專題七 曲線的性質(zhì)和軌跡問題

1、專題七 曲線的性質(zhì)和軌跡問題第1頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【考點(diǎn)搜索】第2頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【考點(diǎn)搜索】 1.掌握圓錐曲線的第一定義和第二定義反映的幾何性質(zhì)； 2.求曲線的方程的常見方法： 待定系數(shù)法，即先確定方程的形式，再確定方程的系數(shù)； 定義法，即根據(jù)已知條件，建立坐標(biāo)系、列出x和y的等量關(guān)系、化簡關(guān)系; 代入法; 參數(shù)法.第3頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【課前導(dǎo)引】第4頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【課前導(dǎo)引】 1. 已知F1、F2是雙曲線 的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為

2、邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是( )第5頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解析 設(shè)的中點(diǎn)為P，依題意， 第6頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解析 設(shè)的中點(diǎn)為P，依題意， 答案 D第7頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日2. 以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)， ，則動點(diǎn)P的軌跡為 雙曲線；過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；第8頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日方程 的兩根可分別作 為橢圓和雙曲線的

3、離心率； 雙曲線 相同的焦點(diǎn). 其中真命題的序號為_（寫出所有真命題的序號） 第9頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解析 的軌跡可能是雙曲線的一支，也可能是一條射線，也可能無軌跡； 的軌跡是圓；計(jì)算知正確。第10頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【鏈接高考】 第11頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【鏈接高考】 xyAPF1F2OB例1第12頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(1)設(shè)橢圓的離心率為，證明 (2)證明： (3)設(shè) 求橢圓的方程. xyAPF1F2OB第13頁，共85頁，2022年，5月20日，

4、1點(diǎn)22分，星期日解析xyAPF1F2OB第14頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日( 另：由ab=c2知：xyAPF1F2OB第15頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(2) 由(1)有 xyAPF1F2OB第16頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日xyAPF1F2OB第17頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日xyAPF1F2OB第18頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日故所求橢圓的方程為xyAPF1F2OB第19頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日故所求橢圓的方程為說明

5、本題采用了待定系數(shù)法求軌跡方程.xyAPF1F2OB第20頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例2 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0), 的垂心H分有向線段 所成的比為 (1) 分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)H的軌跡方程;第21頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),對應(yīng)的A的坐標(biāo)為(x1, y1), 則D的坐標(biāo)為(x1, 0), 由H分有向線段 此即點(diǎn)H的軌跡方程.第22頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第23頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 (2)由(1)可知, P, Q分別為

6、橢圓的左右焦點(diǎn), 設(shè)H(x, y), 且數(shù)列, 則 第24頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第25頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日說明 本題采用了代入法求軌跡方程.第26頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例3 如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn). (1)求APB的重心G的軌跡方程. (2)證明PFA=PFB.ABPFOyxl第27頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 (1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為 ABPFOyxl第28頁，共

7、85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ABPFOyxl第29頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日ABPFOyxl第30頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日由于P點(diǎn)在拋物線外，ABPFOyxl第31頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日ABPFOyxl第32頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日AFP=PFB.ABPFOyxl第33頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日方法2：第34頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日所以d1=d2，即得AFP

8、 =PFB.第35頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：第36頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第37頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.第38頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.說明 本題采用了代入法求軌跡方程.第39頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例4 如右圖, 已知A: (x+2)2+y2 = B: (x2)2+y2

9、 = , 動圓P與A、B都相外切. yxABP (1)動圓圓心P的軌跡方程； (2)若直線y=kx+1與(1)中的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P1、P2，求k的取值范圍.第40頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 (1)依題意，PAPB= 故P的軌跡是雙曲線的右支，a=1，c=2，其方程為： yxABP第41頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(2)聯(lián)立方程組在1, +)有兩不同的解，第42頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第43頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例5 A、B是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩

10、點(diǎn)，且OAOB， 1. 求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 2. 求證：直線AB過定點(diǎn)； 3. 求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程； 4. 求AOB面積的最小值； 5. 求O在AB上的射影M軌跡方程.第44頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 (1)設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，中點(diǎn)P(x0, y0)， OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.第45頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(2) y12=2px1，y22=2px2 (

11、y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)第46頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第47頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 AB過定點(diǎn)(2p, 0)，設(shè)M(2p, 0).第48頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(3)設(shè)OAy = kx，代入y2=2px 得: x=0， 同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .第49頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日即 y02 = px0-2p2， 中點(diǎn)M軌跡方程 y2 = px-2p2第50頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y

12、1|=|y2|=2p時(shí)，等號成立. 第51頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日(5)法一：設(shè)H(x3, y3), 則 第52頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日由(1)知，y1y2=-4p2， 整理得：x32+y32 -2px3=0， 點(diǎn)H軌跡方程為x2+y2-4x=0(去掉(0, 0).第53頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 H在以O(shè)M為直徑的圓上 點(diǎn)H軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0). 評注：此類問題要充分利用(1)的結(jié)論. 法二： OHM=90, 又由(2)知OM為定線段第54頁，共85頁，2022年，

13、5月20日，1點(diǎn)22分，星期日專題七 曲線的性質(zhì)和軌跡問題 第二課時(shí)第55頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【考點(diǎn)搜索】第56頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【考點(diǎn)搜索】 1. 在求動點(diǎn)軌跡方程的過程中，一是尋找與動點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程（等量關(guān)系），側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算，一是尋找與動點(diǎn)有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用； 2. 注意向量與解析幾何的密切聯(lián)系.由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，大量的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的 ； 3.注意利用曲線系解題.第57頁，共85頁，2022年，5月20日

14、，1點(diǎn)22分，星期日【課前導(dǎo)引】第58頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 1. 已知反比例函數(shù) 的圖像是等軸雙曲線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )【課前導(dǎo)引】A.B.C.D.第59頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 雙曲線的實(shí)軸為直線 x-y = 0, 故兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 , 且 第60頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 雙曲線的實(shí)軸為直線 x-y = 0, 故兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 , 且 答案 A 第61頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 2. 已知圓x2+y2=1，點(diǎn)A(1，0)，ABC內(nèi)接于此圓，BAC=60

15、o，當(dāng)BC在圓上運(yùn)動時(shí)，BC中點(diǎn)的軌跡方程是( )A. x2+y2 = B. x2+y2 = C. x2+y2 = D. x2+y2 = 第62頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解析 記O為原點(diǎn)，依題意，且OB=OC=1, 故原點(diǎn)到直線BC的距離為由圖像可知，BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于故選D. 第63頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【鏈接高考】第64頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日【鏈接高考】例1 若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第65頁，共85頁，2022年，5月

16、20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0, -2), 直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) C(0, -2)ABxyO第66頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日說明 此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0, 90)或(90, 180)內(nèi)，角的正切函

17、數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在ACB內(nèi)部變化時(shí)，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí)，也要能求出m的范圍.第67頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例2 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程.第68頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解答 方法一：(1)第69頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日解之得：第70頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日則， 解之得： 第71頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日方法二：(1)設(shè)雙曲線方程為 第72頁，共85頁，2022年，5月20日

18、，1點(diǎn)22分，星期日(3)設(shè)雙曲線方程為 ， 解之得：k=4 雙曲線方程為 第73頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日第74頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日 比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.第75頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例3 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.第76頁，共85頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)22分，星期日例3 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與