相關(guān)性 北師大版 必修三

1、相關(guān)性 北師大版 必修三正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系y = x2 函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對(duì)于兩個(gè)變量，如果當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被唯一確定，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系.是函數(shù)關(guān)系，是確定性關(guān)系2思考1: 在學(xué)校里,老師經(jīng)常對(duì)學(xué)生說(shuō)”如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好,那么你的物理成績(jī)就沒(méi)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法,似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著一定的相關(guān)關(guān)系. 這種說(shuō)法有根據(jù)嗎?3 我們不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄆ湮锢沓煽?jī)能達(dá)到多少，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時(shí)間、教學(xué)水平等，也是影響物理成績(jī)的一些因素，但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系

2、的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系. 類似于這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有必要從理論上作些探討，如果能通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì)，將有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.4思考2： “名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系的成語(yǔ)嗎？生活中還有很多類似的描述這種相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)，如：“虎父無(wú)犬子”，“瑞雪兆豐年”等. 不是函數(shù)關(guān)系.51.函數(shù)關(guān)系是指變量之間存在著嚴(yán)格的數(shù)量依存關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定的值時(shí)，另一個(gè)變量有唯一確定值與之相對(duì)應(yīng)，是一種確定關(guān)系。2.相關(guān)關(guān)系是指變量之間

3、存在著不嚴(yán)格的數(shù)量依存關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量的取值是隨機(jī)的，但它一般按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，是一種非確定性關(guān)系。變量之間的關(guān)系6函數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)：相關(guān)關(guān)系的特點(diǎn)：（1）變量之間存在著數(shù)量上的依存關(guān)系； （2）變量之間數(shù)量上的依存關(guān)系的具體關(guān)系值是固定的，可以用數(shù)學(xué)公式表示。 （1）變量之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系。 （2）變量之間數(shù)量上的依存關(guān)系的具體關(guān)系值難以固定，難以用數(shù)學(xué)公式表示。 7相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn) （1）相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系;（2）不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,如勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系； 相關(guān)關(guān)

4、系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。8函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如，有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個(gè)因素年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些以后，他的閱讀能力會(huì)提高，而且人長(zhǎng)大腳也變大。9探究下面變量間的關(guān)系:是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系？為什么？1.球的體積與該球的半徑;2.糧食的產(chǎn)量與施肥量;3.小麥的畝產(chǎn)量與光照;4.勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間;5.角與它的正切值 關(guān)鍵在于判斷變量間的這

5、種關(guān)系是“確定性”還是“隨機(jī)性”。10為了了解人的身高和體重的關(guān)系，我們隨機(jī)地抽取了9名15歲的男生，測(cè)得他們的身高、體重如表1-14：編號(hào)123456789身高165157155175168157178160163體重524445555447625053表1-1411 從表1-14中可以看出，同一身高157cm對(duì)應(yīng)不同的體重（44kg和47kg），根據(jù)函數(shù)的定義知道，體重不是身高的函數(shù). 但是，如果把身高看作橫坐標(biāo)、體重看做縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增長(zhǎng)，體重基本上是呈直線增加的趨勢(shì)。12 在考慮兩個(gè)不同的變量關(guān)系時(shí)，為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解，人們通常將

6、變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái)，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖叫作變量之間的散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖的定義13O 如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，稱它們成負(fù)相關(guān). 從剛才的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：身高越高，體重越重，點(diǎn)的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)。 注:如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)發(fā)散狀,則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.但有的兩個(gè)變量的相關(guān)，如下圖所示：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)及不具有相關(guān)關(guān)系14從散點(diǎn)圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系時(shí)，這

7、些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通常可以用一條光滑的曲線來(lái)近似，這樣近似的過(guò)程稱為曲線擬合。如圖1-26.若兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)的，此時(shí)，我們可以用一條直線來(lái)近似。如圖1-27.這條直線叫回歸直線。曲線擬合與線性相關(guān) 圖1-27圖1-2615若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(非直線)附近波動(dòng)，這稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的.此時(shí)，可以用一條曲線來(lái)擬合，如下圖六.如果所有點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒(méi)有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的.如圖七.圖七16如何分析變量之間是否具有相關(guān)的關(guān)系 分析變量之間是否具有相關(guān)的關(guān)系，我們可以借助日常生活和工作經(jīng)驗(yàn)對(duì)一些常規(guī)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行定性分

8、析，如兒童的身高隨著年齡的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，但它們之間又不存在一種確定的函數(shù)關(guān)系，因此它們之間是一種非確定性的隨機(jī)關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系。但僅憑這種定性分析不夠；17一來(lái)定性分析有時(shí)會(huì)給我們以誤導(dǎo); 二來(lái)定性分析無(wú)法確定變量之間相互影響的程度有多大。因些，我們還需要進(jìn)行定量分析。 如何進(jìn)行定量分析呢？由于變量間的相關(guān)關(guān)系是一種隨機(jī)關(guān)系，因此，我們只能借助統(tǒng)計(jì)這一工具來(lái)解決問(wèn)題，也就是通過(guò)收集大量數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并對(duì)它們之間的關(guān)系作出推斷。18例（P47） 一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)人的身高越高，他的人就越大，相應(yīng)地，他的右手一拃長(zhǎng)就越長(zhǎng)，因此，人的身高與右手一拃長(zhǎng)之間存在著一定的關(guān)

9、系。為了對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查，我們收集了北京市明光中學(xué)2003年高三年級(jí)96名學(xué)生的身高與右手一拃長(zhǎng)的數(shù)據(jù)(表略）。 （1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，制成散點(diǎn)圖。你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)身高與右手一拃長(zhǎng)之間的近似關(guān)系嗎？（2）如果近似成線性關(guān)系，請(qǐng)畫出一條直線來(lái)近似地表示這種線性關(guān)系。（3）如果一個(gè)學(xué)生的身高是188 cm，你能估計(jì)他的一拃大概有多長(zhǎng)嗎？ 例題講解19根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，制成的散點(diǎn)圖如下。思考交流20從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn)，身高與右手一拃長(zhǎng)之間的總體趨勢(shì)是成一直線，也就是說(shuō)，它們之間是線性相關(guān)的。那么，怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？與同學(xué)進(jìn)行交流。21同學(xué)甲說(shuō)：我從左端點(diǎn)開始，取兩條直線，如下圖

10、。再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線。根據(jù)我的想法，一個(gè)身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概為21 cm.分析理解22分析理解同學(xué)乙說(shuō)：這樣做不準(zhǔn)確。我先求出相同身高同學(xué)右手一拃長(zhǎng)的平均值，畫出散點(diǎn)圖，如下圖，再畫出近似的直線，使得在直線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)盡可能一樣多。根據(jù)我的想法，一個(gè)身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概為22 cm. 23同學(xué)丙說(shuō)：我先將所有的點(diǎn)分成兩部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的；然后，每部分的點(diǎn)求一個(gè)“平均點(diǎn)”身高的平均值作為平均身高、右手一拃的平均值作為平均右手一拃長(zhǎng)，即（164，19），（177，21）；最后，將這兩點(diǎn)連

11、接成一條直線。設(shè)這條直線的方程是：y=kx+b，其中k= ，代入一點(diǎn)的坐標(biāo)求出b=-6.231，進(jìn)而直線y=0.154x-6.231即為所求的直線。根據(jù)我的想法，一個(gè)身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概有22.7 cm左右。= 0.154 24同學(xué)丁說(shuō)：我先將所有的點(diǎn)按從小到大的順序進(jìn)行排列，盡可能地平均分成三等份；每部分的點(diǎn) 按照同學(xué)丙的方法求一個(gè)“平均點(diǎn)”，最小的點(diǎn)為（161.3，18.2），中間的點(diǎn)為（170.5，20.1），最大的點(diǎn)為（179.2，21.3）。求出這三個(gè)點(diǎn)的“平均點(diǎn)”為（170.3，19.9）。我再用直尺連接最大點(diǎn)與最小點(diǎn)，然后平行地推，畫出過(guò)點(diǎn)(170.3，19.

12、9)的直線。2526設(shè)這條直線的方程是：y=kx+b，其中k = ，代入點(diǎn)(170.3,19.9)的坐標(biāo)求出b = ，進(jìn)而直線y = 0.173x-9.593即為所求的直線。根據(jù)我的想法，一個(gè)身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概有23.0 cm. 27 同學(xué)甲和同學(xué)乙的思考方法是比較形象的，同學(xué)甲最直觀，但比較粗略，同學(xué)乙“使得在直線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)盡可能一樣多”是理性和精細(xì)的 同學(xué)丙和同學(xué)丁的思考方法是比較理性的，也是相對(duì)粗略的，但比較直觀，也便于理解和操作這兩種方法比較程序化，同學(xué)丁的方法更精細(xì)一點(diǎn) 同學(xué)丙和同學(xué)丁的思考方法本身是值得研究和探討的，我們可以提出這樣的問(wèn)題如果按照同學(xué)丙和同學(xué)丁的方法，那么你是否能將他們的思考方法更精細(xì)化28 比如，我們可以將所有的點(diǎn)分成四個(gè)部分，每個(gè)部分取一個(gè)平均點(diǎn)，這樣就得出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)， 然后，再分別求出這四個(gè)點(diǎn)中的前三個(gè)點(diǎn)和后三個(gè)點(diǎn)的平均點(diǎn)，最后將這兩個(gè)點(diǎn)連成一條直線 這條直線在一定程度上要比同學(xué)丙和同學(xué)丁的方法精細(xì)一些 如此做下去，一定會(huì)得到越來(lái)越精細(xì)的擬合29從上面的討論看，這些學(xué)生的處理方法差別很大，那么我們應(yīng)當(dāng)選取一個(gè)什么樣的方法來(lái)處理更好些呢？這將是我們下面一節(jié)中要討論的。在這里需要強(qiáng)調(diào)的是，身高和右手一拃長(zhǎng)之間沒(méi)有函數(shù)關(guān)系。我們得到的直