關(guān)于數(shù)學(xué)物理方法歸納改

1、數(shù)學(xué)物理方法總結(jié)第一章復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)式:z=x+iy復(fù)數(shù)的三角式和指數(shù)式:z(cossin)和zeisinz1(eizeiz)歐拉公式:2i1cosz(eizeiz)2uuxy柯西-黎曼方程(或稱為柯西-黎曼條件):(此中f(z)=u+iv)vvxy函數(shù)f(z)=u+iv在點(diǎn)z0及其領(lǐng)域上到處可導(dǎo),則稱f(z)在z0點(diǎn)分析.在地域B上每一點(diǎn)都分析,則稱f(z)是在地域B上的分析函數(shù).分析函數(shù)的性質(zhì):1.若函數(shù)f(z)=u+iv在地域B上分析,則u(x,y)C1,v(x,y)C2(C1,C2為常數(shù))是B上的兩組正交曲線族.2.若函數(shù)在地域B上分析,則u,v均為B上的調(diào)停函數(shù),即例題:已知某分

2、析函數(shù)f(z)的實(shí)部u(x,y)x2y2,求虛部和這個(gè)分析函數(shù).解答:2u=2;2v因?yàn)?y2x2u2v0=-2;則y2x2曲線積分法u=2x;u=-2y.依據(jù)C-R條件有:v=2y;v=2x.xyxy于是dv2ydx2xdy;v(2ydx2xdy)C(x,0)2xdy)(x,y)(2ydx(2ydx2xdy)C(x,y)(0,0)(x,0)湊全(x,y)2xdyC2xyC(x,0)微分顯式法由上式可知dv2ydx2xdy則易得dvd(2xy)則明顯v2xyC不定積分法上邊已有v=2y;v=2xxy則第一式對(duì)y積分,x視為參數(shù),有v2xy(x)2xy(x).上式對(duì)x求導(dǎo)有v2y(x),而由C-

3、R條件可知(x)0,x從而(x)C.故v=2xy+C.第二章復(fù)變函數(shù)的積分單連通地域柯西定理假如函數(shù)f(z)在閉單連通地域B上分析,則沿B上任意一分段圓滑閉合閉合曲線l(也能夠是B的界限),有f(z)dz0.l復(fù)連通地域柯西定理假如f(z)是閉復(fù)連通地域上的單值分析函數(shù),則n0.式中l(wèi)為地域外界限線,諸f(z)dzlif(z)dzli1li為地域內(nèi)界限線,積分均沿界限線的正方向進(jìn)行.即nf(z)dz.f(z)dzlili1柯西公式f()1f(z)dz2ilzn次求導(dǎo)后的柯西公式f(n)(z)n!f()d2il(z)n1第三章冪級(jí)數(shù)睜開冪級(jí)數(shù)此中a0,a1,a2,a3,都是復(fù)常數(shù).比值鑒識(shí)法(達(dá)

4、朗貝爾鑒識(shí)法)1.如有則a0a1zz0a2zz02k.收斂,.akzz0ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.絕對(duì)收斂.k0若極限limak/ak1存在,則可引入記號(hào)R,Rlimak,于是,若zz0R,kkak1則ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.絕對(duì)收斂.k02.若zz0R,則后項(xiàng)與前項(xiàng)的模之比的極限ak1zz0k1aklimklim1R1,即說(shuō)明kakzz0kakk0ak(zz0)ka0a1(zz0)a2(zz0)2.ak(zz0)k.發(fā)散.例題:求冪級(jí)數(shù)1z2z4z6.的收斂圓,z為復(fù)變數(shù).解答:由題意可得故1z2z4z

5、6.1(z1).1z2泰勒級(jí)數(shù)睜開設(shè)f(z)在以z0為圓心的圓CR內(nèi)分析,則對(duì)圓內(nèi)的任意z點(diǎn),f(z)可展為冪級(jí)數(shù),f(z)k0ak(zz0)k,此中1f()f(n)(z0),ak2iCR1(z0)k1dk!CR1為圓CR內(nèi)包括z且與CR齊心的圓.例題:在z00的領(lǐng)域大將f(z)ez睜開解答:函數(shù)f(z)ez的各階導(dǎo)數(shù)f(n)(z)ez,而f(k)(z0)f(k)(0)1.則ez在z00的領(lǐng)域上的泰勒睜開ez1zz2z3z4.zk.zk.1!2!3!4!k!k0k!雙邊冪級(jí)數(shù).a2(zz0)2a1(zz0)1a0a1(zz0)a2(zz0)2.洛朗級(jí)數(shù)睜開設(shè)f(z)在環(huán)形地域R2zz0R1的內(nèi)

6、部單值分析,則對(duì)環(huán)域上的任一點(diǎn)z,f(z)可展為冪級(jí)數(shù)f(z)ak(zz0)k.此中kak1f()d,2iC(z)k10積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線.例題1:在1z的環(huán)域大將f(z)1/(z21)展為洛朗級(jí)數(shù).11111k111解答:22122246.z1z1zk0zzzz2z例題2:在z01的領(lǐng)域大將f(z)1/(z21)展為洛朗級(jí)數(shù).解答:由題意得f(z)z211(11)12z1z1則有z-1的-1次項(xiàng),而k111111(1)k(z1)(z12)z1z122z2k0212故f(z)1111(1)k(z1)k.2z4k02第四章留數(shù)定理留數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(z)在回

7、路l所圍地域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1,b2,bn分析,在閉地域B上除b1,b2,bn外連續(xù),則n1.f(z)dz2iResf(bj)2ialj1m1此中,a1Resf(bj)lim11)!dm1(zbj)mf(z).zbj(mdz推論1:單極點(diǎn)的留數(shù)為Resf(z0)lim(zz0)f(z).zz0推論2:若f(z)能夠表示為P(z)/Q(z)的特別形式,此中P(z)和Q(z)都在z0點(diǎn)分析,z0是Q(z)的一階零點(diǎn)(Q(z0)0).P(z0)0,則Resf(z0)lim(zz0)P(z)limP(z)(zz0)P(z)P(z0).zz0Q(z)zz0Q(z)Q(z0)上式最后一步應(yīng)用了羅畢達(dá)

8、法規(guī).留數(shù)定理的應(yīng)用種類一2x)dx.作自變量代換zeix.則式子變成R(cosx,sin0IR(zz1,zz1)dz.z122iz例題:計(jì)算I2dx.20cosx解答:2dxidz2idz,Icosxzz1z1z24z02z1)1z(22Z的單極點(diǎn)為z1,2416423.2則Res(23)2ilim(z23)21i,z23z4z13因?yàn)?3不在圓z1內(nèi).故I2.3種類二f(x)dx.積分區(qū)間是(,);復(fù)變函數(shù)f(z)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn),在上半平面除了有限個(gè)奇點(diǎn)外是分析的;當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上時(shí),zf(z)一致地0.則式子能夠變成If(x)dx2if(z)在上半平面全部奇點(diǎn)的留數(shù)之和.例題:計(jì)

9、算1dx2.x解答:Idz的單極點(diǎn)為z1,2i.1z21dxResf(i)2ilim(z,故.i)22ziz11x種類三F(x)cosmxdx,G(x)sinmxdx,積分區(qū)間是0,;偶函數(shù)F(x)和00奇函數(shù)G(x)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn),在上半平面除了有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的;當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上,F(z)及G(z)一致地0.則式子能夠變成F(x)cosmxdxiF(x)eimx在上半平面全部奇點(diǎn)的留數(shù)之和;0G(x)sinmxdxG(x)eimx在上半平面全部奇點(diǎn)的留數(shù)之和.0若種類二,種類三的實(shí)軸上有有限個(gè)奇點(diǎn),則有f(x)dx2iResf(z)iResf(z).在上平面實(shí)軸上此中,在種類三中

10、f(x)應(yīng)理解為F(x)eimz或G(x)eimx.第五章Fourier變換傅里葉級(jí)數(shù)周期為2l的函數(shù)f(x)能夠睜開為級(jí)數(shù)f(x)a0(akcoskxbksinkx).k1llak1lf()coskdklll2(k0)此中,k=.bk1lf()sinkd1(k0)lll注:積分上下限只要滿足上-下=2l即可.ikx復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)f(x)lkcke1likx此中cklf()el*d.2l傅里葉積分f(x)0A()cosxd0B()sinxdA()1f()cosd傅里葉變換式1B()f()sindf(x)1F()eixd復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分21F()f(x)eix*dx2傅里葉變換的性質(zhì)(

11、1)導(dǎo)數(shù)定理Ff(x)=iwF(w)(2)積分定理F(x)f()d=1F(w)iw(3)相似性定理Ff(ax)=1F(w)aa(4)延緩定理Ff(xx0)=eiwx0F(w)位移定理Feiw0 xf(x)=f(ww0)(6)卷積定理若Ff1(x)=F1(w),Ff2(x)=F2(w),則Ff1(x)*f2(x)=2F1(w)F2(w).此中f1(x)*f2(x)稱為f1(x)和f2(x)的卷1f()f(x)d2積.函數(shù)(x)0(x0).(x0)b(x)dx0(a,b都0,或都0).a1(a0b)函數(shù)的一些性質(zhì)1.(x)(x)(x)是偶函數(shù).(x)(x)2.H(x)(t)dt0(x0).x1(x

12、0)3.f()(t0)df(t0).第六章Laplace變換拉普拉斯變換f(p)f(t)eptdt0拉普拉斯變換的一些性質(zhì)(1)線性定理若f1(t)f1(p),f2(t)f2(p),則c1f1(t)c2f(t)c1f1(p)c2f2(p).(2)導(dǎo)數(shù)定理f(t)pf(p)f(0).積分定理相似性定理位移定理()d1L(p).t0pf(at)1f(p).paetf(t)f(p).(6)延緩定理f(tt0)ept0f(p).(7)卷積定理若f1(t)f1(p),f2(t)f2(p),則f1(t)*f2(t)f1(p)f2(p),此中f1(t)*tf1()f2(t)d稱為f1(t)和f2(t)的卷積

13、.f2(t)0第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題(1)均勻弦的細(xì)小振動(dòng),均勻桿的縱振動(dòng),傳輸線方程,均勻薄膜的細(xì)小橫振動(dòng),流體力學(xué)與聲學(xué)方程,電磁波方程的形式為utta2uxx0或utta22u0或utta23u0.(2)擴(kuò)散方程,熱傳導(dǎo)方程的形式為uta2uxx0或uta2u0.穩(wěn)固濃度分布,穩(wěn)固溫度分布,靜電場(chǎng),穩(wěn)固電流場(chǎng)方程的形式為(拉普拉斯方程)u0.(4)以上方程中ux意為u2ux,uxx意為2x.若以上各方程均為有源,則方程為各方程=f(x,y,z,t).定解條件初始條件初始”位移”u(x,y,z,t)t0(x,y,z),初始”速度”ut(x,y,z,t)t0(x,y,z).界限條件第一類界限

14、條件u(r,t)f(M,t)第二類界限條件uf(M,t)n第三類界限條件(uHu)f(M,t)n連接條件u(x00,t)u(x00,t)Tux(x00,t)Tux(x00,t)F(t).(T為張力)達(dá)朗貝爾公式定界問(wèn)題達(dá)朗貝爾公式u(x,t)1(xat)(x1xatat)()d.22axat此中ut0(x),utt0(x).(x)第八章分別變數(shù)法泛定方程utta2uxx0(若該方程能夠使用分別變量法,則能夠化成T(t)X(x).a2T(t)X(x)X(x)X(x)0在不一樣的界限條件下解不一樣.界限條件X(0)0(n)2(1)X(x)的解為l此中n=1,2,3,nX(l)0Xn(x)xCnsi

15、nl(k1)X(0)022(2)X(x)的解為l此中k=0,1,2,1X(l)0(k)2Xn(x)Cncosxl(k1)X(0)022(3)l此中k=0,1,2,X(x)的解為1)X(l)0(kXn(x)Cnsin2xlX(0)0(n)2(4)X(x)的解為l此中n=0,1,2,X(l)0Xn(x)CncosnxlT(t)的方程在有n且n=0時(shí)的解為T(t)AtB;在n0時(shí)的解為T(t)AsinnatBcosnat;ll在有k的狀況下為T(t)Asin(2k1)atBcos(2k1)at.2l2l初始條件將u(x,t)=T(t)X(x)帶入初始條件,確立u(x,t)中的常數(shù)項(xiàng).歐拉型常微分方程

16、2d2RdRm2R0.解法為做代換et.d2d第九章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法本征值問(wèn)題拉普拉斯方程u0(1)球坐標(biāo)系下1r(r2u)1(sinu)12u0.r2rr2sinr2sin22分解為r22RRl(l1)R0其解為R(r)CrlD11.r22rrlr和1(sinY)12Yl(l1)0(球方程,Y(,)()()sinsin22球方程又能夠分別為()()0此中有()(2),其方程解為m2此中m=0,1,2()AcosmBsinm和(1x2)d222xdl(l1)m220(連帶勒讓德方程).dxdx1x(2)柱坐標(biāo)系下1(u)12u2u0.分解為22z2()()0此中有()(2),其方程解為m

17、2此中m=0,1,2()AcosmBsinm和ZZ0和d2R1dR(m2d2d2)R0.當(dāng)0時(shí),Z=C+Dz,R()EFln(m0);mF/m(mE1,2,3.)當(dāng)0時(shí),Z(z)CezDez,方程R變換為x2d2RxdR(x2m2)R0(x,m階貝塞爾方程).dx2dx當(dāng)0時(shí),Z(z)CcoszDsinz,方程R變換為x2d2RdR(x220(x,m階虛宗量貝塞爾方程).dx2xm)Rdx亥姆霍茲方程vk2v0.在x00的領(lǐng)域上l階勒讓德方程的解為y(x)a0y0a1y1此中第十章球函數(shù)高次項(xiàng)l的系數(shù)al(2l)!x2l(l!)2(在乘以合適的常數(shù)以后),用遞推公式改寫后為ak(k2)(k1)ak2,則al2n(1)2(2l2n)!(kl)(kl1)n!2l(ln)!(l2n)!.則勒讓德多項(xiàng)式為l/2(2l2k)!xl2k.l/2=l/2(l為偶數(shù)).Pl(x)(1)kk0k!2l(lk)!(l2k)!(l1)/2(l為奇數(shù))P4(x)1(35x430 x23)1(35cos420cos29)864勒讓德多項(xiàng)式是正交的例題1:以勒讓德多項(xiàng)式為基,在區(qū)間-1,1上把f(x)=2x33x4睜開為廣義傅里葉級(jí)數(shù).解答:2x33x4=f0P0(x)f1P1(x)f2P2(x)f3P3(x)=1213f0