高中數(shù)學(xué)必修二 2 7．1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、71.2復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)復(fù)平面了解復(fù)平面的概念數(shù)學(xué)抽象復(fù)數(shù)的幾何意義理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系直觀想象復(fù)數(shù)的模掌握復(fù)數(shù)的模的概念，會(huì)求復(fù)數(shù)的模數(shù)學(xué)運(yùn)算共軛復(fù)數(shù)掌握共軛復(fù)數(shù)的概念，并會(huì)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算 問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P70P72的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1復(fù)平面是如何定義的？2復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？3復(fù)數(shù)zabi的共軛復(fù)數(shù)是什么？1復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)2復(fù)數(shù)的兩種幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，b

2、R)eq o(,sup7(一一對(duì)應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) eq o(,sup7(一一對(duì)應(yīng))平面向量eq o(OZ,sup6().名師點(diǎn)撥 (1)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)也就是說(shuō)，復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長(zhǎng)度是1，而不是i.(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，abi0bibi是純虛數(shù)，所以虛軸上的點(diǎn)(0，b)(b0)都表示純虛數(shù)(3)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中的z，書寫時(shí)應(yīng)小寫；復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)中的Z，書寫時(shí)應(yīng)大寫3復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對(duì)應(yīng)的向量為eq o(OZ,sup6()，則eq o(OZ,sup6()的模叫做復(fù)數(shù)z的?；蚪^對(duì)

3、值，記作|z|或|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2)名師點(diǎn)撥 如果b0，那么zabi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模等于|a|(a的絕對(duì)值)4共軛復(fù)數(shù)(1)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)(2)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)(3)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq o(z,sup6()表示，即如果zabi，那么eq o(z,sup6()abi名師點(diǎn)撥復(fù)數(shù)zabi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a，b)，復(fù)數(shù)eq o(z,sup6()abi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a，b)，所以兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)

4、原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)()(2)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù)()(3)若|z1|z2|，則z1z2.()(4)若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|.()答案：(1)(2)(3)(4) 復(fù)數(shù)12i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D 復(fù)數(shù)z13i的模等于()A2 B4C.eq r(10) D2eq r(2)答案：C 復(fù)數(shù)z25i的共軛復(fù)數(shù)eq o(z,sup6()_答案：25i復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)已知復(fù)數(shù)z(a21)(2a1)i，其中aR.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件時(shí)，求a的值(或取值范圍)(1)在實(shí)軸上；(2)在第三象限【解

5、】(1)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則有2a10，解得aeq f(1,2).(2)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則有eq blc(avs4alco1(a210，,2a10，)解得1aeq f(1,2).故a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2).變條件本例中復(fù)數(shù)z不變，若點(diǎn)Z在拋物線y24x上，求a的值解：若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a21，2a1)在拋物線y24x上，則有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得aeq f(5,4).eq avs4al()利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)zabi(a，bR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來(lái)

6、表示，是解決此類問(wèn)題的根據(jù)(2)列出方程：此類問(wèn)題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過(guò)解方程(組)或不等式(組)求解 在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i(mR)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和實(shí)軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z.解：(1)若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.(2)若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上，則eq blc(avs4alco1(m2m20，,m23m20，)所以m1，所以z2.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i，1，42i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C.求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)【解】法一：由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0，1)，B(1，

7、0)，C(4，2)，則AC的中點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)，由平行四邊形的性質(zhì)知該點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)，設(shè)D(x，y)，則eq blc(avs4alco1(f(x1,2)2，,f(y0,2)f(3,2)，)所以eq blc(avs4alco1(x3，,y3，)即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)，所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.法二：由已知得eq o(OA,sup6()(0，1)，eq o(OB,sup6()(1，0)，eq o(OC,sup6()(4，2)，所以eq o(BA,sup6()(1，1)，eq o(BC,sup6()(3，2)，所以eq o(BD,sup6()eq

8、o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()(2，3)，所以eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BD,sup6()(3，3)，即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.eq avs4al()復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化 1已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量eq o(OA,sup6()

9、，eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量eq o(BA,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A55iB55iC55i D55i解析：選B.向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z123i，z232i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可得向量eq o(OA,sup6()(2，3)，eq o(OB,sup6()(3，2)由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(23，32)(5，5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可得向量eq o(BA,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

10、55i.2在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量eq o(OA,sup6()表示的復(fù)數(shù)為12i，若點(diǎn)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i解析：選B.由題意得A(1，2)，則B(2，1)，所以向量eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為2i.復(fù)數(shù)的模(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i且|z1|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1a1 Ba1Ca1 Da0(2)(2019貴州遵義貴龍中學(xué)期中測(cè)試)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|22|z|30，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是()A1個(gè)圓 B線段C2個(gè)點(diǎn) D2個(gè)圓【解析】(1)由題意得eq r(a22

11、2)eq r(（2）212)，即eq r(a24)eq r(5)(aR)，所以1az2 Bz1|z2| D|z1|z2|解析：選D.|z1|53i|eq r(5232)eq r(34)，|z2|54i|eq r(5242)eq r(41).因?yàn)閑q r(34)eq r(41)，所以|z1|z2|.2已知復(fù)數(shù)z3ai(aR)，且|z|4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：法一：因?yàn)閦3ai(aR)，所以|z|eq r(32a2)，由已知得32a242，所以a27，所以a(eq r(7)，eq r(7)法二：由|z|4知z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

12、在直線x3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z(3，a)的集合，由圖可知eq r(7)a0，,m10，)解得3m1.2在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量eq o(OA,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i解析：選D.由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，故向量eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i.3已知0a2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是_解析：依題意，可知zai(aR)，則|z|2a21.因?yàn)?a2，所以a21(1，5)，即|z|(1，eq

13、r(5)答案：(1，eq r(5)4若復(fù)數(shù)z12bi與復(fù)數(shù)z2a4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a_，b_解析：因?yàn)閦1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以a2，b4.答案：24A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知復(fù)數(shù)zaa2i(a0)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B.因?yàn)閍0，所以復(fù)數(shù)zaa2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a，a2)位于第二象限2已知i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i和13i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離是()A.eq r(5) B.eq r(10)C5 D25解析：選C.由于復(fù)數(shù)2i和13i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(2，1)，(1，3)，因此由兩點(diǎn)間的距離公式，得這兩點(diǎn)間的距離為eq r(（21）21（

14、3）2)5，故選C.3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)的向量的模為3，且實(shí)部為eq r(5)，則復(fù)數(shù)z()A3eq r(5)i B.eq r(5)3iC2eq r(5)i D.eq r(5)2i解析：選D.由題意可設(shè)復(fù)數(shù)zeq r(5)yi(yR，y0，,m25m140，)解得3m0，,m25m140)或eq blc(avs4alco1(m30，,m25m147或2m3，此時(shí)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三象限(3)要使復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線yx上，只需m25m14m3，所以m26m110，所以m32eq r(5)，此時(shí)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線yx上10在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量eq o(OA

15、,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1)中的點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解：(1)設(shè)向量eq o(OB,sup6()對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1x1y1i(x1，y1R)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)根據(jù)對(duì)稱性可知，x12，y11，故z12i.(2)設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2x2y2i(x2，y2R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對(duì)稱性可知，x22，y21，故z22i.B能力提升11若eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，f(5,4)，則復(fù)數(shù)(c

16、os sin )(sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B.由復(fù)數(shù)的幾何意義知(cos sin )(sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos sin ，sin cos )因?yàn)?eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，f(5,4)，所以cos sin eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，所以原復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.12已知復(fù)數(shù)z滿足|z| 2，則|z34i|的最小值是()A5 B2C7 D3解析：選D.|z|2表示復(fù)數(shù)z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的

17、圓上，而|z34i|表示圓上的點(diǎn)到(3，4)這一點(diǎn)的距離，故|z34i|的最小值為eq r(（3）242)2523.13i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若z123i，則z2_解析：因?yàn)閦123i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)，且復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z223i.答案：23i14已知復(fù)數(shù)z1cos isin 2，z2eq r(3)sin icos ，求當(dāng)滿足什么條件時(shí)，(1)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；(2)|z2|eq r(2).解：(1)在復(fù)平面內(nèi)，z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則eq blc(avs4alco1(cos r(3)sin ，,sin 2cos ，)eq blc(avs4alco1(kf(,6)，,2kf(7,6)或2kf(11,6)或kf(,2)，)(kZ)，所以