常見離散型隨機變量的分布列#

1、4常見離散型隨機變量的分布列(1兩點分布像這樣的分布列叫做兩點分布列X01Pp如果隨機變量 X 的分布列為兩點分布列，就稱 X 服從分布，而稱 p P(X 1 為成功概率(2超幾何分布列一般地，在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n件，其中恰有 X 件次品，則事件 X k發(fā)生的概率為P(Xk錯誤! ，k0,1,2， m，其中 m min M，n ，且 nN，MN，n，M，NN*.稱分布列為超幾何分布列如果隨機變量X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布 .X01mP1 設(shè)離散型隨機變量 X 的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求： (12X1 的分布列；

2、(2|X1|的分布列【思路啟迪】 利用 pi0，且所有概率之和為 1，求 m；求 2X1 的值及其分布列；求 |X1|的值及其分布列【解】 由分布列的性質(zhì)知：020.1 0.1 0.3 m 1， m 0.3.X01232X 11357|X1|1012首先列表為：4932 若離散型隨機變量 X 的分布列為：X01P9c2c3 8c則常數(shù) c，P(X1.求離散型隨機變量的分布列步驟是：(1找出隨機變量 X 的所有可能取值 xi(i1,2， ；(2求出取各值 xi 的概率 P(Xxi；(3列表，求出分布列后要注意應用性質(zhì)檢驗所求的結(jié)果是否準確常用類型有：(1由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求離散型隨機變量的分布列，關(guān)鍵是

3、由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似表示該事件的概率，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的分布列可以幫助我們更好地理解分(3由相互獨立事件同時發(fā)生的概率求分布列無布列的作用和意義 (2由古典概型來求隨機變量的分布列，這時需利用排列、組合求概率 論是何種類型，都需要深刻理解隨機變量的含義及概率分布(2018 年福建 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)某轎車制造廠生 產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50 輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間 x( 年0 x 11202轎車數(shù)量 ( 輛2345545每輛利潤 (萬元 12

4、31.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2 若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求 X1，X2的分布列；(3該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，因為資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應生產(chǎn) 哪種品牌的轎車？說明理由【解】 (1設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則 P(A錯誤!錯誤 !.(2依題意得， X1 的分布列為X1123P錯誤 !錯誤!錯誤!X2的分布列為X21.82.9P錯誤 !錯誤!(3由(

5、2得，E(X11錯誤!2錯誤 !3錯誤!錯誤! 2.86(萬元 ，E(X21.8錯誤! 2.9錯誤! 2.79(萬元因為 E(X1E(X2，所以應生產(chǎn)甲品牌轎車(2018 年湖南 某商店試銷某種商品 20 天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量 ( 件0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后 (假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品 3 件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨若發(fā)現(xiàn)存量少于 2件，則當天進貨補充至 3 件，否則不進貨，將頻率視為概率(1求當天商店不進貨的概率；(2記 X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X 的分布列和數(shù)學期望解： (1P(“當天商店不進貨” P( “當天商品銷售量為 0件”

6、 P(“當天商品銷售量為 1件” 錯誤! 錯誤! 錯誤! .(2由題意知， X 的可能取值為 2,3.P(X2P(“當天商品銷售量為 1件”錯誤!錯誤! ；P(X3P(“當天商品銷售量為 0件”P(“當天商品銷售量為 2件”P(“當天商品銷售量為 3件”錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!.故 X的分布列為X23P錯誤 !錯誤!X的數(shù)學期望為 E(X2錯誤! 3錯誤! 錯誤! .袋中裝著標有數(shù)字 1,2,3,4,5 的小球各 2個，從袋中任取 3個小球，按 3 個小球上最大數(shù)字的 9倍計分，每個小球被取出的可能性都相 等，用 X 表示取出的 3個小球上的最大數(shù)字，求：(1取出的 3 個小球上的數(shù)字互不相同

7、的概率；(2隨機變量 X 的分布列；(3計分介于 20 分到 40 分之間的概率思路啟迪】 (1是古典概型； (2關(guān)鍵是確定 X 的所有可能取值； (3計分介于 20分到 40分之間的概率等于 X3與 X 4的概率之和 【解】 (1“一次取出的 3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則 P(A錯誤!錯誤 !.(2隨機變量 X的可能取值為 2,3,4,5，取相應值的概率分別為 P(X2錯誤 !錯誤!，P(X3錯誤! 錯誤! 錯誤 ! ，P(X4錯誤 !錯誤 !錯誤 !，P(X5錯誤! 錯誤! 錯誤 ! .隨機變量 X 的分布列為X2345P錯誤 !錯誤 !錯誤!錯誤!(3因為按 3個小球上最大

8、數(shù)字的 9倍計分，所以當計分介于 20分 40分時， X的取值為 3或 4，所以所求概率為 PP(X3P(X4錯誤! 錯誤! 錯誤! .袋中裝有黑球和白球共 7 個，從中任取 2 個球都是白球的概率為 錯誤! .現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用 X 表示取球終止時所需 要的取球次數(shù)(1求袋中原有白球的個數(shù)；(2求隨機變量 X 的分布列；(3求甲取到白球的概率解： (1設(shè)袋中白球共有 x個，根據(jù)已知條件 錯誤! 錯誤! ，即 x2 x 6 0，解得 x3，或 x 2(舍去即袋中原有白

9、球的個數(shù)為 3.(2X 表示取球終止時所需要的次數(shù)，則 X 的取值分別為： 1,2,3,4,5.因此， P(X1錯誤 !錯誤 !，P(X2錯誤!錯誤!，P(X3錯誤! 錯誤! ，P(X4錯誤 !錯誤 !，P(X5 錯誤 ! 錯誤 ! .則隨機變量 X 的分布列為：X12345P錯誤!錯誤 !錯誤 !錯誤!錯誤!(3甲取到白球的概率為 PP(X1P(X3P(X5錯誤 !錯誤 !錯誤 !錯誤 !.1.超幾何分布是一種很重要的分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運用于抽查產(chǎn)品、取不同類別的小球等概率模型，其中的隨機變量相應是正品 (或次品 的件數(shù)、某種小球的個數(shù)如果一隨機變量 服從超幾何分布，那么事件

10、k 發(fā)生的概率為P( k 錯誤 ! ，k0,1,2， m，mmin M，n 2超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)(2018 年江西 某飲料公司招聘了一名人員，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別公司準備了兩種不同的飲料共8 杯，其顏色完全相同，并且其中 4杯為 A飲料，另外 4杯為 B飲料，公司要求此人員一一品嘗后，從 8杯飲料中選出 4杯 A飲料若 4杯都選對，則月工資定 為 3 500 元；若 4 杯選對 3 杯，則月工資定為 2 800 元；否則月工資定為 2 100 元令 X 表示此人選對 A 飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對 A 和 B 兩 種飲料沒有鑒別能力 (1

11、求 X 的分布列；(2求此人員月工資的期望【解】 (1X的所有可能取值為： 0,1,2,3,4，P(Xi錯誤! (i 0,1,2,3,4，則X01234P錯誤!錯誤 !錯誤!錯誤 !錯誤!(2令 Y表示此人員的月工資，則 Y的所有可能取值為 2 100,2 800,3 500，則 P(Y3 500P(X4錯誤! ，P(Y2 800P(X3錯誤! ，P(Y2 100P(X2錯誤! ，E(Y3 500錯誤! 2 800錯誤! 2 100錯誤!2 280， 所以此人員月工資的期望為 2 280元8 某校高三年級某班的數(shù)學課外活動小組中有6 名男生， 4名女生，從中選出 4人參加數(shù)學競賽測試，用 X

12、表示其中的男生人數(shù)，求 X 的分布列解： 依題意，隨機變量 X 服從超幾何分布，所以 P(Xk錯誤 ! (k0,1,2,3,4 P(X0錯誤! 錯誤! ，P(X1錯誤 !錯誤 !，P(X2錯誤! 錯誤! ，P(X3錯誤 !錯誤 !，P(X4錯誤! 錯誤! ， X 的分布列為X01234P錯誤 !錯誤!錯誤!錯誤 !錯誤!易錯點 對隨機變量的意義理解不到位某射手有 5 發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X 的分布列【正確解答】 P(X10.9，P(X 20.1 0.90.09，P(X30.10.1 0.90.009，P(X40.10.10.10.90.000 9，當 X5 時，只要前四次射擊不中的都要射第5 發(fā)子彈，第 5發(fā)子彈可能射中也可能射不中5 4 4P(X5 0.15 0.14 0.9 0.14. 耗用子彈數(shù) X 的分布列為X12345P0.90.090.0090.000 90.0