高等數(shù)學各章知識要點典型例題與習題詳細精解

1、高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解第一章函數(shù)、極限、連續(xù)1節(jié)函數(shù)基本內(nèi)容學習一基本看法和性質(zhì)函數(shù)的定義設(shè)有兩個變量x和y，變量x的變域為D，假如關(guān)于D中的每一個x值，依據(jù)必定的法規(guī)，變量y有一個確立的值與之對應，則稱變量y為變量x的函數(shù)，記作：。2函數(shù)看法的兩因素定義域：自變量x的變化范圍對應關(guān)系：給定x值,求y值的方法。3函數(shù)的三種表示方法顯式：形如的稱作顯式，它最直觀，也是初等函數(shù)一般采納的形式。隱式：有時有些關(guān)系用顯式?jīng)]法完整表達，這時要用到隱式，形如x2y2。ab，如橢圓函數(shù)參數(shù)式：形如平拋運動的軌跡方程稱作參數(shù)式。參數(shù)式將兩個變量的問題轉(zhuǎn)變成一個變量的問題，從而使很多難以辦

2、理的問題簡化。4函數(shù)的四個基天性質(zhì)1高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解奇偶性：設(shè)函數(shù)在對稱區(qū)間X上有定義，假如關(guān)于恒有(或，則稱為偶函數(shù)(或奇函數(shù))。注：偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱。有界性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上有定義,假如使得對全部恒有：則稱在區(qū)間X上有界；若不存在這樣的，則稱在區(qū)間X上無界.注：函數(shù)有無界是相關(guān)于某個區(qū)間而言的。周期性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上有定義,若存在一個與x沒關(guān)的正數(shù)T，使對任一，恒有則稱是以T為周期的周期函數(shù)，把滿足上式的最小正數(shù)T稱為函數(shù)的周期。單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上有定義，假如對恒有：或則稱在區(qū)間X上是單調(diào)增添(或單調(diào)減少)的；假如關(guān)于

3、恒有：或則稱在區(qū)間X上是嚴格單調(diào)增添(或嚴格單調(diào)減少)的。其余函數(shù)定義復合函數(shù)：設(shè)函數(shù)值域為，若數(shù)，它的定義域是x的定義域為，則稱函數(shù)且Df，而函數(shù)。這里表示空集。的定義域是為x的復合函反函數(shù)：設(shè)函數(shù)的值域為Zf，假如關(guān)于Zf中任一y值，從關(guān)系式中可確立獨一的一個x值，則稱變量x為變量y的函數(shù)，記為：，2高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解此中稱為函數(shù)的反函數(shù)，習慣上的反函數(shù)記為：。6初等函數(shù)C(C為常數(shù))，常值函數(shù)冪函數(shù)，定義域由確立，但無論如何，在(0,且x對數(shù)函數(shù)且三角函數(shù)如；等反三角函數(shù)；以上六類函數(shù)稱基本初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次加、減、乘、除、復合而成的函數(shù)稱初等函數(shù)

4、。7分段函數(shù)一個函數(shù)在其定義域當當取整函數(shù)x表示不超出x的最大整數(shù)；當，此中n為整數(shù)。當x為有理數(shù)時狄利克萊(Dirichlet)函數(shù)當x為無理數(shù)時3高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解絕對值函數(shù)基本題型訓練一典型例題判斷函數(shù)的等價性例1.1以下各題中，函數(shù)f(x)與g(x)能否同樣？為何？；解：(1)不同樣，由于定義域是，而2glx的定義域是。(2)不同樣，由于二者對應法規(guī)不一樣，當時，。(3)同樣，由于二者定義域、對應法規(guī)均同樣。(4)不同樣，由于二者定義域不一樣。lgx2的求函數(shù)的定義域例1.2設(shè)的定義域為則f(x)的定義域為多少？解：函數(shù)的)定義域是指x的變化范圍，即令。故對函

5、數(shù)f(x)而言，t的變化范圍為，由函數(shù)表達式的量沒關(guān)性”，知：f(x)的定義域為。常有錯誤：。主若是對定義域所指的變量取值范圍理解不深，誤認為，由此獲取。則“變判斷函數(shù)奇偶性例1.4以下函數(shù)中哪些是奇函數(shù)，哪些是偶函數(shù)，哪些是非奇非偶函數(shù)？4高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解(2)2解：(1)由于sinx為奇函數(shù)，x2為偶函數(shù)，所認為奇函數(shù)。f(x)為奇函數(shù)判斷函數(shù)的周期性例1.5以下哪些是周期函數(shù)？關(guān)于周期函數(shù)，指出其周期。解是周期函數(shù)，周期為是周期函數(shù)，周期是25判斷函數(shù)單調(diào)性例1.6設(shè)f(x)在上有定義，且對任意x，證明在上單調(diào)增添。；有2證明：設(shè)所以，而所以所以即F(x)在上

6、單調(diào)增添。6求反函數(shù)例1.7求函數(shù)5高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解解：令。所以，所以，所以反函數(shù)即為所求。復合函數(shù)求法例1.8設(shè)則fg(x)等于多少？解：當時，所以當時有；當時，所以時有故，。注：求復合函數(shù)一般用三種方法：分析法，代入法，圖示法。本題用的是分析法，下邊分別介紹這三種方法。(1)分析法：是抓住最外層函數(shù)定義域的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復合函數(shù)的方法，該法適用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)之間的復合。代入法：將一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達式來代替，這類構(gòu)成復合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)或抽象函數(shù)的復合

7、，這類方法在求復合函數(shù)時一般最初想到。圖示法：借助于圖形的直觀性達到將函數(shù)復合的一種方法，適用于分段函數(shù)，特別是兩個均為分段函數(shù)的復合。關(guān)于圖示法解題的一般步驟以下：先畫出中間變量函數(shù)的圖形；把的分界點在xou平面上畫出(這是若干條平行于x軸的直線)；寫出u在不一樣區(qū)間段上x所對應的變化區(qū)間；將所得結(jié)果代入中，便得的表達式及相應x的變6高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解化區(qū)間。關(guān)于這類方法我們會在后邊的練習也許能力拓展頂用到。二能力拓展例1設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A)F(x)是偶函數(shù)是奇函數(shù)。(B)F(x)是奇函數(shù)是偶函數(shù)。(C

8、)F(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù)。(D)F(x)A當F(x)0 x是單解法一：任一原函數(shù)可表示為，且調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。為偶函數(shù)時，有，于是，即，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，0 x從而為偶函數(shù)，可見選(A)。0 x1解法二：令f(x)=1，則取F(x)=x+1，除掉(B)、(C)；令f(x)=x，則取F(x)=x2，2除掉(D)；故應選(A)。例2設(shè)則fff(x)等于。解：由ff(x)1得，fff(x)1，故應選7高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解函數(shù)理論框架圖第2節(jié)極限與連續(xù)性基本一個正整數(shù)當時，8恒有高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解

9、。若xn存在極限，稱xn收斂，不然稱xn發(fā)散。定義一個整數(shù)X，當時，有正數(shù)，當時，有定義2.32數(shù)列、函數(shù)極限的基天性質(zhì)與相關(guān)定理定理2.1(極限的不等式性質(zhì))，若，設(shè)nlim則，當時，若時，；，則。，則。定理2.2(極限的獨一性)設(shè)定理2.3(收斂數(shù)列的有界性)設(shè)xn收斂，則xn有界（即常數(shù)）。，若則，定理2.4(極限的不等式性質(zhì))設(shè)當時；若，則?；騽t存在一個，當推論(極限的保號性)若時，或。，則。定理2.5(極限的獨一性)設(shè)定理2.6(夾逼準則)設(shè)在x0的領(lǐng)域內(nèi)，恒有，且，則limf。定理2.7(單調(diào)有界準則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。3函數(shù)連續(xù)性定義定義2.1設(shè)函數(shù)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，給

10、x在x0處以增量，相應9高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解地獲取函數(shù)增量。若極限，則稱在處連續(xù)。定義2.2設(shè)函數(shù)滿足條件：在x0的某領(lǐng)域若在x0處出現(xiàn)以下三種情況之一：不存在；。在x0處無定義；(2)xlim(3)xlim則稱x0為的中斷點。中斷點x0的分類：第類中斷點均存在。此中若，稱為可去中斷點。若稱為跳躍間斷點。第類中斷點：最罕有一個不存在。若之中有一個為，則稱為無量中斷點。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)(連續(xù)函數(shù)的有界性)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則在上有界，即常數(shù)，對任意的，恒有fM。(2)(最值定理)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則在上最少獲得最大值與最小值各一次，即使得：10高等數(shù)學各章知識重點

11、及典型例題與習題詳細精解(3)(介值定理)若函數(shù)在上連續(xù)，是介于與f或最大值M與最小值m)之間的任一實數(shù)，則在上最少一個，使得。(零點定理或根的存在性定理)設(shè)函數(shù)，則在內(nèi)最少在上連續(xù)，且一個，使得無量小及其階(1)無量小與無量大的定義定義2.5在某一過程中以零為極限的變量稱為無量?。浚?。一個，當時，恒有。時，恒有。，當定義2.6在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)的絕對值無量增大，則稱函數(shù)為無量大批。一個，當時，恒有時，恒有一個，當(2)無量小與無量大、無量小與極限的關(guān)系此中；為無量小，則為無量大在同一極限過程中，。為無量大，則1為無量小(3)無量小階的看法定義2.7設(shè)在同一極限過程中，、為無量

12、小且存在極限11高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解。若，則稱是比高階的無量小，記為若，則稱是比低階的無量小。，則稱與是同階無量小。若lim若，則稱與是等價無量小，記為。若，則稱為的k階無量小。等價無量小的重要性質(zhì)，若且存在，則該結(jié)論表示：在求極限過程中等價無量小因子可以代替。)(5)確立無量小階的方法利用洛必達法規(guī)確立使得，則時，f(x)的k階無量小。是洛必達法規(guī)：法規(guī)(型)設(shè)函數(shù)滿足條件：；在x0的領(lǐng)域內(nèi)可導(在x0處可除外)且12高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解；存在(或。則法規(guī)型)設(shè)函數(shù)滿足條件：；一0個，當時，可導，且；lim存在(或。則法規(guī)型)設(shè)函數(shù)滿足條件：；

13、在x0的領(lǐng)域。n!n若則所以f(x)是的n階無量小(后邊章節(jié)還會講到)。利用無量小的運算性質(zhì)如若時，分別是的n階與則是的階無量小，當時，是m階無量小，的n階無量小。本章需要記憶知識重點看法、性質(zhì)函數(shù)的定義、函數(shù)連續(xù)的定義、中斷點及其種類、夾逼準則、單調(diào)有界準13高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解則等。重點公式或；常用極限：特例基本題型訓練求復合函數(shù)例設(shè)，求。解：由題設(shè)分以下狀況談論。(1)當時，或，即或，即(2)當時，或，即或，即14高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解綜上所述，利用函數(shù)看法求函數(shù)表達式例已知，求f(x)。解：令，則。于是從而。ix注：設(shè)，此中是已知函數(shù)，則有

14、兩類問題：一是已知f求；二是已知求f。若f是已知，并存在反函數(shù)，則。若已知，并存在反函數(shù)，令，則，從而，即。所以，這兩類問題都是求反函數(shù)問題。3求不決型函數(shù)極限例求以下極限解：原式15高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解原式1原式原式()16高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解求變限積分不等式的極限02x02例求極限lim解：原式=lim3xedt2t22x22x2018x24e4x22x018x2etdt22xetdt22注：在考據(jù)條件時，要用到以下結(jié)論:若f(x)連續(xù)，又也可為，則。5由極限確立函數(shù)中的參數(shù)例確立a,b,c的值，使解：當原式故原式c=存在，并求該12時，由可

15、得同理可得的值，使極限例試確立常數(shù)極限值.17高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解解：原式由可得，即存在則原式同原由所以原式利用函數(shù)收斂準則求極限例1(利用夾逼準則)_可得，即解：且又由夾逼原則可得原式2(利用單調(diào)有界準則)若序列的項滿足：為正的常數(shù))，且，(這里18高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解。試證有極限，并求出它。解：由今用數(shù)學歸納法證又。這只須注意到：，故時)存在，令其為單調(diào)且有下界，從而其極限A。由即，有即，所以。從而7求n項和數(shù)列的極限例求而，另一方面，19高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解sinsinsi2n且8求xxx，故由夾逼定理原式n項積數(shù)列

16、極限例當時，原極限2xxxx2nsinn2xxxx2sinsinx2sin2sinx2nsinx2nsinxx利用函數(shù)極限求數(shù)列極限例求lim(ntan)n解：由于limntan1tan1可化為求lim(xtan1)x2nttant)又由于20，此中l(wèi)imt而高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解，故原式=e3無量小的比較與無量小的階的確定例設(shè)函數(shù)，則f(x)在到處可導(B)恰有一個不行導點(C)恰有兩個不行導點(D)最罕有三個不行導點C解：先求出f(x)的表達式，再談論其可導情況當時，；當時，；當時，即可見f(x)僅在時不行導，故應選(C)函數(shù)連續(xù)性與中斷點種類的談論例判斷中斷點并鑒識

17、種類解：當時，當時，當時，即，所以為函數(shù)第一類中斷點21高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解相關(guān)極限的證明例設(shè)f(x)在連續(xù)求證x證明因A，由極限的不等式性質(zhì)可知，A當時則時,有22，所以lx注：若則lim，近似可知，若則lim。x利用泰勒公式求極限例求以下極限(關(guān)于泰勒展式相關(guān)；(3)；(1)limx22x22分母的次數(shù)為4，只要把cosx，e22睜開到出現(xiàn)x的四次冪即可。121442!4!12112222!2114故原極限(22高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解的睜開式只要取到2項即可111111原極限分子關(guān)于x的次數(shù)為2。1111原極限x11131o(x3)3故練習題一

18、填空題(1)已知設(shè)函數(shù)則_有連續(xù)的導函數(shù)，,若23高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解在處連續(xù)，則常數(shù)設(shè)當(4)已知時，=，則為的階無量小，則，1222n2和n為正整數(shù)且)設(shè)在處中斷，則a與b應滿足的關(guān)系是選擇題(1)若函數(shù)在處連續(xù)，則的值是設(shè)24此中則必有高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解x在定義域(B)有下界無上界.11x(C)有界,且有界且函數(shù)41(C)則(A)1(B)03(6)設(shè)則(D)不存在有無量多個第一類中斷點,(B)自由一個可去中斷點有兩個跳躍中斷點(D)有3個可去中斷點3計算與證明(1)求極限設(shè)試談論在處的連續(xù)性和可導性.試確立常數(shù)極限值.的值，使極限存在，并

19、求該高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解設(shè)的值。求在及，且是的可去中斷點，求設(shè)的值。求設(shè)的某鄰域(9)設(shè)f(x)在上連續(xù)，且(10)設(shè)f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)，且(3)。n，證明：一個，使得，則在(a,b)(2)a+b，高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解(4)16(5),(6)2(7)13(8)m2(1)(A)(2)(D)(3)(C)(4)(A)(5)(D)(6)(D)3(1)nm(2)1(3),9,2提示：用介值定理(9)提示：輔助函數(shù)，用零點定理(10)輔助函數(shù)，利用介值定理可利用零點定理可利用前面講到的求復合函數(shù)中間的圖示法27高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習

20、題詳細精解極限理論框架圖28高等數(shù)學各章知識重點及典型例題與習題詳細精解第二章一元函數(shù)微分學本章要求理解導數(shù)和微分的看法，理解導數(shù)與微分的關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，認識導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描繪一些物理量(數(shù)三、數(shù)四不要求)，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。(數(shù)三、數(shù)四增添要求認識經(jīng)濟意義（含邊沿與彈性的看法）。掌握導數(shù)的四則運算法規(guī)和復合函數(shù)的求導法規(guī)，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。認識微分的四則運算法規(guī)和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。認識高階導數(shù)的看法，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和參數(shù)方程所確立的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。(數(shù)三、數(shù)四參數(shù)方程求導不要求)理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理泰勒定理，認識并會用(數(shù)三、數(shù)四不要求)柯西中值定理。掌握用洛必達法規(guī)求不決型極限的方法(數(shù)三、數(shù)四會用洛必達法規(guī)求極限)。理解函數(shù)的極值看法，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。認識曲率和曲率半徑的看法，會計算曲