = an | nN+,則H是S的子集,又S有限,得p, qN+, p q,ap = aq,則有a pq = e,且pq 0,定理13.3.7(續(xù))則a的周期有限,設(shè)a的周期為n,則Q = an | nZ,Z是整數(shù) = a1, a2, , an,由推論13.3.1可知,Q是G的子群,又aQ,則a1Q,另一方面,由于a的周期為n,則有Q = a1, a2, , a

35、n = H,則a1H,又H是S的子集,則a1S,定理13.3.7(續(xù))因此,aS,有a1S。又已知a, bS,有abS,根據(jù)定理13.3.5,可得是的子群,故得證。推論13.3.2 設(shè)S是有限群的非空子集,則S是子群的充分必要條件是:a, bS,有abS。 子群判別方法總結(jié)根據(jù)子群的定義,要證明以下5點(diǎn):、S非空子集; 、運(yùn)算對S的封閉性;、運(yùn)算在S上結(jié)合律成立; 、S上存在幺元;、S中的每個(gè)元都存在逆元。判別定理13.3.5將5點(diǎn)減少為3點(diǎn):、S非空子集; 、運(yùn)算對S的封閉性;、S中的每個(gè)元的逆元都在S中。子群判別方法總結(jié)(續(xù))判別定理13.3.6將后兩點(diǎn)融合,并將以上3點(diǎn)進(jìn)一步減少為2點(diǎn):

36、、S非空子集; 、對a,bS,有ab1S。如果S是有限子集,根據(jù)定理13.3.7,則此時(shí)只需證明2點(diǎn):、S非空子集; 、運(yùn)算對S的封閉性。在具體應(yīng)用中,一般都使用判別定理,特別是定理13.3.5和13.3.6來證明一個(gè)非空子集是子群。例13.3.6設(shè)是一個(gè)交換群,令S= a| aG且a = a1,證明是的一個(gè)子群。分析 用定理13.3.6證明,即只需證明兩點(diǎn):、S非空子集;、對a, bS,有ab1S。對幺元e,有e = e1,因此,eS,所以S非空。另一方面,要證明ab1S,即是證明(ab1) = (ab1)1,例13.3.6(續(xù))又(ab1)1 = ba1,因此,只需證明ab1 = ba1,

37、又a, bS,可得a = a1, b = b1。則只需證明ab = ba,由于是交換群,故ab = ba成立。證明 略。例13.3.7設(shè)G是nn可逆實(shí)矩陣集合, “”是矩陣乘法運(yùn)算,則是群,令S = A | AG 且|A| = 1,證明是群的一個(gè)子群。分析 首先應(yīng)該知道群中的幺元和逆元。不難得到,幺元是單位矩陣I,任意AG的逆元就是A的逆矩陣A1。再根據(jù)定理13.3.5證明。例13.3.7(續(xù))證明 (1)非空性:單位矩陣IG,且| I | = 1,所以IS,即S是非空集合。(2)封閉性:A, BS, | A| = 1, | B| = 1,有|AB| = |A|B| = 11 = 1,且AB是

38、可逆矩陣,因此有ABS。例13.3.7(續(xù))(3)逆元存在:AS, | A| = 1,則A的逆矩陣A1滿足| A1| = 1/|A| = 1,故A1S。由(1)、(2)、(3)知:作成的子群。例13.3.8設(shè)是整數(shù)加群,令:S = 5k | kZ,證明是的子群。分析 用定理13.3.6來證明,即只需證明兩點(diǎn):、S非空子集;、對a,bS,有a + b1S,即證明a + b1 = a bS。證明 (1)顯然S非空;例13.3.8(續(xù))(2)對a, bS,存在k1, k2Z,有a = 5k1, b = 5k2,則a + b1 = 5k1 5k2 5(k1 k2)H (k1 k2Z),由(1)、(2)

39、知:是的子群。例13.3.9設(shè)是一個(gè)群,H1,H2是G的兩個(gè)子群,證明H = H1H2是G的子群。分析 根據(jù)定理13.3.5,需要證明3點(diǎn):、H非空子集;、運(yùn)算對H的封閉性;、H中的每個(gè)元的逆元都在H中。證明 (1)非空性:由于H1,H2是G的兩個(gè)子群,所以有eH1,eH2,即有eH1H2,故H非空。例13.3.9(續(xù))(2)封閉性:對a, bH,有a, bH1H2,即a, bH1, a, bH2,由H1, H2是子群,有a*bH1, a*bH2,即有a*bH1H2。(3)逆元存在:對aH,有 aH1H2,即aH1,aH2。由H1,H2是子群,有a-1H1, a-1H2,即有a-1H1H2。由

40、(1)、(2)、(3)知:可作成的子群。推廣設(shè)G,*是一個(gè)群,H1,H2,Hn是G的n個(gè)子群,則有H= H1H2Hn是G的子群。13.3.4 群的同態(tài)設(shè)和是兩個(gè)群,映射:GH, 且a,bG,有(a b) = (a)(b),則就是從到的群同態(tài)映射。當(dāng)是單射、滿射和雙射,群同態(tài)分別稱為單一群同態(tài)、滿群同態(tài)和群同構(gòu)。定理13.3.8設(shè)是到的群同態(tài),則(1)若e是群G的幺元,則(e)是群H的幺元;(2)aG,有(a-1) = (a)-1。證明(1)由于e e = e,又是同態(tài)映射,則(e) = (e e) = (e) (e),可見(e)是群H中的冪等元,所以(e)是群H的幺元。定理13.3.8(續(xù))(

41、2)由是同態(tài)映射,可得(a) (a-1) = (a a-1) = (e),(a-1) (a) = (a-1 a) = (e),(e)是群H的幺元,因此有(a-1) = (a)-1。此定理說明,群同態(tài)映射將幺元映射為幺元,逆元映射為逆元。兩個(gè)定理定理13.3.9 設(shè)是到的群同態(tài),則在下的同態(tài)象是的子群。定理13.3.10 設(shè)是一個(gè)群,是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),若存在從到滿同態(tài),則是群。群同構(gòu)同構(gòu)的群可以看作是相同的群。對有限群而言,其運(yùn)算“*”可以通過運(yùn)算表給出,設(shè)Gx1,x2,xi,xj,xn.根據(jù)定理13.3.1,運(yùn)算表中每行的元素應(yīng)互不相同,每列的元素也應(yīng)互不相同,因此當(dāng)n3時(shí),則運(yùn)算表只能是下表:

42、 群同構(gòu)(續(xù))所以當(dāng)n3時(shí),在同構(gòu)的意義下只有一個(gè)群。群同構(gòu)(續(xù))當(dāng)n =4時(shí),其運(yùn)算表如下:其中,表2,3和4同構(gòu),所以4元群在同構(gòu)意義下有兩個(gè)。群同構(gòu)(續(xù))通過討論可以得到如下結(jié)論:(1)若|G|3,則群G在同構(gòu)的意義之下只有唯一的一個(gè);(2)若|G|4,則群G在同構(gòu)的意義之下只有兩個(gè)。作業(yè)P296:17、20、21:(1)23、26、2813.3.6群的應(yīng)用例13.3.9 Zn = 0, 2, , n 1是整數(shù)Z上以n為模的同余等價(jià)關(guān)系的商集,i, j Zn, i + j = i + j,證明是群。證明 (1)封閉性:i, j Zn,設(shè)i + j = kn + r,其中0 r n 1,有

43、i + j = i + j = r Zn,故封閉性成立。例13.3.9(續(xù))(2)結(jié)合律:i, j , kZn,有(i + j) + k = i + j + k = i + (j + k),故結(jié)合律成立。(3)幺元:0Zn, iZn,有0 + i = i + 0 = i,故0是幺元。例13.3.9(續(xù))(4)逆元:iZn,設(shè)i = kn + r,其中0 r n 1,有i + n r = n r + i = n r + i = n r + kn + r = kn = 0,因此,n r是i的逆元。由(1)、(2)、(3)、(4)可知,是群。例13.3.10 在書店購買圖書時(shí),收銀員將光學(xué)掃描儀對準(zhǔn)

44、書封底上一系列黑白條,就可以在結(jié)帳屏幕立即顯示應(yīng)付款。書封底上一系列黑白條代表的是國際標(biāo)準(zhǔn)書號(ISBN)。計(jì)算機(jī)通過ISBN號庫存書信息,并用來記帳。但由于噪聲或人為錯(cuò)誤,ISBN很容易出錯(cuò),如輸錯(cuò)一位數(shù)字或順序顛倒,計(jì)算機(jī)如何探測這類錯(cuò)誤?如一本書正確的ISBN是7505387081,但是由于光學(xué)掃描儀受噪聲影響,得到7505387051,計(jì)算機(jī)怎么識(shí)別這是一個(gè)錯(cuò)誤的ISBN號?例13.3.10(續(xù))分析 一本書在封底通常有國際標(biāo)準(zhǔn)書號(ISBN),它是10個(gè)數(shù)字組成的字符串,前九位標(biāo)識(shí)這本書,最后一位是校驗(yàn)位。例如,UNIX初級教程的ISBN號是7505387081,第一位是7,表示書出

45、版國家(7表示中國)。第二組數(shù)字5053表示出版社(5053表示電子工業(yè)出版社),第三組數(shù)字8708表示出版社對書指定的編號,最后一位1表示校驗(yàn)位。例13.3.10(續(xù))形式上,ISBN號由10位數(shù)字組成:x1x2x10,其中對i = 1,2,, 9,xi是09的數(shù)字,x10是校驗(yàn)位,它有11種可能值:0,2,10,如果校驗(yàn)位等于10,則用羅馬數(shù)字X表示,因此,x100,2,9,X。ISBN主要通過校驗(yàn)位來探測ISBN號的錯(cuò)誤。如前所述,ISBN由x1x2x10共10位數(shù)字確定,而前九位分別代表國家、出版社、出版社對書的編號,這九位數(shù)字是事先確定,例13.3.10(續(xù))而校驗(yàn)位通過下式的同余等

46、式確定:1x1 + 2x2 + + 9x9 = x10 (mod 11),在本例中,如果ISBN的前九位是750538708,則校驗(yàn)位x10滿足下式:17 + 25 + 30 + 45 + 53 + 68 + 77 + 80 + 98 = x10 (mod 11),即221 = x10 (mod 11),則 1 = x10 (mod 11),例13.3.10(續(xù))由0 x10 10,得x10 = 1。因此7505387081是正確的ISBN號。如果前九位是750538705,則校驗(yàn)位x10滿足下式:17 + 25 + 30 + 45 + 53 + 68 + 77 + 80 + 95 = x10

47、 (mod 11),即194 = x10 (mod 11),則 7 = x10 (mod 11),例13.3.10(續(xù))由0 x10 10,得x10 = 7。因此7505387051是錯(cuò)誤的ISBN號。解 計(jì)算機(jī)使用同余關(guān)系,通過校驗(yàn)位來發(fā)現(xiàn)7505387051是錯(cuò)誤的ISBN號。13.4 特殊群特殊群主要有三類:交換群、循環(huán)群、變換群(置換群)13.4.1 交換群(阿貝爾群)若群中的運(yùn)算“”滿足交換律,則稱是一個(gè)交換群(阿貝爾(Abel)群)。由于加法運(yùn)算“+”滿足交換律,因此群,都是交換群。定理13.4.1設(shè)是一個(gè)群,則是交換群的充分必要條件是:對a, bG,有(a*b)2 = a2*b2

48、。證明 必要性:對a, bG,由于 “*” 可交換,所以有(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b = a(ab)*b = (a*a)*(b*b) = a2*b2。定理13.4.1(續(xù))充分性:對a, bG,若有(a*b)2 = a2*b2,則(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b),因此,a*(b*a)*b = a*(a*b)*b,由消去律知:b*a = a*b,所以,運(yùn)算“*”滿足交換律,即是交換群。13.4.2 循環(huán)群定義13.4.2 在群中,若存在元素gG,使得對aG,都有:a = gi(iZ,Z為整數(shù)集合),則稱為循環(huán)群,記為G =

49、 (或= ),并稱g為該循環(huán)群的一個(gè)生成元。G的所有生成元的集合稱為G的生成集。計(jì)算群的生成元是判別一個(gè)群是否是循環(huán)群的關(guān)鍵。定理13.4.2每個(gè)循環(huán)群都是阿貝爾群。證明 設(shè)gG是循環(huán)群的生成元,對n,mG,存在x,yZ,有n = gx,m = gy,則n*m = gx*gy = gx+y = gy+x = gy*gx = m*n,所以,循環(huán)群是阿貝爾群。例13.4.1證明整數(shù)加法群是循環(huán)群,并求其所有的生成元。分析 不妨設(shè)aZ是生成元,則由生成元的定義,對nZ,存在kZ,使得n = ak = ka,特別取n = 1,則有1 = ak,又a, k都是整數(shù),所以必然有a = 1,或a = -1。

50、以上說明,如果a是生成元,則a必須是1或者-1,因此,還需進(jìn)一步驗(yàn)證1是否是的生成元。例13.4.1(續(xù))證明 因?yàn)閷Z,有n = 1 + 1 + + 1 = 1n,n = 1 + 1 + + 1 = (1)1 + (1)1 + + (1)1 = (1)1)n = (-1)(-n),所以1是生成元,故是循環(huán)群,其生成集為-1, 1。結(jié)論判別群是否是循環(huán)群主要就是計(jì)算生成元,而計(jì)算生成元有兩步:、假設(shè)生成元存在,并根據(jù)定義計(jì)算它;、驗(yàn)證計(jì)算的結(jié)果是否是生成元,如果是,則該群是循環(huán)群。例13.4.2證明群(nZ +)是循環(huán)群,并求出生成集。證明 設(shè)a是生成元,則對mn,存在kZ,使得m = ak

51、 = ka (mod n),特別取m = 1,則有1 = ka(mod n),即存在sZ,使得ns + ka = 1,所以有(a, n) = 1,即a與n互質(zhì)。例13.4.2(續(xù))這說明,如果a是生成元,則有a與n互質(zhì)。反之,如果(a, n) = 1,則s, tZ,有ns+ta = 1,即 1 = ta(mod n),所以有 1 = at (tZ),例13.4.2(續(xù))則對mn,有m = 1m = (at)m = atm(tnZ),故a是生成元。因此a是生成元的充要條件是(a, n) = 1。群的生成集為M = a | (an)(n, a) = 1),顯然1M,所以1是的生成元,即對mn,m

52、= 1m,故是循環(huán)群。結(jié)論(1)群是一個(gè)循環(huán)群,其生成集為M = a| (an)(n, a) = 1);(2)素?cái)?shù)階的循環(huán)群,除幺元以外的一切元素都是群的生成元。兩類循環(huán)群G = 是循環(huán)群,根據(jù)生成元g的周期,可得兩類循環(huán)群:(1)當(dāng)g的周期無限時(shí),是無限階循環(huán)群,則 =gk | kZ;若ij,則gigj;(2)當(dāng)g的周期有限時(shí),是有限階循環(huán)群,若g的周期為n,則有 = e, g, g2, g3, gn-1。定理13.4.3 設(shè)是以g為生成元的循環(huán)群,則(1)若G是無限集,則G與整數(shù)加法群同構(gòu);(2)若|G| = n,則G與n階剩余類加群同構(gòu)。證明 略。結(jié)論(1)無限循環(huán)群有且僅有兩個(gè)生成元;

53、(2)階為素?cái)?shù)的循環(huán)群除幺元以外的一切元素都是G的生成元;(3)階為正整數(shù)n的循環(huán)群G = ,對y = axG,只要(n, x) = 1,則y一定是G的生成元;結(jié)論(續(xù))(4)循環(huán)群的子群一定是循環(huán)群;(5)若G = 是一個(gè)n階的循環(huán)群,則由n的一切因子d都可對應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)且僅一個(gè)d階子群,該d階循環(huán)子群的生成元為ax,其中x = n/d;(6)階為素?cái)?shù)p的循環(huán)群G = 不含有非平凡的真子群。定理13.4.4 設(shè)aG是群中的任意元素,令S = an | nZ,Z是整數(shù),證明是的循環(huán)子群。證明 略。定理13.4.4說明,群中每個(gè)元素的整數(shù)方冪集合是該群的循環(huán)子群。例13.4.4 證明群是循環(huán)群。證

54、明 1Zn,對i Zn,有i = 1 + 1 + + 1 = 1 + 1 + + 1 = 1i,因此1是生成元,所以是循環(huán)群。說明 是n階循環(huán)群,它與同構(gòu)。本質(zhì)上,是的一個(gè)簡化。 13.5 陪集與拉格朗日定理13.5.1 陪集定義13.5.1 設(shè)是群,是的任意子群,對a, bG,如果有a*b-1H,則稱a, b為模H同余關(guān)系,此時(shí)記為ab(modH)。定理13.5.1設(shè)是的任一個(gè)子群,證明模H同余關(guān)系是G上的等價(jià)關(guān)系。證明 (1)自反性:對aG,有a-1G,所以a*a-1 = eH,即aa(modH),所以模H同余關(guān)系是自反關(guān)系。定理13.5.1(續(xù))(2)對稱性:a,bG,如有ab(modH

55、),即a*b-1H,因H是一個(gè)群,所以有b*a-1 = (b-1)-1*a1 = (a*b1)-1H,即ba(modH),所以模H同余關(guān)系是對稱關(guān)系。定理13.5.1(續(xù))(3)傳遞性:a, b, cG,如有ab(modH),bc(modH),則a*b-1H,b*c-1H,因H是一個(gè)群,所以有 a*c-1 = (a*b-1)*(b*c-1)H,即ac(modH),所以模H同余關(guān)系是傳遞關(guān)系。由(1)、(2)、(3)得證。陪集和拉氏定理考慮其等價(jià)類:對aG,有:aR=x|(一切xG)(xa(modH) =x|(一切xG)(h=x*a-1H) =h*a|(一切hH)記Ha=h*a|(一切hH)=a

56、R,稱Ha為H在G,*中的一個(gè)右陪集。同理,可定義G,*的左陪集。定義13.5.2設(shè)是群的子群,a是G中任意元素,稱(1)aH = a*hhH為子群H在群G中的一個(gè)左陪集;(2) Ha = h*ahH為子群H在群G中的一個(gè)右陪集。a稱為左陪集aH(或右陪集Ha)的代表元。例13.5.1計(jì)算群的子群 的一切左、右陪集。解 令H = 0, 2, 4,則所有的右陪集有:H0 = 0, 2, 40 = 0, 2, 4, H1 = 0, 2, 41 = 1, 3, 5,H2 = 0, 2, 42 = 2, 4, 0, H3 = 0, 2, 43 = 3, 5, 1,H4 = 0, 2, 44 = 4,

57、0, 2, H5 = 0, 2, 45 = 5, 1, 3,例13.5.1(續(xù))即 H0 = H2 = H4, H1 = H3= H5, H0H1 = 6;同理,所有的左陪集有0H = 00, 2, 4 = 0, 2, 4, 1H = 10, 2, 4 = 1, 3, 5,2H = 20, 2, 4 = 2, 4, 0, 3H = 30, 2, 4 = 3, 5, 1,4H = 40, 2, 4 = 4, 0, 2, 5H = 50, 2, 4 = 5, 1, 3,有:0H = 2H = 4H,1H = 3H= 5H,0H1H = 6。例13.5.2設(shè)G = ,H = kmkZ,則H是G的子群,計(jì)算H的左、右陪集。解 根據(jù)定義,所有的左、右陪集為:0H = H0 = H = kmkZ,1H = H1 = km+1kZ, (m-1)H = H(m-1) = km+m-1kZ。性質(zhì)13.5.1設(shè)是群的子群,e是幺元,a,bG,則(1)eH = H = He;(2)Ha = H aH(aH = H aH);(3)aHb Ha = Hb a*b1

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