開放式基金投資最優(yōu)決策

1、開放式基金投資最優(yōu)決策一、問 題某開放式基金現(xiàn)有總額為15億元的資金可用于投資，目前共有8個項目可供治理人選擇，每個項目可重復投資。依照專家經(jīng)驗，對每個項目投資總額不能太高，應有上限。這些項目所需要的投資額已知，一般情況下投資一年后各項目所得利潤也可估算出來，如表1所示。表1 單位：萬元項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資額67006600485055005800420046004500年利潤11391056727.51265116071418401575上 限3400027000300002200030000230002500023000請幫該公司解決以下問題：（1）就表1提供的數(shù)據(jù)

2、，應該投資哪些項目，使得第一年所得利潤最高？（2）在具體投資這些項目時，實際還會出現(xiàn)項目之間互相阻礙的情況。公司咨詢有關專家后，得到以下可靠信息：同時投資項目A1，A3，它們的年利潤分不是1005萬元，1018.5萬元；同時投資項目A4，A5，它們的年利潤分不是1045萬元，1276萬元；同時投資項目A2，A6，A7，A8，它們的年利潤分不是1353萬元，840萬元，1610萬元，1350萬元，該基金應如何投資？（3）假如考慮投資風險，則應如何投資，使收益盡可能大，而風險盡可能小。投資項目總體風險可用投資項目中最大的一個風險來衡量。專家預測出各項目的風險率，如表2所示。表2項目編號A1A2A3

3、A4A5A6A7A8風險率(%)3215.52331356.54235（4）開放式基金一般要保留適當?shù)默F(xiàn)金，降低客戶無法兌現(xiàn)的風險。在這種情況下，將專家的信息都考慮進來，基金該如何決策，使得盡可能降低風險，而一年后所得利潤盡可能多？（5）那個項目投資，是必須資金全部到位才有利潤，依舊只要第一期資金到位啟動后就能夠隨便投資，然后利潤率按第一期利潤和投資之比來計算？二、模型的建立及求解1模型1（線性整數(shù)規(guī)劃）（1）假設1）不考慮其他因素，單純追求利潤最大；2）可能利潤能正確反映各項投資的利潤；3）若對某項目投資，則該項目的總投資額必須是該項目投資額的整數(shù)倍；4）投資過程中交易費為0；5）該基金中無

4、“莊家”或“金融大鱷”之類惡意操縱。（2）建模設xi為對項目Ai的投資股數(shù)，H表示基金總額，mi表示項目Ai的投資上限，bi表示項目Ai每股的可能年利潤，ci表示項目Ai每股的投資額，則一年后總投資利潤，基金總額約束：，各項目投資額上限約束：（i=1，2，8），從而建立如下模型。s.t. （3）求解應用Lindo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結果，如表3所示。表3項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)（股）51145255投資額3350066004850220002900084002300022500總投資149850年利潤56951056727.550605800142892

5、007875利潤率（%）1716152320174035總利潤36841.5從表3能夠看出，差不多上利潤率較高的投資項目對應較強的投資勢頭，但有的投資項目盡管利潤率較高，卻未得到相應的投資勢頭，這講明利潤率并不是阻礙投資的唯一因素，還有另外的因素尚未考慮到，需要接著深入討論。2模型2（非線性整數(shù)規(guī)劃）考慮到專家的信息，投資項目之間相互阻礙，修正模型1。（1）假設1）專家的信息有較高的可信度，單純追求利潤最大。2）滿足模型1的假設2）5）。（2）建模由于不明白是否各相互阻礙的項目同時投資時，利潤較大，引入01變量，。設表示受同時投資阻礙時項目Ai每股的可能年利潤，可建立如下模型。 s.t. 其中

6、中的30表示A1，A3各最多投資5股，6股；中的20表示A4，A5各最多投資4股，5股；中的500表示A2，A6，A7，A8各最多投資4股，5股，5股，5股。當A1，A3同時投資時，x1x30，y=1；當A1，A3不同時投資時，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互阻礙的約束可表示為：。同理可得其他兩個是否相互阻礙的約束。（3）求解應用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結果，如表4所示。表4項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)10645455投資額67000291002200029000168002300022500總投資額149100年利潤10050611141

7、806380285692007875利潤率（%）1516211922174035總利潤37607從表4能夠看出，隨著利潤率的提高，投資勢頭也相應增強，利潤率下降，投資勢頭也相應減弱，這又一次反映了利潤率對投資勢頭的強大阻礙。3模型3（多目標規(guī)劃&非線性整數(shù)規(guī)劃）考慮到專家提供的風險損失率方面的約束，進一步修正模型2。（1）假設1）考慮專家預測出的各項目風險率，總體風險用投資項目中最大的一個風險來度量，追求利潤盡可能大、風險盡可能小；2）滿足模型2的假設2）。（2）建模設qi表示項目Ai的風險率，則總體風險，投資總利潤R同模型2，從而可建立如下模型。max Rmin Qs.t. 同模型2利用法構

8、造評價函數(shù)，其中權系數(shù)，R*，Q*分不為R，Q的最優(yōu)值，R(0)，Q(0)分不為Q，R取最優(yōu)值時R，Q的取值，能夠把上述雙目標規(guī)劃化為如下單目標規(guī)劃。s.t. 同模型2只是確定權系數(shù)的常用方法是依照專家意見和經(jīng)驗給出。（3）求解引入變量s=Q，目標函數(shù)化為，在滿足上述約束條件的基礎上，還要對s加以約束：，i=1，2，8。應用Lingo軟件包，以題中所給的數(shù)據(jù)為例，編程求得結果，如表5所示，即在考慮利潤和風險的基礎上，均衡兩者的權，得出的最佳折中方案。表5項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)54040055投資額3350026400022000002300022500總投資額1274

9、00利潤率(%)1716152320174035風險率(%)3215.52331356.54235年利潤59654224050600092007875總利潤32054總體風險10720(A1的風險)從表5能夠看出，利潤率和風險率對投資的阻礙都專門大，對利潤率和風險率都大的項目應慎重投資，對風險大，利潤過小的項目應少投資，甚至不投資。但對風險較大而利潤較小的項目A1投資最多，講明權系數(shù)的選擇不適當。4模型4（多目標規(guī)劃&非線性整數(shù)規(guī)劃）模型3中未考慮保留適當?shù)默F(xiàn)金，從開放式基金具有由投資者隨時贖回的特性來理解，相比交易所掛牌上市的證券，開放式基金以其單位基金凈值作為贖回標準，能夠在有效規(guī)避二級市

10、場的股價波動風險的同時保證其流淌性。關于突發(fā)性的贖回請示，基金治理人往往會通過保留一定的資金來應付。基于此，我們在模型3的基礎上追加考慮保留適當?shù)默F(xiàn)金，用以降低客戶無法兌付的風險，進一步修正模型3。（1）假設1）考慮保留部分資金，追求利潤最大、風險最?。?）不考慮原始投資人1%的認購費率、0.5%的贖回費率；3）考慮保留資金的存儲利潤；4）滿足模型3中的假設。（2）建模模型3中未考慮投資者的風險偏好，而那個因素直接涉及投資方向和勢頭，對模型結果的阻礙專門大。在實際中，關于不同風險偏好的投資者，其最佳投資方案有所不同。為了反映實際情況，我們把投資者偏好合并分類，各自對應的權值為：高度冒險：WR=

11、0.8，WQ=0.2；比較冒險：WR=0.6，WQ=0.4；中性冒險：WR=0.5，WQ=0.5；比較保守：WR=0.4，WQ=0.6；高度保守：WR=0.2，WQ=0.8。WR，WQ在滿足WR+WQ=1的條件下，具體取值可適當調(diào)整，這并不阻礙算法的實現(xiàn)。1）風險偏好與效用函數(shù)。投資的目的是為了今后更大的消費，即財寶的增加。不同的財寶水平投資者獲得的效用是不同的，同樣的財寶增加量對不同的投資者，其帶來的效用增加也有所不同。財寶x與效用U之間的數(shù)量關系通常稱為財寶的效用函數(shù)，記為U(x)。U(x)一般是增函數(shù)，即，但關于不同的投資者其增長的形態(tài)不同。以下是三種典型效用函數(shù)形態(tài)。風險回避型 這種人

12、對財寶的增加不專門敏感，或財寶增加的邊際效用是遞減的，通常不情愿為增加財寶而冒大風險，如圖1所示。風險中性型 這種人對財寶增加的態(tài)度始終是相同的，邊際效用是一常數(shù)，如圖2所示。風險偏愛型 這種人對財寶具有強烈的渴望，越富越想富，財寶增加的邊際效用是遞增的，因而情愿為增加財寶而承擔較大的風險，如圖3所示。 圖1圖2 圖3以上三種差不多形態(tài)均可用下列二次效用函數(shù)表示：盡管實際的效用函數(shù)有可能不是二次的，但二次效用函數(shù)具有更好的概率特性。2）投資心理曲線。一般來講，人們的心理變化是一個模糊的概念，在此，對一個投資方案的看法（即對投資者的吸引力）的變化確實是一個典型的模糊概念。通過查找心理學的相關資料

13、，我們定義投資者的心理曲線為 ，其中表示投資者平均收入的相關因子，稱為實力因子，一般為常數(shù)。實力因子是反映不同投資者的平均收入和消費水平的標準。確定一個投資方案應該盡力考慮所有不同投資者的實力因子，而在我國不同地區(qū)的收入和消費水平是不同的，因此不同地區(qū)的實力因子也不盡相同，要統(tǒng)一來評估這些方案的合理性，就應該對同一實力因子進行研究。為此我們以中等地區(qū)的收入水平為例，依照相關網(wǎng)站的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入為1.5萬元，按我國的現(xiàn)行制度，平均工作年限為35年，則人均收入為52.5萬元。取=0.5（即吸引力的中位數(shù)），則6.30589。3）保留現(xiàn)金比例。設保留現(xiàn)金比例為g，不同投資者所占人群比例為

14、，又得知他們的風險偏好不同，主觀風險權系數(shù)為WQi，i=1，2，3，4，5，則依照投資心理曲線，參照風險偏好和效用函數(shù)，并依照網(wǎng)上調(diào)查，得知投資者差不多上劃分為5種類型，通過代入模型計算，得到相關信息如表6所示。表6風險偏好高度冒險比較冒險中度冒險比較保守高度保守所占人群比例(%)8.524.53326.57.5風險權系數(shù)歸一化0.080.160.200.240.32保留現(xiàn)金比例(%)19.96保留的資金存入銀行比閑置更有利，這筆資金是用來應對突發(fā)性的贖回請求的，隨時都可能用到它，因此采納活期存款的方式，存款年利潤按0.72%計。將此代入模型3，并把基金總額約束修正為：，得模型4。（3）求解應

15、用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)為例，編程求得結果，如表7所示。表7項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資股數(shù)50040455投資額3350000220000168002300022500總投資額117800年利潤56950050600285692007875保留資金29940存款利潤215.568總利潤30901.568總體風險10720以上是在假設這一年中未發(fā)生突發(fā)性的贖回請求，保留資金未被動用的情況下的總利潤?？紤]到最不行的情況，即保留資金還未存入銀行就被動用，無存款利潤可言。綜上所述，我們認為用于保留的資金為29940萬元比較合適，總利潤應該在（30686，30901.568）

16、范圍內(nèi)。5模型5（非線性整數(shù)規(guī)劃）（1）假設1）不考慮風險因素，單純追求利潤最大；2）投資額是連續(xù)的；3）第一期資金到位啟動后就能夠隨便投資，然后利潤率按第一期利潤和投資之比來計算。（2）建模設xi為對項目Ai的投資金額，i=1，2，8?？紤]到假設2）、3），項目之間有無阻礙時的利潤率分不為，。引入01變量，i=1，2，8，則Ai的投資金額的上下限約束為：，可建立如下模型。 s.t. 其中中的102107表示A1，A3各最多投資34000萬元，30000萬元。當A1，A3同時投資時，；當A1，A3不同時投資時，。同理可得其他兩個是否相互阻礙的約束。（3）求解應用Lingo軟件包，以題中所給數(shù)據(jù)

17、為例，編程求得結果，如表8所示。表8項目編號A1A2A3A4A5A6A7A8投資金額27000030000220000230002500023000總投資額150000年利潤405006300506003910100008050總利潤37370從表8能夠看出，這種投資方案將資金全部拋出，未留“適當”現(xiàn)金，不符合開放式基金的特點，欠妥。比較模型5和模型2的結果，可知模型5的方案中總投資額、總利潤與利潤率分不為150000萬元、37370萬元、24.9%，而模型2的方案中總投資額、總利潤與利潤率分不為149100萬元、37607萬元、25.2%，顯然模型2的投資方案比模型5的更好。這講明在投資時，

18、只有投資以單位投資額的整數(shù)倍投入，利潤才會以相應倍數(shù)增大。假如投資不是以單位投資額的整數(shù)倍投入，利潤的增長則明顯滯后，利潤率明顯偏低，是不合算的方案。同時模型2的方案中留下了一部分資金備用，符合開放式基金客戶投資、撤資自由的特點，而模型5的方案中未留下任何備用資金，一旦客戶要求撤資，開放式基金就有失信的風險，不利于其長久進展。三、靈敏度分析決策變量xi相應的影子價格稱為縮減成本RCi，i=1，2，8，RCi的值表示當xi增加一個單位（其他變量保持不變）時，目標函數(shù)增加的量，如表9所示。表9股 份x1x2x3x4x5x6x7x8模型1RCi11391056727.5126511607141840

19、1575模型2RCi100510561018.50127671418401575模型3RCi1930224.4400246.540391.1334.7模型4RCi1930000246.54151.7391.1334.7從表9能夠發(fā)覺，x1的變化對各目標函數(shù)最優(yōu)值的阻礙最大，x7次之。四、模型的進一步分析實際上，投資的收益和風險差不多上隨機的，考慮如下問題。某投資公司經(jīng)理欲將50萬元基金用于股票投資，股票的收益是隨機的。通過慎重考慮，他從所有上市交易的股票中選擇了3種股票作為候選的投資對象，從統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析得到：股票A每股的年期望收益為5元，標準差（均方差）為2元；股票B每股的年期望收益為8元，

20、標準差為6元；股票C每股的年期望收益為10元，標準差也為10元；股票A，B收益的相關系數(shù)為5/24，股票A，C收益的相關系數(shù)為-0.5，股票B，C收益的相關系數(shù)為-0.25。目前股票A，B，C的市價分不為20元，25元，30元。（1）假如該投資人期望今年得到至少20%的投資回報，應如何投資可使風險最小（那個地點用收益的方差或標準差衡量風險）？（2）投資回報率與風險的關系如何？1建模設x1，x2，x3分不表示投資股票A，B，C的數(shù)量。國內(nèi)股票通常以“一手”（100股）為最小單位出售，故此處設股票數(shù)量以100股為單位。相應地，期望收益和標準差以百元為單位。記股票A，B，C每手的收益分不為s1，s2

21、，s3（百元），依照題意，si（i=1，2，3）是隨機變量，投資的總收益也是隨機變量。用E和D分不表示隨機變量的數(shù)學期望和方差（標準差的平方），r和cov表示兩個隨機變量的相關系數(shù)和協(xié)方差，則=5，=8，=10，=4，=36，=100，=5/24，=-0.5，=-0.25，。故投資的總期望收益為 ，投資總收益的方差為 實際上投資者可能面臨許多約束條件，如是否需要將資金全部用來購買股票，沒有購買股票的資金是否能夠存入銀行或做其他投資。此處假設不一定需要將資金全部用來購買股票，沒有購買股票的資金也閑置不用，而只考慮可用于投資的資金總額的限制，即。問題（1）的模型為二次規(guī)劃： min z2s.t. 問題（2）的模型為：mins.t. 其中為風險偏好系數(shù)，。當=0時，表明投資者是完全的冒險型，不考慮風險；當充分大時，表明投資者是保守型的，希望規(guī)避風險。取不同的求解，即可大致看出投資回報率與風險的關系。2求解利用Lingo軟件包，編程求得問題（1）的結果：股票A，B，C各購買132，15，22（手），投資額為3675（百元