《1.4 空間圖形的基本關系與公理》教學案

1、1.4空間圖形的基本關系與公理教學案三維目標1知識與技能(1)通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關系；(2)理解異面直線的概念，以及空間圖形基本關系；(3)掌握空間圖形的三個公理2過程與方法培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力，運用圖形語言進行交流的能力，通過典例的學習和自主探索讓學生體會蘊涵在其中的數(shù)學思想方法3情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣與嚴肅的科學態(tài)度，體會推理論證中反映出的辨證思維的價值觀重點難點重點：空間圖形的基本關系及3個公理難點：三種語言：文字語言、圖形語言和符號語言的轉化教學時要注意圖形語言、文字語言、符號語言的綜合描述，在用文字和符號描述對象時，要

2、緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結合起來，以幫助學生在圖形的基礎上發(fā)展數(shù)學語言教學建議本節(jié)知識與學生的生活聯(lián)系密切，如直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系平面與平面的位置關系等都可以在學生的生活世界中找到模型因此教學時，既要引導學生多從生活中的實際出發(fā)，把所學到的知識同周圍的現(xiàn)象聯(lián)系起來，同時還要注意讓學生經(jīng)歷從實際背景中抽象出空間圖形的過程另外，還應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將文字語言轉化為圖形語言和符號語言教學流程通過兩大問題引出空間圖形的位置關系及3個公理n通過例1及變式訓練，使學生掌握文字語言、圖形語言、符號語言間的轉化n通過例2及互動探究，使學生掌握點、線共面問題的證明n

3、通過例3及變式訓練，讓學生掌握點共線、線共點問題的證加歸納整理課堂小結，整體認識本節(jié)所學知識n完成當堂雙基達標，鞏固本節(jié)所學知識并進行反饋矯正課標解讀1通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關系（重點）.理解異面直線的概念，以及空間圖形基本關系（難點）.掌握空間圖形的三個公理（重點）.知識1空間圖形的基本位置關系【問題導思】1長方體的一個頂點與12條棱和6個面有12種位置關系？212條棱中，棱與棱有幾種位置關系？3棱所在直線與面之間有幾種位置關系？4六個面之間有哪幾種位置關系【提示】1.頂點與棱所在直線的關系是在棱上，不在棱上；頂點和六個面的關系是在面內(nèi)，在面外2相交，平行

4、，既不平行也不相交3棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交4平行和相交1.位置關系圖形表示付號表示點與線的位置關系點A不在直線a上點B在直線a上A電aBWa點與面的位置關系點A在平面a內(nèi)點B在平面Q外力M/AWaBa直線與直線的位置關系平行ab相交/臉/aAb=O異面人冰/a與b異面直線與平面的位置關系線在面內(nèi)A/aa線面相交aA/aCla=A線面平行/aa續(xù)表平面與平面的位置關系面面平行allB面面相交aO0=a2異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，叫作異面直線知識2空間圖形的公理【問題導思】1一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？2教室的墻面與地面有公共點，這些公共點

5、有什么規(guī)律？3照相機支架只有三個腳支撐，為什么？【提示】1.直尺在桌面上.2.這些公共點在同一直線上.3.不在同一直線上的三點確定個平面名稱內(nèi)容圖形表示符號表示公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若AGl,BGl,AGa,BGa，貝弭a公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)L-bF若A、B、C三點不共線，則A、B、C確定一個平面a使AGa,BGa,CGa公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線rlp若AGa,AG，且a與不重合，貝yan=i類型1文字語言、圖形語言

6、、符號語言的互譯類型1文字語言、圖形語言、符號語言的互譯圖(1)可以用符號語言表示為：.圖(2)可以用符號語言表示為：.【思路探究】(1)圖中平面Q、平面是什么關系？(2)圖(1)中直線a與平面直線b與平面，直線a、b與交線AB是什么關系？圖中厶ABC的三個頂點滿足什么條件？【自主解答】(1)n=AB,aa,b“，aAB,bAB.(2)aC0=MN,AWMN,BGa,CW,BMN,CMN.規(guī)律方法1分析好圖形的位置關系是本題的解題關鍵2三種語言之間轉化的基本思路是，觀察圖形、分析位置關系、符號表示變式訓練滿足下列條件，平面an平面=AB,直線aa直線b且aAB,bAB的圖形是()【解析】由線面

7、符號語言描述及圖形語言知D正確.答案】D類型2點、線共面問題求證：直線l、l2、13在同一平面內(nèi).【思路探究】先選取兩條直線構造一個平面，然后證明另一條直線在這個平面上或構造兩個平面，證明這兩個平面重合【自主解答】法一(同一法)Vlni2=A,Al和12確定一個平面aVl2ni3=B,ABGl2.又*.*l2,ABG.同理可證CG.又VBGl3,CEl3，：l3a.直線ll2、l3在同一平面內(nèi).法二(重合法)Vlini2=A,Ali.l2確定一個平面a.vi2rn3=B,Ai2.l3確定一個平面*.*AGl2，l2a,AWa.VAGl2，l2“，.AG.同理可證BGa,BG，CGa,CG卩.不

8、共線的三個點A、B、C既在平面a內(nèi)，又在平面內(nèi).平面a和重合，即直線ll2、l3在同一平面內(nèi).規(guī)律方法1同一法證明直線共面的步驟證明其中兩條直線平行或相交，即這兩條直線確定一個平面a；證明其余直線上均有兩點也在平面a內(nèi)，即其余直線也在平面a內(nèi)，也就是證明了這些直線共面2重合法證明直線共面的步驟證明這些直線確定若干個平面；利用公理及其推論證明這些平面重合，從而證明了這些直線共面互動探究l、l2確定一個平面記為a.Vlinl3=C,ACGli.ITa,.CGa.Vl2m3=B,ABGl2.*.*l2,ABG.VBGl3，CW13，：13a,即ll2、l3在同一平面內(nèi).類型3點共線問題例3已知ABC

9、在平面a外，ABAa=P,ACAa=R,BCAa=Q，如圖143,求證:P、Q、R三點共線.圖143【思路探究】(1)點P、R、Q與平面a、平面ABC有何關系?(2)平面a與平面ABC什么關系？與點P、R、Q又有何關系？【自主解答】法一VABna=P,APGAB,PW平面a.又AB平面ABC,APG平面ABC.A由公理3可知：點P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面a的交線上.AP、Q、R三點共線.法二VAPnAR=A,A直線AP與直線AR確定平面APR.又.ABna=P,ACna=R,A平面APRn平面a=PR.VBG平面APR,CG平面APR,ABC平面APR.

10、VQGBC,AQG平面APR,又QWa:QWPR,：P、Q、R三點共線.規(guī)律方法1法一是首先找出兩個平面，然后證明這三個點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3這些點都在交線上法二是選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點在其上2證明此類問題的關鍵是證明這些點是兩個相交平面的公共點變式訓練如圖144,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A與平面ABCD交于Q,求證：B、Q、D三點共線.0AB圖144【證明】VD1G平面ABC1D1，D占平面ADCB,BW平面ABC”,BW平面ADCB,平面ABC1D1n平面AfB=BD.VACn平面ABCD=Q,111且A1C在平面ADCB內(nèi)，QW平面AD

11、CB，又QW平面ABC1D1,Q在兩平面的交線BD1上,B、Q、D三點共線.忽視平面的確定性致誤典例已知：空間中A,B,C,D,E五點，A,B,C,D共面，B,C,D,E共面，貝B,C,D,E五點一定共面嗎？【錯解】TA,B,C,D共面，點A在點B,C,D所確定的平面內(nèi).點B,C,D,E四點共面，點E也在點B,C,D所確定的平面內(nèi)，.點A,E都在點B,C,D所確定的平面內(nèi)，即點A,B,C,D,E定共面.【錯因分析】在證明共面問題時,必須注意平面是確定的上述錯解中,由于沒有注意到B,C,D三點不一定確定平面，即默認了B,C,D三點一定不共線，因而出錯.【防范措施】證明共面問題的理論依據(jù)是公理2,

12、注意平面的確定可以免避上述錯誤的出現(xiàn).【正解】A,B,C,D,E五點不一定共面.當B,C,D三點不共線時，由公理可知B,C,D三點確定一個平面a,由題設知AWa,EWa，故A,B,C,D,E五點共面于a；當B,C,D三點共線時，設共線于l,若AWl,EWl，則A,B,C,D,E五點共面；若A,E有且只有一點在l上，貝4,B,C,D,E五點共面；若A,E都不在l上，則A,B,C,D,E五點可能不共面.綜上所述，在題設條件下，A,B,C,D,E五點不一定共面.空間中點、線、面的位置關系,異面直線的畫法及判定.文字語言、圖形語言、符號語言三種語言的轉化.公理1,公理2,公理3都是判定點、線、面位置關

13、系的依據(jù).公理1的作用是證明直線在平面內(nèi),公理2是確定平面的依據(jù),由公理1和公理2可解決點、線共面的證明問題,公理3是判定兩個平面相交的依據(jù),同時也可用來證明點共線或三條線交于一點的問題.用符號表示“點A在直線l上,l在平面a外”正確的是()A.AWl,laB.AWl,l電aC.Al,laD.Al,l電a【解析】點A在直線上用“W”直線在平面外用“g”【答案】A正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AB異面的棱有()A.2條B.4條C.6條D.8條【解析】畫出圖形，觀察圖形可知與AB異面的棱有CC,DD,BG，Ap,共4條.答案】B3.一條直線和直線外兩點可確定平面的個數(shù)是()A.B.2C.

14、3D.或2【解析】當這兩點與直線共面時，可確定一個平面；當這兩點和直線不共面時，可確定兩個平面.【答案】D4.(2013鄭州高一檢測)如圖145，在ABC中，若AB、BC在平面u內(nèi)，判斷AC是否在平面Q內(nèi).【解】AC在平面a內(nèi).VAB在平面a內(nèi).又BC在平面a內(nèi).Ca,.AC在平面a內(nèi).、選擇題（2013日照高一檢測）下列敘述中錯誤的是（）若PaP且aP=l,貝yPWl三點A,B,C只能確定一個平面若直線aAb=A，則直線a與b能夠確定一個平面若AWl,BGl且AGa,BGa，貝卅a【解析】不共線的三點才能確定平面，所以B錯.【答案】B（2013桂林高一檢測）下列說法正確的是（）平面a和平面只

15、有一個公共點兩兩相交的三條直線必共面不共面的四點中，任何三點不共線D有三個公共點的兩平面必重合【解析】四點中,若三點共線,貝四點便成了一條直線和直線外一點,貝共面,所以與四點不共面矛盾，所以C正確.【答案】C已知a,b是異面直線，直線ca，貝叱與級）定是異面直線B.定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線【解析】若a,b異面，ca,貝叱與b相交或異面，貝屹正確.【答案】C圖146（2013煙臺高一檢測）如圖146，平面aCl平面=l,點AGa，點BGa,且點CG，點Cl又ABCl=R,設A,B,C三點確定的平面為卩，貝則PC卩是（）A.直線ACB.直線BCC.直線CRD.直線AR【

16、解析】*CG平面ABC,AB平面ABC,而RGAB,ARG平面ABC.而CG,lP，RGl,：.RG0,點c,點R為兩平面ABC與的公共點，“n尸CR.【答案】C在四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果EF與HG交于點M,貝）M定在直線AC上M定在直線BD上M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上【解析】因為E,F,G,H分別是四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA上的點，EF與HG交于點M,所以點M為平面ABC與平面ACD的公共點，而兩個平面的交線為AC,所以M定在直線AC上.【答案】A二、填空題圖1476.如圖147所示,用符號語言可

17、表示為a,【解析】根據(jù)圖形語言與符號語言之間的轉化可得n“=m,na,mAn=A.【答案】anp=m,n7.（2013合肥高一檢測）如圖148,在這個正方體中，BM與ED平行；CN與BM是異面直線；CN與BE是異面直線；DN與BM是異面直線.以上四個命題中,正確命題的序號是.【解析】觀察圖形可知錯誤，正確.【答案】8.下列說法中正確的個數(shù)是.兩條直線無公共點，則這兩條直線平行；兩直線若不是異面直線，則必相交或平行；過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構成異面直線；和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線.【解析】對于，空間兩直線無公共點，則可能平行，也可能異面，因此不正確；

18、對于，因空間兩條不重合的直線的位置關系只有三種：平行、相交或異面，故正確；對于，過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，和平面內(nèi)過該點的直線是相交直線，故不正確；對于，和兩條異面直線都相交的兩直線可能是相交直線，故不正確.故正確的個數(shù)為.【答案】1三、解答題9用符號表示下列語句，并畫出圖形三個平面aB，卩相交于一點P，且平面a與平面相交于PA,平面a與平面卩相交于PB,平面與平面卩相交于PC；平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.【解】(1)語句可表示為aAA/=P，aC=PA,aW=PB，y=PC，圖形如圖所示(2)語句可表示為平面ABDA平面BDC=BD，平面ABCA

19、平面ADC=AC.圖形如圖所示如圖149所示，在四邊形ABCD中，已知ABCD,直線AB，BC，AD，DC分別與平面a相交于點E,G,H,F.求證：E,F,G,H四點必定共線.【證明】ABCD,可設AB,CD確定一個平面又VABAa=E,AB“，:、EEa,EW/3,即E為平面a與“的一個公共點.同理可證F,G,H均為平面a與的公共點.由公理3兩個平面有公共點,它們有且只有一條通過公共點的公共直線.：E,F,G,H四點必定共線.已知a、b、c、d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：直線a、b、c、d共面.【自主解答】aAY=b,CY=a，aY，by.【證明】(1)無三線共點情況如圖所示，設aC

20、d=M,bAd=N,cAd=P,aAb=Q,aAc=R,bc=S,ad=M,.a、d可確定一個平面a.:NWd,QWa,：.NWa,Qa,.*.NQa,即ba,同理ca,.a、b、c、d共面.(2)有三線共點的情況,如圖所示,設b、c、d三線相交于點K與直線a分別相交于點N、P、M且K$a,.K$a,K和a確定一個平面，設為幾:NWa,ap,：Nwp,：NK，即b同理c“，d“，.a、b、c、d共面，由可知a、b、c、d共面?zhèn)溥x例題如圖，三個平面a、B、卩兩兩相交于三條直線，即aC=c,PY=a,Ya=b，若直線a和b不平行.求證：a、b、c三條直線必過同一點.【思路探究】解答本題可先證明兩條

21、直線相交于一點,再證明該交點也在另外一條直線上.由于直線a和b不平行，.：a、b必相交.設aAb=P，貝yPWa,PWb.Ta“，ba,：、PWB，PWa.又ari=c,.PWc，即交線c經(jīng)過點P.:.a、b、c三條直線相交于同一點.規(guī)律方法證明三線共點常用的方法是先說明其中兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在兩個平面上，并且這兩個平面相交（交線是第三條直線），于是得到交線也過此點，從而得到三線共點.此類問題的本質是要利用公理3證明點在直線上.備選變式如圖所示，AABC與氐人占不全等，且ABAB,BQBC,CACA求證:直線AA、BBCC1交于一點.【證明】A1BAB,:直線AB與AB確

22、定一平面a.同理，直線BC與BC確定一平面，直線CA與CA確定一平面卩.易知陽卩=%.又ABC與厶A1BC1不全等，：AA與BB相交，設交點為P,PWAA,PWBB.而AAy，BB1B，：PWy，PWB，：P在平面與平面Y的交線上.又陽卩=。,根據(jù)公理2知，PCC,直線AA、BB、CC交于一點.第2課時空間圖形的公理(公理4，定理)三維目標知識與技能()了解公理4及等角定理，會用公理4和等角定理進行簡單的推理論證(2)了解異面直線所成的角的定義，會求異面直線所成的角2過程與方法通過學習公理4及等角定理培養(yǎng)學生的空間想象能力，通過異面直線所成的角讓學生體會數(shù)學的轉化、化歸方法3情感、態(tài)度與價值觀

23、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣與嚴肅的科學態(tài)度重點難點重點：公理4與等角定理難點：異面直線所成的角公理4表明了平行的傳遞性，可以作判斷兩條直平行的依據(jù)，其直接作用是證明等角定理，為研究異面直線所成角打基礎等角定理是定義異面直線所成角的理論基礎教學建議本節(jié)知識是上節(jié)課的繼續(xù)，上節(jié)課講了3個公理、異面直線的概念，本節(jié)課解決異面直線所成角及它的理論基礎公理4、定角定理，因此教學時宜采用探究式模式，讓學生以長方體為載體，通過“觀察”引入公理4，通過畫平行線的方式，使兩條異面直線移到同一平面的位置上，是研究異面直線所成的角時經(jīng)常要使用的方法，這種把立體圖形的問題轉化為平面圖形問題的思想方法很重要，要讓學生在學習

24、中認真體會教學流程通過問題引出公理4,等角定理及異面直線所成的角n通過例1及變式訓練，使學生掌握公理4的應用n通過例2及互動探究，使學生掌握等角定理的應用n通過例3及變式訓練，使學生掌握如何求異面直線所成的角n歸納整理，進行課堂小結，整體認識本節(jié)知識n完成當堂雙基達標，鞏固所學知識并進行矯正課標解讀1了解公理4及等角定理.會用公理4和等角定理進行簡單的推理論證（重點）.了解異面直線所成的角的定義，并會求異面直線所成的角（重點、難點）.知識1公理4、等角定理【問題導思】1把一張長方形的紙對折兩次，打開以后，這些折痕之間有什么關系呢？2在空間中有兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行嗎

25、？3在平面上，“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”那么在空間中，結論是否仍然成立呢？【提示】1.平行.2.平行.3.仍成立1公理4文字語言圖形語言符號語言平行于同一條直線的兩條直線平行a:若ab,bc,貝ac2.定理（等角定理）空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補知識2異面直線所成的角【問題導思】在四棱柱ABCDABCD中，棱AB與棱BC什么關系？在平面內(nèi)我們是如何定量的研究兩條相交直線的位置關系的？那么在空間中又如何定量的確定棱AB與棱BC的相對位置關系？【提示】棱AB與棱BC是異面直線；在平面內(nèi)我們通過兩條直線的“夾角”來定量的確定

26、兩條相交直線的位置關系，類似的，我們可以用兩條棱“所成的角”來定量的確定異面直線的相對位置關系定義過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平彳丁線”，l2（al,bl2）,這兩條相父直線所成的銳角（或直角）就是異面直線a、b所成的角.取值n范異面直線所成的角0的取值范圍：（0,2圍特n例當0=2時，a與b互相垂直，記作a丄b類型1公理4的應用例1已知棱長為a的正方體ABCDABCD中，M,N分別為CD、AD的中點.求證:四邊形MNAC是梯形.思路探究】|觀察圖形證明MNAC且MN豐AC【自主解答】如圖，連接AC.1M、N分別為CD、AD的中點，MN綊2AC.1由正方體的性質可知AC綊ACMN

27、綊2AC,四邊形MNAC是梯形.規(guī)律方法1.解答本題易出現(xiàn)“只證MNAC”而忽視“證明MN豐AC”的錯誤.2公理4是證明兩直線平行的重要方法，應用的關鍵在于尋找與所證直線平行的“中間直線”已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AACq的中點，如圖1410所示.求證：BF綊ED【證明】如圖所示，取BB的中點G.連接GC、GE.VFCC的中點，BG綊CF.四邊形BGCf為平行四邊形.BF綊GC又VEG綊A”,AB1C1D1，AEGCD1，四邊形EGC1D1為平行四邊形，AED1GC1.ABFED1.類型2等角定理的應用例2如圖1-411所示，已知E,耳分別是正方體ABCDA1B1C

28、1D的棱AD，Ap的中點，圖1411求證：ZqEFZCEB.【思路探究】證明空間兩角相等有何定理？【自主解答】連結EE，:E,E分別是AD,AD的中點，人禺綊AE,四邊形A1E1EA為平行四邊形，.AA綊EE.又AA綊BB,由公理4知BB綊EE,四邊形EEBB為平行四邊形，AE1B1#EB.同理ECEC.又/CRB與ZCEB的對應邊方向相同,AZC1E1B1=ZCEB.規(guī)律方法1本題易出現(xiàn)漏掉“對應邊方向相同”這樣的錯誤2利用空間等角定理證明兩角相等時，一要說明兩角的對應邊分別平行；二要說明兩角的方向相同互動探究正方體ABCDA1B1C1D1不變，其他條件改為E、F、G分別是棱CCBBDD1中

29、點.求證：ZBGC=ZFDE.圖1412【證明】TE、F、G分別是正方體的棱CCBBDD1的中點,:.CEGD1,BF綊GD,四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形.GCDE,GBDF,/ZBGC與ZFDE的方向相同，AZBGC=ZFD1E.類型3求異面直線所成的角例3如圖1413所示，空間四邊形ABCD中，AB=CD,AB丄CD,E,F分別為BC,AD的中點，求EF和AB所成的角.思路探究】自主解答】；E,F分別為BC,AD的中點,11.EGCD,GF/AB,EG=2CD,GF=2AB.ZGFE就是EF與AB所成的角，TAB丄CD,.EG丄GF,即ZEGF=90.VAB=CD,.G

30、F=EG,EFG為等腰直角三角形，ZGFE=45,即EF與AB所成的角為45.規(guī)律方法1異面直線所成的角0的取值范圍為0衣90.2利用定義法求異面直線所成的角的一般步驟是：(1)平移；(2)證明；(3)計算；(4)檢驗變式訓練在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、AD的中點，求AD與尸所成的角的大小【解】VEF#B1D1，AZAD1B1為AD與EF所成的角或其補角，連接AB”則AB1D為正三角形.AZAD1B1=60.化歸思想在求兩異面直線所成角問題中的應用（12分）如圖1415，空間四邊形ABCD中，兩條對邊AB=3,CD=3,E、F分別是另【思路點撥】1在BD上取點M使BM

31、=2MDEmAB,MFDCfZEMF（或其補角）即為所求規(guī)范解答】1如題圖，在BD上取點M使BM=2MD，連接EM,MF.AEBF1ED=FC=2,21TOC o 1-5 h z:.EM綊3AB，MF綊3DC.4分ZEMF（或其補角）為AB和CD所成的角.6分VAB=3,CD=3,：EM=2,MF=1.又:EF=3:.ZEMF=60.10分AB和CD所成的角為60.12分【思維啟迪】通過作平行線把異面直線所成的角轉化為相交兩直線所成的角,這就體現(xiàn)了化歸思想1平行公理又稱平行線的傳遞性,它表明,空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行,它給出了判斷空間兩條直線平行的依據(jù),其主導思想是利用第三條

32、直線作為聯(lián)系兩條直線的中間環(huán)節(jié)2要正確運用等角定理,必須抓住“角的兩邊分別平行”這個條件3異面直線所成的角通過作平行線轉化為相交直線所成的角a,b,c為三條不重合的直線，如果a丄c,b丄c,則a,b的位置關系必定是（）A.相交B.平行C.異面D.以上答案都不對【解析】垂直于同一條直線的兩條直線可能平行,可能相交,也可能異面.【答案】D在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B與DD所成的角是（）A.30B.45C.60D.90【解析】AA1#DD1ZAA1B是異面直線A1B與DD所成的角,在RtAABA中，AB=AA1,:.ZAA1B=45,故選B.【答案】B(2013海淀高一檢測)已知如圖

33、1416，在三棱錐ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列結論正確的是()1MN2(AC+BD)1MN2(AC+BD)1c.mn=2(ac+bd)1D.MNMN.【答案】D如圖1417所示，不共面的三條射線OA、OB、OC,點A、Bq分別是OA、OOAOBOCB、OC上的點，且OA=OB=OC求證：ABCSAABC.oaob【證明】在厶OAB中,V0a=_OB，A1B1#AB.同理可證ACAC,BCBC.AZC1A1B1=ZCAB,ZABC=ZABC.A1B1CSAABC.一、選擇題1.(2013杭州高一檢測)一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一條()A.相交B.異面C.

34、相交或異面D.平行A,Bi【解析】可能相交，如圖，A1B1#C1D1，DD1與A異面，而DD與Cp相交；可能異面，E、F為B&、BC的中點，則EF與A”、EF與C1D都是異面直線，不可能平行，故選C.【答案】C2.若ZAOB=ZA1O1B1且OA#O1A1，OA與0宀的方向相同，則下列結論中正確的是()OBOB且方向相同OB?！監(jiān)B與0”不平行0B與0”不一定平行【解析】OB與0”不一定平行，反例如圖.答案】D3.已知一對等角，若一個角的一邊和另一個角的一邊平行，則它的另一邊()A.定平行B.定不平行c.一定相交D.不一定平行【解析】如圖，在正方體ABCD人嚴卩中，ZD1A1B1=ZDAB,A

35、D/Ap,AB/A”，但ZD1A1B1=ZB1C1C.A1D1/B1C1,A1B1與CC不平行，故選D.【答案】D4.如圖1418，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AAAB、BB則異面直線EF與GH所成的角等于()B1C1的中點,A.45B60解析】等邊三角形，取A1B中點I,連接IG、IH,則EF綊IG易知IG、IH、HG相等，則GI為則IG與GH所成的角為60，即EF與GH所成的角為60.答案】5.下列命題中，正確的結論有()如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；

36、如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；如果兩條直線同平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】錯，符合條件的兩角相等或互補；符合等角定理；錯，可能不相等也不互補；是公理4故正確.【答案】B二、填空題圖1419（2013濟南高一檢測）如圖1419，在三棱錐PABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有對.【解析】據(jù)異面直線的定義可知共3對，AP與BC，CP與AB，BP與AC.【答案】3若a,b是異面直線，b，c是異面直線，則直線a與直線c的位置關系是.AB【解析】如圖，可借助長方體理解，令a=CC1，b=A1B1，貝VBC,AD,DD均滿足題目條件，故直線a和直線c的位置關系是平行、相交或異面.【答案】平行、相交或異面在