《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)教案

1、PAGE6PAGE6人教課標(biāo)版數(shù)學(xué)歸納法第一課時教案河南省鄲城縣才源高中 王保社教材、教法分析數(shù)學(xué)歸納法作為直接證明的一種特殊方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。人教課標(biāo)版教科書把數(shù)學(xué)歸納法安排在選修2-2第二章推理與證明中，教學(xué)時間為2課時，本教案為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課。在此之前，學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和推理與證明內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，知道不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結(jié)論的歸納推理是合情推理，而由合情推理得出的結(jié)論未必正確。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)

2、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力及抽象思維能力的好素材。 學(xué)生通過推理與證明前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，已基本掌握歸納推理，且已經(jīng)具備了一定的觀察、歸納、猜想能力。通過近幾年教學(xué)方法的改革和素質(zhì)教育的實(shí)施，學(xué)生已基本習(xí)慣了對已給問題的主動探究，但主動提出問題和置疑的習(xí)慣仍需進(jìn)一步強(qiáng)化。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，本課主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和教學(xué)大綱、結(jié)合本校學(xué)生實(shí)際制訂以下教學(xué)目標(biāo)。1.知識目標(biāo) （1）使學(xué)生進(jìn)一步了解不完全歸納法屬于合情推理，而由合情推理得出的一 般結(jié)論未必正確。（2）使學(xué)生了解

3、歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)（3）掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與整 數(shù)有關(guān)的命題2.能力目標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。（2）讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。3.情感目標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。 （2）努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué) 生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率 教學(xué)重難點(diǎn)根據(jù)教學(xué)大綱要求、本節(jié)課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有知識水平，確定如下教學(xué)重難點(diǎn)： 1.重 點(diǎn)

4、（1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。（2）明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟。（3）初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)數(shù)學(xué)恒等式。 2.難 點(diǎn)（1）對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性。（2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)問題情景師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法（板書）。在本章第一節(jié)我們學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理，下面請同學(xué)們思考一下，“天下烏鴉一般黑”這一結(jié)論是通過合情推理還是通過演繹推理得到的生：“天下烏鴉一般黑”這一結(jié)論是通過不完全歸納法得到的，不完全歸納法是合情推理。師：由合情推理得到的結(jié)論是否一定正確生：教科書上明確指出：由合

5、情推理得出的結(jié)論未必正確。師：回答的很好，不完全歸納法得到的結(jié)論帶有猜想的成分，因此推理所得的結(jié)論不一定正確（順便指出人們已在非洲的坦桑尼亞發(fā)現(xiàn)三種并非全黑的烏鴉，在日本也發(fā)現(xiàn)了一只全身皆白的真正的白烏鴉），但是它具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供證明的思路和方向的作用，在數(shù)學(xué)上，我們很多時候是通過觀察歸納猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論的。師：我們先來探究下面一個問題：數(shù)列中；生：寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察可知是周期為6的周期數(shù)列，所以=1。 師：很好。本題是觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出。我們再來探究一個問題： 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，學(xué)生分別計(jì)算、的值，猜想的值，并計(jì)算的值。

6、生甲：由此可猜想=n。 生乙：甲的猜想不正確，因?yàn)?。師：乙的回答是正確的，本題也是觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出，但結(jié)論是錯誤的?？偨Y(jié)：通過前面兩個例子，使我們進(jìn)一步認(rèn)識到用不完全歸納法得出的結(jié)論，因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性?，F(xiàn)在請同學(xué)們想一想，在以前給出的數(shù)學(xué)公式中，有沒有用不完全歸納法得出的生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：，歸納出了它的通項(xiàng)公式的。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是由有限個特殊事例歸納出來的，也可能不正確，又因?yàn)檎麛?shù)有無限多個，不可能一一驗(yàn)證，那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？二、設(shè)置問題，引導(dǎo)

7、探究師：同學(xué)們小時侯放過鞭炮沒有？生：（沒）放過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無論放過還是沒放過，相信同學(xué)們對放鞭炮都很熟悉，下面請思考：點(diǎn)燃一盤鞭炮后，滿足什么條件，一盤鞭炮可以全部響生：若前一個響，則后一個也響師：這樣就保證了可以遞推下去，鞭炮就可以全部響了，是嗎？生：不是。若第一個鞭炮不響，則一盤鞭炮也不會全部響，所以，還要有一個條件：第一個炮要響。師：大家說有了這兩個條件，點(diǎn)燃一盤鞭炮后鞭炮是不是可以全部響呢？生：是。師：上面的同學(xué)說得很好，要使一盤鞭炮全部響應(yīng)滿足兩個條件，第一個條件是：第一個炮要響；第二個條件是：若前一個響，則后一個也響，該條件可轉(zhuǎn)化為：假設(shè)第個炮響張，

8、第個炮一定響。 學(xué)生類比鞭炮全響的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）。（1）n取第一個值(例如 )時命題成立;（2）假設(shè) n=k(k)命題成立，利用它證明n=k+1 時命題也成立。 滿足這兩個條件后，命題對一切n均成立?，F(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？三方法嘗試（學(xué)生共答，教師板書）證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，就是，下面看看是否能推出時等式也成立，那么等于什么？生：由可得 。師：看來時等式也成立，這樣做對嗎？生：（齊答）不對。師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運(yùn)用歸納

9、假設(shè)，即以“n=k時命題成立”為條件，證明“證時命題也成立”。這里容易出現(xiàn)的錯誤是證明中不使用“n=k時命題成立”這個條件，而直接將n=k+1代入命題，便斷言此命題成立，從而得出原命題成立的結(jié)論。下面請同學(xué)們給出正確的證明過程。（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說，當(dāng)時，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？生：時等式成立時等式成立時等式成立所以取任何正整數(shù)等式都成立。師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、第二步后，必須要下結(jié)論，其格式為：根據(jù)可知公式對任意都成立. 四、理解升華師：上面這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，下面

10、請同學(xué)們總結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟。學(xué)生交流后，共同總結(jié)，教師板書：（1）證明當(dāng)取第一個值（例如或2等）時結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時結(jié)論正確，證明當(dāng)時結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對從開始的所有正整數(shù)都正確。概括起來就是“兩個步驟，一個結(jié)論?！睅煟河脭?shù)學(xué)歸納法證題時，兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的根據(jù)。師：回答的很好，我再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證題時這兩個步驟缺一不可，只有把兩個步驟中的結(jié)論結(jié)合起來，才能斷定命題成立.五、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論未必可靠，因而必須作出證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，

11、證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請同學(xué)們看一道例題。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 本例主要由學(xué)生完成，教師適時作必要引導(dǎo)。這樣處理有利于培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識解決問題的能力。 教師主要引導(dǎo)學(xué)生參與討論的內(nèi)容是：1當(dāng)時，證明的目標(biāo)是什么？2 當(dāng)時，能否這樣證明：例2：在數(shù)列中, 1, (n), 先計(jì)算，的值，再推測通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論本例要求學(xué)生先猜想后證明，意在使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法。教學(xué)中可先讓學(xué)生思考3分鐘，然后讓兩位學(xué)生在黑板上板書解題過程，最后師生共同分析兩位學(xué)生的解法。六、小結(jié)（師生共同完成）1數(shù)學(xué)歸納法是科學(xué)的證明方法；利用它可以證明一些關(guān)于正整數(shù)n的命題。2數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟。3用數(shù)學(xué)歸