歐幾里德算法和擴展

1、擴展算法模 P 乘法對于整數(shù) a、p，如果存在整數(shù)b，滿足 ab mod p =1，則說，b 是 a 的模p 乘法。定理：a 存在模 p 的乘法的充要條件是(a,p) = 1證明：首先證明充分性定理，a(p)如果(a,p) = 1，根據(jù) 1 mod p，因此顯然 a(p)-1mod p 是 a 的模 p 乘法。再證明必要性假設存在 a 模 p 的乘法 ab 1 mod p為 b則 ab = kp +1 因為(a,p) =所以 d | 1所以 d 只能為 1，所以 1 = ab -dkp擴展算法擴展算法不但能計算(a,b)的最大公約數(shù)，而且能計算 a 模 b 及 b 模 a 的乘法，用 C 語言

2、描述如下：(a,b,&ar,&br)x1,x2,x3;y1,y2,y3;t1,t2,t3;=if(0a)/有一個數(shù)為 0，就不存在乘法ar brreturn=0;0;b;if(0=b)ar brreturn=0;0;a;x1 x2 x3 y1 y2y3=1;0;a;0;1;b;k;for(!=k t2 t1 x1 x1 x3 y1 y2 y3if(t3=x3%y3;t30;t3=x3%y3)=x3x2 x1 y1;y2;y3;t1;t2;t3;/-y3; kk=*y2;y1;y3=1)/有乘法 arbr returnelse=y2;x1;1;/公約數(shù)不為 1，無乘法ar brreturn=0;

3、0;y3;擴展算法對于最大公約數(shù)的計算和普通算法是一致的。計算乘法則顯得很難明白。了半個小時才想出證明他的方法。首先重復拙作整除中的一個論斷：如果(a,b)=d，則存在 m,n，使得 d = ma + nb，稱呼這種關系為 a、b 組合整數(shù) d，m，n 稱為組合系數(shù)。當 d=1 時，有 ma + nb = 1 ，此時可以看出 m 是 a 模 b 的乘法，n是 b 模 a 的乘法。為了證明上面的結論，把上述計算中 xi、yi 看成 ti 的迭代初始值，一組數(shù)(t1,t2,t3)，用歸納法證明：當通過擴展= t3算法計算后，每一行都滿足 at1 + bt2第一行：1 a + 0第二行：0 a +

4、1假設前 k 行都成立，對于 k-1 行和 k 行有b = a 成立 b = b 成立第 k+1 行t1(k-1)t1(k)分別滿足：t1(k-1) t2(k-1)t2(k)t3(k-1)t3(k)aa+t2(k-1) b = t3(k-1)t1(k)t2(k) b = t3(k)根據(jù)擴展則： t3(k+1) t2(k+1) t1(k+1)則算法，假設 t3(k-1) = jt3(k) + r=rt2(k-1)t1(k-1)-jj t2(k) t1(k)t1(k+1)=t1(k-1)t2(k-1)= t3(k-1)= t3(k+1)a ab+-t2(k+1) b a bj j t1(k)t2(k)r+- j t3(k) =得證因此，當最終 t3