二維圖形變換與裁剪

1、二維圖形變換與裁剪第1頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日第5章 二維圖形變換與裁剪5.1 二維圖形變換5.2 二維圖形裁剪 5.3 二維圖形求交 5.4 地圖中的變換第2頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日5.1 二維圖形變換5.1.1 二維圖形變換基本原理5.1.2 基本幾何變換的解析表示5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示5.1.4 組合變換第3頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日在計(jì)算機(jī)繪圖應(yīng)用中，經(jīng)常要實(shí)現(xiàn)從一個(gè)幾何圖形到另一個(gè)幾何圖形的變換。例如，將圖沿某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大；反之把圖形縮小

2、等等。這些圖形變換的效果雖然各不相同，本質(zhì)上卻都是依照一定的規(guī)則，將一個(gè)幾何圖形的點(diǎn)都變?yōu)榱硪粋€(gè)幾何圖形的確定的點(diǎn)，這種變換過(guò)程稱為幾何變換。 二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對(duì)一個(gè)平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。 5.1.1 二維圖形變換基本原理二維平面圖形變換的結(jié)果有兩種，一是使圖形產(chǎn)生位置的改變；另一種是使圖形產(chǎn)生變形，例如把圖形放大。對(duì)二維圖形進(jìn)行幾何變形有五種基本變換形式，它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對(duì)稱和錯(cuò)切。第4頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日二維圖形變換 二維圖形頂點(diǎn)的變換 平面上有一直線段AB，將它分別沿X方向，Y方向平行移l個(gè)單位后，得

3、到直線段AB，假設(shè)AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），如下圖所示，我們來(lái)驗(yàn)證，只要對(duì)AB的兩端點(diǎn)進(jìn)行同樣的平移變換，就可得到變換后的直線AB。 5.1.1 二維圖形變換基本原理第5頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日對(duì)AB的兩端點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）進(jìn)行平移，得： 由（x1，y1）,(x2，y2）組成一條新的直線段A B其方程為： 即 （422）5.1.1 二維圖形變換基本原理第6頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日在原直線段AB上任取一點(diǎn)（x*，y*）,顯然滿足直線段AB的方程： 對(duì)（x*，y*）作同樣的平移變換： 將（x*，y

4、*）代入新的直線AB的方程（4-22）中， (423)5.1.1 二維圖形變換基本原理(422)第7頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日結(jié)論：對(duì)直線段進(jìn)行平移變換只要其端點(diǎn)進(jìn)行同樣的變換。用同樣的方法，可進(jìn)一步證明：對(duì)直線段進(jìn)行比例旋轉(zhuǎn)、反射、錯(cuò)切等其它幾何變換也只要對(duì)該直線段的端點(diǎn)進(jìn)行同樣的變換。 當(dāng)對(duì)組成圖形的所有直線段作同一幾何變換后，對(duì)這一幅圖形便作了相同的幾何變換，所以，對(duì)圖形進(jìn)行幾何變換只要對(duì)其所有直線段進(jìn)行同樣的幾何變換，而對(duì)直線段的幾何變換又歸結(jié)為對(duì)端點(diǎn)的幾何變換，因此，我們說(shuō)，對(duì)圖形作幾何變換，其實(shí)質(zhì)是對(duì)點(diǎn)的幾何變換。 5.1.1 二維圖形變換基本原理第8

5、頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日l(shuí)）平移變換 平面上一點(diǎn)P（x，y），如果在X軸方向的平移增量為tx，在Y軸方向平移增量為ty時(shí)，則平移后所得新點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)表達(dá)式為： x = x + tx， y = y + ty 我們把這一變換稱為平移變換。 5.1.2 基本幾何變換的解析表示平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀P（x，y）P (x，y)xytxty 第9頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日2）比例變換 一個(gè)圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y），若在X軸方向有一個(gè)比例系數(shù)Sx，在Y軸方向有一個(gè)比例系數(shù)Sy，則該圖形的新坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的表達(dá)式為

6、 x = xSx y = ySy； 這一變換稱為比例變換。 比例變換不僅改變圖形的位置，而且改變圖形的大小 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第10頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日(1)當(dāng) 時(shí)，為恒等比例變換，即圖不變；(2)當(dāng) 時(shí)，圖形沿兩坐標(biāo)軸方向等比例縮??；(3)當(dāng)時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向等比例放大；(4)當(dāng) 時(shí)，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向作非均勻的比例變化。x = xSx y = ySy； 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第11頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日3）旋轉(zhuǎn)變換 若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,則可得到圖中所

7、示的(x, y), 該變換被稱為旋轉(zhuǎn)變換。(x,y)(x,y)xy 變換后的新坐標(biāo)（x，y）與變換前的坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系為： x = xcos - ysiny = xsin + ycos 旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變， 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第12頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日4）對(duì)稱變換如果經(jīng)過(guò)變換后所得到的圖形與變換前的圖形關(guān)于X坐標(biāo)軸是對(duì)稱的，則稱此變換為關(guān)于X軸的對(duì)稱變換。經(jīng)過(guò)這一變換后的坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）與變換前的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的關(guān)系為：x = x， y = -yY軸的對(duì)稱變換： x = -x，y = y中心對(duì)稱變換：

8、x = -x，y = -y對(duì)稱變換只改變圖形方位，不改變其形狀和大小。 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第13頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日5）錯(cuò)切變換如果變換前坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）與變換后對(duì)應(yīng)的新坐標(biāo)點(diǎn)（x，y）的關(guān)系為：x = x + cy，y = y我們稱這一變換為沿X軸的錯(cuò)切變換，式中c為錯(cuò)切系數(shù)。若變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為：x = x， y = y + bx 則稱此變換為沿Y軸的錯(cuò)切變換，其中b為錯(cuò)切系數(shù)。錯(cuò)切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，但圖形中的平行關(guān)系不變。 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第14頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8

9、點(diǎn)27分，星期日平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱和錯(cuò)切變換統(tǒng)稱為基本的圖形變換，絕大部分復(fù)雜的圖形變換都可以通過(guò)這些基本交換的適當(dāng)組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。 5.1.2 基本幾何變換的解析表示第15頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日任何一個(gè)復(fù)雜圖形都是由任意多個(gè)有序點(diǎn)集連線而成。在解析幾何學(xué)中。在二維空間內(nèi)，平面上的點(diǎn)可以用一行兩列矩陣x y或兩行一列矩陣來(lái)表示。由此，一個(gè)由n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)組成的復(fù)雜圖形可以用n2階矩陣表示： 這種圖形的表示法稱為二維圖形的矩陣表示法。5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第16頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日由此可知，圖形的變換可用矩陣運(yùn)算來(lái)實(shí)

10、現(xiàn)。具體說(shuō)就是由構(gòu)成圖形的點(diǎn)集的矩陣與T= 矩陣乘法運(yùn)算，即我們稱T= 為二維圖形變換矩陣，其中點(diǎn)集中任意一點(diǎn)（x，y）變換后坐標(biāo)為： 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第17頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日1）比例變換 若令變換矩陣 則寫(xiě)成矩陣形式為： 若取a=3 d=1 對(duì)點(diǎn)（2，3）做變換,則 可以看出，a1， d=1，變換后圖形沿X方向放大， 顯然，當(dāng)0a1時(shí)，則使圖形沿Y方向放大5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第18頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日a1， d=1，變換后圖形沿X方向放大 當(dāng)a=1，d1時(shí)，則使圖形沿Y方向放大 5.1.

11、3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第19頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日若取a=1，d=0，圖形沿Y方向壓縮成線段，如下圖所示當(dāng)a=1，d=1變換后圖形沒(méi)有變化，稱這種變換矩陣為恒等矩陣。 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第20頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日若取a=d=1.5對(duì)下圖中（a）矩陣1 2 3 4做變換，則各點(diǎn)在X，Y兩個(gè)方向產(chǎn)生相等的比例變換，即變換后圖形和變換前圖形相似，相似中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。 若ad時(shí)，使圖形在X和Y兩個(gè)方向產(chǎn)生不相等比例變換。下圖(b)是a=2,d=1.5時(shí)對(duì) (a)中矩陣1234變換結(jié)果。 圖 (c)是取a=2,d=

12、0.5對(duì)矩陣1234變換結(jié)果，變換后圖形在X方向放大，在Y方向縮小。 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第21頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日2）對(duì)稱變換 令變換矩陣T 中a = -1,d = 1,即 就可圖形對(duì)Y軸對(duì)稱例如：如下圖所示 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第22頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日當(dāng)a=1，d=1時(shí)，圖形對(duì)X軸對(duì)稱即當(dāng) 時(shí)，圖形對(duì)+45度線對(duì)稱 當(dāng) 時(shí)，圖形45度線對(duì)稱 圖形對(duì)+45度線對(duì)稱圖形對(duì)-45度線對(duì)稱5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第23頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日3）錯(cuò)切變換

13、當(dāng)變換矩陣中的a=d=1，b與c中一個(gè)為零，另一個(gè)為正 數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，即 ，它對(duì)圖形的作用是使圖 形產(chǎn)生沿一個(gè)坐標(biāo)方向錯(cuò)切。 5.1.3 幾何變換的矩陣表示第24頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日例如：由下圖可見(jiàn)，圖形沿+Y方向錯(cuò)切，這是對(duì)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)而言。當(dāng) 時(shí)，它使第一象限內(nèi)圖形沿+X方向錯(cuò)切 5.1.3 幾何變換的矩陣表示第25頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日4）旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換是指坐標(biāo)軸不動(dòng)，點(diǎn)或圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，以逆時(shí)針?lè)较蛉≌?。如下圖所示，其變換矩陣則 5.1.3 幾何變換的矩陣表示第26頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，

14、8點(diǎn)27分，星期日逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)=90度時(shí)，變換矩陣順時(shí)針旋轉(zhuǎn)= -90度時(shí)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)=180度時(shí)， 下圖是矩陣旋轉(zhuǎn)30度的情況，其坐標(biāo)變換如下： 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第27頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日1) 齊次坐標(biāo)與平移變換前面四種變換都可以通過(guò)變換矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么它是否適合于平移變換呢？變換前后的坐標(biāo)必須滿足下面的關(guān)系：這里tx，ty是平移量，應(yīng)為常數(shù)，但是應(yīng)用上述的變換矩陣對(duì)點(diǎn)進(jìn)行變換： 這里，cy，bx均非常，因此用原來(lái)的22的變換矩陣是無(wú)法實(shí)現(xiàn)平移變換的。5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第28頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，

15、星期日我們把22矩陣擴(kuò)充為32矩陣，即令：但這樣又帶來(lái)新的問(wèn)題，二維圖形的點(diǎn)集矩陣是n2階的，而變換矩陣是32階的，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，它們是無(wú)法相乘的。為此，我們把點(diǎn)向量也作擴(kuò)充，將 擴(kuò)展為 ,即把點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為n3階矩陣。這樣，點(diǎn)集矩陣與變換矩陣即可以進(jìn)行乘法運(yùn)算： 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第29頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換：對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換：這里L(fēng)，m分別為x，y方向的平移量。 為使二維變換矩陣具有更多的功能，可將32變換矩陣進(jìn)一步擴(kuò)充成33階矩陣，即：則平移變換矩陣為： 5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第30頁(yè)，共52頁(yè)，2022年

16、，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換： 例：設(shè)l = 20，m = 20，對(duì)下圖中的字母T做平移變換得：5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第31頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示如上討論，在平移變換中，我們將 擴(kuò)充為 ， 實(shí)際上是由二維向量變?yōu)槿S向量，但 可以看作是z = 1平面上的點(diǎn)，也就是說(shuō)，經(jīng)此擴(kuò)充后，圖形落在了z = 1的平面上，它對(duì)圖形的形狀沒(méi)有影響。 這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標(biāo)法。進(jìn)一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標(biāo)法。 齊次坐標(biāo)表示中，一個(gè)點(diǎn)可以有多個(gè)坐標(biāo)。無(wú)窮遠(yuǎn)處點(diǎn)的表

17、示，常數(shù)為0第32頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日2）二維圖形齊次坐標(biāo)矩陣變換對(duì)于前面介紹基本變換可用二維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣一般表達(dá)式這33矩陣中各元素功能一共可分成四塊，即 這個(gè)22子矩陣可以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì)稱、 錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形平移變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形透視變換； 可以實(shí)現(xiàn)圖形全比例變換。5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第33頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日例如，用矩陣 對(duì)圖形進(jìn)行變換： 當(dāng)s1時(shí)，圖形產(chǎn)生整體比例縮小。當(dāng)s=1時(shí)，圖形大小不變。由此表明，齊次坐標(biāo)的應(yīng)用，擴(kuò)大了變換矩陣功能，只要對(duì)矩陣中有關(guān)元素賦以不同

18、的 值，即可達(dá)到預(yù)期變換目的。-5.1.3 幾何變換的齊次坐標(biāo)表示第34頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日第35頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日對(duì)稱變換第36頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日 上述的五種二維圖形幾何變換是二維圖形幾何變換中的最基本的幾何變換，在進(jìn)行這些基本的幾何變換時(shí)，我們給定了一些特定的約束條件，如:旋轉(zhuǎn)變換是指繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，比例變換是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的放大或縮小等等，因而是幾何變換中的一些簡(jiǎn)單情形。實(shí)際中的二維圖形作幾何變換時(shí)要復(fù)雜得多，往往是多種基本的幾何變換復(fù)合而成的，因此我們把由若干個(gè)基本的幾何變換

19、復(fù)合而成為一個(gè)幾何變換的過(guò)程稱為組合變換，也稱為幾何變換的級(jí)聯(lián)。5.1.4 組合變換第37頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日1）繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換平面圖形繞任意點(diǎn)p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)角，需要通過(guò)以下幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：（1）將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，變換矩陣為：YXp（xp，yp）5.1.4 組合變換第38頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日（2） 將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角 ，變換矩陣為：YX（3） 將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為：YX5.1.4 組合變換第39頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日因此，繞任意點(diǎn)p的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 顯

20、然，當(dāng)xp=0，yp=0時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。5.1.4 組合變換問(wèn)題：T1,T2,T3的順序能不能換？第40頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日 2）對(duì)任意點(diǎn)做比例變換 設(shè)任意一點(diǎn)p（xp， yp） ，作比例變換需通過(guò)以下步驟來(lái)完成： （1）將P點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為：YX5.1.4 組合變換第41頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日（2）作關(guān)于原點(diǎn)的比例變換，變換矩陣為：（3）對(duì)原點(diǎn)作反平移變換，移到原來(lái)的位置：YXYX5.1.4 組合變換第42頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日對(duì)任意點(diǎn)P作比例變換，其變換矩陣為 5.1.4 組合變換第43頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分，星期日5.1.4 組合變換3）對(duì)任意直線對(duì)稱變換如下圖所示，設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在X軸和Y軸上的截矩分別C/A和C/B，直線與X軸的夾角為，=arctg(A/B)。YX-C/B-C/A第44頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)27分