數(shù)值分析復習試題及其答案

1、.wd.wd.wd.數(shù)值分析復習題一、選擇題1. 3.142和3.141分別作為的近似數(shù)具有 和 位有效數(shù)字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 求積公式，那么 A B C D3. 通過點的拉格朗日插值基函數(shù)滿足 A0， B 0， C1， D 1，4. 設求方程的根的牛頓法收斂，那么它具有 斂速。 A超線性 B平方 C線性 D三次5. 用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個方程 . A B CD二、填空1. 設 ，取5位有效數(shù)字，那么所得的近似值x=.2.設一階差商 ， 那么二階差商 3. 設, 那么，。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值問

2、題 近似解的梯形公式是 6、 ，那么A的譜半徑 。7、設 ，那么和。 8、假設線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，那么雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉Euler方法的局部截斷誤差為 。10、為了使計算的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應將表達式改寫成 。 11. 設, 那么，.12. 一階均差13. 時，科茨系數(shù)，那么14. 因為方程在區(qū)間上滿足，所以在區(qū)間內(nèi)有根。15. 取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式.16.設是真值的近似值，那么有位有效數(shù)字。17. 對, 差商( )。18. 設, 那么。19.牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和。 20. 假設a=2.4

3、2315是2.42247的近似值，那么a有( )位有效數(shù)字.21. 是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，那么( ).22. 設f (x)可微，那么求方程的牛頓迭代格式是( ).23. 迭代公式收斂的充要條件是。24. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0) 的迭代格式中的B稱為( ). 給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為( )。25、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。26、設是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，那么；。27、設是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。那么插值型求積公式的代數(shù)精度為；插值型求積公式中求積系數(shù)；且。28、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。29

4、、那么。30.設x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，那么x*有位有效數(shù)字。31.，。32.求方程根的牛頓迭代格式是。33.,那么, 。34. 方程求根的二分法的局限性是。 三、計算題1設 1試求 在 上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足，以升冪形式給出。2寫出余項 的表達式2 的 滿足 ，試問如何利用 構造一個收斂的簡單迭代函數(shù) ，使 0，1收斂3 推導常微分方程的初值問題 的數(shù)值解公式：提示： 利用Simpson求積公式。4利用矩陣的LU分解法解方程 組 5. 函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.6. 線性方程組1寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式

5、；2于初始值，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算保存小數(shù)點后五位數(shù)字.7. 用牛頓法求方程在之間的近似根1請指出為什么初值應取22請用牛頓法求出近似根，準確到0.0001.8. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.9用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是0，0，0.30，0.2955，0.40，0.3894。10.用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。11.用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。12.求系數(shù)13. 對方程組 試建設一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由14. 確定求積公式 的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，

6、并確定其代數(shù)精度.15. 設初值問題 .(1) 寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)寫出用改進的Euler法梯形法、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保存兩位小數(shù)。16. 取節(jié)點，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項式，并估計誤差。17、函數(shù)的相關數(shù)據(jù)由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算的近似值。18、利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。19確定求積公式。中待定參數(shù)的值，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積公式的代數(shù)精度20、一組試驗數(shù)據(jù)如下 ：求它的擬合曲線直線。21、用列主元消去法解線性方程組22. (1)用拉格朗日插法求的三次插值多項式

7、；(2)求， 使。23確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)準確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)準確度24、用Gauss消去法求解以下方程組25. 試求使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。26. 取步長h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值問題27. 用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.28用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保存五位小數(shù)。29、數(shù)據(jù)如下：求形如擬合函數(shù)。30、用二次拉格朗日插值多項式計算。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值如下表。31、利用改進的尤拉方法求解初值問題，其中步長。32、討論用Jacobi和Gauss-Seidel迭代

8、法求解方程組Ax=b的收斂性，如果收斂，比較哪種方法收斂快。其中.簡述題：表達在數(shù)值運算中，誤差分析的方法與原那么是什么數(shù)值分析復習題答案一、選擇題1.A2.D3.D4.C5.B二、填空1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、；8、 收斂9、10、 11. 9和；12. 13. 14. 15.；16、3 ；17、1 ；18、7；19、1；203；21.；22.；23. ；24、.迭代矩陣， ；25.相對誤差 絕對誤差26. 1；27. 至少是n ，b-a ；28. 3 ；29. 1 0；30、4；31、1，0；32、；33、 7, 6；34、收斂速度慢，不能求偶重根。三、計算題1

9、 HYPERLINK :/ l # 解：1 22 HYPERLINK :/ l # 解：由 ，可得 ，3 HYPERLINK :/ l # .解： 數(shù)值積分方法構造該數(shù)值解公式：對方程 在區(qū)間 上積分，得，記步長為h, 對積分 用Simpson求積公式得 所以得數(shù)值解公式：4解5. HYPERLINK :/ l # 解， ，所以分段線性插值函數(shù)為6. HYPERLINK :/ l # 解：原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯塞德爾迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德爾迭代公式得7. HYPERLINK :/ l # 解：，故取作初始值迭代公式為， ， 方程的根8.解 梯形公式 應用梯形公式

10、得 辛卜生公式為 應用辛卜生公式得9 HYPERLINK :/ l # 解10.用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。解11. HYPERLINK :/ l # 解迭代公式 12. HYPERLINK :/ l # 解：13. 解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：144. HYPERLINK :/ l # 解15. HYPERLINK :/ l # 解16.解：=1+2(，17、解：差商表由牛頓插值公式：18、解：19解：分別將，代入求積公式，可得。令時求積公式成立，而時公式不成立，從而精度為3。20、解：設那么可得于是，即。

11、21、解：即22. 解：23 HYPERLINK :/ l # 解令代入公式準確成立，得；解得，得求積公式對；故求積公式具有2次代數(shù)準確度。24、 HYPERLINK :/ l # 解：此題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。故25. 解：由等式對準確成立得：,解此方程組得又當時 左邊右邊 此公式的代數(shù)精度為226. 解：梯形法為即迭代得27.解：先選列主元，2行與1行交 換得消元；3行與2行交換；消元；回代得解；行列式得28解：是的正根，牛頓迭代公式 為， 即 取x0=1.7, 列表如下：29、數(shù)據(jù)如下：求形如擬合函數(shù)。解：30、解：過點的二次拉格朗日插

12、值多項式為代值并計算得 。31、解：32、解：簡述題：解：數(shù)值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。 誤差分析的原那么有：1要防止除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法；2要防止兩近數(shù)相減；3要防止大數(shù)吃掉小數(shù)：4注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。一、 選擇題(共30分，每題3分)1、以下說法中不屬于數(shù)值方法設計中的可靠性分析的是 。A方法收斂性； B方法的穩(wěn)定性；C方法的計算量； D方法的誤差估計。2、方程32x5=0在區(qū)間2,3存在唯一正根，假設用二分法計算，至少迭代 次可以保證誤差不超過。(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高

13、斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術是 A調(diào)換方程位置； B選主元； C直接求解； D化簡方程組。4、設，那么和的值分別為 A1，1； B98!，0； C9，0； D9，1。5、假設用復化的辛浦生公式計算積分，問積分區(qū)間要 等分才能保證誤差不超過A10； B15； C20； D25。6、用一般迭代法求解方程組Ax=b的解，那么當 時，迭代收斂。A方程組系數(shù)矩陣A 對稱正定； B方程組系數(shù)矩陣A 嚴格對角占優(yōu)；C迭代矩陣B 嚴格對角占優(yōu)； D迭代矩陣B 的譜半徑(B)1。7、在區(qū)間0,1 上滿足y(0)=1.5,y(1)=2.5 的0 次擬合多項式曲線是( )(A) y = 2； (B) y =

14、 1.5 ；(C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、復相關系數(shù)的取值區(qū)間為： ()(A) ； (B) ； (C)； (D)9、方差分析主要用于分析 (A)自變量和因變量都是分類變量(B)自變量和因變量都是順序變量(C)自變量和因變量都是數(shù)值變量(D)自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量方差分析中在由樣本推斷總體性質(zhì)時，零假設是 (A)各分類間方差相等 (B)各分類間均值相等(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等二、填空題(共30分，每題3分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。2、的相對誤差約是的相對誤差的倍。3. 方程求根的二分法的局限性是。4、求方程根的割線法的

15、收斂階為_ 。 5、求定積分的牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度為。 6、假設用高斯-賽德爾法解方程組，其中a為實數(shù)，那么該方法收斂的充要條件是a 應滿足_。 7、線性代數(shù)方程組Ax=b相容的充要條件是_ _。8、單純形算法的 基本思路是: 。9、參數(shù)假設檢驗的含義是。10、假設檢驗的 基本思想的根據(jù)是三、7分確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。四、8分方程組分別寫出該方程組的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。五、9分設步長為h，分別用Euler方法、隱式Euler方法和梯形方法寫出微分方程的求解公式。六、8分設總體X 在區(qū)間 a, b 上服從均勻分布，其

16、中a、b未知，為總體X 的樣本，求a、b的極大似然估計量七、8分將如下線性規(guī)劃問題化成標準型：參加答案一、 選擇題(共30分，每題3分)1、以下說法中不屬于數(shù)值方法設計中的可靠性分析的是 C 。A方法收斂性； B方法的穩(wěn)定性；C方法的計算量； D方法的誤差估計。2、方程32x5=0在區(qū)間2,3存在唯一正根，假設用二分法計算，至少迭代 C次可以保證誤差不超過。(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術是A調(diào)換方程位置； B選主元； C直接求解； D化簡方程組。4、設，那么和的值分別為 B A1，1； B98!，0； C9，0； D9

17、，1。5、假設用復化的辛浦生公式計算積分，問積分區(qū)間要 A 等分才能保證誤差不超過A10； B15； C20； D25。6、用一般迭代法求解方程組Ax=b的解，那么當 D 時，迭代收斂。A方程組系數(shù)矩陣A 對稱正定； B方程組系數(shù)矩陣A 嚴格對角占優(yōu)；C迭代矩陣B 嚴格對角占優(yōu)； D迭代矩陣B 的譜半徑(B)1。7、在區(qū)間0,1 上滿足y(0)=1.5,y(1)=2.5 的0 次擬合多項式曲線是( A )(A) y = 2； (B) y = 1.5 ；(C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、復相關系數(shù)的取值區(qū)間為： ( A )(A) ； (B) ； (C)； (D)9、方差分析主

18、要用于分析 D (A)自變量和因變量都是分類變量(B)自變量和因變量都是順序變量(C)自變量和因變量都是數(shù)值變量(D)自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量方差分析中在由樣本推斷總體性質(zhì)時，零假設是 B (A)各分類間方差相等 (B)各分類間均值相等(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等二、填空題(共30分，每題3分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。2、的相對誤差約是的相對誤差的倍。3. 方程求根的二分法的局限性是。收斂速度慢，不能求偶重根。4、求方程根的割線法的收斂階為_ ?；?、求定積分的牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度為。56、假設用高斯-賽德爾法解方程組，其中a為實數(shù)，那么該

19、方法收斂的充要條件是a 應滿足_ _。7、線性代數(shù)方程組Ax=b相容的充要條件是_ _。rank(A)= rank(A,b)8、單純形算法的 基本思路是: 根據(jù)問題的標準型,從可行域中某個 基本可行解 (頂點)開場,轉換到另一個 基本可行解(頂點),并使得每次的轉換,目標函數(shù)值均有所改善,最終到達最大值時就得到最優(yōu)解。9、參數(shù)假設檢驗的含義是對總體中某個數(shù)字特征或分布中的參數(shù)提出假設檢驗。10、假設檢驗的 基本思想的根據(jù)是小概率事件原理：“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的。三、7分確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。四、8分方程組分別寫出該方程組的Jacobi 迭代法和G

20、auss-Seidel 迭代法的分量形式。五、9分設步長為h，分別用Euler方法、隱式Euler方法和梯形方法寫出以下微分方程的求解公式：。六、8分設總體X 在區(qū)間 a, b 上服從均勻分布，其中a、b未知，為總體X 的樣本，求a、b的極大似然估計量七、8分將如下線性規(guī)劃問題化成標準型：試題 填空題本大題共4小題，每題4分，共16分1.設有節(jié)點，其對應的函數(shù)的值分別為，那么二次拉格朗日插值基函數(shù)為。2.設，那么關于節(jié)點的二階向前差分為。3.設，那么，。4.個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)準確度為。二簡答題本大題共3小題，每題8分，共24分1. 哪種線性方程組可用平方根法求解為什么說平方根法計算穩(wěn)定

21、2. 什么是不動點迭代法滿足什么條件才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于的不動點3. 設n階矩陣A具有n個特征值且滿足，請簡單說明求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一個次數(shù)不高于3的多項式，滿足以下插值條件：12324123并估計誤差。10分四試用的牛頓-科特斯求積公式計算定積分。10分五用Newton法求的近似解。10分六試用Doolittle分解法求解方程組：10分七請寫出雅可比迭代法求解線性方程組 的迭代格式，并判斷其是否收斂10分八就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。10分參考答案填空題每題3分，共12分； 2.7；3. 3，8；4. 。二簡答題本大題共3小題，每題8

22、分，共24分1. 解：系數(shù)矩陣為對稱正定的方程組可用平方根法。 4分對于對稱正定陣A，從可知對任意k i有。即 L的元素不會增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。 4分2. 解：1假設，那么稱為函數(shù)的不動點。 2分2必須滿足以下三個條件，才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于的不動點：1是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)； 2分2的值域是定義域的子集； 2分3在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。 2分3.解：參照冪法求解主特征值的流程 8分步1：輸入矩陣A，初始向量v0，誤差限，最大迭代次數(shù)N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：計算vk=Auk-1;步4：計算并置mk:=vkr, uk:

23、=vk/mk;步5：假設|mk- | ，計算，輸出mk,uk；否那么，轉6；步6：假設kN,置k:=k+1, :=mk，轉3；否那么輸出計算失敗信息，停頓三 解：1利用插值法加待定系數(shù)法： 設滿足 那么3分 再設 3分 1分 1分2 2分四解：應用梯形公式得 2分 1分 應用辛普森公式得： 2分 1分 應用科特斯公式得： 2分 2分五解：由零點定理，在內(nèi)有根。 2分由牛頓迭代格式 4分 取得， 3分故取 1分 六解：對系數(shù)矩陣做三角分解： 2分 4分假設，那么； 2分假設，那么 2分七解：1對于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為 2分其特征多項式為，且特征值為 2分故有，因而雅可比迭代法不收斂。

24、1分2對于方程組，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩陣為 2分其特征值為 2分故有，因而Gauss-Seidel迭代法收斂。 1分八證明題本大題共2小題，每題7分，共14分1. 證：該問題的準確解為 2分歐拉公式為 2分對任意固定的，有， 2分那么 1分2.證：牛頓迭代格式為 3分因迭代函數(shù)為而又， 2分 那么。故此迭代格式是線性收斂的。 2分試題一、填空題(此題24分，每題3分)1.假設方程，可以表成，那么滿足；那么由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于方程的根。4區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)是滿足：；5設總體未知，寫出的95%的置信區(qū)間： ；6正交表中各字母代表的含義為；7取步長，解的Euler法

25、公式為：；8對實際問題進展建模求解時可能出現(xiàn)的誤差有： ；7.二元非線性函數(shù) ，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向為：；8二元非線性函數(shù) ，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向為：；。二、此題8分某商場決定營業(yè)員每周連續(xù)工作5天后連續(xù)休息2天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計，商場每天需要的營業(yè)員數(shù)如下表：星期一二三四五六日需要人數(shù)300300350400480600550(1) 為商場人力資源部建設線性優(yōu)化模型安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員數(shù)最少。不要求計算出結果；(2) 寫出所建設的模型的對偶形式。三、此題8分的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5試求三次插值多項式P(x)，給出相應的誤差

26、估計式，并求f(2)的估計值。四、此題12分為了改進錄音效果，今比較三種不同磁粉的錄音帶的放音效果，用這三種不同的磁粉(記為)的錄音帶錄音，假設，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下方差來源平方和自由度樣本方差值組間SSA667.73組內(nèi)SSE 12總和SST1114.9314 (1)試把上述方差分析表補充完整(2)問這三種磁粉的平均放音效果有無顯著差異取，五、此題10分利用單純形方法求解下面的線性規(guī)劃要求寫出計算過程：六、此題10分試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。七、此題12分為研究家庭收入元和食品支出元關系，隨機抽取了12個家庭的樣本，得到數(shù)據(jù)如下表家庭序號家庭收入食品支出12

27、074001404923099002708133391089297814401116004401215155225525614419656167268676208648381014443801009359122531581104210176442010011228484176641231996127981合計34699109643056863假設與之間符合一元線回歸模型,(1)試用上表數(shù)據(jù)建設線性回歸方程；2檢驗回歸效果是否顯著()；3試解釋回歸方程的經(jīng)濟意義。八、此題16分設方程組為1對方程組進展適當調(diào)整，使得用高斯塞德爾迭代法求解時收斂；2寫出對應的高斯塞德爾迭代格式；3取初始向量，求迭代

28、次數(shù)使得。答案一、填空題(此題24分，每題3分)1.假設方程可表成，且在內(nèi)有唯一根，那么滿足，那么由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于。滿足：,且有,；2. 二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向為 最速下降方向為：；3二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向為Newton方向為： ；4在區(qū)間上通過點，那么其三次樣條插值函數(shù)是滿足1在每個小區(qū)間是次數(shù)不超過3次的多項式，2在區(qū)間上二階導數(shù)連續(xù)，3滿足插值條件 ；5設某個假設檢驗問題的拒絕域為W，且當原假設H0成立時，樣本值落入W的概率為0.15，那么犯第一類錯誤的概率為_0.15；6在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時，總是希望置信

29、水平愈 大 愈好，而置信區(qū)間的長度愈短愈好。但當增大置信水平時，那么相應的置信區(qū)間長度總是變長 ；7取步長，解的Euler法公式為： ；8對實際問題進展建模求解時可能出現(xiàn)的誤差有： 模型誤差，觀測誤差，方法誤差，舍入誤差。 。二、此題8分某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳介于35%到55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進展冶煉，每種礦物的成分含量和價格如下表。礦石雜質(zhì)在冶煉中廢棄，并假設礦石在冶煉過程中金屬含量沒有發(fā)生變化。 合金礦石錫%鋅%鉛%鎳%雜質(zhì)%費用元/噸12510102530340240003030260

30、30155206018042020040202305851517151901建設線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產(chǎn)品成本最低。不要求計算出結果；2寫出所建設的模型的對偶形式。1設 是第j 種礦石的數(shù)量，目標是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下： 4分2上述線性規(guī)劃模型的對偶形式如下： 4分三、此題8分的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5試求三次插值多項式P(x)，求的近似值，并給出相應的誤差估計式。解：用Newton插值法求的插值多項式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下：xif(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0010.50.5320.750.25/371.50.1250.875/61.375/42418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.000075由差商表得出的三次插值多項式為： 3分于是有 2分相應的誤