圓波導(dǎo)的模式分析

1、圓波導(dǎo)的模式分析中文摘要摘要為研究波導(dǎo)電磁場分布情況，本課題采用了 MATLAB編程的方式直觀顯示其電磁場矢量分布圖。首先對微波技術(shù)的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀做了系統(tǒng)的概述， 同時對波導(dǎo)的定義及特點還有主要的參數(shù)做了一番概括，本文也粗略介紹了 MATLAB的主要功能和特點以及MATLAB在本次設(shè)計中起到的主要作用。接著 從矩形波導(dǎo)出發(fā)，通過對麥克斯韋方程組的推導(dǎo)得出波動方程，并且求解這個偏 微分方程并結(jié)合邊界條件得出矩形波導(dǎo)內(nèi)的電磁場分布表達(dá)式，另外，通過分析 得出了矩形波導(dǎo)的一般特性。然后用分離變量法求解波動方程的柱坐標(biāo)形式，并 結(jié)合邊界條件得出圓波導(dǎo)的場表達(dá)式及其特性。關(guān)鍵詞波導(dǎo)場分布波動方程 MA

2、TLAB外文摘要TitleAnalysisofCircularWaveguide modeAbstractTo study the circular waveguide electromagnetic field distribution, I use MATLAB to visual display its electromagnetic field distribution. First , I do a summarize of the development history and current status of microwave technology ,and sketch o

3、ut the definition and characteristics of waveguide with some main parameters. At the same time , this article dose some introduction of MATLABs main function and its characteristics and the role matlab plays in the design. Then , based on Maxwells equation , we can derive the wave equation and solve

4、 the partial differential equations . Applying the boundary conditions ,we can conclude the field expression . Besides , we can study the general characteristics ofthe rectangular waveguide.Then ,we can use the method of separation of variables to solve the Helmholtz equation of cylindrical coordina

5、te system, and similarly, get the field expression and characteristics ofthe circular waveguide with the help of boundary conditions.Keywordswaveguidefield distributionHelmholtz equationMATLAB1緒論1.1微波技術(shù)的發(fā)展歷史微波，根據(jù)國際電工委員會（IEC）的定義，是指，波長足夠短，以致在發(fā)射 和接收中能實際應(yīng)用波導(dǎo)和諧振腔技術(shù)的電磁波”1。通常來說，微波是指波長 在1mm1000mm、頻率在300MHz3

6、00GH范圍內(nèi)的電磁波，即分布在分米波、 厘米波、毫米波三個波段的電磁波。在微波技術(shù)的發(fā)展歷史上，有那么一位舉足 輕重的人物詹姆斯克拉克麥克斯韋(James Clerk Maxwell, 1831 1879), 他是英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，經(jīng)典電動力學(xué)的創(chuàng)始人，統(tǒng)計物理學(xué)的奠基人之一 2。他被普遍認(rèn)為是對物理學(xué)最有影響力的物理學(xué)家之一，他對基礎(chǔ)自然科學(xué) 的貢獻(xiàn)僅次于牛頓。如果說牛頓把天上和地上的運動規(guī)律統(tǒng)一起來，是實現(xiàn)物理 學(xué)的第一次大綜合，那么麥克斯韋把電和光統(tǒng)一起來，就是繼牛頓之后的“物理 學(xué)第二次大統(tǒng)一”，就連愛因斯坦在他的百年誕辰的紀(jì)念會上，也評價其建樹“是 牛頓以來，物理學(xué)最深刻和最富

7、有成果的工作”。1862年，麥克斯韋就提出了位移電流的概念，并提出了“光與電磁現(xiàn)象有聯(lián) 系”的想法，1865年，麥克斯韋在其論文中第一次使用了 “電磁場” (electro-magnetic) 一詞，并提出了電磁場方程組(麥克斯韋方程組)，推演了 波動方程，還論證了光是電磁波的一種。1885年。赫茲從事電磁波方面的研究， 確定了麥克斯韋理論的正確性。麥克斯韋方程組是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)，在這些基 礎(chǔ)理論以后，現(xiàn)代電力科技和電子科技得到飛速的發(fā)展。1888年到1889年，赫 茲發(fā)表了文章提到他產(chǎn)生并且輻射出去的波長集中分布在米波和分米波段，另 外，他還曾把二米長的鋅版彎成拋物面的形狀，把振子放在焦線

8、上，以此證明了 電磁波的直線進行性質(zhì)和可聚焦性質(zhì)，所以，赫茲發(fā)明了拋物反射面天線。19世紀(jì)末，物理學(xué)家們就解決了未來微波的傳輸工具問題，J.J.Thomson在 其著作中還預(yù)言了圓波導(dǎo)，更給出了有限電壁波導(dǎo)的初步理論，1910年，D.Hondros和P.Debye給出用介質(zhì)圓波導(dǎo)的原理，并且H.Zahn和Schriever對此 發(fā)表了有關(guān)實驗。1936年，美國貝爾研究所的GC.Southworth宣布了波導(dǎo)傳輸 實驗的成功，1938年，美國IRE舉行了關(guān)于波導(dǎo)的學(xué)術(shù)報告會，表演了四種重 要的模式，同時，又舉行了喇叭天線(又開口逐步擴大而成)的報告和演示會， 自此以后，微波成為一個熱門話題。同年

9、，美籍華人朱蘭成在雜志上發(fā)表了題為 “圓形中空金屬管子里的電磁波”的文章，是關(guān)于橢圓波導(dǎo)的第一篇論文。第二次 世界大戰(zhàn)期間，對能夠進行探測定位的高分辨率雷達(dá)的迫切需要，大大促進了微 波技術(shù)的發(fā)展。第二次世界大戰(zhàn)后，微波技術(shù)進一步發(fā)展，不僅系統(tǒng)研究出了微 波技術(shù)的傳輸理論，而且向著多方面多領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)展，并且一直不斷地完善。 在20世紀(jì)70年代初期，我國也開始研究和利用微波技術(shù)，首先是在連續(xù)微波磁 控管的研制方面取得重大進展，特別是大功率磁控管的研制成功，為微波技術(shù)的 應(yīng)用提供了先決條件3。微波在電磁波頻譜中的低頻端與“超短波”相連接而高頻端與“遠(yuǎn)紅外”毗鄰 4，對于不同的介質(zhì)具有不同的反射和透

10、射特性，使其在雷達(dá)、射電天文和地 質(zhì)地礦等領(lǐng)域可應(yīng)用于探測，在工業(yè)中可應(yīng)用于無污染加熱和產(chǎn)品檢測等，在日 常生活中可應(yīng)用于無油煙食物烹飪和無線通信，以及在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域可應(yīng)用于病理診 斷和微波理療等。1.2波導(dǎo)的簡介總的來說，任何可以將電磁波從一端導(dǎo)至另一端的結(jié)構(gòu)都能被稱為波導(dǎo)。在 這種定義下，平行傳輸線、同軸電纜、微帶線、共面槽線、不同截面的空心金屬 管以及電介質(zhì)板或電介質(zhì)柱都可以稱作波導(dǎo)。因為自由空間也能進行波的傳輸， 所以，從一定意義上來說，自由空間也可以被看作是波導(dǎo)。在微波工程中，波導(dǎo) 這個概念不僅指空心的金屬管，也可以是部分填充的金屬管，這些金屬管的截面 可以是矩形，圓形，也可以是橢圓形，

11、這類波導(dǎo)將傳輸?shù)碾姶挪ㄍ耆拗圃诮饘?管內(nèi)：另外還有一種表面波導(dǎo)，將引導(dǎo)的電磁波約束在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的周圍，這兩類 波導(dǎo)分別稱為封閉波導(dǎo)和表面波波導(dǎo)。封閉波導(dǎo)對于管波導(dǎo)（即封閉波導(dǎo)）而言，電磁波在波導(dǎo)中的傳播會受到波導(dǎo)內(nèi)壁的 限制或反射，由于波導(dǎo)管壁的導(dǎo)電率通常很高（一般是銅鋁等金屬，有時可能鍍 有銀或金），這是就可以假定波導(dǎo)壁是理想導(dǎo)體，波導(dǎo)管內(nèi)的電磁場分布可由 Maxwell方程組并結(jié)合邊界條件來求解5。波導(dǎo)中存在著無限多種電磁場的結(jié)構(gòu) 或分布，每一種分布都被稱為一種波型（模式），每一種波型都有著對應(yīng)的截止 波長和相速，橫截面均勻地空心波導(dǎo)稱為均勻波導(dǎo)，均勻波導(dǎo)中電磁波的可分為 橫電波（TE模）

12、和橫磁波（TM模）兩大類。但是，與普通的傳輸線不同的是， 波導(dǎo)管理不能傳輸TEM模，而且，波導(dǎo)管中存在著嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。但是波導(dǎo) 管也有著其獨特的優(yōu)點：導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗小，沒有輻射損耗，功率容量大， 結(jié)構(gòu)簡單，易于制造。表面波波導(dǎo)表面波波導(dǎo)與管波導(dǎo)的不同點在于表面波波導(dǎo)在邊界外有電磁場存在，他的 傳播模式為表面波。表面波主要集中在毫米波和亞毫米波波段。因為金屬管的尺 寸太小，所以損耗較大并且制造困難，在這情況下，就可以使用表面波導(dǎo)，除具 有良好的傳輸性外，表面波波導(dǎo)還有其他特點：結(jié)構(gòu)簡單，制作容易，可具有集 成電路需要的平面結(jié)構(gòu)，表面波波導(dǎo)的主要形式有：介質(zhì)線，介質(zhì)鏡像線，H- 波導(dǎo)和鏡像凹

13、波導(dǎo)。特征參數(shù)從應(yīng)用角度看，描述波導(dǎo)的特征參數(shù)有以下四點：色散特性波的傳播速度隨頻率變化的現(xiàn)象稱為色散現(xiàn)象或色散效應(yīng)，并且稱傳播速度 隨頻率變化的波為色散波。若相速度隨頻率的提高而減小，則屬于正常色散，相 反，若相速度隨頻率的提高而增加，則屬于非正常色散，波的色散程度取決于因 子，我們稱其為波型因子或色散因子，當(dāng)時，即無色散。均勻波導(dǎo)中導(dǎo)行波的 相速、群速隨頻率的變化曲線如圖（1.1）所示。圖1.1均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)中導(dǎo)行波的相速、群速和色散現(xiàn)象特征阻抗在高頻范圍內(nèi)，信號傳輸過程中，信號沿到達(dá)的地方，信號線和參考平面（電 源或地平面）間由于電場的建立，會產(chǎn)生一個瞬間電流，如果傳輸線是各向同性 的，那

14、么只要信號在傳輸，就始終存在一個電流I，而如果信號的輸出電平為V， 在信號傳輸過程中，傳輸線就會等效成一個電阻，大小為V/I6，把這個等效的 電阻稱為傳輸線的特征阻抗Z。特征阻抗Z與傳播常數(shù)有關(guān)：TE:TM:特征阻抗Z在幅值上反映波導(dǎo)橫向電場與橫向磁場之比。當(dāng)不同波導(dǎo)連接 時，特征阻抗越接近，連接處的反射越小。波導(dǎo)的特征阻抗是量度連接處對電磁 能反射大小的一個很有用的參量。損耗損耗是限制波導(dǎo)遠(yuǎn)距離傳輸電磁波的主要因素，主要分為導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損 耗。由于在有限電導(dǎo)率導(dǎo)體壁處，電場切向分量的邊界條件不再成立，導(dǎo)體壁處 既有，必構(gòu)成垂直于導(dǎo)體壁方向進入導(dǎo)體壁內(nèi)的坡印廷功率流，引起電阻損耗， 即導(dǎo)體損

15、耗，用表示。若導(dǎo)波系統(tǒng)中填有介質(zhì)，且介質(zhì)的漏電導(dǎo)率，則當(dāng)電磁波沿波導(dǎo)傳輸時，在 介質(zhì)中必有，產(chǎn)生焦耳損耗，稱這類介質(zhì)為有耗介質(zhì)，產(chǎn)生的損耗即為介質(zhì)損耗， 其損耗特性用介質(zhì)衰減常數(shù)來衡量，定義為“波每傳輸單位距離后由介質(zhì)漏電導(dǎo) 引起的場強幅度衰減量”。場分布滿足波導(dǎo)橫截面邊界條件的一種可能的場分布稱為波導(dǎo)的模式，不同的模式 有不同的場結(jié)構(gòu)，它們都滿足波導(dǎo)橫截面的邊界條件，可以獨立存在。波導(dǎo)中的 場結(jié)構(gòu)可以分為兩大類：TE模：電場沒有縱向分量TM模：磁場沒有縱向分量1.3 Matlab的簡介MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù) 據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算

16、的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括 MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。 是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計 的高科技計算環(huán)境,它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài) 系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中7，為科 學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的 解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran） 的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進水平。在

17、我們學(xué)習(xí)電磁場與微波技術(shù)的過程中，多數(shù)研究者采用了理論分析的方法 解決問題，傳統(tǒng)的波導(dǎo)模式理論分析建立在利用邊界條件解電磁波波動方程的基 礎(chǔ)之上，這種方法數(shù)學(xué)復(fù)雜，物理圖像基本上淹沒在繁雜的數(shù)學(xué)之中，對許多概 念和參數(shù)的物理意義反而不是那么重視，并且在研究波導(dǎo)中場的分布的時候沒有 直觀的印象，對于涉入相關(guān)研究未深的研究者來說理解有著相當(dāng)?shù)碾y度。因此， 當(dāng)實際問題通過理論分析的方法無法解決的情況下，數(shù)值計算和仿真模擬成為人 們的一大選擇。但是，數(shù)值計算的方法給出的只是特定條件下的結(jié)果，雖然具有 一定的參考價值，但不具有普遍意義，因此理論分析仍然具有重要意義，利用 Matlab軟件的圖形技術(shù)對時變

18、電磁場的三維空間分布進行仿真，對矩形波導(dǎo)中的 TE10模等的場結(jié)構(gòu)進行了仿真,將抽象的電磁場概念形象化、可視化，有利于對電 磁波傳播特性的理解8。因此，在這次的設(shè)計中，就借助MATLAB等仿真工具 的輔助，對于電磁場在波導(dǎo)中的分布情況能夠更直觀的展現(xiàn)。對圓波導(dǎo)的模式分 析雖然是比較基礎(chǔ)的研究，在對波導(dǎo)的應(yīng)用已經(jīng)達(dá)到很高層次的今天，表面看上 去雖然沒有實際意義，但是對于我將來對電磁場與微波技術(shù)方面的的學(xué)習(xí)卻有著 極為重要的作用。1.4本論文的安排本論文主要分為三大部分。第一大部分對均勻波導(dǎo)進行分析，第一大部分可以分成三小部分，首先通過 對麥克斯韋方程組的推導(dǎo)，得出波動方程，然后對波動方程解偏微分

19、方程，并通 過邊界條件，得出均勻矩形波導(dǎo)的場解表達(dá)式以及一系列特征參量；第二小部分 主要是對均勻矩形波導(dǎo)的一般特性進行分析，主要包括傳播常數(shù)、群速、相速、 能流以及損失和衰減等；最后，通過MATLAB軟件對矩形波導(dǎo)內(nèi)橫向電磁場進 行仿真，并描述和理解電磁場的分布情況。第二大部分是對圓波導(dǎo)的分析，同樣分成了三個小部分，第一小部分與對均 勻波導(dǎo)的分析類似，首先仍是對場解表達(dá)式的推導(dǎo)，在圓波導(dǎo)中，首先將直角坐 標(biāo)系下的波動方程轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系下的波動方程，利用分離變量的方法求解偏微 分方程；第二部分，通過以上得出的微分方程的解，再利用邊界條件得出圓波導(dǎo) 內(nèi)的場結(jié)構(gòu)分布表達(dá)式，同時得出個特征參量；最后，

20、同樣，通過MATLAB軟 件對矩形波導(dǎo)內(nèi)橫向電磁場進行仿真，并描述和理解電磁場的分布情況。第三大部分主要作為對以上工作內(nèi)容的總結(jié)以及對未來發(fā)展的展望。2均勻波導(dǎo)的分析方法2.1均勻波導(dǎo)的一般分析假設(shè)一段任意截面的無限長金屬波導(dǎo)，其中填充了均勻介質(zhì)，其介電常數(shù)為， 磁導(dǎo)率為（如圖2.1）。對沿z方向傳播的電磁波來說，電場和磁場表達(dá)式為：211212其中表示z方向的傳播常數(shù)。圖2.1任意截面的均勻波導(dǎo)對波導(dǎo)內(nèi)的電磁場的分析是為了確定式（2.1.1）和（2.1.2）形式的無源麥克斯 韋方程組的可能解，最終得出的解應(yīng)該包括場的分布和傳播常數(shù)。為了得出麥克斯韋方程組的解，我們將式（2.1.1）和（2.1

21、.2）代入麥克斯韋方 程組的第一個式子:，并進行消元，可以得到：213214215216其中，和均相同，稱為橫向拉普拉斯算子，Q表示波導(dǎo)的截面。由于波導(dǎo) 在z方向沒有幾何變化，滿足邊界條件：217可以利用，通過式（2.1.4）獲得。218亥姆霍茲方程和邊界條件表明，在填充了同性介質(zhì)的均勻波導(dǎo)中，和既與波 導(dǎo)中的介質(zhì)無關(guān)，也與波導(dǎo)的邊界無關(guān)，因此，和可以在波導(dǎo)中獨立存在。所以， 我們可以得出兩組獨立的解。其中一組有，另一組有。第一組解對應(yīng)的場稱為橫 磁波導(dǎo)模，因為磁場在z方向是橫向的：第二組解對應(yīng)的場稱為橫電波導(dǎo)模，因 為電場在z方向是橫向的。為了分析TM模，我們首先解決式（2.1.5）中偏微分

22、 方程定義的邊界值問題和式（2.1.7）中的邊界條件問題。只要解出和，其他場分 量均可由式（2.1.3）和式（2.1.4）得出，或者更明確地說：219同樣可得到TE模：2110由麥克斯韋方程組的前兩個等式的積分形式，21112112我們可以很容易理解或只能有一種存在于這種波導(dǎo)中。因為電場或磁場中z分量的存在，由坡印廷矢量表示的能流密度并不完全指 向z方向，而凈功率流卻是，因此，電磁場在波導(dǎo)中以曲折的方式傳播。但是， 如果某個波導(dǎo)是用兩種或兩種以上獨立的導(dǎo)體并且之間填充了均質(zhì)材料（例如同 軸波導(dǎo)或平行傳輸線）的話，就有可能由于導(dǎo)體之間的勢能不同而出現(xiàn)不是閉合 輪廓線的TE場，因此，TE場不需要z

23、方向的磁場存在。盡管由于不存在磁荷， 磁場的封閉輪廓線仍然是非零的，但是TM場仍然可以由被磁場線包圍的導(dǎo)體電 流支撐，因此TM場不需要z方向的電場支撐。在這種情況下，這種波導(dǎo)模被稱 為TEM模，這是因為電場和磁場相對傳播方向來說都是橫向的，這種膜的傳播 常數(shù)為k.由于電場和磁場相對z方向都是橫向的，坡印廷矢量的方向為z方向， 這就意味著電磁波在的傳播方向也是z方向。均勻波導(dǎo)支持TE模和TM模的存在，假設(shè)這些波在z方向傳播，并且傳播 常數(shù)為k，那么TM模的各分量就如式（2.1.9）所示，我們可以將其更明確地寫 成：21132114而TE模的各分量可以由式（2.1.10）得出，同樣也可以寫成：21

24、152116假設(shè)一段矩形波導(dǎo)沿軸線方向式無限長的，并且其中均勻填充勻質(zhì)材料，其 介電常數(shù)為，磁導(dǎo)率為，其截面為的矩形（如圖2.2）。由于滿足亥姆霍茲方程， 利用分離變量法，的解的一般形式如下：2117其中，。通過利用導(dǎo)體壁的邊界條件，我們發(fā)現(xiàn)，圖2.2均勻矩形波導(dǎo)最后兩個方程叫做特征方程，它決定了特征值，方程的解為：2118因此，傳播常數(shù)為：2119由此，式（2.1.17）可以寫成：2120其中為常數(shù)。將其代入式（2.1.13）和式（2.1.14），得到其他場分量：21212122212321242125其中，。這些都是的模態(tài)場，截止波數(shù)，截止波長，截止頻率分別為：212621272128TM

25、模的主模為模，其截止波長和截止頻率分別為：2129對TE模來說，因為滿足亥姆霍茲方程，也有一般形式：2130其中，。這種情況下，邊界條件為，它等價于：2131通過應(yīng)用邊界條件，我們發(fā)現(xiàn)，最后兩個方程也叫作特征方程，可以確定 特征值和。這兩個方程的解為：2132m=n=0除外，因為這樣會出現(xiàn)零解。因此，傳播常數(shù)的形式與式（2.1.19）一樣，式（2.1.30）可以寫成：2133其中是常數(shù)。其他場分量為：21342135213621372138這些都是模的模態(tài)場。除了m和n是從零開始以外，截止波數(shù)，截止波長， 截止頻率等都與相同。很明顯，有的矩形波導(dǎo)主模為模，緊接著的是?；蚰＃唧w是哪種模取決 于

26、相對于的大小。再接下來的是模和模，有矩形波導(dǎo)的截止頻率的分布見圖2.3。 在多數(shù)應(yīng)用條件下，波導(dǎo)在單模頻率范圍內(nèi)傳輸，也就是只能傳輸模。圖2.3 2:1矩形波導(dǎo)截止頻率分布2.2均勻波導(dǎo)的特性2.2.1 一般特性當(dāng)我們解亥姆霍茲方程（2.1.5）或應(yīng)用邊界條件式（2.1.7）時，我們得到了 無數(shù)組解，我們可以把這些解記作（），并且對應(yīng)于TM模。類似地，當(dāng)我們解 亥姆霍茲方程（式2.1.6）和應(yīng)用邊界條件（式2.1.8）時，我們也得到了無數(shù)組 解，我們同樣把這些解記作（），并且對應(yīng)于TE模。雖然為了方便，兩組解均 使用了符號，但是第二組解的不必與第一組相同，無論哪種模式，傳播常數(shù)均由 以下等式求

27、出：221其中為了簡化計算，模式指數(shù)在這里以及下面的公式中暫時忽略（但是，要 理解這些公式在每種模式中都是能夠應(yīng)用的）。顯然，傳輸常數(shù)只能是實數(shù)或者 虛數(shù)，并且由頻率決定：222當(dāng)時，該模式能在波導(dǎo)中傳播，否則，該模式將會衰減。模式從傳播到衰 減的節(jié)點被稱為截止，對應(yīng)的截止波數(shù)，截止波長，截止頻率為：223這種截止現(xiàn)象與可以傳輸任何頻率的傳統(tǒng)平行傳輸線和同軸電纜明顯不同， 這種性質(zhì)是由波在波導(dǎo)中的之字形傳播引起的。截止波在橫向平面內(nèi)不斷往返， 結(jié)果導(dǎo)致它們不能在縱向不能傳播能量。從式（2.2.2）給出的傳播常數(shù)，我們可以求出波導(dǎo)波長：224從波導(dǎo)波長可以得出在一個周期內(nèi)，沿著z方向的波的變化，

28、由此，我們可 以得到相速度：225其中。很明顯，波導(dǎo)中相速度大于光速，但是群速度卻不能大于光速。根據(jù) 群速度的定義式，它可以由以下式子求出：226可見，群速度小于光速。電磁波在傳播過程中還有另外一個重要的參數(shù)，那就是在傳播方向上的波阻 抗。TM模的波阻抗為：227而TE模的波阻抗為：228其中，。在截止點，波導(dǎo)對TM模表現(xiàn)為短路，對TE模表現(xiàn)為開路。2.2.2波導(dǎo)損失及衰減常數(shù)以上分析都是建立在波導(dǎo)是理想導(dǎo)體并且傳輸媒介無耗的基礎(chǔ)上的，當(dāng)導(dǎo)體 是非理想導(dǎo)體或者說傳輸媒介有耗的情況下，波的傳播就會存在衰減。其中，這 種非理想導(dǎo)體產(chǎn)生的衰減成為導(dǎo)體損耗，由于傳輸媒介產(chǎn)生的損耗稱之為介質(zhì)損 耗。在分

29、析這兩種損耗之前，我們先導(dǎo)出在一般波導(dǎo)中耗散的能量的衰減常數(shù)的 公式。對于有耗波導(dǎo)，傳播常數(shù)是復(fù)數(shù)，即，其中是衰減常數(shù)，是相位常數(shù)，正在 傳播的電場磁場可以表示為：2292210復(fù)數(shù)坡印廷矢量變成：2211其中實部表示時間平均能流密度：2212波導(dǎo)的時間平均能流密度可以通過對波導(dǎo)橫截面積分求得：2213所以：2214因此，只需要求出就可以求出，可以應(yīng)用能量守恒定律，取從到的一小段截 面求得。能量守恒定律可以寫成：2215表示源時間平均功率，表示離開包圍截面的表面的時間平均功率，表示截面 內(nèi)消耗的功率。首先考慮波導(dǎo)壁上有限電導(dǎo)率造成的衰減，在這種情況下，和都不存在，因 此，這就意味著進入前端表面

30、的能量與離開后端表面（即穿過波導(dǎo)壁內(nèi)表面） 的能量相等，這些能量最終會在不良導(dǎo)體中耗散。用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示成：2216由此可以得到：2217其中，平面包圍平面，所以，導(dǎo)體損耗的衰減常數(shù)為：2218對理想導(dǎo)體來說，。很顯然，從上式我們可以看出，要計算出衰減常數(shù)，我們需要知道波導(dǎo)內(nèi)部 的場分布，對一個由非理想導(dǎo)體構(gòu)成的波導(dǎo)來說，要精確得出場分布是很難的， 但是，如果該非理想導(dǎo)體非常接近理想導(dǎo)體的話，我們就可以用理想波導(dǎo)的場分 布來近似該非理想導(dǎo)體的場分布，這種方法稱為微擾法。接下來我們討論介質(zhì)損耗，假設(shè)波導(dǎo)是理想導(dǎo)體，式（2.2.15）就可以寫成2219也就是2220因此，介質(zhì)損耗的衰減常數(shù)為：

31、2221同樣，當(dāng)介質(zhì)損耗非常小的時候，我們可以通過微擾法來使波導(dǎo)內(nèi)的場分布 與無耗介質(zhì)近似，使用這種方法，我們可以得出矩形波導(dǎo)中模的介質(zhì)損耗為：2222另外，衰減常數(shù)可以由傳播常數(shù)直接求得：2223另，并解出和，有：22242225當(dāng)，則上式可以化簡為：22262227式（2.2.26）與式（2.2.22）一致，同樣的，當(dāng)頻率接近截止頻率時，截止損 耗引起的衰減大大增加。2.3矩形波導(dǎo)的仿真結(jié)果及分析根據(jù)以上得出的場解，利用Matlab，我們可以對矩形波導(dǎo)內(nèi)部的電磁場分布 進行仿真，直觀地看出電場和磁場的分布狀況。以模與模為例：模：（取a=2,b=1,z=1,，以下均相同）根據(jù)前面解得的場解，

32、可以得出模的分布：231232式中各項參數(shù)如下：，取頻率，可得，能夠傳輸，于是，此時，表明波的電場力線在橫截面內(nèi)為垂直于寬壁的直線，其力線的疏密 度在0,a 區(qū)域內(nèi)按的規(guī)律稱半個周期的正弦分布，即沿寬邊分布的半駐波數(shù)為1， 在0,b區(qū)域內(nèi)力線分布于y無關(guān)，即沿窄邊均勻分布，半駐波數(shù)為0。以同樣的 方法對磁場進行分析，由此可以畫出波在橫截面內(nèi)的場分布如圖（2.4）。圖2.4矩形波導(dǎo)模場結(jié)構(gòu)分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)寬邊，縱軸表示波導(dǎo)窄 邊）模：根據(jù)前面解得的場解，可以得出模的分布:233234 235236式中各項參數(shù)如下：，取頻率，可得，能夠傳輸，于是，由上式可以看出,

33、，表明波的磁場力線在橫截面內(nèi)的方向和疏密度與（x，y） 有關(guān)，在0,a區(qū)域內(nèi)，在0,b區(qū)域內(nèi)，各呈半個周期正、余弦分布，既和各 自沿寬窄邊分布的半駐波數(shù)均為1，共同構(gòu)成橫截面內(nèi)如圖（2.4）所示的一簇 閉合磁力線。以同樣的方法對電場進行分析，由此可以畫出波在橫截面內(nèi)的場分 布如圖（2.5）。至此，也可從矩形波導(dǎo)橫截面內(nèi)磁力線自身閉合的幾何角度理解 模為中最低次模的物理概念，因一簇沿矩形口閉合的力線，其方向和疏密度必會 沿矩形口的寬、窄兩個方向同時改變，即m、n都不可能為零9圖2.5矩形波導(dǎo)模場結(jié)構(gòu)分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)寬邊，縱軸表示波導(dǎo)窄 邊）類似的，我們可以得到另

34、外幾種模式的橫截面地磁場分布圖：圖2.6矩形波導(dǎo)前幾種模式場結(jié)構(gòu)分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)寬邊，縱軸表示波導(dǎo)窄 邊）利用MATLAB也可以了解矩形波導(dǎo)的縱向剖面的電磁場分布情況：取a=2,b=1，頻率，則電磁波可以在該矩形波導(dǎo)內(nèi)傳輸。模：237238，取頻率，于是，波導(dǎo)波長。根據(jù)可知，模電場在縱向是不傳輸?shù)?，對Hz取實部，可得，另外，沿寬邊 分布的半駐波數(shù)為1，所以，在由此可知，模在縱向是以余弦規(guī)律分布的，可得 模的縱剖面分布：（取波導(dǎo)縱向長度）圖2.7?？v剖面磁場分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)傳輸方向，縱軸表示波 導(dǎo)寬邊）其他模式的分布情況與此類似

35、。當(dāng)m變化時，在0,a區(qū)域內(nèi)的駐波數(shù)會發(fā) 生不同如m=2時，會形成兩個駐波：（取波導(dǎo)縱向長度）圖2.8 m=2時縱剖面磁場分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)傳輸方向，縱軸表示波 導(dǎo)寬邊），取頻率，于是，波導(dǎo)波長。模：2392310根據(jù)可知，模磁場在縱向是不傳輸?shù)?，對Ez取實部，可得，由此可知，模 在縱向是以余弦規(guī)律分布的，可得模的縱剖面分布：（所取參數(shù)與模相同）圖2.9?？v剖面電場分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)傳輸方向，縱軸表示波 導(dǎo)寬邊）其他模式的分布情況與此類似。但同樣，當(dāng)m變化時，在0,a區(qū)域內(nèi)的駐 波數(shù)會發(fā)生不同如m=2時，會形成兩個駐波：圖2.10

36、 m=2時縱剖面電場分布（其中實線表示電場，虛線表示磁場，橫軸表示波導(dǎo)傳輸方向，縱軸表示波 導(dǎo)寬邊，所取參數(shù)與模相同）若取YOZ平面，電磁場分布與以上相似，但會因為n值不同，在0,b區(qū)域 內(nèi)形成駐波數(shù)不同。3圓波導(dǎo)分析3.1圓柱坐標(biāo)系下波動方程的解在圓柱坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程* MERGEFORMAT可以寫成311這個方程的特解稱為圓柱波函數(shù)，可以用分離變量法求得。3.1.1分離變量法首先我們將式（3.1.1）的解設(shè)為以下形式：312把這個式子帶入式（3.1.1）然后分離變量得到：313由于只有第四項包含變量z，其他各項均與z無關(guān)，因此第四項必須為一個 定值，并且必須滿足：314其中是由具體問

37、題決定的任意常數(shù)。式（3.1.4）的解的常見形式為：315其中A和B為任意常數(shù)。有了這個分量，式（3.1.3）乘后可以化簡為：316由于只有第三項只與有關(guān)，而另外三項都只與有關(guān)，式（3.1.6）可以分離 成如下兩項：317318也可以寫成：3193110其中m2也是一個僅與具體情況有關(guān)的任意常數(shù)，。式（3.1.9）解的常見形 式如下：3111其中和為任意常數(shù)組合。式（3.1.10）就是柱坐標(biāo)系貝塞爾方程，和分別是它的兩個無關(guān)的線性解， 分別被稱為第一類和第二類的柱坐標(biāo)系貝塞爾函數(shù)或簡稱貝塞爾函數(shù)。所以最終 解為這兩個解的線性組合：3112其中和為常數(shù)。盡管和表達(dá)式均較為復(fù)雜，并且有許多特性，但

38、對我們來說 記住如下特性就足夠了：31133114圖3.1給出了 m取1,2,3,4時的貝塞爾函數(shù)圖像，顯示出該函數(shù)的變化特性。由以上對各項解的討論可得出方程（3.1.1）的解：3115圖3.1 m取整數(shù)時的柱坐標(biāo)系貝塞爾函數(shù)（a）* MERGEFORMAT的貝塞爾函數(shù)（b）* MERGEFORMAT的貝塞爾函數(shù)由于該解對任意m和h都正確，式（3.1.1）的解是所有可能解的線性組合， 可以表示成關(guān)于m的式子的和與關(guān)于h的式子的積分形式：3116這里，我們設(shè)m是一個離散值，h是連續(xù)值，正如之前提到的，m，h與具 體情況有關(guān)，若m是連續(xù)的，那么所求之和就變成積分值，若h是離散的，那 么積分就變成求

39、和。3.1.2圓柱波函數(shù)圓柱波函數(shù)由柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程的一個特解決定，這個解由前面部分 導(dǎo)出的式（3.1.15）決定，記作。顯然，有無窮多個圓柱波函數(shù)，這些函數(shù)構(gòu)成 了一個完整的系列，因而，任意一個亥姆霍茲方程的解都可以由式（3.1.16）的 方程線性疊加。但是，圓柱波函數(shù)的形式不唯一。例如，不將* MERGEFORMAT 和* MERGEFORMAT作為式（3.1.4）的兩個線性獨立解，我們也可以選擇sinhz 和coshz作為它的兩個解，只要兩個解互相獨立而互相不能代替，任意組合都能 作為式（3.1.4）的兩個解。原則上，無論是哪兩個特解都是可以的。只要解方程 的過程正確，最終結(jié)果都是

40、一樣的。但是，通常，選擇正確的形式可以簡化求解 過程?？傮w上來說，我們應(yīng)該選擇與最終結(jié)果相似的解。例如，如果z軸取無窮， 選擇e-jhz和ejhz比較合適，因為它們代表沿著z軸的正負(fù)方向傳播的波。如果 z軸取有限值，那么選擇sinhz和coshz更為合適，因為在邊界值是更容易滿足邊 界條件。同樣，在圓周方向，除了 sin * MERGEFORMAT和 cos* MERGEFORMAT， 我們也可以選擇和作為式（3.1.9）的兩個獨立解，這在通解的擴展上尤其方便， 那是因為當(dāng)m分別向正負(fù)方向延伸時，可以由代替，這樣就可以得到更為嚴(yán)密 的表達(dá)式。在徑向方向，除了和，第一類和第二類Hankel函數(shù)是

41、另外兩種常見 的式（3.1.9）的線性獨立解，常用符號和表示，定義為：31173118將和的大參數(shù)表達(dá)式：31193120替換，可以得到和的近似形式：31213122以上清楚表明，表示沿p的負(fù)方向傳播的柱面波，而沿p的正方向傳播的柱 面波，因此，如果在p方向范圍可以取無窮，最好選擇和擴展通解。但是如果取 值是有限的，那么和更方便。在具體問題中，由于式（3.1.1）是齊次方程，柱面波函數(shù)Omh之前最多應(yīng) 該只包含一個常數(shù)，另外，m、h都應(yīng)該是確定值，并且，的任意兩項的比值也 應(yīng)該是定值，這幾個定值可以通過具體問題的邊界條件確定。一般來說，每個方 向有兩個邊界條件，分別在這個方向的末端。如果沒有具

42、體的邊界條件，我們 就要在解的特性和波函數(shù)的基礎(chǔ)上確定一個常數(shù)。例如，如果要研究沿有限長波 導(dǎo)z軸方向的波的傳播，我們可以另式（3.1.15）的B（h）=0來研究沿2軸正 方向傳播的波;或另A（h）=0來研究沿z軸負(fù)方向傳播的波。再舉一個例子，如 果解的范圍包括z軸，并且是有界的，我們必須另式（3.1.15）中bm=0以排除）， 另外，如果解的范圍在p方向是無邊界的，該解就表示向p正方向傳播的波。我 們應(yīng)該另或選擇作為p的函數(shù)。最后，如果9無邊界并且是單值，應(yīng)滿足周期條 件，并且 m 為整數(shù)。在這種情況下，sin * MERGEFORMAT和cos * MERGEFORMAT均為正解，它們除了

43、相位差n/2外，代表了相同的解。3.2圓波導(dǎo)的模分析我們首先考慮空腔圓波導(dǎo)中的波傳播，對一個軸心與z軸重合的圓波導(dǎo)（如 圖3.2），由于9是有界的，m在柱面波函數(shù)中必須是有單值解的整數(shù)，另外，由 于場在z軸是有界的，第二類貝塞爾函數(shù)必須排除。因此，對 TM模。* MERGEFORMAT必須滿足以下形式：321圖3.2均勻圓波導(dǎo)為了確定，我們通過圓波導(dǎo)導(dǎo)體壁的邊界條件，發(fā)現(xiàn)。記的根為，我們有， 從而，并且TMmn模的傳播常數(shù)可以得到：322截止波數(shù)和頻率分別為：323前幾個值參照表（3.1）:表（3.1）的前幾個根TMmn的另一種場分布可以通過另式（3.2.11）帶入式（3.2.9）和式（3.2

44、.10） 得到，滿足：324325326327TE模的分析方法同上，由于同樣的原因，* MERGEFORMAT采用如下形 式：328其中H0是常數(shù)。為了確定kp，我們通過圓波導(dǎo)導(dǎo)體壁的邊界條件，發(fā)現(xiàn)。記的根為（n=1,2,3,.），我們有，從而，并且可以得到模的傳播常數(shù)：329截止波數(shù)和頻率分別為：3210前幾個值參照表（3.2）:表（3.2）的前幾個根的另一種場分布可以通過另式（3.2.18）帶入式（3.2.7）和式（3.2.8）得到，滿足：3211321232133214當(dāng)所有場分布得出以后，其他物理量如波阻抗、能流密度、和相位和能量體 系均可以由它們的定義導(dǎo)出，由于導(dǎo)體和材料損耗較小，產(chǎn)

45、生的衰減常數(shù)可以通 過微擾法分析得出。通過比較表3.1和表3.2中的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)圓波導(dǎo)中的所有模式中，主模 是TE11模，因為TE11模截止頻率最低，截止波長為* MERGEFORMAT=3.4126a. 第一個高階模是TM01模，截止波長為* MERGEFORMAT=2.6127a。對TE模來 說，電場線在橫向平面是受限的（無論是形成閉合曲線還是由于表面電荷而終止 在波導(dǎo)壁），而磁場線則會在虛線末端變成切向。相反，對TM模來說，磁場線 在橫向平面是受限的（由于沒有磁荷而形成閉合曲線），而電場線會在實線末端 變成切向。從場分布我們還能很容易地得出在波導(dǎo)壁的面電流分布（）。3.3圓波導(dǎo)的仿真結(jié)

46、果及分析從場方程可以看出，不論還是波，其場沿圓周S）和半徑（r）方向皆成駐 波分布。場沿9方向按三角函數(shù)規(guī)律分布，m表示沿圓周分布的駐波數(shù)；場沿r 方向按貝塞爾函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)規(guī)律分布，n表示沿半徑方向分布的駐波數(shù)。圓波導(dǎo)中存在了簡并問題。圓波導(dǎo)中波形的簡并有兩種。一種叫極化簡并， 從場方程中看出場分量沿圓周（9）方向的分布存在著和兩種可能性，對于同一 個波形中有著機化面和互相垂直的兩種場分布形式，這種現(xiàn)象較“極化簡并”。圓 波導(dǎo)中除m=0時，都存在極化簡并。另一種簡并則是在不同類型波之間存在的， 稱為模式簡并。根據(jù)以上得出的場解，利用MATLAB，我們可以也可以對圓波導(dǎo)內(nèi)部的電 磁場分布進行仿真

47、，直觀地看出電場和磁場的分布狀況：仍然以模和模為例：模：（取波導(dǎo)半徑r=1,以下均相同）根據(jù)前面解得的場解，可以得出模的分布:331332333334335式中各項參數(shù)計算如下：，取頻率，可得此時，m=0,n=1，表示沿圓周方向沒有形成駐波，呈均勻分布，沿半徑方向形 成一個按貝塞爾函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)規(guī)律分布的駐波，并且由于，電場以軸心為圓心呈 現(xiàn)出同心圓，磁場以軸心為匯聚點呈現(xiàn)散射狀如圖（3.3）：圖3.3圓波導(dǎo)模場結(jié)構(gòu)分布其中實線表示電場，虛線表示磁場。根據(jù)前面解得的場解，可以得出模的分布：3363373383393310式中各項參數(shù)計算如下：，取頻率，可得。由以上方程可知，圓波導(dǎo)內(nèi)場結(jié)構(gòu)分布與線

48、性和有關(guān)，取C=1，D=0，當(dāng) m=1,n=1時，在9方向，呈余弦分布，呈正弦分布，并呈現(xiàn)一個完整駐波 數(shù)；在p方向，以貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)規(guī)律分布，以貝塞爾函數(shù)規(guī)律分布，并 且均形成一個完整駐波。由于對TM模來說，磁場線在橫向平面是受限的（由于 沒有磁荷而形成閉合曲線），而電場線則呈發(fā)散狀分布。取C=1，D=0得仿真結(jié)果如圖（3.4）：圖3.4圓波導(dǎo)模場結(jié)構(gòu)分布其中實線表示電場，虛線表示磁場。類似的，我們可以得到另外幾種模式的橫截面地磁場分布圖：圖3.5圓波導(dǎo)前幾種模式場結(jié)構(gòu)分布其中實線表示電場，虛線表示磁場。同樣地，利用MATLAB也可以了解圓波導(dǎo)的縱向剖面的電磁場分布情況：模：33113312，取頻率，可得，波導(dǎo)波長。根據(jù)可知，模電場在縱向是不傳輸?shù)?，對取實部，可得，由此可知，模在縱 向是以余弦規(guī)律分布的，另外，方向半駐波數(shù)均為1，并且，由于圓波導(dǎo)的對稱 性，沿任意直徑的縱剖面，模場結(jié)構(gòu)分布圖如圖（3.6）：（取波導(dǎo)縱向長度）圖3.6沿任意直徑的縱剖面模場結(jié)構(gòu)分布圖（橫軸表示傳輸方向，縱軸表示波導(dǎo)半徑方向，其中實線表示電場，虛線表 示磁場）模：33133314，取頻率，可得，波導(dǎo)波長。根據(jù)可知，模電場在縱向是不傳輸?shù)?，對取實部，可得，由此可知，模在縱 向是以余弦規(guī)律分布的，另外，方向半駐波數(shù)均為1，并且，