初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型

1、中學(xué)數(shù)學(xué)幾何模型大全 全等變換+ 經(jīng)典題型（含答案）平移：平行等線段（平行四邊形）對(duì)稱：角平分線或垂直或半角 旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱全等模型說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線,形成對(duì)稱全等；兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換,產(chǎn)生聯(lián)系；垂直 也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等；第 1 頁 共 44 頁對(duì)稱半角模型說明：上圖依次是 45 、30 、22.5 、15 及有一個(gè)角是 30 直角三角形的對(duì)稱（翻折）,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等；旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含 1/2 角及相鄰線段自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段,需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段,直

2、接查找旋轉(zhuǎn)全等中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題第 2 頁 共 44 頁旋轉(zhuǎn)半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特點(diǎn)是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角,通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起,成對(duì)稱全等；自旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造方法：遇 60 度旋 60 度,造等邊三角形遇 90 度旋 90 度,造等腰直角第 3 頁 共 44 頁遇等腰旋頂點(diǎn),造旋轉(zhuǎn)全等 遇中點(diǎn)旋 180 度,造中心對(duì)稱第 4 頁 共 44 頁共旋轉(zhuǎn)模型說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形,第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考察的內(nèi)容；通過“8” 字模型可以證明；模型變形第 5 頁 共 44 頁說明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變

3、 化,另外是等腰直角三角形與正方形的混用；第 6 頁 共 44 頁當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí),先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn), 圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段,分組組成三角形證全等；中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：說明：兩個(gè)正方形、 兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形；證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直 角三角形的始終角邊, 轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn),通過證明旋轉(zhuǎn)全等 三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證；第 7 頁 共 44 頁幾何最值模型 對(duì)稱最值 兩點(diǎn)

4、間線段最短 對(duì)稱最值 點(diǎn)到直線垂線段最短 第 8 頁 共 44 頁說明：通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換,離；旋轉(zhuǎn)最值 共線有最值 轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段,定長(zhǎng)線段的和為最大值,定長(zhǎng)線段的差為最小值；剪拼模型第 9 頁 共 44 頁三角形四邊形四邊形四邊形說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的 狀；180 度旋轉(zhuǎn)及平移轉(zhuǎn)變圖形的形第 10 頁 共 44 頁矩形正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長(zhǎng),狀轉(zhuǎn)變通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形第 11 頁 共 44 頁正方形 + 等腰直角三角形正方形面積等分旋轉(zhuǎn)相像模型第 12 頁 共 44 頁說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等,

5、兩個(gè)有一個(gè)角是 300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相像；推廣：兩個(gè)任意相像三角形旋轉(zhuǎn)成確定角度,成旋轉(zhuǎn)相像；第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8” 字的規(guī)律；相像模型第 13 頁 共 44 頁說明：留意邊和角的對(duì)應(yīng), 相等線段或者相等比值在證明相像中 起到通過等量代換來構(gòu)造相像三角形的作用；說明：（ 1）三垂直到一線三等角的演化,三等角以 30 度、 45 度、 60 度形式顯現(xiàn)的居多；（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演化,留意之間的相同與 不同之處；另外,相像、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓第 14 頁 共 44 頁冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積,通過等線段、等比值、等 乘積進(jìn)行代換,進(jìn)行證明得到需要

6、的結(jié)論；說明：相像證明中最常用的幫忙線是做平行,者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線；第 15 頁 共 44 頁依據(jù)題目的條件或第 16 頁 共 44 頁第 17 頁 共 44 頁第 18 頁 共 44 頁第 19 頁 共 44 頁第 20 頁 共 44 頁第 21 頁 共 44 頁中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附答案）經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖, O 是半圓的圓心, C、E 是圓上的兩點(diǎn), CDAB ,EFAB ,EGCO第 22 頁 共 44 頁求證： CDGF（初二）ACGOFEBD2、已知：如圖,P 是正方形 ABCD 內(nèi)點(diǎn),PAD PDA 150求證： PBC 是正三角形（初二）A D PB C3、

7、如圖,已知四邊形 ABCD 、A 1B 1C1D 1 都是正方形, A 2、B2、C2、D 2 分別是 AA 1、BB 1、CC1、DD 1 的中點(diǎn)求證：四邊形 A 2B2C2D 2 是正方形（初二）第 23 頁 共 44 頁AA2A1D2DD1B1C1BB2C2C4、已知：如圖,在四邊形ABCD 中,AD BC,M 、N 分別是AB 、CD 的中點(diǎn),AD 、BC 的延長(zhǎng)線交 MN 求證：DEN F于 E、FFEN CD經(jīng) 典難題（二）AMB1、已知： ABC 中,H 為垂心（各邊高線的交點(diǎn)） ,O 為外心,且 OM BC 于 M （1）求證： AH 2OM ；（2）如BAC 600,求證：

8、AH AO （初二）AOHEBMDC第 24 頁 共 44 頁2、設(shè) MN 是圓 O 外始終線,過 O 作 OA MN 于 A ,自 A 引 圓的兩條直線, 交圓于 B 、C 及 D、E,直線 EB 及 CD 分別交MN 于 P、QMCPBGDEQN求證： AP AQ （初二）OA3、假如上題把直線 題：MN 由圓外平移至圓內(nèi), 就由此可得以下命設(shè) MN是圓 O 的弦,過 MN的中點(diǎn) A 任作兩弦 BC、DE,設(shè) CD、EB 分別交 MN 于 P、Q求證： AP AQ （初二）MCEQNAP OBD第 25 頁 共 44 頁4、如圖,分別以 ABC 的 AC 和 BC 為一邊,在 ABC 的外

9、側(cè) 作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ,點(diǎn) P 是 EF 的中點(diǎn)求證：點(diǎn) P 到邊 AB 的距離等于 AB 的一半（初二）D G經(jīng) 典難EACBF題（三）PQ1、如圖,四邊形 ABCD 為正方形, DE AC,AEAC ,AE 與 CD 相交于 F求證： CECF（初二）AFDEBC第 26 頁 共 44 頁2、如圖,四邊形 ABCD 為正方形, DE AC ,且 CECA ,直 線 EC 交 DA 延長(zhǎng)線于 F求證： AEAF（初二）FADBCE3、設(shè) P 是正方形ABCD一邊 BC 上的任一點(diǎn), PFAP ,CF平分DCE求證： PAPF（初二）ADFBPCE4、如圖, PC 切圓

10、O 于 C,AC 為圓的直徑, PEF 為圓的割線,AE、AF 與直線 PO 相交于 B、D求證：AB DC ,BCAD （初A 第 27 頁 共 44 頁 B O D P三）經(jīng) 典難題（四）1、已知： ABC 是正三角形, P 是三角形內(nèi)一點(diǎn), PA3,PB4,PC5求：APB 的度數(shù)（初二）AP2、設(shè) P 是平行四邊形ABCD 內(nèi)部的一點(diǎn),且 PBA PDA 求證：PAB PCB（初二）DBCAP3、設(shè) ABCDBC為圓內(nèi)接凸四邊形,求證：AB CD AD BCAC BD （初三）A D第 28 頁 共 44 頁 B C4、平行四邊形 ABCD 中,設(shè) E、F 分別是 BC、AB 上的一點(diǎn)

11、,AE 與 CF 相交于 P,且 AECF求證： DPA DPC （初二）A D F經(jīng) 典難題（五）BPEC1、設(shè) P 是邊長(zhǎng)為 1 的正 ABC 內(nèi)任一點(diǎn), LPA PB PC,求證：L22、已知： P 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn),求 PAPBPC 的最小值BACADPCPB 第 29 頁 共 44 頁3、P 為正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn),并且PAa,PB2a ,PCAD3a ,求正方形的邊長(zhǎng)PCB4、如圖, ABC 中,ABC ACB 800,D、E 分別是 AB 、AC 上的點(diǎn), DCA 300,EBA 200,求BED 的度數(shù)ADEB C經(jīng) 典難題（一）第 30 頁 共

12、 44 頁1. 如下圖做 GH AB, 連接 EO；由于 GOFE 四點(diǎn)共圓,所以GFH OEG, 即 GHF OGE, 可 得GF= GO GH=CO CD, 又CO=EO , 所 以CD=GF 得證；2. 如下圖做 DGC 使與 ADP 而可得全等,可得 PDG 為等邊 ,從DGC APD CGP,得出PC=AD=DC,和DCG= PCG150 所以DCP=300 ,從而得出 PBC 是正三角形第 31 頁 共 44 頁3. 如下圖連接 BC 1 和 AB 1 分別找其中點(diǎn) 延長(zhǎng)相交于 Q 點(diǎn),F,E.連接 C2F 與 A 2E 并連接 EB2 并延長(zhǎng)交 C2Q 于 H 點(diǎn),連接 FB2

13、并延長(zhǎng)交 A 2Q 于 G 點(diǎn),由 A 2E= 2 A1B1= 1 2 B1C1= FB2 ,EB2= 2 AB= 2 BC=FC1 ,又GFQ+ Q=90 0 和GEB2+ Q=90 0,所以GEB 2= GFQ 又B2FC2= A 2EB2 ,可得 B2FC2A 2EB2 ,所以 A 2B2=B 2C2 ,又GFQ+ HB 2F=900和GFQ= EB2A 2 , 從而可得 A 2B2 C2=90 0 ,同理可得其他邊垂直且相等,從而得出四邊形 A 2B2C2D 2 是正方形；第 32 頁 共 44 頁4. 如下圖連接 AC 并取其中點(diǎn) Q,連接 QN 和 QM ,所以可得QMF= F,Q

14、NM=DEN 和QMN=QNM ,從而得出DEN F；經(jīng) 典難題（二）1.1 延長(zhǎng) AD 到 F 連 BF,做 OG AF, 又F= ACB= BHD ,可得 BH=BF, 從而可得 HD=DF ,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2GH+HD=2OM 2 連接 OB ,OC, 既得BOC=120 0,從而可得 BOM=60 0, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得證；第 33 頁 共 44 頁3. 作 OFCD,OG BE,連接 OP,OA ,OF ,AF,OG ,AG ,OQ ；由于AD=AC=CD=2FD=FD,ABAEBE2BGBG由此可得 ADF ABG ,從而可得

15、AFC= AGE ；又由于 PFOA 與 QGOA 四點(diǎn)共圓,可得 AFC= AOP 和AGE= AOQ ,AOP= AOQ ,從而可得 AP=AQ ；第 34 頁 共 44 頁4. 過 E,C,F 點(diǎn)分別作 AB 所在直線的高EG+FH；2EG,CI,FH ；可得 PQ=由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由BFH CBI ,可得 FH=BI ；從而可得 PQ= AI+BI= AB ,從而得證；22經(jīng) 典難題（三）1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ADE ,到 ABG ,連接 CG. 第 35 頁 共 44 頁由于ABG= ADE=900+45 0=1350從而可得 B,G,D 在一條直線上,可得AG

16、B CGB ；推出 AE=AG=AC=GC,可得 AGC 為等邊三角形；AGB=30 0,既得EAC=30 0,從而可得 A EC=75 0；又EFC= DFA=45 0+30 0=75 0. 可證： CE=CF ；2. 連接 BD 作 CH DE,可得四邊形 由 AC=CE=2GC=2CH,CGDH 是正方形；可得CEH=30 0,所以CAE= CEA= AED=15 0,又FAE=90 0+45 0+15 0=150 0,從而可知道 F=150,從而得出 AE=AF ；第 36 頁 共 44 頁3. 作 FGCD,FEBE,可以得出 GFEC 為正方形；令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z

17、 ,可得 PC=Y-X ；2+XZ ,tan BAP=tanEPF=X Y=Y-Z+Z,可得 YZ=XY-XX即 ZY-X=XY-X ,既得 X=Z ,得出 ABP PEF ,得到 PA PF ,得證；第 37 頁 共 44 頁經(jīng) 典難題（四）1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP 600,連接 PQ ,就 PBQ 是正三角形；可得 PQC 是直角三角形；所以APB=150 0 ；2. 作過 P 點(diǎn)平行于 AD 的直線,并選一點(diǎn) PC. E,使 AE DC ,BE可以得出ABP= ADP= AEP,可得：AEBP 共圓（一邊所對(duì)兩角相等） ；可得BAP= BEP= BCP,得證；第 38 頁 共 44 頁3

18、. 在 BD 取一點(diǎn) E,使BCE= ACD ,既得 BECADC ,可得：BE BC=AD AC,即 AD BC=BE AC,又ACB= DCE,可得 ABC DEC ,既得AB AC=DE DC,即 AB CD=DE AC, BD ,得由 + 可得 : AB CD+AD BC=ACBE+DE= AC證；4. 過 D 作 AQ AE ,AG CF ,由SVADE=SYABCD=SVDFC,可得：2AE PQ=AE PQ,由 AE=FC ；22可得 DQ=DG ,可得DPA DPC （角平分線逆定理） ；第 39 頁 共 44 頁經(jīng) 典難題（五）1. （1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 600,可得 PBE 為等邊三角形；既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ,PE,EF 在一條直線上,即