高等代數(shù)(北大)第9章習(xí)題參考答案

1、高等代數(shù)(北大版)第9章習(xí)題參照答案高等代數(shù)(北大版)第9章習(xí)題參照答案36/36高等代數(shù)(北大版)第9章習(xí)題參照答案第九章歐氏空間1.設(shè)aij是一個n階正定矩陣,而(x1,x2,xn),(y1,y2,yn),在Rn中定義內(nèi)積(,),證明在這個定義之下,Rn成一歐氏空間；求單位向量1(1,0,0),2(0,1,0),n(0,0,1)，的胸懷矩陣；3)詳細(xì)寫出這個空間中的柯西布濕柯夫斯基不等式。n解1)易見(,)是R上的一個二元實函數(shù)，且(1)(,)()(,)，(2)(k,)(k)k()k(,)，(3)(,)()(,)(,)，(4)(,)aijxiyj，i,j因為A是正定矩陣，所以i,jaijx

2、iyj是正定而次型，從而(,)0，且僅當(dāng)0時有(,)0。2)設(shè)單位向量1(1,0,0),2(0,1,0),n(0,0,1)，的胸懷矩陣為B(bij)，則a11a12a1n0bij(i,)(0,1,a22a22a2naijj0)1(j)=，(i,j1,2,n)，(i)an1an2ann0所以有BA。由定義，知(,)aijxiyj(,)aijxixji,j，i,j，故柯西布濕柯夫斯基不等式為aijxiyjaijxixjaijyiyji,ji,ji,j2.在R4中,求,之間設(shè):1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，3)(1,1,1,2),(3,2,1

3、,0)。解1)由定義,得(,)21123(1)210，所以,2。2)因為(,)1321253118，(,)1122223318，(,)3311223336，cos,18218362，所以(,)aijyiyji,j，,(內(nèi)積按平常定義)，4。3)同理可得(,)3,(,)17,(,)3,cos,3，77所以,cos1377。3.d(,)平常為,的距離，證明；d(,)d(,)d(,)。證由距離的定義及三角不等式可得d(,)()()d(,)d(,)。4在R4中求一單位向量與1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。解設(shè)x1,x2,x3,x4與三個已知向量分別正交，得方程組x1x2x3x40

4、x1x2x3x40，2x1x2x33x40因為方程組的系數(shù)矩陣A的秩為3，所以可令x31x14,x20,x43，即4,0,1,3。再將其單位化，則114,0,1,3，a26即為所求。5設(shè)1,2,n是歐氏空間V的一組基，證明：1）假如V使,i0i1,2,n,，那么0。2）假如1,2V使對任一V有1,2,，那么12。證1)因為1,2,n為歐氏空間V的一組基，且對V，有,i01,2,n，所以可設(shè)k11k22knn，且有,k11k22knnk1,1k2,2kn,n即證0。2)由題設(shè)，對任一V總有112,，特別對基i也有11i2,i，或許12,i0i1,2,n，再由1)可得120，即證12。6設(shè)1,2,

5、3是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：1213121313132222222333也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。證因為1,2121223,212239121,2122,23,23914(2)(2)0，9同理可得1,32,30，另一方面1,1121223,212239141,142,23,391(441)1，9同理可得2,23,31，即證1,2,3也是三維歐氏空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。7.設(shè)1,2,3,4,5也是五維歐氏V空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,V1L2,2,3，此中115,2124,32123，求V1的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解第一證明1,2,3線性沒關(guān).事實上，由112011(1,2,3)(1,2,3,4,5

6、)001，010100112011此中A001的秩為3，所以1,2,3線性沒關(guān)。010100將正交化，可得1115，(2,2)1122,1)212425，(1單位化，有12(15)，2210(121031(122則1,2,3為V1的標(biāo)準(zhǔn)正交基。2245)，35)，求齊次線性方程組2x1x2x3x43x50 x1x2x3x50的解空間(作為R5的子空間)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解由x43x52x1x2x3x5x1x2x3可得基礎(chǔ)解系為1(1,0,0,5,1)，2(0,1,0,4,1)，3(0,0,1,4,1)，它就是所求解空間的一組基。將其正交化，可得11(1,0,0,5,1)，233(2,1)11(

7、7,9,0,1,2)，(1,1)9(3,1)(3,2)1(7,6,15,1,2)，(1,1)12(2,2)15再將1,2,3單位化,可得11(1,0,0,5,1)，231(7,9,0,1,2)，331(7,6,15,1,2)，331535則1,2,3就是所求解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。9.在RX4中定義內(nèi)積為(f,g)=11f(x)g(x)dx求RX4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基(由基,2,3出發(fā)生正交化)。解取RX4的一組基為11,2x,3x2,4x3,將其正交化可得111，,22(2,1)1x，此中(2,1)11x?1dx0，又因為(1,1)(3,1)(2,2)11x2dx2，3(1,1)12，(3,2)

8、12?xdx0，11?1dx1x所以(3,1)(3,2)x2133(1,1)1(2,2)2，3同理可得(4,1)(4,2)(4,3)x3344(1,1)1(2,2)2(3,3x，3)5再將1,2,3,4單位化，即得1211，122126，310(3x21)，414(5x33x)，22x44則1,2,3,4即為所求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。10.設(shè)V是一n維歐氏空間,0是V中一固定向量,1)證明:V1x|(x,a)0,xV是V的一個子空間；2)證明:V1的維數(shù)等于n-1。證1)因為00V1,因此V1非空.下邊證明V1對兩種運算關(guān)閉.事實上,任取x1,x2V1,則有(x1,)(x2,)0，于是又有(x1x

9、2,)(x1)(x2)0，所以x1x2V1。另一方面，也有(kx1,)k(x1,)0，即kx1V1。故V1是V的一個子空間。2)因為0是線性沒關(guān)的，可將其擴(kuò)大為V的一組正交基,2,Ln，且(i,)0(i2,3,n)，iV1(i2,3,Ln)。下邊只需證明:對隨意的V1,能夠由2,3,n線性表出，則V1的維數(shù)就是n1。事實上，對隨意的V1，都有V，于是有線性關(guān)系k1k22knn，且(,)k1(,)k2(2,)kn(n,)，但有假定知(,)(i,)0(i1,2,n)，所以k1(,)0，又因為0，故k10，從而有k22knn，再由的隨意性，即證。111）證明：歐氏空間中不一樣基的胸懷矩陣是合同的。2

10、）利用上述結(jié)果證明：任一歐氏空間都存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。證：1）設(shè)1,2,n與1,2,n是歐氏空間V的兩組不一樣基，它們對應(yīng)的胸懷矩陣分別是A(a)和B(b)，其他，設(shè)1,2,n到1,2,n的過渡矩陣為ijij1c111c122c1nnC(cij)，即，ncn11cn22cnnnbij(i,j)(c1i1cnin,c1j1cnjn)n=cki(k,c1j1cnjn)k1nn=k1s1ckicsj(k,s)nn=ckicsiks，k1s1另一方面,令DCA(dij),CACDC(eij)，則D的元素為ndisckiks，1故CAC的元素nnneijdiscsj(ckiks)csjbij(i,j1,2,

11、n)，s1s1n1即證CACB。再由1,2,n;1,2,n,皆為V的基，所以C非退化，從而B與A合同。2）在歐氏空間V中，任取一組基1,2,n，它的胸懷矩陣為A(aij),此中ij(i,j)，且胸懷矩陣A是正定的，又因為正定矩陣與單位矩陣合同，即ECAC。于是只需(1,2,n)(1,2,n)C，則由上邊1）可知基1,2,n的胸懷矩陣為E，這就是說，1,2,n就是所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。12設(shè)1,2,n是n維歐氏空間V中的一組向量，而(1,2,Mm,1)1)1)(1,2,Mm,2)2)2)LLOL(1,2,Mm,m)m)m)證明：當(dāng)且僅當(dāng)0時1,2,m線性沒關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系k11k22kmm0，將其

12、分別與i取內(nèi)積，可得方程組k1(i,1)k2(i,2)km(i,m)0(i1,2,m)，因為上述方程組僅有零解的充要條件是系數(shù)隊列式不等于0，即證。13證明：上三角的正交矩陣必為對角矩陣，且對角線上元素為+1或-1。證設(shè)a11q12a1nb11b12b1nb22b2na22a2nA1A為上三角矩陣，則也是上三annbnn角矩陣。因為A是正交陣，所以A1A，即a11b11b12b1nAa12a22b22b2n，a1na2nannbnn所以aij0(ij)，因此a11Aa22為對角陣。再由AAE,知aii21，即證aii1或-1。ann141）設(shè)A為一個n階矩陣，且A0，證明A能夠分解成A=QT，

13、此中Q是正交矩陣，T是一上三角矩陣t11t12t1nt22t2n，Ttnn且tii0(i1,2,n)，并證明這個分解是獨一的；2)設(shè)A是n階正交矩陣，證明存在一上三角矩陣T，使ATT。證1)設(shè)A的n個列向量是a1,a2.an,因為A0，所以a1,a2,an是線性沒關(guān)的。從而它們也是V的一組基，將其正交單位化，可得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為11111(2,121)2，22(n,1)(n,n1)11n1nnnn此中1122(2,1)1，nn(n,1)(n,n1)n11t1112t121t222，nt1n1t2n2tnnn此中tiii0(i1,2,n)。即t11t12t1nA(1,2,n)(1,2,n)t22

14、t2n，tnnt11t1n令T，則T是上三角矩陣,且主對角線元素tii0。tnn另一方面，因為i是n維列向量，不如記為b1ib2i(i1,2,n)，bni且令b11b1nQ(1,2,n)，bn1bnn則有AQT,因為1,2,n是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，故Q是正交矩陣。再證獨一性，設(shè)AQ1T1QT是兩種分解，此中Q,Q1是正交矩陣，T,T1是主對角線元素大于零的上三角陣，則Q11QT1T1，因為Q11Q是正交矩陣,從而T1T1也是正交矩陣,且T1T1為上三角陣，所以,T1T1是主對角線元為1或-1的對角陣，可是T與T1的主對角線元大于零，所以T1T1的主對角線元只好是1，故T1T1E，即證T1T。從而有

15、QQ1,從而分解是獨一的。2)因為A是正定的，所以A與E合同，即存在可逆陣C使ACC,再由1)知CQT,其中Q是正交矩陣T為三角陣，所以ATQQTTT。15.設(shè)是歐氏空間中一單位向量，定義A2(,)，證明:1)A是正交變換,這樣的正交變換稱為鏡面反射；A是第二類的；3)假如n維歐氏空間中正交變換A以1作為一個特色值,且屬于特色值1的特色子空間V1的維數(shù)為n1，那么A是鏡面反射。證:1),有:A(k1k2)k1k22(,k1k2)k1k22k1(,)2k2(,)k1Ak2A，所以A是線性變換。又因為(A,A)2(,),2(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)，注意到(,)1

16、，故(A,A)(,),此即A是正交變換。2)因為是單位向量，將它擴(kuò)大成歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,2,n,則A2(,)，Ai2(,i)i(i2,3,i,n)1即A(,2,n)(,2,n)1，1所以A是第二類的。3)A的特色值有n個，由已知A有n1個特色值為1，另一個不如設(shè)為0，則存在0一組基1,2,n使A(1,2,n)(1,2,n)1，1因為A是正交變換，所以(1,1)(A1,A1)02(1,1)，但00，所以01，于是A11,Aii(i2,3,n)(1,)0(i2,3,n)現(xiàn)令1，則是單位向量，且與2,n正交，則,2,n為歐氏空間V11的一組基。又因為AA(11)1A11(1)，111k1k2

17、2knnAk1Ak2A2knAnk1k22knn，(,)(k1k22knn,)k1，所以2(,)k1k22knn，即證。16.證明：反對稱實數(shù)矩陣的特色值是零或純虛數(shù)。證:設(shè)是屬于特色值的特色向量，即A，則A(A)A(A)(A)，于是，令abi，可得a0，即證bi。17.求正交矩陣T使TAT成對角形，此中A為220222004100141)2122)2543)100020245414001333111131335)11114)3131111333311111解1）由220EA212142，02可得A的特色值為11,24,32。對應(yīng)的特色向量為12,1,2,22,2,1,31,2,2,將其正交單

18、位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基為122,1,2,3332,2,1,31,2,2,333333故所求正交矩陣為12211T122且TAT4。321222222）由EA2541210，245可得A的特色值為121,310。310的特色向量為11,2,1,121的特色向量為22,1,0,32,1,1,正交化，可得1,2,2,22412,1,0,3,1，55再單位化，有:1于是所求正交矩陣為1112,4,5，1,2,2,22,1,0,33355122353510T214且TAT1。353512053350410145533，3）由EA104140可得A的特色值為15,25,33,43，相應(yīng)的特色向量為11,1,

19、1,1,21,1,1,1，31,1,1,1,41,1,1,1，將其正交單位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基為13故所求正交矩陣為11,1,1,1,211,1,1,1，2211,1,1,1,41,1,1,1，21,1,1,1511,1,1,1AT5T1,1,1,且T。2131,1,1,1313334）由EA3133438，33133331可得A的特色值為18,2344。相應(yīng)的特色向量為11,1,1,1,21,1,0,0，31,0,1,0,41,0,0,1，正交化后得11,1,11,23111,0,42,2,再單位化，可得1,1,0,0，1113,3,1，3,13故所求正交矩陣為1111,21,1,0,0，2,

20、2,2,2221120,41,1,13,233,2，666223311112262381111T22623且TAT4。1021426234100322311115）由EA111134，11111111可得A的特色值為14,2340。相應(yīng)的特色向量為11,1,1,1,231,0,1,0,4將其正交化，可得11,1,1,1,21,1,0,0，1,0,0,1，1,1,0,0，1111132,1,0,43,3,1，2,3,再單位化后，有11111,2110,0，2,2,2,22,2,31,1,2,0,421,21,21,3，66633323故所求正交矩陣為111122623811110T22623且T

21、AT。01021262301003223用正交線性替代化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：1）x122x223x324x1x24x2x3；2）x122222x324x1x24x1x38x2x3；3）2x1x22x3x4；4）x12x22x32x422x1x26x1x34x1x44x2x36x2x42x3x4。解1)設(shè)原二次型對應(yīng)的矩陣為A，則120A222，023且A的特色多項式為EA(2)(1)(5)，特色值為12,21,35，相應(yīng)的特色向量為12,1,2,22,2,1，31,2,2，單位化后，有12,1,2,12,1,1322,3311,2,2，3令X=TY，此中221T122，13122則XAX2y1

22、2y225y32。2)原二次型對應(yīng)的矩陣為122A224，42且A的特色多項式為EA(7)(2)2，特色值為17,232。相應(yīng)的特色向量為11,2,2,22,1,0,32,0,1，正交化,可得11,2,2,22,1,0,32,4,1，55再單位化,有122210,32451,2,3，3335535355令X=TY，此中1223535T214，3535205335則XAX7y122y222y32。3)原二次型對應(yīng)的矩陣為01001000A，00010010且A的特色多項式為EA(1)2(1)2，特色值為121,341。相應(yīng)的特色向量為13標(biāo)準(zhǔn)正交基為1,1,0,0,20,0,1,1，1,1,0,

23、0,40,0,1,1，11,1,0,0,210,0,1,1，22311,1,0,0,40,0,1,1，2令X=TY，此中101011010T010，210101則XAXy12y22y32y42。4)原二次型對應(yīng)的矩陣為11321123A21，312311且A的特色多項式為EA(1)(1)(3)(7)，特色值為11,27,31,43。相應(yīng)的特色向量為11,1,1,1,21,1,1,1，31,1,1,1,41,1,1,1，標(biāo)準(zhǔn)正交基為111,1,1,1,211,1,1,1，22311,1,1,1,411,1,1,1，22令X=XY，此中1111T111112111，11111故XAXy127y22

24、y323y42。19.設(shè)A是n級實對稱矩陣，證明：A正定的充分必需條件是A的特色多項式的根全大于零。證明二次型XAX經(jīng)過正交變換X=TY，可使XAX1y122y22nyn2，此中1,2,n為A的特色根。因為A為正定的充分必需條件是上式右端的二次型為正定，今后者為正定的充分必需條件是i0(i1,2,L,n)，即證。20.設(shè)A是n級實矩陣，證明：存在正交矩陣T使TAT為三角矩陣的充分必需條件是A的特色多項式的根是實的。證明為確立起見，這里三角矩陣不如設(shè)為上三角矩陣。先證必需性，設(shè)c11c12c1nTc22c2n，ATcnn此中T，A均為實矩陣，從而cij都是實數(shù)。又因為相像矩陣有同樣的特色多項式，

25、所以c11c12c1nEAET1ATc22c2n(c11)(c22)(cnn)cnn從而A的n個特色根c11,c12,cnn均為實數(shù)。再證充分性，設(shè)1,2,s為A的所有不一樣的實特色根，則A與某一若爾當(dāng)形矩陣J相像，即存在可逆實矩陣P0，使P01AP0J，此中J1J，JS而i1i1Ji(i1,2,s)，i1i因為i都是實數(shù),所以J為上三角實矩陣。另一方面，矩陣P0能夠分解為P0T0S0，此中T0是正交矩陣，S0為上三角矩陣，于是P01AP0S01T01AT0S0J，即T01AT0S0JS01。因為S0,J,S01都是上三角矩陣，因此它們的乘積也為上三角矩陣，即證充分性。21.設(shè)A，B都是上三角

26、實對稱矩陣，證明；存在正交矩陣T使T1ATB的充分必需條件是A，B的特色多項式的根所有同樣。證明必需性是明顯的，因為相像矩陣有同樣的特色值。現(xiàn)證充分性，設(shè)1,2,n是A的特色根，則它們也是B的特色根。于是存在正交矩陣X和Y，使1X1AX1YBY，4所以11YXAXY=B。令T=XY1則T也是正交矩陣，從而T1AT=B,，即證。22.設(shè)A是n級實對稱矩陣，且A2T使得=A，證明：存在正交矩陣111AT=1。T00證設(shè)是A的任一特色值，是屬于的特色向量，則A=,A2=A()=A=2，因為A22=(2)=0，=A-又因為0，所以2-=0，即得1=0,2=1。換句話說，A的特色值不是1就是0。故存在正

27、交矩陣T，使1111。TAT=00上式中，對角線元素中1的個數(shù)為A的特色值1的個數(shù)，0的個數(shù)是A的特色值0的個數(shù).。23.證明：假如是n維歐氏空間的一個正交變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間。證設(shè)W是的隨意一個不變子空間，現(xiàn)證W也是的不變子空間。任取W,下證W。取1，2，m是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，再擴(kuò)充成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為1，2，m，m1，n，則W=L(1，2，m),W=L(m1，n)。因為是正交變換，所以1，2n也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，因為W是子空間，1，2mW，且為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是m1，nW，所以=km1m1+knnW。24.歐氏空間V中的線性變換稱為反對稱的，假如對隨意，V

28、，有（，）=（，）。證明：1)為反對稱的充分必需條件是：在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為反對稱的。2)假如V1是反對稱線性變換的不變子空間，則V1也是。證1）必需性。設(shè)是反對稱的，1，2，n是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。則i=ki11+ki22+kinn(I=1,2,n)，(i,j)=kji,(j,i)=kji，由反對稱知(i,j)=（i，j）kij=-kji，從而0當(dāng)ij時(i,j1,2,n)，kijkji當(dāng)ij時故0k12k1n(1，2，n)=(1，2，n)k120k2nk1nk2n0=(1，2，n)，充分性。設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)正交基1，2，下的矩陣為，有已知，有(i,j)=（i，j），對隨意，V，設(shè)a11ann，b

29、1bnn，則（，）=（a1A1anAn,b11bnn）=aibj(Ai,Aj)。i,j同理,Aaibji,Aj，i,j故（，）=（，），所以是反對稱的。2）任取V1，可證V1，即V1，事實上，任取V1，因為V1是子空間，所以V1，而V1，故（，）=0。再由題設(shè)，是反對稱的，知（，）=（，）=0，由的隨意性，即證V1。從而V1也是A子空間。25.證明:向量V1是向量在子空間V1上的內(nèi)射影的充分必需條件是：對隨意V1,有。證必需性，設(shè)V1是在V1上的內(nèi)射影，則,V1，,V1V1于是，V1,有.充分性.,設(shè)1，1V1,V1,那么是的內(nèi)射影，由必需性的證明知1,另一方面，由充分性假定又有1,所以.因為

30、11，1，11，1，1，11，1因為，1，,所以1，10,從而1,換句話說，就是在上的內(nèi)射影。設(shè)V1,V2是歐氏空間V的兩個子空間。證明：V1V2V1V2V1V2V1V2證先證第一式設(shè)V1V2，即V1V2。對隨意V1，有0V1V2,于是，所以V1,V1.同理可證V2.從而V1V2，故V1V2V1V2.其次，任取V1V2，那么V1.且V2,即V1,V2,任取VV，則12V,V2,121所以,由的隨意性，有V1V2,V1V2.從而VVVV.即證得VVVV.12121212再證第二式.用V1換V1,V2換V2,得V1V2V1V2V1V2，所以V1V2V1V2。27.求以下方程的最小二乘解0.39x1

31、.89y10.61x1.80y10.93x1.68y，11.35x1.50y1用“到子空間距離最短的線是垂線”的語言表達(dá)出上邊方程的最小二乘解的幾何意義，由此列出方程并求解(用三位有效數(shù)字計算)。解令0.391.8910.611.80a1,a2,Xx1A1.68,B，0.93y11.351.5010.39x1.89y0.61x1.80yYAXa1xa2y，0.93x1.68y1.35x1.50y那么“到子空間距離最短的線是垂線”的意思就是2La1,a2中求B的內(nèi)射影Y。YB的值最小，因此最小二乘解的幾何意義是在令C=B-Y，由最小二乘法可得AAXAB，此中0.391.89A0.390.610.

32、931.350.611.803.21215.4225A1.801.681.500.931.685.4225，1.8911.8841.351.501AB0.390.610.931.3513.28，1.891.801.681.5016.8713.2121x5.4225y3.28即，5.4225x11.884y6.87x0.20解之得。y0.49三、增補(bǔ)題參照解答1證明：正交矩陣的實特色根為1。證設(shè)A正交矩陣A是任一實特色值是，是A的對應(yīng)于特色值的特色向量，則A。于是,A,A(,)2,。注意到,0,因此有21，又因為為實數(shù)，即證1.2.證明：奇數(shù)維歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)必定以1作為它的一個特色值。證因為A

33、是正交矩陣,A|1,且n為奇數(shù)，設(shè)A的特色多項式為fEA|,則f1EAAAA1nAEAEAEA=-f1。即f1EA0,故1是A的特色值。3.證明：第二類正交變換必定以-1作為它的一個特色值。證A1時，設(shè)A的特色多項式為fEA,則當(dāng)f11EAA?AEAEAAEAf1即-f1EA0,故1是A的特色值。4.設(shè)是歐氏空間V的一個變換,證明:假如保持內(nèi)積不變,即關(guān)于,V,有,那么它必定是線性的,因此它是正交變換。證因為,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,0，所以0，故。又因為kkk,k2k,kk,kk,k2kk,k2,=k2,2k2,k2,0，所以kk。即證是線性變換由.題設(shè)知,保持內(nèi)積不

34、變,從而是正交變換。51,2,m和1,2,m是n維歐氏空間中的兩個向量組,證明存在一個正交變換,使iii1,2,m的充分必需條件為i,ji,ji,j1,2,m。證：下證充分性。設(shè)1,2,m的一個極大線性沒關(guān)組為1，2，r,若記1，11，r，r,1r,r1，11，r則有0.再由充分性假定iji,j,知0，r,1rr于是1,2，,r線性沒關(guān)。另一方面，因1,2,m中的任一直量ii1,2,m都能夠由它的極大線性沒關(guān)組1，2，r線性表出，即ik11k22krri1,2,m，于是，在1,2,Lm中任取ii1,2,L,m,由i,ji,j,即知ik11k22krr,ik11k22krr0，r,從而iktt即

35、證1,2,L,是1,2,L,的一個極大線性沒關(guān)組。rmt1再將1,2,r正交單位化,可得單位正交的向量組1,2,r,且1,2,r1,2,rT此中T為上三角矩陣,且對角線元素都是正實數(shù).于是只需令:(1,2,r)1,2,rT，則由充分性假定i,ji,j知，1，2，r也是一個單位正交的向量組。分別將單位正交的向量組1，2，r和1，2，r擴(kuò)大為n維歐氏空間V的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n和1,2,n,則存在可逆線性變換，使ii(i1,2,n)，且（12r)T=(1,2,n)=(1,2,r)=(1,2,r)(1,2,n)T=(1,2,n)，即ii（I=1,2,r)，rr于是i(i1,2,m)，由itt，有

36、itt,故i1i1i1122rr=1122nr=i(I=1,2,m)，即證。2,證明：存在正交矩陣T使得6是n級實對稱矩陣，且1r0。0r證證法1因為A是n級實對稱矩陣，所以存在n級矩陣Q，使Q1Qdiag1,2,n，此中1,2,n為的n個特色值（重根按重數(shù)列出）。于是Q1A2QQ1AQQ1AQdiag1,2,ndiag1,2,ndiag12,22,n22又因為,所以Q1EQQ1A2Qdiag12,22,2n。所以有i=1（I=1,2,n），不如設(shè)i=1的重數(shù)為r，則i1的重數(shù)為n-r。只需將i1集中擺列在前面，則有正交矩陣T，使1r00。nr證法2因為n級實對稱矩陣，且2E,若令g(x)=2

37、1,則g(x)為A的零多項式，且它無重根，故A相像于對角矩陣，設(shè)為A的任一特色值，則1。不如設(shè)i1的重數(shù)為n-r。只需將i1集中擺列在前面，則有正交矩陣，使1r0。0nr7設(shè)f(1,2,n)=XAX是一實二次型，1,2n是A的特色多項式的根，且12n。證明：對隨意一個XRn,有1n。證存在正交矩陣Q，使QQdiag1,2,n，此中12n為的n個特色值。作正交變換QY,則實二次型可化為f(x1,x2,xn)XAXYQAQY1y122y22nyn2，由題設(shè)有2n，于是1YY1(y12y22yn2)XAXn(y12y22yn2)nYY，且XX(QY)(QY)YY，故1XXXAXnXX。8設(shè)二次型f(

38、x1,x2,xn)對應(yīng)的矩陣為A，是A的特色多項式的根，證明：存在Rn中的非零向量(x1,x2,xn)使的222f(x1,x2,xn)(x1x2xn)。證設(shè)是矩陣A的特色值，則存在非零向量，使，此中(x1,x2,xn)，于是有222f(x1,x2,xn)(x1x2xn)，即證。,91）設(shè)是歐氏空間中兩個不一樣的單位向量，證明存在一鏡面反射，使()。2）證明：n維歐氏空間中任一正交變換都能夠表成一系列鏡面反射的乘積。證1）記n維歐氏空間為V，當(dāng)為歐氏空間為V的單位向量時，由A()2(,)(V)，所確立的正交變換A是一個鏡面反射，代入單位向量，有A()2(,),若記2(,)，則2(,)，因為,是歐

39、氏空間中兩個不一樣的單位向量，所以(,)0，故可解得,2(,)此中(,)(,),)11(,)，即(,)211(,)，2(2(,)2于是只需取21,，就有,=1，即為歐氏空間V中的單位向量，從而是一個鏡面反射，且=2,=。2)設(shè)是維歐氏空間V的任一正交變換，取V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n，則1=1，2=2，,n=n也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。此時，若11,22,nn，則A是一個恒等變換，只需作鏡面反射A1()2(1,)1(V)，則有A1(1)1,A1(j)j(j2,3,n)且AA1A1，結(jié)論建立。若1,2,n與1,2,n不全同樣，不如設(shè)11,則1,1為兩個不一樣的單位向量，由1)知,存在鏡面反射A1,使A1(1)1.令A(yù)1(j)j(j2,3,n),若jj(j2,3,n),則AA1,結(jié)論建