2012ghx第八章線性離散控制系統(tǒng)二

1、前期回顧：線性離散控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)：具有時(shí)間離散、幅值連續(xù)的信號(hào)e(t)e* (t)tt數(shù)字控制系統(tǒng)：具有時(shí)間離散、幅值離散的信號(hào)量化編碼前期回顧：數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)：時(shí)間和幅值均離散的控制系統(tǒng)：模擬數(shù)字；：數(shù)字模擬量化編碼（01組合）量化時(shí)間充分短及精度足夠高，數(shù)字控制可歸入采樣控制保持器不是必須的，大慣性、大滯后需要脈沖控制脈沖使幅值較大的信號(hào)平均能量降低，提高穩(wěn)態(tài)精度。數(shù) 字 量數(shù) 字 量模 擬 電 壓（3 0 0 0中 的 2 0 份）（1 0 0 0 中 的 8份） 模 擬 電 壓0.0150128.V2080.008.V30001000f(x)前期回顧：離散控制系統(tǒng)的新問(wèn)

2、題有新的信號(hào)類型，如何表達(dá)這些新的信號(hào)？采樣信號(hào)能信號(hào)的信息？離散的信號(hào)如何變成需要的連續(xù)信號(hào)，對(duì)系統(tǒng)又有什么影響？如何建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？采樣過(guò)程 :把連續(xù)信號(hào) 脈沖序列的過(guò)程. 采樣方式和采樣裝置的不同，脈沖序列的形狀不同前期回顧：理想脈沖序列矩形脈沖的頻譜函數(shù)R (j) IsinC(j) G(j)R(j) ,C(j) G(j) R(j).在慣性環(huán)節(jié)帶寬內(nèi)，沖量相同的幾種脈沖的幅頻譜均接近1，在慣性環(huán)節(jié)帶寬外，脈沖頻譜雖不同，但|G(j)|0.輸出頻譜C(j )相 同充分短促的脈沖加在有慣性對(duì)象時(shí),對(duì)象運(yùn)動(dòng)僅取決于對(duì) 象本身特性和脈沖沖量,而與脈沖具體形狀無(wú)關(guān)。脈沖信號(hào)的特征： 沖量理

3、想脈沖序列。含義？信號(hào)的頻譜分解級(jí)數(shù)：把定義在-，上的信號(hào)分解為頻率為整數(shù)倍關(guān)系的諧波分量組合；變換將一個(gè)無(wú)限時(shí)寬的信號(hào)分解為頻率為的一系列頻率分量（ 可以是任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）：分解：把一個(gè)簡(jiǎn)單但是復(fù)雜的式子分；級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式；很長(zhǎng)但是相對(duì)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的正(余)弦信號(hào)的組合。把一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)分頻譜反映信號(hào)由完整的頻譜能反求信號(hào)一種特殊的積分變換，s=j(線性變換)1 j T( j jks)*前期回顧：采樣定理s k *(j)：主分量偏移ks疊加到一起max:|F(j )|=0.05|F(j 0)|采樣定理:為不失真地把原信號(hào)復(fù)現(xiàn),采樣角頻率 s 2/Ts必須大于或等信號(hào)上限頻率max的二倍孤立時(shí)間點(diǎn)上

4、觀察的信息量是否足夠前期回顧：定理和信號(hào)重構(gòu)任何信號(hào)都可以看做是不同頻率的正弦（余弦）信號(hào)的疊加，因此如果知道所有組成這一信號(hào)的正（余弦）信號(hào)的幅值、頻率和相角，就可以重構(gòu)原信號(hào)。由于信號(hào)測(cè)量、分解及時(shí)頻變換的過(guò)程中存在誤差，因此不能100%地重構(gòu)原信號(hào)，重構(gòu)的信號(hào)只能保證原信號(hào)誤差在容許范圍內(nèi)。前期回顧：如何化離散信號(hào)為連續(xù)信號(hào)？gh(t) 1(t) 1(t Ts )零階保持器使采樣信號(hào) *(t)每采樣瞬時(shí)采樣值x(nTs), n=0,1,2,，一直保持到下一采樣瞬時(shí)，從而使采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)。低通濾波，（高頻紋波）相角滯后：時(shí)間落后Ts/2y前期回顧：如何描述離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程？差分

5、方程一般y(t) y(t) K u(t)(8 - 20)微分近似計(jì)算1TTG( s) Ts 1(t) | y(kTs) y(k 1)Ts y(k) y(k 1)(8 - 21)t(k1)TsTTssy(k) (1 Ts ) y(k 1) KTs u(k 1)(8 - 22)TT來(lái)說(shuō)，描述線性離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的差分方程模型為nmy(k) ai y(k i) blu(k l)(8 - 23)i1l0第k時(shí)刻的輸出,不僅取決于當(dāng)前時(shí)刻的輸入,還與歷史時(shí)刻的輸入輸出有關(guān)。迭代求解：給定初始條件下，反復(fù)迭代。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.3.1 z變換（引言：差分方程的求解）能否引入一些變換，將迭代

6、計(jì)算簡(jiǎn)引入滯后算子z，化差分運(yùn)算為代數(shù)運(yùn)算y(k 2 ) 3 y(k 1) 2 y(k) u(k)k 0k 0u(k) 1,y( 0 ) 0y(1) 0 0 ,8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型x* (t)8.3.1 z變換（差分方程的求解）t“引入滯后算子z”如何在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)？（某種變換）如何求其z變換U(z)？1. 給定脈沖序列 u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、視為一整體2. 給定u*(t)對(duì)應(yīng)的u(t)時(shí)域或頻域（復(fù)域）表達(dá)式。(t) f(t)(t kT ) f(kT )(t kT ),f* (t) f(t)t tTssss0k0k0F (s) L f (t) (t kT )f(kT )

7、L(t kT )*Lf(kT )ssssk0k0k0k0kT skT s(t) f(kT )eLf(kT )e(8 - 14)ssssz變換 令：z esTsy* (t)u* (t)u(t)8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Su* (t)u(t)nmy(k) ai y(k i) blu(k l)tti1l0t求解特定輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)零初始條件下得到離散系統(tǒng)的輸入-輸出數(shù)學(xué)模型（脈沖傳遞函數(shù)，Z傳函）：s變換和z變換的對(duì)應(yīng)k0k0kT s*(s) L f (t) *f(kT )zk f(k)zkF(z) f(kT )esssk0Z變換：離散信號(hào)的拉氏變換。只能反映信號(hào)在采樣時(shí)刻的值，不能描述采樣點(diǎn)間信號(hào)的

8、狀態(tài)。 eTs(j) eTsejTs z eTsss 1直線左側(cè) z平面原點(diǎn)為圓心r eTs1 為半徑圓內(nèi).離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)原系統(tǒng)穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)位于左半平面對(duì)應(yīng)z平面原點(diǎn)為圓心 ,r 1為半徑圓內(nèi).若F(s)全部極點(diǎn)在s平面s 1直線左側(cè),則F*(s)全部極點(diǎn)也在s平面s 左側(cè)。1z esTsF8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1z變換的求解方法級(jí)數(shù)求和：按定義直接計(jì)算其z變換表達(dá)式f(kT )z f(k)zkk(z) sk0k0試求序列 f(k) e pkTs (k 0,1,2.)的z變換, 其中, p為復(fù)數(shù).例8-1解：按定義有收斂條件 es z1 1F(z) f(k)zk (es z1 )k

9、k0k01 k1zF(z) lim Sk lim1 1 e1z ezkkss8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2z變換的性質(zhì)根據(jù)z變換定義，可證明z變換性質(zhì)，利用性質(zhì)進(jìn)行z變換。1)線性定理Zaf1 (t) bf2 (t) aF1 (z) bF2 (z)2) 延遲定理Z f(tkT ) zkF(z), f(t) 0 , t 0s3) 超前定理超前定理 應(yīng)用要謹(jǐn)慎k1Z f(t kT ) z F(z) ikf(i)z si04) 復(fù)數(shù)位移定理Ze f(t) F(zes )8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5) 初值定理(0) lim(z),lim F(z)存在z z6) 終值定理7)

10、卷積定理例8-2 已知f(t)的變換為1(s) s(s 1)分部分式法試求相應(yīng)的z變換F(z)查性質(zhì)表,:11解：F(s) ss 1z(1 eTs )zzF(z) z 1eTTz e(z 1)(z e(1)ssz(z) Z f(t) 例8-3設(shè)z eaTs111G( s) Ts 1T1s Ta0,試?yán)媒K值定理確定f(k)的終值。lim f(k) lim(z 1)F(z) lim(z 1)z lim z 1 0解:z e1 ezk z1z1z1ss8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8-4試證明表8-2中的延遲定理和復(fù)位移定理。（1）t0時(shí)，f(t)=0Z f(t kT ) f()znkf(nT kT

11、 )z(nk)zssssn0n0 f(p k zk f(p0 zk)z p)z p zk(z)ss（2）由z變換可直接證得Ze f(t) f(n0aT)eanTsznnf(nT )(ze)sssn0 f(n0)zn F(z ) F(ze zeaTss ),zs1118-3-2 Z反反變變換只能反映信號(hào)在采樣時(shí)刻的值，不能描述采樣點(diǎn)間信號(hào)的狀態(tài)。(z) f(kT )zksk0反變換只能求出f(t)在采樣間隔上的值f(kTs)zz例8 6.F(z)(z 1)(z 2) 3z 2z2列直式長(zhǎng)除得F(z) z1 3z2 7z3 15z4 )z2f(3T)z3f(4T)z4 (2Tsss可知:f(0)

12、0,f(Ts ) 1,f(2Ts ) 3,f(3Ts ) 7,f(4Ts ) 15,f*(t)(t T ) 3(t 2T ) 7(t 3T ) 15(t 4T )ssss1.長(zhǎng)除法:設(shè)X(z) M(z)/ N(z),式中M(z)、N(z)分別為分子分母z的多項(xiàng)式.列直式M(z)長(zhǎng)除N(z),得到商為關(guān)于z1整冪形式的無(wú)窮冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式, 由其系數(shù)即可求得x(kTs ).F(z) f(k)：z反變換8-3-2Z反變換2.部分分式法:從變換表可看出, 一般Z變換函數(shù)都有一個(gè)z因子.先將F(z)/ z展開(kāi)成部分分式, 然后將其每上z,查z變換表再求和.z(1 eTs )(z 1)(z eTs )例8-

13、5設(shè)(z) F(z) 11(k) Z1F(z) 1 ekTs查表z 1z eTsz1zF(z)11例8 6.F(z),(z 1)(z 2) z(z 1)(z 2) z 1 z 2 F(z) z z ,f(kT) 1 2k,k 0,1,2, z 1 z 2(z) (k)：z反變換8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3）留數(shù)法設(shè)函數(shù)F(z)zk-1除有限個(gè)極點(diǎn)z1,z2,.,zn,外，在z平面上是的，則有n1f(k) kResF(z)z(8 - 17)zzii11表示函數(shù) (z)zk1在z處的留數(shù)。kResF(z)zzzii其計(jì)算方法如下：1）若zi，i=1,2,.n，均為單極點(diǎn)，則ResF(z)zk1

14、lim(z z )F(z)zk1 (8 - 18)zziizzi2）若zi為m階重極點(diǎn)，則dm11k1k1 lim(z zi ) F(z)zmRes(z)zzz(8 - 19)m1(m - 1) ! dzzzii(z) (k)：z反變換8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8-7考慮例8-6的F(z)，試用留數(shù)法求f(k)zF(z) (z 1)(z 2)2z(z 1)(z 2)f(k) k1fReszzzi1i zkzk (z 1) (z 2)(z 1)(z 2)(z 1)(z 2) 1 2k,z1z2k 0, 1, 2, F(z) (k)：z反變換8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：離散系統(tǒng)響應(yīng)序列的求取z反

15、變換來(lái)求取離散系統(tǒng)的響應(yīng)序列。k 0k 0u(k) 1,例8-8設(shè)初始值為y(0)=0和y(1)=0，輸入為0,試用z反變換法求由差分方程y(k+1)=3y(k+1)-2y(k)+u(k)所描述的離散系統(tǒng)的響應(yīng)。U(z) Zu(k) 1解：查表8-1知對(duì)差分方程兩端作z變換，并應(yīng)用超前定理，得:(z2 3z 2)Y(z) z2 y(0) zy(1) 3zy(0) (z2 3z 2)Y(z) U(z) 1 z1 1zzy(k 1) 2k1 1Y(z) z 2z 1z2 3z 28.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:基于差分方程解的系統(tǒng)分析c(k) 0 , 0.0048 , 0.0186 , c() 11.

16、4k 53，則 c(k)落入誤差帶 c( ) 5 % c( )內(nèi)1.21max% 18.3%0.80.60.40.200246t/(s)81012c* (t)ts 53 0.1 5.3stp 37 0.1 3.7sC(z) (z)R(z) 0.0048z 0.0047zz2 1.9z 0.9095 z10.0048z1 0.0047z21 2.9z1 2.8095z2 0.9095z3r(t)e(t)e* (t)KC(s)R(s)-E(z)s(s 1)c(t)cmax c( 37 ) 1 .18331 eTsss8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：脈沖傳遞函數(shù)nmy(k) ai y(k i) blu(

17、k l)i1l0u* (t) u(t) (t) u(kT )(t kT )Tsss疊加原理卷積 y (t) u(kT )g(lT kT ) (tkT )*ssssk0 l0y(k) u(kTs)g(lTs kTs)l0k 0脈沖(t kT )響應(yīng)sg* (t) g(lT kT )(t lT )sssl0其中，當(dāng)n 0時(shí)，g() 0零初始條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)象u*(t)y* (t)u* (t)y* (t)對(duì)象8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：脈沖傳遞函數(shù)y(k) u(kTs )g(lTs kTs )l0對(duì)象(t kTs)g (t) g(lT kTs )(t lTs )*脈沖輸入下的輸出響應(yīng)s零初始條件下進(jìn)

18、行實(shí)驗(yàn)l0其中，當(dāng)n 0時(shí)，g(s) 0孤立時(shí)間進(jìn)行控制和測(cè)量，輸出均可分解為g*(t)的線性組合。g*(t)的 z變換為G(z)，根據(jù)z變換卷積定理，Y(z) G(z)U(z)故離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 Y(z)Y*(s)s 1lnz TsL( y* (t)Y* (s)Y(z)G (s) G(z)*(8 - 25)Lu* (t)U* (s)U(z)脈沖傳遞函數(shù)：零初始條件下，系統(tǒng)輸出的z變換與輸入的z變換之比。取決于對(duì)象或系統(tǒng)自身，與輸入無(wú)關(guān)。8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型y(k) u(kTs )g(lTs kTs )l0Y(z) G(z)U(z)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)可由對(duì)連續(xù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)g(t)的采樣

19、信Zg(t) Zg(k) G(z)號(hào)的g*(t)=g(k)求z變換來(lái)獲得：離散控制系統(tǒng)常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)單元：采樣開(kāi)關(guān)連續(xù)對(duì)象8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：脈沖傳遞函數(shù)的求取G(s) 1 s(s 1)例8-9設(shè)圖8-12（a試求其脈沖傳遞函數(shù)及差分方程。解：其脈沖傳遞函數(shù)為z(1 eTs )(1 eTs )z1G(z) Zz (eTs 1)z eTs 1)(z 1)(z eT2s(s)sG(z) Y(z) U(z)z2 (eTs 1)z eTs Y(z) (1 eTs )zU(z)y(k) (eTs 1) y(k 1) eTs y(k 2) (1 eTs )u(k 1)8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：開(kāi)環(huán)系

20、統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)U1 (z) G1 (z)U(z)Y(z) G2 (z)U1 (z)一般G1 (z)G2 (z) G1G2 (z)G(z) ZG1 (s)G2 (s) G1G2 (z)(8 - 28)G(z) G1 (z)G2 (z)(8 - 27)8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G1 (s) 1 / sG2 (s) 1 /(s 1)例8-10設(shè)圖8-13和圖8-14中均有試求兩個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z) 。G (z) Z1 s z (z 1)1G (z) Z 1) z (z eT1 (s)s22zG(z) G (z)G (z) 12(z 1)(z eTs )

21、z(1 eTs )1G(z) GG (z) Z12 1)(z 1)(z eTs(s)s8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（2）含零階保持器的廣義對(duì)象當(dāng)采樣頻率小于閉環(huán)系統(tǒng)帶寬的20倍時(shí)，通常不能忽略零階保持器相位滯后對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的影響。gp(t)Gp(s) s拉式變換gs)T s(1 e)G (s) ssp 1 eTss Gp(s) G(z) Z (1 z)Z1G (s)(8 - 29)pss延遲定理Zg (tT ) z1Zg (t)psp8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)Gp(s) 1 s(s 1)例8-11設(shè)圖8-15試求開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

22、 。解：因Gp(s) 1 111ss 1 s2 (s 1)s2s查表8-1得Gp(s) TTz(e T 1)z (1 Te eTTzzzz eTssss Zsss(z 1)2 (z eTs )(z 1)2 z 1sGp(s) TTT T 1)z (1 Tee)(esssG(z) (1 z1 )Z ss(z 1)(z eTs )sz(1 eTs )1G(z) GG (z) Z例8-10結(jié)果12s(s 1)(z 1)(z e)Ts零階保持器一般不改變脈沖傳遞函數(shù)的階數(shù)，也不影響脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，只影響零點(diǎn)。8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)采樣開(kāi)關(guān)在環(huán)路中的配置存在多種可能，相應(yīng)地

23、，閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式也不唯一。虛線所示的理想采樣開(kāi)關(guān)是為了方便分析而設(shè)的。假設(shè)所采樣開(kāi)關(guān)都同步工作。Y(z) G(z)E(z)E(z) Zr(t) b(t) R(z) B(z)B(z) GH(z)E(z)誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)T (z) E(z) 1(8 - 31)Y(z)G(z)T(z) E1 GH(z)(8 - 30)R(z)R(z)1 GH(z)(z) 1 GH(z) 0閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程(8 - 32)8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)3. 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)T(z) ZT(s),TE(z) ZTE (s)一般而言閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)通常不能直接從

24、對(duì)T(s)和TE(s)求z變換得到。8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例8-12設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-17所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：由圖8-17得Y(z) G2 (z)U(z)U(z) G1 (z)E(z)E(z) R(z) G H(z)U(z)2消去中間變量,得G1 (z)G2 (z)T(z) 1 G1 (z)G2H(z)8.3 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表8-3典型離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其輸出z變換G(z)R(z)環(huán)節(jié)之間1 GH(z)有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)：G1(z)G2(z)RG1(z)G2 (z)無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)：1 G2HG1(z)G1G2(z)G(z)R(z)1 G(z)H(z)若采樣開(kāi)關(guān)不在誤差信號(hào)e(t