高中數(shù)學(xué)必修二 1.1 隨機事件與概率（精講）(含答案)

1、10.1 隨機事件與概率(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點一 事件類型的判斷【例1】(2021全國高一課時練習(xí))已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是( )A事件“都是紅色卡片”是隨機事件B事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機事件【答案】C【解析】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；在B中，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；在C中，事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是隨機事件，故C錯誤；

2、在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機事件，故D正確故選：C【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))下列事件為確定事件的有( )(1)在一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，的水結(jié)冰(2)邊長為，的長方形面積為ab(3)拋一個硬幣，落地后正面朝上(4)平時的百分制考試中，小白的考試成績?yōu)?05分A1個B2個C3個D4個【答案】A【解析】(1)在一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，的水結(jié)冰，這是不可能發(fā)生的事件，故是不可能事件(2)邊長為，的長方形面積為，這是必然發(fā)生的事件，故是必然事件(3)拋一個硬幣，落地后正面朝上，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，屬于隨機事件(4)平時的百分制考試中，小白的考試成績?yōu)?05分，這是不可能

3、發(fā)生的事件，故是不可能事件故選:A2(2021全國高一課時練習(xí))下列事件中，不可能事件是( )A三角形內(nèi)角和為B三角形中大邊對大角，小邊對小角C銳角三角形中兩個內(nèi)角和等于D三角形中任意兩邊之和大于第三邊【答案】C【解析】由三角形性質(zhì)可知、為必然事件；由三角形內(nèi)角和定理知兩個內(nèi)角和等于的三角形為直角三角形是不可能的，所以為不可能事件故選：C3(2021全國高一課時練習(xí))下列試驗?zāi)軜?gòu)成事件的是( )A擲一次硬幣B標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水燒至C從100件產(chǎn)品中任取3件D某人投籃5次，恰有3次投中【答案】D【解析】所謂事件，實際上就是在一定條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件在一定條

4、件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件隨機事件在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件，三個選項不能劃分為三種事件的其中一個，故選：D考點二 確定樣本空間【例2】(2021全國高一課時練習(xí))連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.(1)寫出對應(yīng)的樣本空間；(2)求這個實驗的樣本空間中樣本點的個數(shù)；(3)寫出“恰有兩枚正面向上”這一事件的集合表示.【答案】(1)(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)8；(3)(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).【解析】(1)樣本空

5、間(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)樣本點個數(shù)是8；(3)“恰有兩枚正面向上”這一事件的集合表示為(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))指出下列試驗的樣本空間和樣本點個數(shù)：(1)從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取1個球；(2)從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取2個球.【答案】(1)4個；(2)6個.【解析】(1)a，b，c，d，共4個樣本點.(2)若記(a，b)表示一次試驗中取出的球是a和b，

6、則試驗的樣本空間為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6個樣本點.2(2021全國高一課時練習(xí))指出下列試驗的樣本空間：(1)某人射擊一次命中的整環(huán)數(shù)；(2)從集合A=a，b，c，d中任取兩個元素構(gòu)成A的子集.【答案】(1)0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，3環(huán)，4環(huán)，5環(huán)，6環(huán)，7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)；(2)a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d.【解析】(1)某人射擊一次命中的整環(huán)數(shù)的樣本空間為：0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，3環(huán)，4環(huán)，5環(huán)，6環(huán)，7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)；(2)從集合A=a，b，c，d中任取兩個元素構(gòu)成A的子集的樣本空間為：a，b，a，c，a，d，b

7、，c，b，d，c，d考點三 事件關(guān)系的判斷【例3】(2021云南峨山彝族自治縣第一中學(xué)高二期中)某人在打靶中，連續(xù)射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是( )A至少有一次中靶B三次都不中靶C恰有兩次中靶D至少兩次中靶【答案】C【解析】至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發(fā)生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；D選項，為對立事件，故D錯誤.故選：C【一隅三反】1(202

8、1安徽省渦陽第一中學(xué))從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是( )A至少有一個白球與都是紅球B恰好有一個白球與都是紅球C至少有一個白球與都是白球D至少有一個白球與至少一個紅球【答案】B【解析】對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“

9、至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球” ，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.2(2021四川省仁壽第一中學(xué)校北校區(qū))從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是( )AA與B互斥且為對立事件BB與C互斥且為對立事件CA與C存在有包含關(guān)系DA與C不是對立事件【答案】A【解析】取出的三件產(chǎn)品分類為M= “三件產(chǎn)品全是正品”，N= “兩件正品，一件次品”，P= “一件正品，兩件次品”，Q= “三件產(chǎn)品全是次品”，它們之間兩兩互斥.于是A=M，B=Q，所以A與B互斥但不對立，A錯誤；B,C,D正確.故選

10、：A.3(2021浙江寧波赫威斯肯特學(xué)校)從裝有2個白球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件( )A至少有一個黑球與都是黑球B至少有一個黑球與至少有一個白球C恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D至少有一個黑球與都是白球【答案】C【解析】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個白球”可以同時發(fā)生，如：一個白球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，兩個事件是互斥事件但不是對立事

11、件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是白球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C考點四 事件的運算【例4】(2021全國高一專題練習(xí))抽查10件產(chǎn)品，設(shè)試驗的樣本空間為，A“至多有1件次品”，B“至少有兩件次品”，則( )AABBBACABDAB，且AB【答案】D【解析】A“至多有1件次品”，包含：0件次品和1件次品；B“至少有兩件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9件次品和10件次品、故AB，且AB.故選：D【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))某人打靶時，連續(xù)射擊兩次，事件A“至少有一次中靶”，

12、B“兩次都不中靶”，則( )AABBBACABDB【答案】C【解析】連續(xù)射擊兩次，用，( x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中)表示基本事件，包括：其中故AB，其他都不對.故選：C2(2021湖北應(yīng)城市第一高級中學(xué)高二月考)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A“兩次都擊中飛機”，B“兩次都沒擊中飛機”，C“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關(guān)系不正確的是( )AADBBDCACDDABBD【答案】D【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中故A

13、D ，ACDB，D為互斥事件，BD；AB“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，BD為必然事件，這兩者不相等故選：D3(2021全國高一課時練習(xí))拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，則( )ABC表示向上的點數(shù)是1或2或3D表示向上的點數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】由題意，可知，則，表示向上的點數(shù)為1或2或3故選：C.4(2021全國高一課時練習(xí))設(shè)A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.(1)三個事件都發(fā)生；(2)三個事件至少有一個發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；(6)

14、A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【解析】(1)三個事件都發(fā)生表示為；(2)三個事件至少有一個發(fā)生表示為；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生表示為；(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生表示為；(6)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生表示為5(2021全國高一課時練習(xí))記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件，指出下列事件的含義：(1)；(2)；(3).【答案】(1)射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).(2)射中9環(huán).(3)射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).【解析】(1)=射中10環(huán)，=射中9環(huán)，=

15、射中8環(huán)，射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).(2)=射中8環(huán)，射中環(huán)數(shù)不是8環(huán)，則射中9環(huán).(3)射中9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)，則射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).考點五 古典概型【例5】73(2021廣東順德高二期中)某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了100件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測，根據(jù)檢測結(jié)果按，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)分別求甲、乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)若產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣品中的優(yōu)等品中抽

16、取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品進(jìn)一步進(jìn)行檢測，求抽取的這2件產(chǎn)品中恰有1件產(chǎn)品是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.【答案】(1)6.4，5.6(2)【解析】(1)甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為.(2)由題意可知，甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件.從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為a，b，c，d；從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為E，F(xiàn).從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F(xiàn))，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F(xiàn))，(c，d)，(c，E)，(c，F(xiàn))，(

17、d，E)，(d，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種；其中符合條件的情況有(a，E)，(a，F(xiàn))，(b，E)，(b，F(xiàn))，(c，E)，(c，F(xiàn))，(d，E)，(d，F(xiàn))，共8種.故所求概率.【一隅三反】1(2021貴州貴陽六中 )2021年9月26日，中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)增會在用行，大會指出了交通對旅游業(yè)的發(fā)展有著深刻的影響，并引起了相關(guān)部門的高度重視現(xiàn)針對貴陽市區(qū)重要道路網(wǎng)中的個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如下圖所示(交通指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記為，其范圍為，分別有五個級別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?(1)利用頻率分布直方圖估計貴

18、陽市區(qū)這個交通路段的交通指數(shù)的眾數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿€路段，再從這個路段中任取個，求至少有個路段為中度擁堵的概率【答案】(1)眾數(shù)為(2)【解析】(1)由圖知眾數(shù)為，故貴陽市區(qū)這個交通路段的交通指數(shù)的眾數(shù).(2)由圖可得輕度擁堵的路段有(個)，中度擁堵的路段有(個)，重度擁堵的路段有(個)，用分層抽樣的方法，在上述的個路段共抽取個路段，則應(yīng)從輕度擁堵、中度擁堵、重度擁堵的路段中分別抽取的個數(shù)為.記抽取的個輕度擁堵路段為，個中度擁堵路段為，個重度擁堵的路段為，則從這個路段中任取個的所有可能情況為、，共種情況，其中至少有個路段為中度擁堵的情況為、，

19、共種.記至少有個路段為中度擁堵為事件，則.2(2021廣東仲元中學(xué)開學(xué)考試)某汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中的參數(shù)a，估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的眾數(shù)、平均數(shù)；(2)采取分層抽樣的方式從，兩組中共抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機抽2人，求這2人來自不同組的概率.【答案】(1)；2.5萬元、3.5萬元 ；3.5萬元(2)【解析】(1)令，

20、得；頻率分布直方圖的眾數(shù)為最高小矩形的中點的橫坐標(biāo)，得眾數(shù)為2.5萬元、3.5萬元；因為直方圖的組距為1，則各組數(shù)據(jù)的率即為相應(yīng)小矩形的高，所以平均數(shù)的估計值為(萬元)；(2)從6人中隨機抽取2人，設(shè)第一次抽取的人記為x，第二次抽取的人記為y，則可用數(shù)組表示樣本點，則有30種等可能的結(jié)果：第一次第二次ABCDefABCDef記“從6人中隨機抽取2人，這2人來自不同組”為事件M. ，包含16個樣本點. 故從6人中隨機抽取2人，這2人來自不同組的概率為.3(2021廣東廣州市協(xié)和中學(xué) )某消費者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動，著力提升消費者維權(quán)意識，組織

21、方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中m的值；(2)估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；(3)已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊，求恰有一名女性的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：因為頻率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，(2)解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，；(3)解：第一組總?cè)藬?shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機抽

22、取2名群眾的可能為，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊，求恰有一名女性的概率為考點六 概率的性質(zhì)【例6-1】(2021山西懷仁高一期末)若隨機事件，互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且，則實數(shù)的取值范圍是ABCD【答案】D【解析】隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且，即，解得，即故選：D【例6-2】(2021全國高一課時練習(xí))在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是( )A某顧客抽獎10次，一定能中獎1次B某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎C

23、某顧客消費210元，一定不能中獎D某顧客消費1000元，至少能中獎1次【答案】B【解析】中獎概率表示每一次抽獎中獎的可能性都是，故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎，故選：B.【一隅三反】1(2021安徽省渦陽第一中學(xué) )下列說法正確的是( )A某醫(yī)院治療某種疾病的治愈率為，前人沒有治愈，則后兩個人一定治愈B甲乙兩人乒乓球比賽，乙獲勝的概率為，則比賽場，乙勝場C某種藥物對患有咳嗽的名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有人有明顯效果.現(xiàn)對咳嗽的病人服用此藥，則估計會有明顯療效的可能性為D隨機試驗的頻率與概率相等【答案】C【解析】在A中，某醫(yī)院治療某種疾病的治愈率為，是說明有多大把握治愈，而不是具體的多少人能夠治

24、愈，故A錯誤；在B中，概率是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機性，雖然乙獲勝的概率為，但是比賽場，乙勝場的說法不符合定義，故B錯誤；在C中，估計會有明顯療效的可能性為，故C正確；在D中，頻率和概率是兩個不同的概念，故D錯誤.故選：C.2(2021全國高一課時練習(xí))有下列說法：(1)某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點，他認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的(2)某地氣象局預(yù)報，明天本地下雨概率為70%，由此認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨(3)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是(4)圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認(rèn)為一定有一次會摸到黑子其中正確的個數(shù)為( )A0B2C3D1【答案】D【解析】由題意得：某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點，這枚骰子的質(zhì)地可能是不均勻的，故(1)不正確；某地氣象局預(yù)報，明天本地下雨概率為，是指要下雨的把握有多大，故(2)不正確；拋擲一枚質(zhì)地均