材料力學課件ch8組合變形

1、材 料 力 學第八章 組合變形Combined Deformation本章又可叫:組合應力(Combined Stresses),復合抗力(Resistance under Compound Loading)8-1 概 述Introduction and Basic Conception 前面我們介紹了構件在拉伸(or壓縮)、剪切、扭轉和平面彎曲四種基本變形情況下各自的內(nèi)力,應力及變形計算。但對工程實際中常見的組合變形(兩種及兩種以上的基本變形的組合)構件,應怎樣分析計算? 答案是:在小變形下的條件下,可分別考慮相應的基本變形(由組合變形的內(nèi)力分解而得),然后將在基本變形條件下求得的應力(or

2、應變)及位移相對應的疊加(有的可代數(shù)相加,有的需幾何相加)。由此即可求得構件在對應的組合變形情況下的應力(or應變)和位移。 對組合變形進行強度計算(校核、確定許可載荷、設計尺寸)須根據(jù)構件所用材料和受力情況選取適合的強度理論,對構件上所有可能的危險點進行計算。 在學習本章時希望同學們認真復習前面介紹的四種基本變形情況下的(外力、支座、梁的幾何尺寸)內(nèi)力、應力、變形的計算公式和對應的強度條件和剛度條件。8-1 概 述Introduction and Basic Conception組合變形的上述疊加分析方法是以下述原理為基礎的: 體系的變形微小時,作用在彈性體系上的諸載荷中的一個所引起的的變形

3、對其他載荷的位置和作用效果的影響可忽略不計。力作用的獨立原理（or小變形中力系藕合作用效應為高階微量） 當構件的組合變形超出了線彈性范圍,或雖在線彈性范圍內(nèi),但變形較大,則不能按其初始形狀和尺寸進行計算。 工程中常見的組合變形問題有: 1,斜彎曲(兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲); 2,軸向拉(壓)與彎曲; 3,偏心拉(壓); 4,彎扭組合等等。8-2 斜彎曲 Skew Bending8.2.1 定義(definition) 在ch4II中我們介紹了梁上外載如果通過該梁的彎曲中心線,且作用在與梁的某一形心主慣性平面平行的平面內(nèi)時,梁將只產(chǎn)生平面彎曲變形。其應力計算公式為 如果外力作用線雖通過彎曲中心(

4、以保證只產(chǎn)生彎曲而不產(chǎn)生扭轉效應),但不與形心主軸平行時,對應的彎曲變形叫斜彎曲。 斜彎曲梁變形后的軸線不再位于載荷作用平面內(nèi)這是斜彎曲的重要特點(也是斜彎曲這一名稱的由來)。 在小變形時,斜彎曲總能分解為二個平面彎曲,然后疊加求其應力、位移。(因橫向載荷總能分解為在兩相互垂直的形心主軸方向的載荷分量，每一種分量引起相應平面內(nèi)的平面彎曲)。 當梁的橫截面具有兩個對稱軸時,彎曲中心與形心重合。故此時過形心,與任一對稱軸不重合的橫向力作用于梁上時,即產(chǎn)生斜彎曲。(梁在oxy平面彎曲時):故斜彎曲就是兩個平面彎曲的組合。外載在梁上ABCD截面繞z軸和y軸的彎矩分別為:如圖,斜彎矩M=P(l-x)之作

5、用平面( 平面)與y軸負向夾角j。8-2 斜彎曲 Skew BendingyzxOPjADBCyzExl-x8.2.2 斜彎曲的正應力(stress of skew bending):我們下面舉例說明斜彎曲的正應力計算方法: (內(nèi)力)分解應力 (應力)疊加)若將:則 Py 引起xOy平面內(nèi)的平面彎曲, Pz 引起xOz平面內(nèi)的平面彎曲。Mz引起的的正應力為 ,My引起的的正應力為 , 均為x方向,在小變形時可代數(shù)相加,得:8-2 斜彎曲 Skew BendingyzMzyzMy s可根據(jù)外載引起的M(My和Mz)的轉向和E點的位置直接決定:Mz引起的sI為拉還是壓,My引起的sII為拉還是壓。

6、然后,直接進行代數(shù)相加(此時M,y,z,j均用絕對值代入):如本例中:第象限內(nèi):第象限內(nèi):第象限內(nèi):第象限內(nèi): 由(8-1)式知s為(y,z)的一次函數(shù),故s在截面內(nèi)呈線性分布,構成一平面。其上s=0的點為此平面與橫截面的交線,即中性軸。其方程為: 顯然形心在中性軸上。 對斜彎矩進行強度校核時,對矩形、三角形、型鋼這類有外凸棱角的橫截面,可直接判定smax所在點并計算之,再按:8-2 斜彎曲 Skew Bending 需要指出的是,斜彎曲梁的剪應力數(shù)值通常都很小,最大值一般在形心點,需幾何相加( )。故一般情況下不計算其最大剪力(與Qmax對應之tmax)強度。(8-3)中性軸與z軸間夾角a(

7、a以由z軸轉到中性軸時逆時針轉為正)滿足:（其中j為斜彎矩作用平面(外載作用平面)與y軸間夾角,(在, 象限內(nèi)tg j為正,在,象限內(nèi)tg j為負）進行強度計算。 對橢圓之類無外凸棱角的截面,應先確定中性軸,再確定與中性軸平行的橫截面周邊之切線,切點之sall即smax。由(8-3)與(8-4)易得a=-b ,說明彎曲方向 是垂直于中性軸的。;8.2.3 斜彎曲的變形(deformations of skew bending) 小變形時,斜彎曲可分解為兩個相互垂直的平面彎曲。故斜彎曲梁上任意點的變形為兩個相互垂直的平面彎曲繞曲線在相應點的疊加。如斜彎曲懸臂梁自由端繞度f為對應的兩個平面彎曲在自

8、由端之繞度fz,fy的疊加。yzfbPja=-b中性軸8-2 斜彎曲 Skew Bending因 ,故 為 與 的幾何和:由于一般 ,故斜彎曲時梁的彎曲(平面)不發(fā)生在外力作用平面。由(8-3)與(8-4)知 時斜彎曲將退化為平面彎曲。與y軸的夾角b滿足: 對自由端作用有與y軸負向成j角的外力P的懸臂梁(上例),我們有:(8-4)故:(8-3)8-2 斜彎曲 Skew Bending 其實因為z軸和y軸為橫截面的形心主軸。故當 時易證明過形心的任意軸均為形心主軸(實例:圓,正方形,正n邊形等等截面)。故通過形心的任意方向作用的橫向載荷將只引起相應方向的平面彎曲。 通常將與產(chǎn)生最大慣性矩的軸(假

9、定為y軸: ) 垂直的平面(此時為oxz平面)叫做最大剛度平面。如果 ,即使外載與最大剛度平面的夾角很小,仍會在oxy平面內(nèi)產(chǎn)生較大的變形和彎曲應力。yzbhPj;當 時:故 (幾乎相等)例:如圖,若h=200mm,b=60mm。則: 其最大正應力與j=0時的oxz平面內(nèi)彎曲之最大正應力之比為:即增加了29% 。 按(8-I)結合具體梁的支座和外載情況求出MzMy8-3I 拉伸(壓縮)與彎曲Combination of Tension (or Compression)and Bending 當梁上除了橫向力外,還有軸向拉力(or壓力),則桿件的變形為拉彎(or壓彎)組合變形。 對于抗彎剛度足夠

10、大的粗短桿(小柔度桿,條件在ch9中介紹),因橫向力引起的撓度相對于截面尺寸很小,故軸向力由于撓度而產(chǎn)生的附加彎矩(耦合效應)可以忽略不計?？梢?此類桿仍可運用疊加原理先分別計算軸向力引起的正應力和橫向力引起的正應力,而后再代數(shù)相加(因均為sx,同向,同截面)即得到組合變形引起的截面上的正應力。例如:對圖示梁之x截面,有:(8-I)(全梁上),則強度條件為:8-3I 拉伸(壓縮)與彎曲Combination of Tension (or Compression)and Bending 需要指出的是,如下圖所示,當實際梁上的軸向力大小和方向均不隨桿的彎曲而變化時(即軸力為按原變形前桿的初始軸線求

11、得的FN),由于橫向載荷產(chǎn)生的撓度y總會使桿產(chǎn)生附加彎矩FN *y。且軸向壓力使桿變得更彎,而軸向拉力使桿的變形比只有橫向力的彎曲變形為小(變得更不彎)。故對拉彎組合,用疊加法計算強度時是偏于安全的(忽略了FN *y對彎曲變形的減小效應)。而對壓彎組合,用疊加法計算強度時是偏于不安全的(忽略了附加彎矩FN *Y對彎曲變形的增加效應)。因此壓彎組合的疊加法只對抗彎剛度足夠大的小柔度桿(粗短桿) 由剪力FSy和FSz引起的剪應力在梁上某一截面內(nèi)任一點處相互垂直(同截面,不同方向),故應幾何相加: 。顯然,一般在形心處最大(對實體梁而言)。 值得指出的是,對實體截面桿件,彎曲剪應力一般很小,不會控制

12、組合變形桿的強度設計。適用。其原理將在Ch9中說明。PMM=Pe8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compression. Core of SectionII,偏心拉伸(壓縮)(Eccentric Tension or Compression) 當作用于直桿上的外載荷之合力作用線與桿軸線平行,但不通過橫截面形心時,其變形將是彎曲與拉伸(or壓縮)的組合變形。對這類特殊的彎拉(壓)組合,工程上通常叫做偏心拉伸(合力指離橫截面)or偏心壓縮(合力指向橫截面,且為(Iy,Iz)足夠大的粗短柱)。 不利的彎壓藕合效應可忽略不計。參閱材力IIch4壓桿穩(wěn)定問

13、題II。8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compression. Core of SectionII,偏心拉伸(壓縮)(Eccentric Tension or Compression)8.3II.1偏心拉伸(壓縮)應力Stress Eccentric Compression (Tension) 如圖,設y,z為此等直桿橫截面的形心主軸。P為距形心O的偏心距OD=e的偏心載荷。顯然,在小變形時,此桿的變形將由P引起的軸向壓縮變形和由 My=Pzp=Pesinj及 Mz=Pyp=Pecosj 引起的斜彎曲的組合。 在圖示坐標系下,桿內(nèi)任一橫截面nn

14、上任一點C(y,z)處的正應力(s=sx)為: (注:P為拉力時為正)引入 Iy=Ai2y;Iz=Ai2z(iy,iz分別為截面A對y軸和z軸的慣性半徑),則:8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compression. Core of SectionII,偏心拉伸(壓縮)(Eccentric Tension or Compression) 此為關于(y，z)的平面方程。其與橫截面的交線(直線)為中性軸(其上s0,截面產(chǎn)生繞此軸轉動的變形)。故中性軸滿足下列方程: 其中(yp,zP)為偏心載荷作用點的坐標。(y0,z0)為中性軸坐標?？梢娭行暂S為一條

15、不通過形心的直線(因形心O(0,0)不滿足此方程)。(z0=0,y0=ay)(y0=0,z0=az)中性軸在y軸上的截距為:中性軸在z軸上的截距為: 因為ay與yp異號,az與zp異號。故中性軸與外力作用點D(yp,zp)分別處于截面形心的對應兩異側。以中性軸分界,偏心受拉時,與P同側的點產(chǎn)生拉應力,而異側點產(chǎn)生壓應力。偏心拉(壓)時的強度條件為:slmaxslsamaxsa 在求偏心拉(壓)桿的最大正應力時,對橫截面有棱角的等直桿,可根據(jù)受力圖,直接判定危險點(必定在某棱角點),再按下式計算之。例題8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compres

16、sion. Core of SectionII,偏心拉伸(壓縮)(Eccentric Tension or Compression)8-3 解：由于此角鋼截面為非對稱截面，為了求出斜桿內(nèi)的最大拉應力，應先從型鋼規(guī)格表中查出此角鋼截面的形心主慣性軸位置及其它有關數(shù)據(jù)。為了確定最大拉應力所在點的位置，還要由公式(8-5)確定中性軸的位置。由型鋼規(guī)格表查得：yC=21.3mm, zC=31.2mmtana=0.622 (即：a=31.9o)中性軸在y0軸上的截距為:中性軸在z0軸上的截距為: 按截距畫出中性軸nn如圖所示。由圖可見截面拉應力區(qū)中的B點離中性軸最遠，該點即為最大拉應力所在點，其坐標為:

17、 根據(jù)截面周邊的坐標,由(85)式我們即可求出截面核心。下面舉例說明(按外力作用在截面核心邊界上時,與之相對應的中性軸就正好與截面的外周邊相切來確定):圓形截面:由極點對稱性,我們可以推斷:圓形截面的截面核心一定是一個以形心為圓心的小圓,其半徑: 可見當脆性材料偏心受壓時,因其抗拉能力很差,為使其整個橫截面只存在壓應力,就應該將偏心載荷限制在形心附近的一個區(qū)域內(nèi),以使中性軸最多與橫截面周邊相切。這一偏心荷載作用的限制區(qū)域叫截面核心(Core of Section) 。偏心荷載作用在此區(qū)域內(nèi),此直桿的橫截面將全部為同號的正應力。由(8-5)我們可得:8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Ecce

18、ntric Tension or Compression. Core of SectionIII,截面核心(Core of Section)(z0=0,y0=ay)(y0=0,z0=az) 由(8-5)式知當yp ,zp滿夠小時,ay,az將很大。因此對給定的橫截面,隨著外力P的作用點D(yp,zy)向形心O(0,0)靠近,中性軸將離形心越來越遠,最后使中性軸不穿過截面。當中性軸為AB繞B點轉到BC時,B(h/2,-b/2)恒為中性軸上的點。故由(84)知(yp,zp)應滿足下列方程:8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compression. Co

19、re of SectionIII,截面核心(Core of Section)即:截面核心圓直徑為對應圓截面直徑的14。同理,對圓環(huán)形截面: (外半徑為R,內(nèi)半徑為r)矩形截面:當中性軸為AB時: ay=h/2, az =,故:(對應1點)當中性軸為BC時: ay=,az =-b/2,故:(對應2點)此為關于(yp,zp)的直線方程,即1-2線。由對稱關系知矩形的截面核心為圖示菱形。即:當中性軸繞定點B轉動時,偏心力P作用點K沿直線移動。反之亦成立。8-3II 偏心拉伸(壓縮).截面核心Eccentric Tension or Compression. Core of SectionIII,截面

20、核心(Core of Section)AEDCBFzy333555444222111 注意:對有內(nèi)凹角的截面,如下圖,不能選BC(orCD)為中性軸(因為此時中性軸將會與截面相截,產(chǎn)生異號應力)。而應選BD為中性軸來確定截面核心。需要特別強調(diào)指出的是: 求截面核心時必須以形心主軸為坐標軸。因為(84)式只在形心主軸坐標系下才成立。 截面核心不但對粗短柱的偏心壓縮很重要,對薄壁桿件偏心拉伸時也有用處。因薄壁桿件鋼桿偏心拉伸時,如果截面內(nèi)存在壓應力時,容易使桿件受壓區(qū)產(chǎn)生局部失穩(wěn)彎折(翹曲)。故常要求偏心拉力作用在截面核心以內(nèi),以保證全截面上不存在壓應力。b例題8-6 試確定T字形截面的截面核心。

21、圖中y、z兩軸為截面的形心主慣性軸。解：首先求出截面的有關幾何性質：b 注意到對圓軸:Iy=Iz=Il 所以任一形心軸均為主軸。故只需確定圓軸的最大彎矩:8-4 圓軸的彎扭組合Combination of Torsion and Bending for ShiftsMtT 當圓軸上同時存在扭轉和彎曲時,同樣可分別計算再疊加,但需注意以下幾點:因圓軸上無角點,當xy平面和xz平面分別作用有外載時,不能直接用矩形(等等)截面的斜彎曲公式:計算最大彎曲應力。因為,對圓截面,兩者不發(fā)生在同一點！由 即可求得軸上的最大彎曲正應力。最大彎曲正應力作用點的應力狀態(tài)如圖:故其強度條件(圓軸為塑性材料時)為:o

22、r注意到:而:,故:代入前兩式,得:8-4 圓軸的彎扭組合Combination of Torsion and Bending for ShiftTABtTtTQABtFs注意到:易得:同一截面的彎曲剪應力tFs和扭轉剪應力tT有同方向的點,故可以代數(shù)相加。如圖: (中性軸上A點,此點sM=0,為純剪切)。實際上tmax通常很小,可不對其進行強度計算。(1)組合變形構件的強度問題復合抗力是工程中常見的構件實際強度問題。本章以力的獨立作用原理疊加原理為基礎。故一般僅適用于在線彈性、小變形范圍內(nèi)工作的構件。而且對力的耦合效應使桿件的實際變形大于力獨立作用,然后疊加所得變形的問題如壓彎組合(包括偏心受壓),應要求桿件的對應剛度足夠大,以使耦合效應與主效應相比可以忽略不計(如對壓彎疊加,要求桿件為小柔度桿)。(2)在分析外力對于某一桿件所引起的內(nèi)力時,只要外力不是直接作用在所研究的截面附近,都可以用其等效力系