相關(guān)性 北師大版 必修三

1、相關(guān)性 北師大版 必修三正方形的面積y與正方形的邊長x之間的關(guān)系y = x2 函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.是函數(shù)關(guān)系，是確定性關(guān)系2思考1: 在學(xué)校里,老師經(jīng)常對學(xué)生說”如果你的數(shù)學(xué)成績好,那么你的物理成績就沒有什么大問題.”按照這種說法,似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著一定的相關(guān)關(guān)系. 這種說法有根據(jù)嗎?3 我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩個變量是有一定關(guān)系

2、的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系. 類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行合理估計，將有著非常重要的現(xiàn)實意義.4思考2： “名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？生活中還有很多類似的描述這種相關(guān)關(guān)系的成語，如：“虎父無犬子”，“瑞雪兆豐年”等. 不是函數(shù)關(guān)系.51.函數(shù)關(guān)系是指變量之間存在著嚴格的數(shù)量依存關(guān)系，即當一個或幾個變量取一定的值時，另一個變量有唯一確定值與之相對應(yīng)，是一種確定關(guān)系。2.相關(guān)關(guān)系是指變量之間

3、存在著不嚴格的數(shù)量依存關(guān)系，即當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應(yīng)的另一個變量的取值是隨機的，但它一般按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，是一種非確定性關(guān)系。變量之間的關(guān)系6函數(shù)關(guān)系的特點：相關(guān)關(guān)系的特點：（1）變量之間存在著數(shù)量上的依存關(guān)系； （2）變量之間數(shù)量上的依存關(guān)系的具體關(guān)系值是固定的，可以用數(shù)學(xué)公式表示。 （1）變量之間確實存在著數(shù)量上的依存關(guān)系。 （2）變量之間數(shù)量上的依存關(guān)系的具體關(guān)系值難以固定，難以用數(shù)學(xué)公式表示。 7相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點 （1）相同點：兩者均是指兩個變量的關(guān)系;（2）不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,如勻速直線運動中時間t與路程s的關(guān)系； 相關(guān)關(guān)

4、系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，事實上，函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系。8函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素年齡，當兒童長大一些以后，他的閱讀能力會提高，而且人長大腳也變大。9探究下面變量間的關(guān)系:是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系？為什么？1.球的體積與該球的半徑;2.糧食的產(chǎn)量與施肥量;3.小麥的畝產(chǎn)量與光照;4.勻速行駛車輛的行駛距離與時間;5.角與它的正切值 關(guān)鍵在于判斷變量間的這

5、種關(guān)系是“確定性”還是“隨機性”。10為了了解人的身高和體重的關(guān)系，我們隨機地抽取了9名15歲的男生，測得他們的身高、體重如表1-14：編號123456789身高165157155175168157178160163體重524445555447625053表1-1411 從表1-14中可以看出，同一身高157cm對應(yīng)不同的體重（44kg和47kg），根據(jù)函數(shù)的定義知道，體重不是身高的函數(shù). 但是，如果把身高看作橫坐標、體重看做縱坐標，在坐標系中畫出對應(yīng)的點，就會發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增長，體重基本上是呈直線增加的趨勢。12 在考慮兩個不同的變量關(guān)系時，為了對變量之間的關(guān)系有一個大致的了解，人們通常將

6、變量所對應(yīng)的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這種圖叫作變量之間的散點圖。散點圖的定義13O 如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，稱它們成負相關(guān). 從剛才的散點圖發(fā)現(xiàn)：身高越高，體重越重，點的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)。 注:如果關(guān)于兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)發(fā)散狀,則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示：正相關(guān)、負相關(guān)及不具有相關(guān)關(guān)系14從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系時，這

7、些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合。如圖1-26.若兩個變量的散點圖看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的，此時，我們可以用一條直線來近似。如圖1-27.這條直線叫回歸直線。曲線擬合與線性相關(guān) 圖1-27圖1-2615若所有點看上去都在某條曲線(非直線)附近波動，這稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的.此時，可以用一條曲線來擬合，如下圖六.如果所有點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的.如圖七.圖七16如何分析變量之間是否具有相關(guān)的關(guān)系 分析變量之間是否具有相關(guān)的關(guān)系，我們可以借助日常生活和工作經(jīng)驗對一些常規(guī)問題來進行定性分

8、析，如兒童的身高隨著年齡的增長而增長，但它們之間又不存在一種確定的函數(shù)關(guān)系，因此它們之間是一種非確定性的隨機關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系。但僅憑這種定性分析不夠；17一來定性分析有時會給我們以誤導(dǎo); 二來定性分析無法確定變量之間相互影響的程度有多大。因些，我們還需要進行定量分析。 如何進行定量分析呢？由于變量間的相關(guān)關(guān)系是一種隨機關(guān)系，因此，我們只能借助統(tǒng)計這一工具來解決問題，也就是通過收集大量數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并對它們之間的關(guān)系作出推斷。18例（P47） 一般說來，一個人的身高越高，他的人就越大，相應(yīng)地，他的右手一拃長就越長，因此，人的身高與右手一拃長之間存在著一定的關(guān)

9、系。為了對這個問題進行調(diào)查，我們收集了北京市明光中學(xué)2003年高三年級96名學(xué)生的身高與右手一拃長的數(shù)據(jù)(表略）。 （1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，制成散點圖。你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)身高與右手一拃長之間的近似關(guān)系嗎？（2）如果近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系。（3）如果一個學(xué)生的身高是188 cm，你能估計他的一拃大概有多長嗎？ 例題講解19根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，制成的散點圖如下。思考交流20從散點圖上可以發(fā)現(xiàn)，身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一直線，也就是說，它們之間是線性相關(guān)的。那么，怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？與同學(xué)進行交流。21同學(xué)甲說：我從左端點開始，取兩條直線，如下圖

10、。再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線。根據(jù)我的想法，一個身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概為21 cm.分析理解22分析理解同學(xué)乙說：這樣做不準確。我先求出相同身高同學(xué)右手一拃長的平均值，畫出散點圖，如下圖，再畫出近似的直線，使得在直線兩側(cè)的點數(shù)盡可能一樣多。根據(jù)我的想法，一個身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概為22 cm. 23同學(xué)丙說：我先將所有的點分成兩部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的；然后，每部分的點求一個“平均點”身高的平均值作為平均身高、右手一拃的平均值作為平均右手一拃長，即（164，19），（177，21）；最后，將這兩點連

11、接成一條直線。設(shè)這條直線的方程是：y=kx+b，其中k= ，代入一點的坐標求出b=-6.231，進而直線y=0.154x-6.231即為所求的直線。根據(jù)我的想法，一個身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概有22.7 cm左右。= 0.154 24同學(xué)丁說：我先將所有的點按從小到大的順序進行排列，盡可能地平均分成三等份；每部分的點 按照同學(xué)丙的方法求一個“平均點”，最小的點為（161.3，18.2），中間的點為（170.5，20.1），最大的點為（179.2，21.3）。求出這三個點的“平均點”為（170.3，19.9）。我再用直尺連接最大點與最小點，然后平行地推，畫出過點(170.3，19.

12、9)的直線。2526設(shè)這條直線的方程是：y=kx+b，其中k = ，代入點(170.3,19.9)的坐標求出b = ，進而直線y = 0.173x-9.593即為所求的直線。根據(jù)我的想法，一個身高188 cm的學(xué)生，他的右手一拃大概有23.0 cm. 27 同學(xué)甲和同學(xué)乙的思考方法是比較形象的，同學(xué)甲最直觀，但比較粗略，同學(xué)乙“使得在直線兩側(cè)的點數(shù)盡可能一樣多”是理性和精細的 同學(xué)丙和同學(xué)丁的思考方法是比較理性的，也是相對粗略的，但比較直觀，也便于理解和操作這兩種方法比較程序化，同學(xué)丁的方法更精細一點 同學(xué)丙和同學(xué)丁的思考方法本身是值得研究和探討的，我們可以提出這樣的問題如果按照同學(xué)丙和同學(xué)丁的方法，那么你是否能將他們的思考方法更精細化28 比如，我們可以將所有的點分成四個部分，每個部分取一個平均點，這樣就得出了四個點的坐標， 然后，再分別求出這四個點中的前三個點和后三個點的平均點，最后將這兩個點連成一條直線 這條直線在一定程度上要比同學(xué)丙和同學(xué)丁的方法精細一些 如此做下去，一定會得到越來越精細的擬合29從上面的討論看，這些學(xué)生的處理方法差別很大，那么我們應(yīng)當選取一個什么樣的方法來處理更好些呢？這將是我們下面一節(jié)中要討論的。在這里需要強調(diào)的是，身高和右手一拃長之間沒有函數(shù)關(guān)系。我們得到的直