北京市門(mén)頭溝區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題

1、高三數(shù)學(xué)試卷 第 PAGE 24 頁(yè) (共 NUMPAGES 24 頁(yè))門(mén)頭溝區(qū)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研 高 三 數(shù)學(xué) 2022.1考生須知1本試卷共6頁(yè)，共3道大題，21個(gè)小題。滿分100分。考試時(shí)間90分鐘。2在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校和姓名，并將考試編號(hào)填寫(xiě)（或條形碼粘貼）在答題卡相應(yīng)位置處。3試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。4考試結(jié)束，將試卷、答題卡和草稿紙一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

2、目要求的。）（1）復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）（2）集合，則 （A）（B）（C）（D）（3）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（A）（B）（C）（D）（4） “角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（5）下列函數(shù)中，在為增函數(shù)的是（A）（B）（C）（D）（6）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不垂直的是 （A） （B）（C） （D）（7）等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和，則（A） （B）（C）（D）（8）點(diǎn)在拋物線上，則到直線的距離與到直線的距離之和的最小值為（A）（B）（C）（

3、D）（9）在函數(shù)的圖像上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報(bào)價(jià)三項(xiàng)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評(píng)分的，按照綜合得分的高低進(jìn)行排序，排序高者中標(biāo)。分值權(quán)重表如下：綜合得分技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來(lái)決定的。報(bào)價(jià)標(biāo)則相對(duì)靈活，報(bào)價(jià)標(biāo)的評(píng)分方法是：基準(zhǔn)價(jià)的基準(zhǔn)分是分，若報(bào)價(jià)每高于基準(zhǔn)價(jià)，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣分，最低得分分；若報(bào)價(jià)每低于基準(zhǔn)價(jià)，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加分，最高得分為分。若報(bào)價(jià)低于基準(zhǔn)價(jià)以上(不含)每再低，在分在基礎(chǔ)上扣分。在某次招標(biāo)中，若基準(zhǔn)價(jià)為（萬(wàn)元），甲、乙兩

4、公司綜合得分如下表：公司技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)甲分分分乙分分分甲公司的報(bào)價(jià)為（萬(wàn)元），乙公司的報(bào)價(jià)為（萬(wàn)元），則甲、乙兩公司綜合得分分別是（A） （B）（C）（D）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。）（11）雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為 .（12）已知為平面上的動(dòng)點(diǎn)，為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 . （13）函數(shù)的圖像向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為 .（14）在梯形中， ，是的中點(diǎn)，則= .（15）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論： 圖像關(guān)于對(duì)稱 圖像關(guān)于直線對(duì)稱在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正

5、確結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題（本大題共6小題，滿分85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明。）（16）（本小題滿分12分）在中，.（）求；（）若，從條件、條件、條件中任選一個(gè)作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.條件：條件： 條件：注：如果選擇的條件不符合要求，第（）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 （17）（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，分別為，的中點(diǎn)（）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（）求二面角的余弦值；（）求點(diǎn)到平面的距離（18）（本小題滿分13分）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京和張家口舉辦. 為了普及冬奧知識(shí)，京西某校組

6、織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從高一年級(jí)（共六個(gè)班）答題優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽查了名，得到這名優(yōu)秀學(xué)生的統(tǒng)計(jì)如下：高一班級(jí)一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人數(shù)（）從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加區(qū)里冬奧知識(shí)比賽.（）恰好這名學(xué)生都來(lái)自同一班級(jí)的概率是多少？（）設(shè)這名學(xué)生中來(lái)自高一（2）的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）如果該校高中生的優(yōu)秀率為，從該校中隨機(jī)抽取人，這兩人中優(yōu)秀的人數(shù)為，求的期望.（19）（本小題滿分15分）已知函數(shù) （）求在點(diǎn)處的切線方程；（）證明：在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（）證明：當(dāng)， （20）（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為.（

7、）求的方程；（）設(shè)直線與分別相交于兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)試問(wèn)：當(dāng) 變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（21）（本小題滿分15分）若集合（）滿足：對(duì)任意（），均存在（），使得，則稱具有性質(zhì)（）判斷集合，是否具有性質(zhì)；（只需寫(xiě)出結(jié)論）（）已知集合（）具有性質(zhì)（）求；（）證明：門(mén)頭溝區(qū)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研高三數(shù)學(xué)答案解析 （1）復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）解：直接計(jì)算可得（A）（2）集合，則（A）（B）（C）（D）解：易得（C）（3）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（A）（B）（C）（D）解：由通項(xiàng)公式直接計(jì)算得（B）（4） “角的終邊

8、關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件解：由三角函數(shù)的定義可得（A）（5）下列函數(shù)中，在為增函數(shù)的是（A）（B）（C）（D）解：A不正確，在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上增，在不是增函數(shù)；B是對(duì)稱軸為，在不是增函數(shù)；C在為減函數(shù)，D求導(dǎo)得可，可知（D）正確（A）（B）（C）（D）（6）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不垂直的是 （A） （B）（C） （D）解：由線面垂直判定定理可得A,B,C都符合直線與平面垂直，但D中的與所成的角為，選擇（D）（7）等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

9、A） （B）（C）（D）解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，選擇（C）（8）點(diǎn)在拋物線上，則到直線的距離與到直線的距離之和的最小值為（A）（B）（C）（D）解：由定義得此最小值就是焦點(diǎn)到直線的距離，由點(diǎn)到直線距離得(B)（9）在函數(shù)的圖像上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解：由指對(duì)函數(shù)性質(zhì)可知，其實(shí)就是研究函數(shù)與函數(shù)是否有二個(gè)不同交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不合 題意；當(dāng)時(shí)，有二個(gè)交點(diǎn) 得（C）（10）公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報(bào)價(jià)三項(xiàng)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評(píng)分的，按照綜合得分的高低進(jìn)行排序，排序高者中標(biāo)。分值權(quán)重表如下：綜合得分技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本

10、都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來(lái)決定的。報(bào)價(jià)標(biāo)則相對(duì)靈活，報(bào)價(jià)標(biāo)的評(píng)分方法是：基準(zhǔn)價(jià)的基準(zhǔn)分是分，若報(bào)價(jià)每高于基準(zhǔn)價(jià)，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣分，最低得分分；若報(bào)價(jià)每低于基準(zhǔn)價(jià)，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加分，最高得分為分。若報(bào)價(jià)低于基準(zhǔn)價(jià)以上(不含)每再低，在分在基礎(chǔ)上扣分。在某次招標(biāo)中，若基準(zhǔn)價(jià)為（萬(wàn)元），甲、乙兩公司綜合得分如下表：公司技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)甲分分分乙分分分甲公司的報(bào)價(jià)為（萬(wàn)元），乙公司的報(bào)價(jià)為（萬(wàn)元），則甲、乙兩公司綜合得分分別是（A） （B）（C）（D）解：由題意分析可得（A）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。）（11）雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為 .解: （12

11、）已知為平面上的動(dòng)點(diǎn)，為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 . 解：由數(shù)量積定義得：（13）函數(shù)的圖像向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為 .解：（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)值即可）； （14）在梯形中，是的中點(diǎn)，則= .解：思考一：投影法=14思考二：幾何運(yùn)算：思考三：坐標(biāo)法：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，用坐標(biāo)運(yùn)算也可。（15）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論： 圖像關(guān)于對(duì)稱 圖像關(guān)于直線對(duì)稱在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .解：函數(shù)為奇函數(shù)得：可得圖像關(guān)于關(guān)于對(duì)稱；由得，所以正確，正確；，所以不正確；正確.所以，正確題目的順序號(hào)為三、解答題

12、（本大題共6小題，滿分85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明。）（16）（本小題滿分12分）在中，.（）求；（）若，從條件、條件、條件中任選一個(gè)作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.條件：條件： 條件：注：如果選擇的條件不符合要求，第（）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解：（）由正弦定理得2分所以2分（）選條件由正弦定理得：2分2分2 分2分注：若利用余弦定理，結(jié)論正確同樣可得滿分。選條件2分2分4分（17）（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，分別為，的中點(diǎn).（）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（）求二面角的余弦值；（）求點(diǎn)到平面的距離.解：

13、（）.連結(jié)，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以.1分又因?yàn)?，所以?分所以四邊形為平行四邊形，故1分注：回答與共面，也給滿分。（）由已知兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系.1分2分設(shè)平面法向量為，.2分平面的法向量為1分2分二面角的余弦值為.1分（），.1分設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則2分（18）（本小題滿分13分）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京和張家口舉辦. 為了普及冬奧知識(shí)，京西某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從高一年級(jí)（共六個(gè)班）答題優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽查了名，得到這名優(yōu)秀學(xué)生的統(tǒng)計(jì)如下：高一班級(jí)一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人數(shù)（）從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加區(qū)里冬奧

14、知識(shí)比賽.（）恰好這名學(xué)生都來(lái)自同一班級(jí)的概率是多少？（）設(shè)這名學(xué)生中來(lái)自高一（2）的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）如果該校高中生的優(yōu)秀率為，從該校中隨機(jī)抽取人，這兩人中優(yōu)秀的人數(shù)為，求的期望.解:（）（）20名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生共有.2分設(shè)恰好2名學(xué)生都來(lái)自同一班級(jí)共有1分.1分注：如果沒(méi)有設(shè)，有答不扣分，沒(méi)有設(shè)，也沒(méi)有答扣1分（）可取0，1，2，1分，.3分的分布列為：012.1分的期望.1分（）可取0，1，2，1分，所以2分注：只寫(xiě)出，不扣分.（19）（本小題滿分15分）已知函數(shù) （）求在點(diǎn)處的切線方程；（）證明：在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（）證明：當(dāng)， 解：（）.2分，得切線方程

15、為2分（）由（）得，時(shí)，.1分時(shí)，單調(diào)遞減，2分由零點(diǎn)存在定理可得，在存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，1分且當(dāng)，所以，在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)2分（）由（）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，.1分，所以，當(dāng)時(shí)，.2分當(dāng)時(shí)，.2分（20）（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為.（）求的方程；（）設(shè)直線與分別相交于兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)試問(wèn)：當(dāng) 變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（）由題意得：.3分（）若，與橢圓相交于.1分直線：，直線1分.1分由橢圓的對(duì)稱性若可得交點(diǎn)為.1分當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上 1分若時(shí)，1分設(shè)交點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得：（1）.1分直線：與定直線相交于，得.1分同理直與直線相