屆北京市第四中學(xué)高三第二學(xué)期統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題解析

1、2020屆北京市第四中學(xué)高三第二學(xué)期統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題）1tan570=（33C33AB-D332【答案】A【解析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可【詳解】tan570=tan（360+210）=tan210=tan（180+30）=tan30=33應(yīng)選：A【點睛】此題考察三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考察誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2已知等比數(shù)列an知足a13，a1a3a521，則a3a5a7（）A21B42C63D84【答案】B【解析】由a1+a3+a5=21得a1(1q2q4)211q2q47q222(a1a3a5)22142，選B.a+a+a=q3573下列選項中，說法正確的選

2、項是（）A“x0R，x02x00”的否認(rèn)是“x0R，x02x0”B若向量rrrrrr，知足ab0，則a與b的夾角為鈍角abC若am2bm2，則abDxAUB”是“xAIB”的必要條件“【答案】D【解析】對于A根據(jù)命題的否認(rèn)可得：“?x0R，x02-x00的”否認(rèn)是“?xR，x2-x0”，第1頁共20頁B若向量rrrrrr的夾角為鈍角或平角；對于C即可判斷出；對于，知足ab0，則a與bab當(dāng)m=0時，知足am2bm2，可是ab不一定成立；對于D根據(jù)元素與會合的關(guān)系即可做出判斷【詳解】選項A根據(jù)命題的否認(rèn)可得：“?x0R，x02-x00的”否認(rèn)是“?xR，x2-x0”，因此A不正確；選項B若向量r

3、r知足rr，則r與r的夾角為鈍角或平角，因此不正確.，ab0abab選項C當(dāng)m=0時,知足am2bm2，可是ab不一定成立，因此不正確；選項D若“xAIB”，則xA且xB，所以一定能夠推出“xAUB”，因此“xAUB”是“xAIB”的必要條件，故正確.應(yīng)選：D.【點睛】此題考察命題的真假判斷與應(yīng)用，波及知識點有含有量詞的命題的否認(rèn)、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、會合性質(zhì)等，屬于簡單題.114已知a0bab=1，若=a，b，則的最小值是（），0，+abA3B4C5D6【答案】C【解析】根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】a0，b0，a+b=1，a1b1111125abab

4、ab，2當(dāng)且僅當(dāng)ab1時取“”號2答案：C【點睛】此題考察基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ甲C等號可否成立，屬于基礎(chǔ)題.第2頁共20頁5某四棱錐的三視圖如下列圖，該幾何體的體積是（）A8B84C4D33【答案】D【解析】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，聯(lián)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱PA底面ABCD的四棱錐，如下列圖：聯(lián)合圖中數(shù)據(jù)知，該四

5、棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，四棱錐的體積為12224V2.33應(yīng)選：D.【點睛】此題考察由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確還原幾何體是解題的重點，考察空間想象能力屬于中等題.6函數(shù)ytanxuuuruuuruuur的部分圖象如下列圖，則OAOBAB（）42第3頁共20頁A6B5C4D3【答案】A【解析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果【詳解】由圖象得,令ytanx=0,即x=k，kZ4242k=0時解得x=2，令ytanx=1,即x2，解得x=3，4244A(2,0),B(3,1)，uuur2,0uuuruuur1,1O

6、A,OB3,1,AB，uuuruuuruuur5,11,1516.OAOBAB應(yīng)選：A.【點睛】此題考察正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，可是難度不大，解題重點是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡單題.7易系辭上有“河出圖，洛出版”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為的概率為第4頁共20頁A1682BC25D5255【答案】A【解析】陽數(shù)：1,3,5,7,9，陰數(shù)：2,4,6,8,1

7、0，然后解析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù)：1,3,5,7,9，陰數(shù)：2,4,6,8,10，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：5525個，知足差的絕對值為5的有：1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5個，51則P.255應(yīng)選：A.【點睛】此題考察實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：目標(biāo)事件的個數(shù)P.基本本事件的總個數(shù)8已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線y22px,(p0)的準(zhǔn)線分別交于點、，O為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為3，則p=（）3A1BC2D32【答案】C【解析】試題解析：拋物線y22px,(p

8、0)的準(zhǔn)線為x2，雙曲線的離心率為則e2c2b2212=4，aa第5頁共20頁b3，漸近線方程為y3x，求出交點A(p,3p)，B(p,3p)，a2222SAOB13p2p3p23，則p2；選C24【考點】1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；9在ABC中，a,b,c分別為A,B,C所對的邊，若函數(shù)fx1x3bx2a2c2acx31有極值點，則DB的范圍是（）A0,B0,33C,D,33【答案】D【解析】試題解析：由已知可得fxx22bxa2c2ac0有兩個不等實根4b24a2c2ac0a2c2b2aca2c2b21cosB2acB2,.3【考點】1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方

9、法點晴】此題考察余弦定理，函數(shù)的極值，波及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形聯(lián)合思想和轉(zhuǎn)變化歸思想，考察邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)變能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)變化歸思想將原命題轉(zhuǎn)變?yōu)閒xx22bxa2c2ac0有兩個不等實根，進(jìn)而可得4b24a2c2ac0a2c2b2accosBa2c2b21B2ac2,.310單位正方體ABCD-A1B1C1D1，黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”白螞蟻爬地的路線是AA1A1D1，黑螞蟻爬行的路線是第6頁共20頁ABBB1，它們都按照如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN）.設(shè)白、黑螞蟻都

10、走完2020段后各自停止在正方體的某個極點處，這時黑、白兩螞蟻的距離是（）A1B2C3D0【答案】B【解析】根據(jù)規(guī)則，察看黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，獲得每爬6步回到起點，周期為6計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是抵達(dá)哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是抵達(dá)哪個點，即可計算出它們的距離【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA111111CCBBA，ADDCC即過6段后又回到起點，能夠看作以6為周期，由20206336L4，白螞蟻爬完2020段后到回到C點；同理,黑螞蟻爬行路線為ABBB1B1C1C1D1D1DDA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點，所以它們此時的距離為2.應(yīng)選B.【點睛

11、】此題考察多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考察空間想象與推理能力，屬于中等.二、填空題11某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如下列圖，若甲組5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81，乙組5名第7頁共20頁同學(xué)成績的中位數(shù)為73，則x-y的值為_【答案】3【解析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，聯(lián)合平均數(shù)與中位數(shù)的觀點，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為1(727780 x8690)81，5解得x0；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則y3；xy033.故答案為：3.【點睛】此題考察莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù)，考察數(shù)據(jù)

12、解析能力，屬于簡單題.12在2x21x5的二項展開式中，x的系數(shù)為_（用數(shù)值作答）【答案】-40Tr1C5r25rr【解析】由題意，可先由公式得出二項展開式的通項1x103r，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】152x2的二項展開式的通項公式為x5r1rrTr1C5r2x2C5r25r1x103r，xr=0，1，2，3，4，5，令103r1,r3，153所以2x2x項的系數(shù)為C5322的二項展開式中1=40.x第8頁共20頁故答案為：-40.【點睛】此題考察二項式定理的應(yīng)用，解題重點是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎(chǔ).13直線xsiny20的傾斜角的取值范圍是_3【

13、答案】0,44【解析】因為sin1，1，所以sin1，1，所以已知直線的斜率范圍為1，1，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是30,4,4答案：0,3,4414已知x0，y211，若x2ym22m恒成立，則實數(shù)m的取0，且yx值范圍是_【答案】（-4，2）【解析】試題解析：因為x2y(x2y)(21)4+4yx424yx8當(dāng)xyxyxy且僅當(dāng)x2y時取等號，所以m22m84m2【考點】基本不等式求最值15已知函數(shù)fxAcos2x1A0,的最大值為3，2fx的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為0,2，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f1f2f2015【答案】4030【解析】f(x)Acos2(x)1Acos(2

14、x2)A1，由題意，得22第9頁共20頁A13f(0)Acos2A10,22T222A2解得，則f(x)cos(x)22sinx的周期為4，且42224f(0)2,f(1)1,f(2)2,f(3)3，所以f(1)f(2)f(3)f(2015)5038f(1)f(2)f(3)4030.【考點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).三、解答題16已知如圖1，在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D為AC中點，AEBD于E，延伸AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（）求證：AE平面BCD；（）求二面角A-DC-B的余弦值；（）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比

15、（只要寫出結(jié)果，不要求過程）【答案】（）證明看法析；（）5；（）1:55【解析】（）由平面ABD平面BCD，交線為BD，AEBD于E，能證明AE平面BCD;（）以E為坐標(biāo)原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，成立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法求出二面角的余弦值（）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積，再作比寫出答第10頁共20頁案即可【詳解】（）證明：平面ABD平面BCD，交線為BD，又在ABD中，AEBD于E，AE?平面ABD，AE平面BCD（）由（1）知AE平面BCD，AEEF，由題意知EFBD，又AEBD，如圖，以E為坐標(biāo)原點，分別以EF

16、、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，成立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，AB=BD=DC=AD=2，則BE=ED=1，AE=3，BC=23，BF=3，3則E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，3），F(xiàn)（3，0，0），C（3，2，0），3uuuruuur0,1,3，DC3,1,0，AD由AE平面BCD知平面BCD的一個法向量為r(x,y,z)，設(shè)平面ADC的一個法向量nuuurEA0,0,3，vuuuv3xy0rnDC則vuuuvy3z0，取x=1，得n(1,3,1)，nAD第11頁共20頁ruuurruuur5nEA=cosn,EAruuur，nEA5二面角A-DC

17、-B的平面角為銳角，故余弦值為55（）三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為：1:5.【點睛】此題考察線面垂直的證明、幾何體體積計算、二面角相關(guān)的立體幾何綜合題，屬于中等.17已知函數(shù)f(x)sin(x)（0，|）知足下列3個條件中的2個條2件：函數(shù)f(x)的周期為；x是函數(shù)f(x)的對稱軸；6f0且在區(qū)間6,上單一.42（）請指出這二個條件，并求出函數(shù)f(x)的解析式；（）若x0,，求函數(shù)f(x)的值域.3【答案】（）只有成立，f(x)sin2x；（）1,1.62【解析】（）依次議論成立，成立，成立，計算獲得只有成立，得到答案.（）0 x獲得2x566，獲得函數(shù)值域.36【詳解】（

18、）由可得，22；由得：6k2k，26kZ；由得，mm，mZ，44T2203；22633若成立，則2，2x，6，f(x)sin6若成立，則m4m，mZ，不合題意，2第12頁共20頁若成立，則k2m12(mk)66，m,kZ，64與中的03矛盾，所以不可立，所以只有成立，f(x)sin2x.6（）由題意得，0 x2x51f(x)1，36626所以函數(shù)f(x)的值域為1,1.2【點睛】此題考察了三角函數(shù)的周期，對稱軸，單一性，值域，表達(dá)式，意在考察學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.18某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生破壞時，需要送維修處維修工廠規(guī)定當(dāng)日破壞的元件A在第二天清晨8

19、：30以前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須達(dá)成所有破壞元件A的維修工作每個工人獨立維修A元件需要時間相同維修處記錄了某月從1日到20日每日維修元件A的個數(shù)，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)采用一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)（）求X的散布列與數(shù)學(xué)希望；（）若a，bN*，且b-a=6，求PaXb最大值；（）當(dāng)前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每日維修元件A的個數(shù)的

20、數(shù)學(xué)希望不超過4個，最少需要增加幾名維修工人？（只要寫出結(jié)論）第13頁共20頁【答案】（）散布列看法析，EX15；()3；()最少增加2人.4【解析】（）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，獲得X的分布列，然后求解希望即可（）當(dāng)P（aXb）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（aXb）的最大值即可（）利用前兩問的結(jié)果，判斷最少增加2人【詳解】()X的取值為：9，12，15，18，24；PX93,PX125,PX157,202020PX182,PX243，2020的散布列為：X91215182435723P2020202020故X的數(shù)學(xué)希望312572243EX9

21、20151815；20202020()當(dāng)P(aXb)取到最大值時,a9a12a18a,b的值可能為：,或,或b.b15b1824經(jīng)計算P(9X15)15,P(12X18)14,P(18X24)5，202020所以P(aXb)的最大值為153.204()最少增加2人.【點睛】此題考察離散型隨機(jī)變量及其散布列，離散型隨機(jī)變量的希望與方差，屬于中等題.19已知點P12，到拋物線C：y2=2pxp0準(zhǔn)線的距離為2（）求C的方程及焦點F的坐標(biāo)；（）設(shè)點P對于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點第14頁共20頁A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求MFNF的值【答案】()

22、C的方程為y24x,焦點F的坐標(biāo)為(1,0)；（）2【解析】（）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標(biāo)；（）設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(-1,-2)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)-2(k0)，與拋物線聯(lián)立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)變求解|MF|?|NF|的值【詳解】p2，所以p=2.()由已知得12所以拋物線C的方程為y24x,焦點F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(-1,-2)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+

23、1)-2(k0).y24x得ky24y4k80由kx，y12則y1y24,y1y248.kk因為點A,B在拋物線C上,所以y24x,y24x,1122kPAy12y124y224x1y12y2,kPB.111x21y224因為PFx軸，第15頁共20頁所以MFPFPF4y12y22NFkPBkPAkPB4kPA488y1y22y1y244kk，442所以|MF|?|NF|的值為2.【點睛】此題考察拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問題，常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來求解，此題解題重點是找出弦長與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中等題.1e20設(shè)函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=x，其中aR

24、，e=2.718為自然對數(shù)的xe底數(shù).（）議論f（x）的單一性；（）證明：當(dāng)x1時，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立.【答案】（）當(dāng)x（0,1f(x)0，f(x)單一遞減；當(dāng)x（1，)時，+)時，2a2af(x)0，f(x)單一遞增；（）詳看法析；（）a1，+).2【解析】試題解析：此題考察導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單一性，解決恒成立問題，考察學(xué)生的解析問題、解決問題的能力和計算能力.第（）問，對f(x)求導(dǎo)，再對a進(jìn)行議論，判斷函數(shù)的單一性；第（）問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單一性，進(jìn)而證明結(jié)論，第（）問，結(jié)構(gòu)函數(shù)h(x)=f(x)g(x)（x1

25、），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求解a的值.試題解析：（）f(x)2ax12ax21(x0).xx當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)在（0，+）內(nèi)單一遞減.當(dāng)a0時，由f(x)=0有x1.ax（0,1)時，f(x)0，f(x)單一遞減；2a1當(dāng)x（，+)時，f(x)0，f(x)單一遞增.第16頁共20頁（）令s(x)=ex1x，則s(x)=ex11.當(dāng)x1時，s(x)0，所以x1，進(jìn)而g(x)110.ex=ex1x（）由（），當(dāng)x1時，g(x)0.當(dāng)a0，x1時，f(x)=a(x21)lnx0.故當(dāng)f(x)g(x)在區(qū)間（1，+)內(nèi)恒成馬上，必有a0.當(dāng)0111.a時，22a由（）有f(

26、1f(1)0,g(10，)2a而2a所以此時f(x)g(x)在區(qū)間（1，+)內(nèi)不恒成立.當(dāng)a1f(x)g(x)（x1）.時，令h(x)=2當(dāng)x1時，h(x)=2ax111x111x32x1x22x10.xx2exxx2x2xx2因此，h(x)在區(qū)間（1，+)單一遞增.又因為h(1)=0，所以當(dāng)x1時，h(x)=f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立.綜上，a1，+).2【考點】導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單一性，解決恒成立問題【名師點睛】此題考察導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單一性，解決恒成立問題，考察學(xué)生的解析問題、解決問題的能力和計算能力求函數(shù)的單一性，基本方法是求f(x)，解方程f(

27、x)0，再經(jīng)過f(x)的正負(fù)確定f(x)的單一性；要證明不等式f(x)g(x)，一般證明f(x)g(x)的最小值大于0，為此要研究函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單一性此題中注意由于函數(shù)h(x)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學(xué)生不易想到，有一定的難度21如圖，設(shè)A是由nn個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aij(i，j=1，2，3，n)表示位于第i行第j列的實數(shù)，且a，n)為所有這樣的數(shù)表組成的集1，-1.記S(nij第17頁共20頁合對于An，n，記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積，cj(A)為A的第j列各數(shù)之積令nnlAriAcjAi1j1a11a12a1na21a22a2nan1an2ann（）請寫出一個AS(4，4)，使得l(A)=0；（）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明原因；（）給定正整數(shù)n，對于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值會合【答案】（）答案看法析；（）不存在，原因看法析；（）2(n2k)|k0,1,2,n【解析】（）可取第一行都為-1，其余的都取1，即知足題意；（）用反證法證明：假定存在，得出矛盾，進(jìn)而證明結(jié)論；（）經(jīng)過解析正確得出l(A)的表達(dá)式，以及從A0怎樣獲得12A，A，以此類推可獲