7.1.無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、1例2等比級數(shù)(也稱為幾何級數(shù)) aqn1 a aq aq2 L aqn1 Ln1的收斂性,其中a 0, q 0.解: (1)當(dāng)| q | 1時(shí),S a aq aq2 aqn1 a(1 qn )nL1 q ,當(dāng)q 1時(shí),n 0, lim S a , 收斂n n 1 q當(dāng)q 1時(shí),n , lim Sn , 發(fā)散n1例1 判定級數(shù) n(n 1 的收斂性, 若收斂,求其和.n1)解: Q u 1 1 1 ,nn(n 1)n n 1 Sn 1 1 1(n ),n 1原級數(shù)收斂, 且和等于1.定義 若 lim則稱級數(shù) un收斂,nn1稱S為 un的和, 即 S un u1 u2 u3 L un Ln1n

2、1若 lim Sn不存在, 則稱級數(shù) un發(fā)散.nn1Rn S Sn un1 un2 L 稱為級數(shù)的余項(xiàng) ,對于收斂的級數(shù) , 有 lim Rn 0;nS Sn ,| Rn | 稱為誤差.S1 u1 ,S2 u1 u2 ,S3 u1 u2 u3 , L,Sn u1 u2 L un , L數(shù)列Sn 稱為級數(shù)的部分和數(shù)列7.1 無窮級數(shù)的基本概念與性質(zhì)一、基本概念定義 對于數(shù)列un , 稱 u1 u2 u3 L un L為無窮級數(shù)，記作 unn1即 un u1 u2 u3 L un Ln1級數(shù)的（前n項(xiàng)）部分和：nSn u1 u2 L un ui .i 1第七章 無窮級數(shù)引例 計(jì)算圓的面積A正六邊

3、形的面積 a1R正十二邊形的面積a1 a2正 3 2n 邊形的面積 a a L a12n發(fā)現(xiàn): A a1 a2 L an L2性質(zhì)4 收斂級數(shù)任意加括號后 所成的級數(shù)仍收斂其和不變.證明 (u1 u2 ) u3 (u4 u5 u6 ) L,1 S2 , 2 S3 , 3 S6 , L, n Snk , L, lim n lim Sn Snk k性質(zhì)3 若 un收斂, 則 un也收斂; 反之亦然.n1n k 1證明 對于uk 1 uk 2 L uk n L, n uk 1 uk 2 L uk n Sn k Sk ,則 lim n lim (Sn k Sk ) S Sk .nn說明 在級數(shù)中任意去

4、掉、加上、改變有限項(xiàng),級數(shù)的收斂性不變.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1 若 un收斂, k為常數(shù),則 kun k unn1n1n1性質(zhì)2若 un , vn 收斂,則n1n1(un vn ) un vnn1n1n1 1例4證明調(diào)和級數(shù) n 發(fā)散.n1證ln(n 1) ln n 1 1(n n 1)n S 1 1 L 1n2n(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) L (ln(n 1) ln n)ln(n 1) ln1 ln(n 1) lim S , 1n n級數(shù) n 發(fā)散.n1例3 判定級數(shù) 1 1 1 L 1 L1 3 3 5 5 7(2n 1) (2n 1)的收斂性, 若收斂,求其和.解

5、: Q un 1 1 1 1 (2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1 S 1 1 1 1 L 1 1 n2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 (n ),2 2n 12 原級數(shù)收斂 , 和為 1 .2(2)當(dāng)q 1時(shí),當(dāng)q 1時(shí), Sn na , 發(fā)散當(dāng)q 1時(shí), 級數(shù)變?yōu)閍 a a a L, lim Sn不存在, 發(fā)散n 綜上等比級數(shù) aqn1 , 當(dāng)q 1時(shí),收斂.n1當(dāng)q 1時(shí),發(fā)散32 判定下列級數(shù)的收斂性 n n n1. 1 n , 2. 3 sin 3n ,n1n1提示 n n1lim un lim nn 1 n elim un lim 3n nn3n1.

6、已知 an收斂, bn發(fā)散,(an bn )的收斂性.n1n1n1解:假設(shè) (a b ) 收斂, nnn1(an bn ) an bn 級數(shù)收斂,！n1n1 (an bn ) 發(fā)散n1練習(xí)題1. 已知 an收斂, bn發(fā)散,(an bn )的收斂性.n1n1n12 判定下列級數(shù)的收斂性 : n n n1. 1 n ,2. 3 sin 3n ,n1n1說明：如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；一般項(xiàng)趨于零，級數(shù)不一定收斂； 1例如, 調(diào)和級數(shù) n ,n1有 lim un 0,但級數(shù)是發(fā)散的.n5、級數(shù)收斂的必要條件定理若 un收斂, 則 lim un 0.n1n證明 假設(shè) limn limn1 )n lim Sn lim Sn1 0nn注 (1)如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散. (2)加括號后所成的級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂例如 考慮級數(shù)