數(shù)學(xué)物理方法1-2

1、3若某點(diǎn)不屬于D，但其鄰域內(nèi)含有屬于D的點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為D的邊界點(diǎn)。1.2 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)平面上的區(qū)域關(guān)于區(qū)域嚴(yán)格定義所涉及到的概念：1點(diǎn)a的 鄰域：以復(fù)數(shù)a為圓心，任意小的正實(shí)數(shù)為半徑的一個(gè)開(kāi)圓，即滿足|z a| 的點(diǎn)的集合。點(diǎn)a的無(wú)心鄰域：0 |z a| （不包含a點(diǎn)）2內(nèi)點(diǎn)：若某點(diǎn)的鄰域中所有的點(diǎn)屬于D，則該點(diǎn)稱為 D的內(nèi)點(diǎn)。1閉區(qū)域 ：開(kāi)區(qū)域 D+邊界線L4外點(diǎn)：若某點(diǎn)不屬于D，且其鄰域內(nèi)不含有屬于D的點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為D的外點(diǎn)。區(qū)域的嚴(yán)格定義：滿足如下兩個(gè)條件的點(diǎn)集D稱為區(qū)域 (開(kāi)區(qū)域)：(1) 每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)(開(kāi)集性)對(duì)比開(kāi)區(qū)間(2) 任意兩點(diǎn)都可用一條由點(diǎn)集D的點(diǎn)組成的曲線連接 開(kāi)區(qū)域

2、 D ：邊界線L所包圍的區(qū)域(連通性)2 (3)是z 以z =0為圓心，R為半徑的一個(gè)閉圓閉區(qū)域 區(qū)域D 通常用不等式表示。有關(guān)例子：|z|1：復(fù)連通區(qū)域4 解 這三個(gè)區(qū)域見(jiàn)圖1-2-4，其中,(a)是一個(gè)區(qū)域，它只有一條邊界線，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓周，因此是一個(gè)單通區(qū)域；(b)是一個(gè)環(huán)域，它有兩條邊界線以-i為圓心的兩個(gè)同心園，這是一個(gè)雙通區(qū)域 ,(c)的邊界除了以 z =1 為圓心，半徑為2的圓周外，還有一個(gè)點(diǎn)z =1 ,它們相互不連接，因此這也是一個(gè)雙通區(qū)域，通常稱區(qū)域(c)為內(nèi)半徑等于零的環(huán)域。例1.畫圖說(shuō)明以下式子在復(fù)平面上代表什么樣的區(qū)域， 并討論它們的通性：5w ：z的函

3、數(shù)；z ： w 的自變量 (或宗量)二、復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)數(shù)復(fù)變量復(fù)變函數(shù)定義：設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，如果E上每一個(gè)復(fù)數(shù)z有唯一確定的 w 與之對(duì)應(yīng)，則稱在E上確定了一個(gè)單值函數(shù)。記為： w=f ( z ) 一個(gè)復(fù)變函數(shù)是兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的有序組合因?yàn)閦=x+iy，所以復(fù)變函數(shù)w的實(shí)部和虛部應(yīng)是x,y的函數(shù)。即 w = f(z) = u (x,y)+i v (x,y)6定義：如果對(duì)于自變量z，對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或兩個(gè)以上的w,則稱在E上確定了一個(gè)多值函數(shù)。(在3.5節(jié)中介紹多值函數(shù)) 這樣，實(shí)變函數(shù)的許多定義、公式，定理可直接移植復(fù)變函數(shù)中。單值實(shí)變量函數(shù) y=f (x) ，可表示為平面上的一條曲線

4、。不能用二維、三維空間中的幾何圖形表示 z和 f (z) 三、復(fù)變函數(shù)的幾何意義由z平面到w平面的映射對(duì)于單值復(fù)變量函數(shù)：自變量 z = x+iy，復(fù)變函數(shù)w=f ( z ) = u + iv 四個(gè)實(shí)變量：x,y；u,v7對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ( z ) : 從 z 平面到 w 平面的一個(gè)映射 復(fù)變函數(shù)的幾何意義辦法：可用z平面上的點(diǎn)(x,y)表示自變量z的值，而用另一個(gè) w平面上的點(diǎn)(u,v)表示復(fù)變函數(shù)w = f(z) = u +i v的值。例2 試討論由函數(shù) w = z2 所實(shí)現(xiàn)的映射。解 令 則 z平面上的點(diǎn)映射到w平面上時(shí)，其模平方，而輻角加倍，由此可見(jiàn)，z 平面上的第I象限變成w平面上的上

5、半平面如圖1-2-6。8 我們來(lái)看，映射 w= z2 將 z 平面上的什么曲線變成 w 平面上的平行于坐標(biāo)軸的直線族為此將 z2 展開(kāi)：即9解：首先由z滿足|z a|= |a|，得 將 w = 1/z 代入，便有 例3. 已知w = f(z) =1/z，問(wèn)曲線|z a|=|a|(a為復(fù)數(shù)，見(jiàn) 下圖)被映射為怎樣的圖形？求w滿足的方程。 因此，和w 平面上的直線族(1-2-3)相對(duì)應(yīng)的是 z 平面上的曲線族 。如圖(1-2-6)中的虛線和實(shí)線，這是兩族相互正交的雙曲線族。a10兩邊乘 ,整理后可得即其次，只要找到 u ,v 遵守的方程，便可知|z a|=|a|被映射為怎樣的圖形，將代入2Re(a

6、w) =1，便有這是直線方程。這表明，題設(shè)曲線經(jīng)w = f(z) =1/z 映射到w平面是一直線。即11四、初等復(fù)變函數(shù) (類型，性質(zhì))基本初等函數(shù)： 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函 數(shù)、雙曲函數(shù)初等函數(shù)：以上基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算及有限項(xiàng) 復(fù)合而得到。實(shí)變函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性，周期性，單調(diào)性,有限性, 對(duì)于復(fù)變函數(shù)，除了關(guān)心上述性質(zhì)外，還關(guān)心：(1)實(shí)變函數(shù)的公式能否推廣？(2)復(fù)變函數(shù)是否具有新的性質(zhì)？123. 根式函數(shù) 多值函數(shù)（見(jiàn)第3章） 多項(xiàng)式2. 有理函數(shù)ak，bk為復(fù)常數(shù) n：正整數(shù),且分母Q(z)不為0(ck:復(fù)常數(shù)n：正整數(shù))4. 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：(1) 沒(méi)

7、有零點(diǎn)： 13注： （A,B為算符且不對(duì)易） (2) （乘積公式) (3)周期性：周期為證明：性質(zhì)(1)、 (2)證明略。5.三角函數(shù) 性質(zhì)： (1) cosz為偶函數(shù)，sinz為奇函數(shù)14(4) |cosz|和|sinz|是無(wú)界的。見(jiàn)下圖。 (對(duì)比 |sinx| 1 , |cosx| 1)(3) 遵守實(shí)變函數(shù)的三角關(guān)系式(2) 周期為21516177.對(duì)數(shù)函數(shù) 多值函數(shù)性質(zhì)：(1) 與三角函數(shù)的關(guān)系 6.雙曲函數(shù) (2) 周期：2i(3) coshz：偶函數(shù) sinhz：奇函數(shù)(4) 實(shí)變函數(shù)有關(guān)公式可推廣： 8.冪函數(shù)： (s為復(fù)數(shù))18則稱zn以z0 為極限。記作(一) 復(fù)數(shù)序列的極限1

8、.定義：z1, z2 , zn, 是復(fù)數(shù)序列，記作zn。若存在復(fù) 數(shù)z0，對(duì)于任給實(shí)數(shù) 0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n N時(shí),有五、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 2. 幾何意義以 為中心、為半徑作一個(gè)圓 ， 表示 與 的距離。定義表示，當(dāng)nN時(shí)，所有的 都進(jìn)入圓 內(nèi)，取值足夠小，對(duì)于nN的 n， 非常接近于 ，這就是序列 以 為極限的幾何意義。19若存在實(shí)數(shù)0，當(dāng)D內(nèi)的z滿足0|zz0| 0，2.幾何意義 當(dāng)z在Z平面進(jìn)入以z0為圓心,為半徑的圓C時(shí),相應(yīng)的w=f(z)就在W平面進(jìn)入以為w0圓心,為半徑的圓C內(nèi)。 注：這里z以任意方式趨于z0時(shí)，其極限為w0 。則稱f(z)當(dāng)z趨于z0時(shí)有極限w0，記作：203. 性質(zhì)：21(三) 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義：設(shè)w=f(z)是在區(qū)域D中定義的單值函數(shù)，并且z0為D的內(nèi)點(diǎn)。如果任給實(shí)數(shù) 0 ，存在實(shí)數(shù) 0，使得當(dāng)D內(nèi)的z滿足 |zz0| 時(shí)，有 即極限值等于函數(shù)值(求極限的一種方法)22則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0連續(xù)。注：連續(xù)的定義要求z以任意的方式趨于時(shí)z0 極限均為f(z0)，而在實(shí)變函數(shù)中