函數(shù)圖象割線斜率與切線斜率關(guān)系數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類解析

1、函數(shù)圖象割線斜率與切線斜率關(guān)系數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類分析函數(shù)圖象割線斜率與切線斜率關(guān)系數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類分析14/14函數(shù)圖象割線斜率與切線斜率關(guān)系數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類分析函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關(guān)系題1(2010年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21,a1.假如對(duì)隨意x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2，求a的取值范圍.(答案：a2.)題2(2009年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù)f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.證明：若a5，則對(duì)隨意x1,x2(0,),x1x2，2有f(x1)f(x2)1.x1x2題3(2009年高考浙江卷理科第10題)對(duì)于正實(shí)數(shù)

2、，記M為滿足下述條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的會(huì)合：x1,x2R且x2x1，有(x2x1)f(x2)f(x1)(x2x1).以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()(答案：C.)A.若f(x)M1,g(x)M2，則f(x)g(x)M12B.若f(x)M1,g(x)M2且g(x)f(x)0，則Mg(x)12C.若f(x)M1,g(x)M2，則f(x)g(x)M12D.若f(x)M1,g(x)M2且12，則f(x)g(x)M12題4(2006年高考四川卷理科第22(2)題)已知函數(shù)f(x)x22alnx(x0),f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，a4,x1,x2是不相等的正數(shù)，求x證：f(x)f(x)xx2.121深入研究

3、這四道高考題(除題8是選擇壓軸題外，其他三道都是解答壓軸題的最后一問)，可得函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關(guān)系：定理設(shè)aR，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則(1)x1,x2I,x1f(x1)f(x2)xI,f(x)a；x2有x1ax2(2)x1,x2I,x1f(x1)f(x2)xI,f(x)a且區(qū)間I0I，當(dāng)x2有x1ax2xI0時(shí)f(x)a不可以恒建立；(3)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a；有ax1x2(4)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a且區(qū)間I0I，當(dāng)有ax1x2xI0時(shí)f(x)a不可以恒建立；(5)x1,x2I,x1f(x1)f(x2

4、)axI,f(x)a；x2有x1x2(6)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)axI,f(x)a且區(qū)間I0I，有x1x2當(dāng)xI0時(shí)f(x)a及f(x)a均不可以恒建立；(7)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a；x1x2(8)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)axI,f(x)a且區(qū)間I0I，有x1x2當(dāng)xI0時(shí)f(x)a及f(x)a均不可以恒建立.為證明定理，須介紹兩個(gè)引理，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析中均可找到(比方文件1,2)：引理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上單一不減(不增)的充要條件是f(x)()0在xI時(shí)恒建立.(注：若x1,x2I,x1x

5、2有f(x1)()f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上單一不減(不增).)引理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上嚴(yán)格遞加(遞減)在I上f(x)()0且對(duì)于隨意的區(qū)間I0I，當(dāng)xI0時(shí)f(x)0不可以恒建立.(注：若x1,x2I,x1x2有f(x1)()f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格遞加(遞減).)定理的證明設(shè)g(x)f(x)ax,h(x)f(x)ax.(1)左邊x1,x2I,x1x2有f(x1)ax1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2有g(shù)(x1)g(x2)0g(x)在Ix1x2x1x2上單一不增g(x)f(x)a0右側(cè).(2)左側(cè)x1,x2I,x1x2有f(x1)a

6、x1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2x1x2有g(shù)(x1)g(x2)0g(x)在I上嚴(yán)格遞減g(x)f(x)a0(用引理2，這里省x1x2去了一些文字的表達(dá)，下同)右側(cè).(3)同(1)可證.(4)同(2)可證.(5)左側(cè)x1,x2I,x1x2有af(x1)f(x2)ax1,x2I,x1x2有x1x2g(x1)g(x2)0 x1x2g(x)在I上單一不增右側(cè).h(x1)h(x2)h(x)在I上單一不減0 x1x2(6)左側(cè)x1,x2I,x1x2有af(x1)f(x2)ax1,x2I,x1x2有x1x2g(x1)g(x2)x10g(x)在I上嚴(yán)格遞減x2h(x1)h(x2)h(x)在I上嚴(yán)

7、格遞加x10 x2(7)x1,x2I,x1f(x1)x2有x1x1,x2I,x1x2有f(x2)f(x1)ax2x1右側(cè).f(x2)ax2或f(x2)f(x1)ax2x1x1,x2I,x1x2有g(shù)(x1)g(x2)或h(x1)h(x2)xI,g(x)0或h(x)0 xI,f(x)a或f(x)axI,f(x)a(8)同(7)可證.題5已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR)的圖象上隨意不一樣的兩點(diǎn)連線的斜率小于1，求a的取值范圍.解由定理9(2)，得f(x)3x22ax1在xR時(shí)恒建立，即3x22ax10恒建立，所以(2a)2120,a3,3.所以所求a的取值范圍是3,3.注由定理9(1)知，若

8、把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不變.還可考證：當(dāng)a3,b0時(shí)，f(x)x33x2的圖象上任一割線的斜率小于1，但圖象在拐點(diǎn)(即凹凸性的分界點(diǎn)，其二階導(dǎo)數(shù)值為0，拜見文件2或3)1處切線的斜率為1(圖1).3圖1題6(2013年福建省廈門一中月考試題)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR)(1)若函數(shù)yf(x)的圖象上隨意兩個(gè)不一樣的點(diǎn)連線斜率小于1，求證：3a3；(2)若x0,1，且函數(shù)f(x)的圖象上隨意一點(diǎn)處的切線斜率為k，試證明k1的充要條件為1a3.由題5的結(jié)論可知，題6的第(1)問是錯(cuò)題(可得第(2)問是正確的).下邊用定理給出題14的簡(jiǎn)解.題3的簡(jiǎn)解M即滿足條件“x1

9、,x2f(x1)f(x2)”的函數(shù)f(x)構(gòu)R，有x2x1成的會(huì)合.由定理(6)，得M即滿足條件“f(x)(xR)且對(duì)于隨意的區(qū)間I0I，當(dāng)xI0時(shí)f(x)a及f(x)a均不可以恒建立”的函數(shù)f(x)的會(huì)合.由此及絕對(duì)值不等式可證得選項(xiàng)C建立(且可除去選項(xiàng)A、B、D)，所以選C.題2的簡(jiǎn)解由定理(4)知只需證明“當(dāng)x0時(shí)f(x)1且f(x)1只好在一些孤立點(diǎn)上建立”：f(x)xa1a2a1aa1(2a1)11x所以要證結(jié)論建立.(而且還可得：當(dāng)1a5時(shí)，結(jié)論也建立.)a10).由定理(7)知題設(shè)即題1的簡(jiǎn)解2(f(x)xaxxa1f(x)2ax4在x0時(shí)恒建立，由a1及均值不等式可得所求a的取

10、值范x圍是(,2.注下邊把題1中的題設(shè)“a1”改成“aR”，再來求解：此時(shí)題意即“a12ax4在x0時(shí)恒建立，求a的取值范圍”.x當(dāng)a時(shí)，已得a2；1當(dāng)1a0時(shí)，可得函數(shù)g(x)a12(0)是單一減函數(shù)，可得此時(shí)不滿足xaxx題設(shè)；當(dāng)a0時(shí)，由均值不等式可得a1.所以所求a的取值范圍是(,21,).題4的簡(jiǎn)解設(shè)g(x)f(x)2x2ag(x1)g(x2)x2，即證x11.xx2由定理(8)知，只需證明：當(dāng)x0時(shí)g(x)1，即24a1(x0)x3x2只需證24a1(x0)x3x2即x222a(x0)xx這由均值不等式及題設(shè)可證：x2223344axx所以欲證建立.注由以上簡(jiǎn)解知，把題4中的“a4

11、”改成“a334”后所得結(jié)論也建立.參照文件1劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(上冊(cè))M.3版.北京：高等教育第一版社，1992華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.3版.北京：高等教育第一版社，2001用除去法簡(jiǎn)解2015年高考全國(guó)卷I理科第12題高考題(2015年高考全國(guó)卷I理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，此中a1，若存在獨(dú)一的整數(shù)x0使得f(x0)0得x1，由g(x)0得x1，所以函數(shù)g(x)在,1,1,上分別2222是減函數(shù)、增函數(shù)又函數(shù)g(x)在x1時(shí)g(x)1時(shí)g(x)0，所以其大概圖象如圖1所示22圖1直線yaxa過點(diǎn)(1，0)若a0，則f(x)0.聯(lián)合函數(shù)圖象

12、可知，存在獨(dú)一的整數(shù)x0，使得f(x0)0，即存在獨(dú)一的整數(shù)x0，使得點(diǎn)(x0，f（1）0，0a)在點(diǎn)(x0，g(x00只好是0，所以實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足f（0）0，即ax)的上方，得xf（1）0，3e12a0，1a0，解得3a1.e0，2e即實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,1.2e解法2(分別常數(shù)法)D.令xt1后，得題設(shè)即對(duì)于t的不等式(2t1)et1at(t0)有獨(dú)一的整數(shù)解.若t0，由a1，可得(2t1)et1(2t1)etat所以題設(shè)即對(duì)于t的不等式(2t1)et1at(t0)即(2t1)et1a(t0)有獨(dú)一的整數(shù)t解，也即對(duì)于t的不等式(2t1)et1a(t1)有獨(dú)一的整數(shù)解.t設(shè)(2t1)et1

13、et1g(t)在(t1)g(t)2(t1)(2t1)(t1)g(t)，得tt，所以函數(shù)(,1上是增函數(shù)，得最大值為g(1)1.又limg(t)0,g(1)1，由此可作出函數(shù)g(t)的圖象如圖2所示：t圖2注意到圖象yg(t)過點(diǎn)B2,3且a1，所以由圖2可得：2e當(dāng)a3a的整數(shù)t有1,2，所以此時(shí)不滿足題意.時(shí)，滿足g(t)2e當(dāng)3a1時(shí)，滿足g(t)a的整數(shù)t只有1，所以此時(shí)滿足題意.2e得所求a的取值范圍是3,1.2e解法3(除去法)D.當(dāng)a0時(shí)，不等式f(x)0即ex(2x1)0得x1，由g(x)0得x1，所以函數(shù)g(x)在,1,1,上分2222別是減函數(shù)、增函數(shù)又g(0)1，所以可得曲

14、線yg(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線為yx1，如圖3所示圖3所以當(dāng)a1且a1時(shí)滿足題設(shè)(此時(shí)滿足題設(shè)的獨(dú)一整數(shù)x0=0).由此可除去選項(xiàng)C.所以選D.注小題不大做，還是解法3(除去法)簡(jiǎn)短.此題對(duì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形聯(lián)合思想、分類談?wù)撍枷攵加兴^察.例談?dòng)每甲C法解題2010年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第20題的另解題1111111解方程：(1)x2；(2)xc；(3)xxc.x2xcc1解(1)簡(jiǎn)單觀察出x2，均是該方程的解.2按常例方法解此方程時(shí)，先去分母獲取一元二次方程，該一元二次方程最多兩個(gè)解，再檢驗(yàn)(舍去使原方程中分母為零的解)，所以原方程最多有兩個(gè)解.1而已經(jīng)找到了原方程的兩個(gè)解x2，所以這兩

15、個(gè)解就是原方程的所有解.2(2)同理，可得原方程的所有解是xc，1.c，均是該方程的解.(3)簡(jiǎn)單觀察出x1cc同上得原方程最多有兩個(gè)解，而已經(jīng)找到了原方程的兩個(gè)解，(由于對(duì)于隨意的x1cc非零實(shí)數(shù)c，c和1都是原方程的解，所以應(yīng)該把c和1理解成原方程的兩個(gè)解)，所以這兩cc個(gè)解就是原方程的所有解.題2解方程xxx22.解設(shè)函數(shù)f(x)xxx2，易知它是增函數(shù)，所以方程f(x)2至多有一個(gè)根(當(dāng)2在函數(shù)f(x)的值域中時(shí)有一個(gè)根，不然沒有根)，所以原方程的根是x2.題3已知sincos1,tan1，求tan.5sincos15解由及“勾三股四弦五”能夠猜出該方程組有兩組解：sin2cos21s

16、in435sin或534cos5cos5該方程組即cos1sin512sin2sin1512由于對(duì)于sin的一元二次方程sin2sin1最多有兩個(gè)解，所以該方程組也最53多有兩組解，所以上邊猜出的兩組解就是該方程組的所有解，tan.4題41(2007年高考陜西卷理科第22(1)題)已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列ak的前k項(xiàng)和為Sk，且Sk1akak1(kN*)，此中a11，求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式.2解由題設(shè)得ak12Sk2(a1a2ak)，所以當(dāng)a1,a2,ak確準(zhǔn)時(shí)，ak1也akak獨(dú)一確立.所以由a11知，數(shù)列ak是獨(dú)一確立的.能夠觀察出akk滿足題設(shè)的所有條件，所以數(shù)列k是滿足題設(shè)的獨(dú)一數(shù)列，得a

17、kk.另解2Skakak1(SkSk1)(Sk1Sk)(k2),Sk12SkSk(由于Sk1SkSkSk1ak0)(k2)由題設(shè)得S1,S3，再由知S是獨(dú)一確立的數(shù)列akS1,k1.再12kSkSk1,k2同上得akk.題51(2005年高考江蘇卷第23(1)(2)題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11,a26,a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB(nN*)，此中A,B為常數(shù).求A與B的值；證明數(shù)列an為等差數(shù)列；解(1)A20,B8.(2)Sn15n2Sn20n8(nN*)，S115n85n8所以Sn是獨(dú)一確立的數(shù)列，an也是獨(dú)一確立的數(shù)列.又由a11,a26,a311知，若

18、an為等差數(shù)列，則an5n4，于是Sn1n(5n3).211簡(jiǎn)單考證Sn3)滿足，所以題中的Sn3),an5n，n(5nn(5n4an為等差數(shù).22題62已知數(shù)列an滿足a11,an1an1，求an；2n2n解第一，由首項(xiàng)a11an1知，滿足題意的數(shù)列an是及遞推關(guān)系an1n22n獨(dú)一確立的.所以，若能找到一個(gè)數(shù)列滿足該題目的所有條件，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式就是所求的答案.易得an1an2111k1k1，即ank1nnnn1n1nnk是常數(shù)）滿足遞推關(guān)系an1an1，再由a1131n2，得an2滿足題目的所有條n2n件，所以此題的答案就是an31.2n題72已知數(shù)列an滿足a13n1nn1an，求

19、an.解易知此題的答案是是獨(dú)一確立的，所以只需追求一個(gè)數(shù)列滿足該題目的所有條2,a件.annkkn易得1n1(k是非零常數(shù)），即anan1，ann滿足遞推關(guān)系an1knn122n2再由a1，得an滿足題目的所有條件，所以此題的答案就是an.33n3n注由于絕大多數(shù)求數(shù)列通項(xiàng)公式的題目答案都是獨(dú)一的，所以只需能觀察或求出滿足所有題設(shè)的一個(gè)通項(xiàng)公式，則該通項(xiàng)公式就是所求的獨(dú)一答案.對(duì)于要求解的問題，若能證明它最多有n(n是確立的正整數(shù))個(gè)解，又找出了它的n個(gè)解1,2,n，則這n個(gè)解就是該問題的所有解.這就是本文要論述的用考證法解題下邊再用這類方法解答一道高考題：題8(2010安徽理20)設(shè)數(shù)列a1

20、,a2,an,中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必需條件是：對(duì)任何nN*，都有111n.a1a2a2a3anan1a1an1證明先證必需性.若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列：當(dāng)d0時(shí)，易得欲證建立.當(dāng)d0時(shí)，有1111a2a1a3a2an1ana1a2a2a3anan1da1a2a2a3anan111111111111an1a1nda1a2a2a3anan1da1an1da1an1a1an1再證充分性.只需對(duì)n(n3)用數(shù)學(xué)概括法證明增強(qiáng)的結(jié)論：若111i(i2,3,n)恒建立，則a1,a2,an成等差數(shù)列，a1a2a2a3aiai1a1ai1且ana1.n當(dāng)n3時(shí)建立：當(dāng)i2時(shí)，得1

21、12,a1a32a2，所以a1,a2,a3a1a2a2a3a1a3成等差數(shù)列，還可證a3a1(由于由a3a1可得a4a3a3a13a3a10，33da3123而由i3時(shí)建立立知a40).假設(shè)n3,4,k時(shí)成立：即a1,a2,ak成等差數(shù)列，且a3a1,a4a1,aka1.34k由i2,3,k時(shí)均建立及a3a1,a4a1,aka1知，當(dāng)a1,a2確準(zhǔn)時(shí)，數(shù)列34ka1,a2,an1也是確立的，而由必需性的證明知，由a1,a2確立的等差數(shù)列a1,a2,an1滿足題設(shè)，所以由題設(shè)及a1,a2確立的數(shù)列就是這個(gè)等差數(shù)列，即a1,a2,an1成等差數(shù)列，同上還可證ak1a1，即nk1時(shí)建立.所以要證結(jié)論建立，得充分性建立.k1參照文件甘志國(guó).例談?dòng)每甲C法求數(shù)列通項(xiàng)J.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008(3)：46甘志國(guó)著.初等數(shù)學(xué)研究(II)上M.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)第一版社，2009.416-417用除去法簡(jiǎn)解2015年高考全國(guó)卷I理科第12題高考題(2015年高考全國(guó)卷I理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，此中a1，若存在獨(dú)一的整數(shù)x0使得f(x0)0得x1，由g(x)0得x1，所以函數(shù)