2021屆江蘇省常州市高三下學期學業(yè)水平監(jiān)測期初聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 21 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 21 頁2021屆江蘇省常州市高三下學期學業(yè)水平監(jiān)測期初聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】先求得集合，根據方程，求得或，分，和三種情況，結合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，即，又由，解得或，當時，可得集合，此時不滿足；當時，可得集合，若，要使得，則滿足，解得；若，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2i是虛數(shù)單位，在復平面內復

2、數(shù)對應的點的坐標為（ ）A(，)B(，)C(，)D(，)【答案】A【分析】把復數(shù)化為代數(shù)形式，可得對應點坐標【詳解】，對應點坐標為故選：A3已知a，b，c是實數(shù)，則“ab”是“ac2bc2”的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據不等式的性質及充分條件、必要條件求解.【詳解】因為abac2bc2, 而ac2bc2 ab，例如，所以“ab”是“ac2bc2”的充分不必要條件，故選：B4設函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(1，)處的切線方程為y=x，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）A(0，1)B(0，)C(，)D(，1)【答案】C【分析】由的圖象在點(1，)處的切

3、線方程為y=x，得到求出a、b，直接利用導數(shù)求出增區(qū)間.【詳解】的定義域為，函數(shù)的圖象在點(1，)處的切線方程為y=x，解得：欲求的增區(qū)間只需，解得：即函數(shù)的增區(qū)間為(，)故選：C【點睛】函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系：已知函數(shù)在某個區(qū)間內可導，（1）如果0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；如果0，0，k，bR，則函數(shù)在區(qū)間(，)上的零點最多有（ ）A4個B5個C6個D7個【答案】B【分析】根據函數(shù)零點可轉化為兩個函數(shù)圖象交點，畫出函數(shù)大致圖象即可求解.【詳解】由，可得， 的周期，故在區(qū)間(，)上恰好2個周期，作出與函數(shù)的大致圖象如圖，由圖象可知，最多有5個交點，故函數(shù)在區(qū)間(，)上的零點最多有5個.

4、故選：B【點睛】關鍵點點睛：函數(shù)的零點問題可轉化為方程的根的問題，也可轉化為兩個函數(shù)圖象交點的問題，本題轉化為函數(shù)圖象交點問題，作出大致圖象可判斷交點個數(shù).二、多選題9已知，是平面上夾角為的兩個單位向量，在該平面上，且()()=0，則下列結論中正確的有（ ）ABCD，的夾角是鈍角【答案】BC【分析】在平面上作出，作，則可得出點在以為直徑的圓上，這樣可判斷各選項，特別是CD 由向量加法和減法法則判斷AB【詳解】如圖，則，即，B正確；，由()()=0得，點在以直徑的圓上（可以與重合）中點是，則，A錯；的最大值為，C正確；與同向，由圖，與的夾角不可能為鈍角D錯誤故選：BC【點睛】思路點睛：本題考查向

5、量的線性運算，考查向量數(shù)量積解題關鍵是作出圖形，作出，確定點軌跡，然后由向量的概念判斷本題也可以放到平面直角坐標系中用坐標解決10已知在數(shù)學測驗中，某校學生的成績服從正態(tài)分布，其中分為及格線，則下列結論中正確的有（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則）（ ）A該校學生成績的期望為B該校學生成績的標準差為C該校學生成績的標準差為D該校學生成績及格率超過【答案】ABD【分析】根據正態(tài)分布的數(shù)字特征可判斷ABC選項的正誤，計算出，可判斷D選項的正誤.【詳解】因為該校學生的成績服從正態(tài)分布，則，方差為，標準差為，.所以，該校學生成績的期望為，該校學生成績的標準差為，該校學生成績及格率超過.所以，ABD選項正確

6、，C選項錯誤.故選：ABD.11意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和，則下列結論中正確的有（ ）ABCD【答案】ACD【分析】根據斐波那契數(shù)列的遞推關系進行判斷【詳解】由題意斐波那契數(shù)列前面8項依次為，A正確，B錯誤；，C正確；，時，得，D正確故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列新定義，解題關鍵是正確理解新數(shù)列，根據新定義，斐波那契數(shù)列滿足遞推關系，對于數(shù)列前面有限的項或前項的和可以直接求出項，計算，對于一般的結論只能利用這

7、個遞推關系判斷12設函數(shù)的定義域為D，若存在常數(shù)a滿足a，aD，且對任意的a，a，總存在a，a，使得，稱函數(shù)為P(a)函數(shù)，則下列結論中正確的有（ ）A函數(shù)是函數(shù)B函數(shù)是函數(shù)C若函數(shù)是函數(shù)，則t=4D若函數(shù)是P()函數(shù)，則b=【答案】AD【分析】根據題中所給定義，結合條件，逐一檢驗各個選項，分析整理，即可得答案.【詳解】對于A：，定義域為R，當時，有，對任意，因為，存在，使，所以函數(shù)是函數(shù)，故A正確；對于B：，定義域為R，當時，有，當時，所以不存在，使得，此時，故B錯誤；對于C：當t=4時，定義域為，因為，則，所以，又為增函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，所以，即，故C錯誤；對于D：當 時，所以

8、，因為函數(shù)是P()函數(shù)，所以對任意，總存在使，又，當時，當時，有，解得b=，故D正確.故選：AD【點睛】解題的關鍵是掌握P(a)函數(shù)的定義，并根據選項所給條件，結合各個函數(shù)的性質，進行分析和判斷，綜合性較強，屬中檔題.三、填空題13圓柱上下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的表面積為_.【答案】80【分析】作出圓柱的軸截面，求出圓柱的高，即可得表面積【詳解】如圖是圓柱的軸截面，其外接圓是球的大圓，由得，又，圓柱表面積為故答案為：14函數(shù)的最小正周期T=_.【答案】【分析】由題可得，可判斷是以為周期的函數(shù)，再討論在和的單調性可得出結論.【詳解】，是以為周期的函數(shù)，當時，

9、函數(shù)單調遞減，當，函數(shù)單調遞增，在內不存在小于的周期，是的最小正周期.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期的求解，解題的關鍵是先判斷出是函數(shù)的周期，再根據其性質探討其為最小正周期.15已知函數(shù)，則使不等式成立的實數(shù)t的取值范圍是_.【答案】【分析】利用的圖象關于直線對稱，且在時為減函數(shù)，可解不等式【詳解】， ，所以的圖象關于直線對稱，時，設，則，所以，即即是減函數(shù)，所以時函數(shù)為增函數(shù)，因此由得，解得且故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)的對稱性與單調性，利用對稱性、單調性不等式，求解方法類似于二次函數(shù)：對開口向上的拋物線，離對稱軸越近，函數(shù)值越小，開口向下的拋物線，離對稱軸越近，函數(shù)值

10、越大四、雙空題16已知橢圓C1：的右焦點F也是拋物線C2：y2=nx的焦點，且橢圓與拋物線的交點到F的距離為，則實數(shù)n=_，橢圓C1的離心率e=_.【答案】4 【分析】依題意可得橢圓與拋物線的焦點為，根據拋物線的定義即可求出，再設橢圓與拋物線在第一象限的交點為，由拋物線的定義求出的坐標，最后代入橢圓方程，求出參數(shù)，即可求出橢圓離心率；【詳解】解：橢圓C1：，所以右焦點，又也為的焦點，所以，所以，即拋物線，則拋物線的準線為，設橢圓與拋物線在第一象限的交點為，則，所以，又點在上，所以，解得，所以，所以，解得或（舍去）所以橢圓方程為，所以，所以離心率故答案為：；五、解答題17設等比數(shù)列的公比為q(q

11、1)，前n項和為.（1）若，求的值；（2）若q1，且，m，求m的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知根據等比數(shù)列的求和公式得，可求得公比，由此可求得的值；.（2）由已知和等比數(shù)列的通項公式得可求得公比代入可求得的值.【詳解】解：（1），解得，所以.（2）得因為，所以由又所以，即因為則所以，解得.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，關鍵在于準確地運用相應的公式，建立方程或方程組，求解得答案.18已知中，它的內角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據題設條件，利用余弦定理，求得，進而求得的值；（2）由，得到，進

12、而求得的值.【詳解】（1）在中，因為，即由余弦定理可得，因為，所以.（2）在中，可得，可得，由，可得，又由，則，則，所以.19已知某射手射中固定靶的概率為，射中移動靶的概率為，每次射中固定靶移動靶分別得1分2分，脫靶均得0分，每次射擊的結果相互獨立，該射手進行3次打靶射擊：向固定靶射擊1次，向移動靶射擊2次.（1）求“該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次”的概率；（2）求該射手的總得分X的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：.【分析】（1）記“該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次”為事件，得到，結合互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式，即可求解；（2）隨機變量的

13、可能取值為0，1，2，3，4，5，根據互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式，求得相應的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）記“該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次”為事件，則，其中互斥，相互獨立，從而，則，所以該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次的概率為.（2）隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，則，,該射手的總得分的分布列為X012345隨機變量的數(shù)學期望【點睛】求隨機變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個值對應的概率，寫出隨機變量的分布列；3、由期望和方差的計算公式，求得數(shù)學期望；4、若隨機變量的分布列為特殊分布列

14、（如：兩點分布、二項分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20如圖，在四棱錐中，底面四邊形是矩形，平面 平面，二面角的大小為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性質定理得出平面，可得出，推導出為等腰直角三角形，可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面；（2）在底面內，過點作，垂足為，連接，設，推導出為直線與平面所成角，計算出、，進而可計算得出.【詳解】（1）四棱錐中，四邊形是矩形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面所以平面，又因為、平面，所以，從而是二面角的平面角，因為二面角的大小為，所以

15、，在中，所以，所以，即，又因為，所以平面；（2）在底面內，過點作，垂足為，連接，由（1）知平面，又平面，所以，又因為，所以平面，從而為直線與平面所成角，設，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，作，在直線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據是直線與平面所成角的概念；求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.21已知函數(shù)，a，bR.（1）若a0，b0，且1是函數(shù)的極值點，求的最小值；（2）若b=a+1，且存在，

16、1，使成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）最小值；（2）.【分析】（1）由1是函數(shù)的極值點得，對用基本不等式中“1的代換”求最值；（2）把“存在，1，使成立”轉化為函數(shù)在上的最小值小于0，利用導數(shù)討論單調性，找到最小值，解出a的范圍即可.【詳解】解：（1）因為是函數(shù)的極值點，所以即此時當當所以函數(shù)在處取極小值.所以因為，所以(當且僅當時等號成立)此時有最小值.（2）當時，存在使成立，即函數(shù)在上的最小值小于當即時，在上單調遞減，所以在上的最小值為，所以，不符，舍去；當即時，在上單調遞增，所以在上的最小值為所以，又所以；（3）當時，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上的最小值為因為所以所

17、以所以，所以不符，舍去，綜上可得，的取值范圍是.【點睛】（1）導數(shù)為零，并且兩側導數(shù)一正一負的點為極值點；導數(shù)為零，但是兩側導數(shù)符號相同的點不是極值點.（2）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性要注意：討論函數(shù)的單調性是在函數(shù)的定義域內進行，切記不要忽略定義域的限制；利用導數(shù)求函數(shù)單調性，大多數(shù)情況下歸結為對含參數(shù)的不等式的解集的討論；在能夠通過因式分解求出不等式對應方程解時，依據根的大小進行分類討論；在不能通過因式分解求出不等式對應方程解時，根據不等式對應方程的判別式進行分類討22已知等軸雙曲線C：(a0，b0)經過點(，).（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點B(0，1).過原點且斜率為k的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求EBF最小時k的值；點A是C上一定點，過點B的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，為定值，求點A的坐標及實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；或者.【分析】（1）由題意，代入已知點建立方程，解之可得雙曲線的標準方程.（2）由對稱性可設，且，運用向量數(shù)量積的坐標運算表示，又由可得，由此可得最小時，的值.設過點的動直線為：設與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據根的判別式和根與系數(shù)的關系可求得且，由直線的斜率公式得，再由恒等式的