向量與張量的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算

1、本章介紹向量與張量的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算，作為后面章節(jié)的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。第一章矢量與張量1.矢量代數(shù)1.1向量的定義Einstein約定求和e仍與dij之間的關(guān)系2.張量代數(shù)2.1張量的定義2.2張量的運(yùn)算2.3張量與矢量之間的運(yùn)算2.4張量與張量之間的運(yùn)算3.矢量分析3.1 Hamilton 算子3.2無(wú)旋場(chǎng)與標(biāo)量勢(shì)3.3無(wú)散場(chǎng)與矢量勢(shì)Helmholtz 分解4.張量分析4.1矢量的梯度 4.2張量的散度和旋度4.3 V(AO)等公式4.4兩個(gè)有關(guān)左右旋度的展開(kāi)式 4.5 張量的Gauss公式和Stokes公式1向量代數(shù)1.1向量的定義從幾何觀點(diǎn)來(lái)看，向量定義為有向線段。在三維歐氏空間屏 中，建立直

2、角坐標(biāo)系 工k,沿坐標(biāo)氣方向的單位向量為號(hào)& = 123），即其標(biāo)架為慕電,曷 設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)。至點(diǎn)H的向量為點(diǎn)，它在所述坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（好），那么 可寫(xiě)成a =灼世1 +四勾+釣勺（1.1）設(shè)在中有另一個(gè)坐標(biāo)系；舟七，其標(biāo)架為富或陽(yáng)，它與%聞,角之間的關(guān)系為（1.2）由于單位向量。上=123）之間互相正交，頃=1齊）之間也互相正交，因此矩陣(1.3)將是正交矩陣，即有L =頊，其中上標(biāo)表示轉(zhuǎn)置。從（1.2）可反解出（1.4）向量皿在新坐標(biāo)系。,元玖招 中的分解記為將(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量皿的新坐標(biāo)軍6 =123)和舊坐標(biāo)&=123)之間的關(guān)系，它是坐標(biāo)變

3、換系數(shù)C應(yīng)，廣 技誨)的一次齊次式。這個(gè)式子應(yīng)該是有向線段的幾何客觀性質(zhì)(如:長(zhǎng)度、角度)不隨坐標(biāo)的人為主觀選取而變化的一種代數(shù)反映。可以說(shuō)，公式(1.6)表示了向量在坐標(biāo)變換下的不變性。這樣，我們就從向量的幾何定義，得到了向量的代數(shù)定義:一個(gè)有序數(shù)組版好)，如果在坐標(biāo)變換下為關(guān)于變換系數(shù)%.(/ = 123)由(1.6)所示的一次齊次式，則稱之為向量。1.2 Einstein約定求和用求和號(hào)，可將(1.1)寫(xiě)成 = 務(wù)的2-1(1.7)所謂Einstein約定求和就是略去求和式中的求和號(hào)，例如(1.7)可寫(xiě)成(1.8)在此規(guī)則中兩個(gè)相同指標(biāo)就表示求和，而不管指標(biāo)是什么字母，例如(1.8)也可

4、寫(xiě)成(1.9)有時(shí)亦稱求和的指標(biāo)為“啞指標(biāo)”。本書(shū)以后如無(wú)相反的說(shuō)明，相同的英文指標(biāo)總表示從1至3求和。按約定求和規(guī)則，(1.2)、(1.4)可寫(xiě)成(1.10)(1.11)皿=述航=彗系=ae(1.12)由此就得到了 (1.6)式的約定求和寫(xiě)法，&；=%.%. (i = 1,2,3)(1.13)今引入Kronecker記號(hào)，為=； :/京=1彩)(1.14)例如甬=1巡=0,。應(yīng)用，單位向量之間的內(nèi)積可寫(xiě)成%、氣=如(1.15)向量點(diǎn)=%號(hào)和向量&=%勺之間的內(nèi)積可寫(xiě)成a b = aiei - % =昭勺弓,氣=以島占掠=叩)(1.16)上式中最后一個(gè)等號(hào)是因?yàn)橹挥衠 時(shí)，制才不等于零，在這里

5、角的作用似乎是 將j換成了，因而也稱頊為“換標(biāo)記號(hào)”。再引入Levi-Civita記號(hào)與我，L當(dāng)3成為偶排列知為=4 T,當(dāng)2點(diǎn)為奇排列(1.17)0.當(dāng)孩J居中有相同者其中，氏分別取1, 2, 3中的某一個(gè)值。例如標(biāo);=聞31 = Eg = 1可關(guān)=鬼叫=聞匕=T，司口 = 4於=，。利用如#，向量之間的外積可寫(xiě)為弓艾勺=知其(1.18)隹罰= x岫=邛Kg(1.19)1.35與之間的關(guān)系Kronecker記號(hào)S”與Levi-Civita記號(hào)知,之間有如下關(guān)系We =用疤 -&以(1.20)證明1窮舉法，先列出X 所有可能的81種取值情況，情形8JJw111112111231113然后逐個(gè)情

6、形證明，例如，情形1，馬，故此情形(1.20)成立，。(1.21)證明2我們有雙重外積公式將靖 代入(1.21)左右兩邊，得到(1.22)將上述兩式代入(1.21)兩邊，移項(xiàng)，得由于弓的任意性，從(1.22)即得欲證之(1.20)式。證明3利用Lagrange公式式(1.23)按證明2類似的步驟，從(1.23)可導(dǎo)出(1.20)。證明4從(1.18)和向量混合乘積的行列式表示，有其中分別為向量S那在標(biāo) 中的坐標(biāo)。按行列式的乘積法則，有(1.25)其中第二個(gè)等式應(yīng)用了習(xí)等關(guān)系。將(1.25)最后一個(gè)行列式展開(kāi)，得靖(1.26)注意到毒，以及換標(biāo)記號(hào)客 和方 的意義，從(1.26)即得(1.20)

7、。證畢。2張量代數(shù)2.1張量的定義設(shè) TOC o 1-5 h z A = Ajeiej(2.1)其中勾稱為并矢基，它們共有9個(gè)，ele31 %與與殉(2.2)角世1殉角在坐標(biāo)變換(1.11)之下，(2.1)成為A =(2.3)于是當(dāng)=(2.4)從(2.4)可引出張量的定義：一個(gè)二階有序數(shù)組= l忌3)，在坐標(biāo)變換下， 關(guān)于變換系數(shù)Gj為二次齊次式，則稱戲?yàn)閺埩?，也記作。鳥(niǎo)為其指標(biāo)記號(hào)， A為其整體記號(hào)。張量4在并矢基烏下的9個(gè)分量，有一個(gè)矩陣月與之對(duì)應(yīng)，記作Ai A2 AsA- A = 起 As(2.5)同一個(gè)張量在另一組并矢基&弓下所對(duì)應(yīng)的矩陣為技， TOC o 1-5 h z Ai駕AsA

8、A,= Aji編孤（2.6）.WiJ2崔按（2.4）可知，張量在不同坐標(biāo)系下所對(duì)應(yīng)的矩陣服從矩陣的合同變換，4 =（2.7）其中為坐標(biāo)變換矩陣（1.3）。附注：上述張量的定義可以推廣：一個(gè)廣階有序數(shù)組AgZ,在坐標(biāo)變換（1.10）下，若服從的廣次齊次式，. =c. -C- C- A- (2.8)則稱之為廣階張量。按照這種定義，標(biāo)量可認(rèn)為是零階張量，向量可認(rèn)為是一階張量，（2.1）所述的張 量為二階張量，也可證明Levi-Civita記號(hào)知#為三階張量。（2.8）式中的下標(biāo)隊(duì) 和Jr化=1衛(wèi)廣任） 取值范圍也可不必限于從1到3,也可從1到冉，那么（2.8 ）式所定義的張量稱為依 維空間中的階張

9、量。本書(shū)所述張量，以后如不作說(shuō)明均為三維二階張量。2.2張量的運(yùn)算張量A = A聲i勺 與張量廳=與產(chǎn)勺 的和與差記為士占AB =（AiJ.BiJ.）eieJ.張量的轉(zhuǎn)置記為泌，泌=為號(hào)勺不難驗(yàn)證，妲笠和也是張量。例如，（4/）=耳j =。混孔孔 =件瑚一個(gè)張量稱為對(duì)稱張量，如果Ar = A與對(duì)稱張量所對(duì)應(yīng)的矩陣H為對(duì)稱矩陣。一個(gè)張量稱為反對(duì)稱張量，如果Ar = -A(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)與反對(duì)稱張量4所對(duì)應(yīng)的矩陣為反對(duì)稱矩陣，我們將反對(duì)稱矩陣記成(2.14)從(2.14)可以得出，= 一號(hào)件舟(2.15)(2.16)不難驗(yàn)證量。由于由(2.16)所定義的由

10、=見(jiàn)號(hào) 為向量，它稱為相應(yīng)于反對(duì)稱張量的軸向， = ei 弓=以G目巳=C貳疽舊所以1 = ”/聲= 稱之為單位張量。(2.17)為一張量，張量的跡定義為J以(2.18)2.3張量與向量之間的運(yùn)算張量A = 與向量皿=的號(hào) 有左右兩種內(nèi)積，4皿=鳥(niǎo)弭.,僅航=也護(hù)護(hù)j (勺 & =目(2.19)(2.20)從(2.19) (2.19)，可得左右兩種內(nèi)積之間有關(guān)系式a A = Ar a如果為反對(duì)稱張量，由(2.19) (2.15),得A a = -如.河(2.21)(2.22)張量A = 始閂 與向量# = %號(hào) 有左右兩種外積，且” =4/弓 乂5, = A舟詩(shī)泠。乩（2.23）。履=的烏xA

11、戒盧稿=禎田&（2.24）張量與兩個(gè)向量您和白之間有四種運(yùn)算，皿a=沔弓-4胖 演=告鳥(niǎo)點(diǎn)橫,勺）（* 巳）=4 A=或處點(diǎn)口以白=氣號(hào)亦axAxh=aiAJ.kb5sij.?sepe2.4張量與張量之間的運(yùn)算兩個(gè)張量與3之間的內(nèi)積和外積如下A B =鳥(niǎo)弓弓-B渺0 = A*獸a （% -=鳥(niǎo)功盧&Ay B = 4 x B好疔5 =鳥(niǎo)號(hào)晶 y* = &*幻E并罪罪兩個(gè)張量刃與廳之間有四種雙重運(yùn)算ab =心勺,電您=&熱（為 巳）（勺 q=&晶AxB = &產(chǎn)聲乂日渺咨5 = 4/ y ）& 氣）=鳥(niǎo)&電弟乂春=勾強(qiáng):8渺怦5 = WJ號(hào)巳）（ x，）=也與切弓= &弭.:垃盧圍=勺如信 y 如

12、x%）=鳥(niǎo)月灑療鍋*q對(duì)于雙重運(yùn)算，先將外層的兩個(gè)基和巳 按下面的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，再將內(nèi)層的兩個(gè) 基.和氣 按上面的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。從雙重運(yùn)算可得兩個(gè)有用的公式，=勾牛N 氣=Aji1 頊 y） = &盧對(duì)孔=(為-鳥(niǎo)山1 + (也孑- &嵬+(Ai - WJ角(2.25)i：a =號(hào)弓：4評(píng)產(chǎn)& =辱氣)k Xej) = 4&敏癢押%(2.26)=(&肉廣理點(diǎn)切心% = A拼痔廣可產(chǎn)產(chǎn)弓=此外，尚有關(guān)系式AX7=-AX7(2.27)(2.28)A = &利用(2.25)(2.26),能得到兩個(gè)有用的定理定理2.1=H對(duì)稱A = 0點(diǎn)nA = V證明 從(2.25)立即得到所需的結(jié)論。定理 2.2

13、 A=ffA=ff 日 A = u證明 首先，如果A=0，那么A=ff，從(2.26)得到A=0。其次，如果A = 0給出A=0(2.29)對(duì)(2.29)取跡，得A=0(2.30)將(2.30)代回(2.29)，即得A=0。證畢。 3向量分析3.1 Hamilton 算子記氏W-(3.1)由于3-3 8七=c _d_ dx- dXj dXj(3.2)可知算子服從向量的定義。設(shè)*)為三維區(qū)域皿 中的標(biāo)量場(chǎng)，關(guān)于呼(r)的左右梯度為其中，下標(biāo)中的逗號(hào)表示對(duì)其后坐標(biāo)的微商，尸=工網(wǎng)。從上述兩式可以看dxj出標(biāo)量的左右梯度相等。設(shè)夜偵)為三維區(qū)域血 中的向量場(chǎng)，關(guān)于皿w 的左右散度為V-a =, a-

14、V =- 5 = ai?i，從上面兩式可以看出向量的左右散度相等。關(guān)于向量場(chǎng)試，)的左右旋度為禹弓吊勾勺=2扭知對(duì)比,aV= a.e.xd.e. =.，對(duì)于點(diǎn)的左右旋度，有關(guān)系式Vxfl = -flxV標(biāo)量場(chǎng)呼的Laplace算子為，寸甲=呵7 =a.押=%啊“ =向量場(chǎng)隊(duì)的Gauss公式為(3.3)其中為區(qū)域皿的邊界曲面，頊s，用為ae上的單位外法向量。向量場(chǎng)隊(duì)的Stokes公式為 這里S為任意曲面，淪 為S的邊界曲線，在邊界游 上積分的環(huán)向與s的外法向 依右手定向規(guī)則：料指向觀察者，從觀察者來(lái)看，曲線沿反時(shí)針為正。3.2無(wú)旋場(chǎng)與標(biāo)量勢(shì)對(duì)任意標(biāo)量場(chǎng)呼有下述關(guān)系V x（V貴）=喝x 0/療）=

15、物壽氣=0（3.5）上式用到了關(guān)系仍”=啊責(zé)，因?yàn)楸緯?shū)總假定所出現(xiàn)的函數(shù)具有所需的各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。（3.5）說(shuō)明有勢(shì)場(chǎng)呼是無(wú)旋場(chǎng)，其逆命題一般也成立，即有，定理3.1設(shè)皿為單連通區(qū)域技上的任意向量場(chǎng)，則Vxfl = A 存在訴，使得（3.6）證明 充分性由（3.5）即得。現(xiàn)證必要性，若= ，令*）=廣協(xié)（3.7）這里命為皿 中的某個(gè)定點(diǎn)。不難驗(yàn)證，忒N即合所求。首先，（3.7）中的線積分由 于無(wú)旋假定而與路徑無(wú)關(guān)，即朝僅為位置尸的函數(shù)。其次，從（3.7）可算出*=怪 證畢。如果區(qū)域是多連通的尚需加上單值性條件。3.3無(wú)源場(chǎng)與向量勢(shì)對(duì)任意的向量場(chǎng)B有如下公式，(3.8)礦嘴）=喝-（a/疽穌與）=

16、虹書(shū)產(chǎn)加=o上式說(shuō)明，具向量勢(shì)的向量場(chǎng)其散度為零，即為無(wú)源場(chǎng)。此命題的逆命題也成立。定理3.2對(duì)區(qū)域上的任意向量場(chǎng)。，有V- = 0 。存在B，使得a = V xA(3.9)證明 充分性由(3.8)即得。關(guān)于必要性，下述的3即合所求，3時(shí),)= 一何丁的住,由春翊(,z) = 0(3.10)其中伍1，互見(jiàn))=底濃J =京，(如光氣)為痘 中的定點(diǎn)。證畢。附注：定理3.2的證明中引用了定積分，因此區(qū)域必須具備凸性才可使定積分得以進(jìn)行。關(guān)于一般區(qū) 域中的證明參見(jiàn)Stevenson(1954)的論文，此文還指出定理3.2 一般只對(duì)具有單邊界的區(qū)域成立，對(duì)于有 多邊界的區(qū)域還需補(bǔ)充一些條件。Helmh

17、oltz 分解對(duì)任意的向量場(chǎng)耳，它的二重旋度有如下表示Vx(Vx) = . x(勺脆勺=(快,一標(biāo)她疽位)-%(3.11)利用(3.11)可得下面的重要定理定理3.3 (向量的Helmholtz分解)對(duì)區(qū)域皿 上的任意向量場(chǎng)。，總存在標(biāo)量 勢(shì)W和向量勢(shì)3，使得皿=如+如8， 且礦3 = 0(3.12)證明令必，嘩)=(痔叫”日依制亍(3.13)其中 p = -事 + 板 fV + 0 ，從(3.13),按 Newton 位勢(shì)，有寸耳=a(3.14)將(3.11)代入(3.14)，得= V(V-)-Vx(yxH)(3.15)設(shè)俱=礦研b= -V，從(3.15)即得欲證之(3.12)式。證畢。4張

18、量分析向量的左右梯度均為張量(4.1)W =黑叩凸=5相應(yīng)于向量左右梯度的矩陣為Vfl從(4.1),或(4.2),可得(V礦=V7(Va) = 7(aV)=V-a(4.2)(4.3)(4.4)4.2張量的散度和旋度張量的左右梯度均為向量從 (4.5)看出，對(duì)于特殊的張量叫，其左右梯度為張量的左右旋度仍為張量4 “ /稅目尸出Sjk5eie5(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)與張量的旋度所相應(yīng)的矩陣為(4.10)(4.11)(4.12)3P2 -41-3/2 222分3N 夾Aim-是 “1Ab 3- As 4_ Apl-Ap2 戲責(zé) 1 一也9嚀 34 -Ab嚀也可列出所相應(yīng)的矩陣。從(4.8) (4.9)，可得(Vx A)r = -Ar xV當(dāng)為對(duì)稱張量時(shí)，由（4.10） （4.11）有J（yxA）=J（AxV）=O4.3礦（4力等公式我們有下面四個(gè)公式礦（4 a） =（V- A）-a + A. （oV）= （V,4）xfl +J4x（flV）（4.13）V（A-a