約束優(yōu)化方法

1、關于約束優(yōu)化方法第一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 第五章 約束優(yōu)化方法根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法兩類。 機械優(yōu)化設計的問題，大多屬于約束優(yōu)化設計問題，其數(shù)學模型為： 直接解法是在滿足不等式約束的可行設計區(qū)域內(nèi)直接求出問題的約束最優(yōu)解。間接解法是將約束優(yōu)化問題轉化為一系列無約束優(yōu)化問題來解的一種方法。第二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 第五章 約束優(yōu)化方法 直接解法是在滿足不等式約束的可行設計區(qū)域內(nèi)直接求出問題的約束最優(yōu)解。 屬于直接解法的有：隨機實驗法、隨機方向搜索法、復合形法、可行方向法等。間接解法是將約束優(yōu)化問題轉化為一系列無約束優(yōu)化問題來解的一

2、種方法。 由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時具有不等式約束和等式約束的問題。因而在機械優(yōu)化設計得到廣泛的應用。間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。第三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月直接解法的基本思想： 在由m個不等式約束條件gu(x)0所確定的可行域內(nèi)，選擇一個初始點x(0)，然后確定一個可行搜索方向S，且以適當?shù)牟介L沿S方向進行搜索，取得一個目標函數(shù)有所改善的可行的新點x(1)，即完成了一次迭代。以新點為起始點重復上述搜索過程，每次均按如下的基本迭代格式進行計算： x(k+1) x(k)+(k) S(k) (k=0,1,2,)逐步趨向最優(yōu)解，直到

3、滿足終止準則才停止迭代。第四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月直接解法的原理簡單，方法實用，其特點是：1）由于整個過程在可行域內(nèi)進行，因此，迭代計算不論何時終止，都可以獲得比初始點好的設計點。2）若目標函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可獲得全域最優(yōu)解，否則，可能存在多個局部最優(yōu)解，當選擇的初始點不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。3）要求可行域有界的非空集。直接解法的特點：第五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月a) 可行域是凸集； b)可行域是非凸集第六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月間接解法的基本思路： 將約束函數(shù)進行特殊的加權處理后，和目標函數(shù)結合起來，構成一個新的目標

4、函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉化為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。新目標函數(shù)加權因子然后對新目標函數(shù)進行無約束極小化計算。第七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月間接解法的基本思路 第八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 隨機方向法的基本思路 1、在可行域內(nèi)選擇一個初始點；2、利用隨機數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個隨機方向；3、從中選一個能使目標函數(shù)值下降最快的方向作為搜索方向d；4、從初始點x0出發(fā)，沿d 方向以一定步長進行搜索，得到新點X，新點X應滿足約束條件且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代?；舅悸啡鐖D所示。隨機方向法程序設計簡單，搜索速度快，是解決小型機械優(yōu)化問題的十分有

5、效的算法。第二節(jié) 約束隨機方向法第九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機方向法的基本思路 第十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.2 隨機方向的構成1.用RND(X)產(chǎn)生n個隨機數(shù)2. 將(0,1)中的隨機數(shù) 變換到(-1,1)中去(歸一化);3. 構成隨機方向變換得:于是例: 對于三維問題第二節(jié) 約束隨機方向法第十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月從k個隨機方向中， 選取一個較好的方向。2.3 可行搜索方向的產(chǎn)生第二節(jié) 約束隨機方向法1.檢驗k個隨機點是否為可行點，除去非可行點，計算余下的可行點的目標函數(shù)值，比較其大小，選出目標函數(shù)最小的點XL 。2. 比較XL

6、 和X0兩點的目標函數(shù)值， 若f(XL) f(X0)，則步長0 縮小，轉步驟1）重新計算，直至f(XL) f(X0)為止。 如果0 縮小到很小，仍然找不到一個XL，使f(XL) f(X0)則說明X0是一個局部極小點，此時可更換初始點，轉步驟1）。第十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月產(chǎn)生可行搜索方向的條件為：則可行搜索方向為：2.3 可行搜索方向的產(chǎn)生第二節(jié) 約束隨機方向法第十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4 初始點的選擇 隨機方向法的初始點x0必須是一個可行點，既滿足全部不等式約束條件。初始點可以通過隨機選擇的方法產(chǎn)生。1）輸入設計變量的下限值和上限值，即2）在區(qū)

7、間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生 n 個偽隨機數(shù)3）計算隨機點x的各分量第二節(jié) 約束隨機方向法4）判別隨機點x是否可行，若隨機點可行，用x代替x0為初始點；若非可行點，轉到步驟 2）重新產(chǎn)生隨機點，只到可行為止。第十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.5.迭代過程在初始點處產(chǎn)生一隨機方向，若該方向適用、可行，則以定步長前進； 若該方向不適用、可行，則產(chǎn)生另一方向； 若在某處產(chǎn)生的方向足夠多(50-100)，仍無一適用、可行，則采用收縮步長； 若步長小于預先給定的誤差限則終止迭代。第二節(jié) 約束隨機方向法第十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.6.流程圖X0=X, F0=F給定內(nèi)點X0,

8、 0, m , =0, F0=F(X0)F=F（X）j =1K=K+1是K=0, j=0產(chǎn)生隨機方向=0.5否FF0j =0K=0 dir0=rand(N,1);x0=xl+dir0.*xu;gx=feval(g_cons,x0);%feval()執(zhí)行由串指定的函數(shù)end%=fx0=feval(f,x0);xk=x0+1;fxk=feval(f,xk);xmin=x0;alpha=1.3;k1=0;flag1=1;while norm(xk-x0)TolX|abs(fxk-fx0)TolFunk1=k1+1; x0=xmin;fx0=feval(f,x0);2.7 隨機方向法的Matlab程序

9、第十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月dir0=rand(N,1)*2-1;dir0=dir0/norm(dir0);xk=x0+alpha*dir0;gx=feval(g_cons,xk);if max(gx)0 alpha=alpha*0.7;elsefxk=feval(f,xk);if fxkfx0if norm(xk-x0)TolX&abs(fxk-fx0)TolFunbreakelsexmin=xk;alpha=1.3;endx0,xk,fx0,fxkelsealpha=-alpha;end endendx1=x0;fx1=feval(f,x1);gx=feval(g_co

10、ns,x1);k1end第十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例: 求 2.7 隨機方向法的Matlab程序function opt_random1_test1%opt_random1_test1.mclc;clear all;f=inline(x(1)2+x(2),x);xl=-3 -3;xu=3 3;TolX=1e-8;TolFun=1e-8;x1,fx1,g=opt_random1(f,fun_cons,xl,xu,TolX,TolFun)function g=fun_cons(x)g=x(1)2+x(2)2-9 x(1)+x(2)-1;計算結果：x1 =-0.0076 -3.

11、0000,f =-2.9999,g =-0.0000 -4.0076第十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 復合形法復合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法?；舅悸罚?1、在可行域內(nèi)構造一個具有k個頂點的初始復合形； 2、對該復合形各頂點的目標函數(shù)值進行比較，找到目標函數(shù)最大的頂點（最壞點）； 3、然后按一定的法則求出目標函數(shù)值有所下降的可行的新點，并用此點代替最壞點，構成新的復合形，復合形的形狀每改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。 由于復合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對目標函數(shù)和約束函數(shù)無特殊要求，因此這種方法適應性強，在機械優(yōu)化設計中應用廣泛。第二十張，

12、PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 3.1 基本思路 在可行域內(nèi)選取若干初始點并以之為頂點構成一個多面體(復合形),然后比較各頂點的函數(shù)值,去掉最壞點,代之以好的新點,并構成新的復合形,以逼近最優(yōu)點.第三節(jié) 復合形法第二十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.2 初始復合形生成的方法：（1）由設計者決定k個可行點，構成初始復合形。設計變量少時適用。（2）由設計者選定一個可行點，其余的k-1個可形點用隨機法產(chǎn)生。（3）由計算機自動生成初始復合形的所有頂點。第三節(jié) 復合形法*初始復合形的構成*復合形的移動和收縮第二十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共七十

13、七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.2.1 初始復合形的構成(1)復合形頂點數(shù)K的選擇建議: 小取大值, 大取小值(2)初始復合形頂點的確定用試湊方法產(chǎn)生-適于低維情況;用隨機方法產(chǎn)生3.2 初始復合形生成的方法：第三節(jié) 復合形法第二十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 將非可行點調(diào)入可行域內(nèi) K個頂點中要求無一在可行域內(nèi)。重新產(chǎn)生。 K個頂點中有可行點，重新排列，將可行點依次排在前面，如有q個頂點X(1)、X(2)、X(q)是可行點，其它K-q個為非可行點。對X (q+1)，將其調(diào)入可行域的步驟是： 先用隨機函數(shù)產(chǎn)生 個隨機數(shù) ,然后變換到預定的區(qū)間 中去.用隨機方法產(chǎn)生K個頂點第二十五

14、張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(1)計算q個點集的中心X(s)；(2)將第q+1點朝著點X (s)的方向移動，按下式產(chǎn)生新的X (q+1)，即 若仍不可行，則重復此步驟，直至進入可行域為止。 按照這個方法，同樣使X(q+2)、X(q+3)、X(K)都變?yōu)榭尚悬c，這K個點就構成了初始復合形。第二十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月有兩種基本運算:1) 映射-在壞點的對側試探新點:先計算除最壞點外各頂點的幾何中心, 然后再作映射計算.2) 收縮-保證映射點的“可行”與“下降”X1為最壞點-映射系數(shù)常取若發(fā)現(xiàn)映射點不適用、可行, 則將 減半后重新映射.3.3 復合形法的搜索方法

15、第二十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.4 復合形法的迭代步驟(1)構造初始復合形；(2)計算各頂點的函數(shù)值F(X(j)，j=1,2,.,K。選出好點X(L)和壞點X(H) ；(3)計算壞點外的其余各頂點的中心點X(0)。第二十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(4)計算映射點X(R) 檢查X(R)是否在可行域內(nèi)。若X(R)為非可行點，將映射系數(shù)減半后再按上式改變映射點，直到X(R)進入可行域內(nèi)為止。(5)構造新的復合形 計算映射點的函數(shù)值F(X(R)，并與壞點的函數(shù)值F(X(H)比較，可能存在兩種情況： 1）映射點優(yōu)于壞點 F(X(R) F(X(H) 這種情況由于映射

16、點過遠引起的，減半映射系數(shù)，若有F(X(R) F(X(H)，這又轉化為第一種情況。第三十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.5 判斷終止條件1)各頂點與好點函數(shù)值之差的均方根值小于誤差限，即2）各頂點與好點的函數(shù)值之差的平方和小于誤差限，即 3）各頂點與好點函數(shù)值差的絕對值之和小于誤差限，即 如果不滿足終止迭代條件，則返回步驟2繼續(xù)進行下一次迭代；否則，可將最后復合形的好點X(L)及其函數(shù)值F(X(L)作為最優(yōu)解輸出。第三十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月比較復合形各頂點的函數(shù)值，找出好點XL，壞點XHXH=XR=0.5找出次壞點XSH，XH=XSH滿足終止條件？X*=X

17、L ,F*=F(XL)結 束3.6 流程圖是否 給定K，ai , bi i =1,2,n產(chǎn)生初始復合形頂點Xj , j=1,2,K計算復合形各頂點的函數(shù)值F(Xj), j=1,2,K是是是否否否XRDFR0 x0=xl+rand(N,1).*xu;gx=feval(g_cons,x0);end第三十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月x1,fx=gen_complex(x0,k,f,g_cons);flag1=1;flag2=1;flag3=1;k1=0fxx1fprintf(此處暫停，請按下任意鍵繼續(xù)n)pausewhile k1MaxIterflag1=1;flag2=1;flag

18、3=1;k1=k1+1fx,I=sort(fx);for i=1:kx2(:,i)=x1(:,I(i);endx1=x2;fmax1=fx(k);imax1=I(k);fmin=fx(1);imin=I(1);fmax2=fx(k-1);imax2=I(k-1);%計算形心xc=zeros(N,1);for i=1:kxc=xc+x1(:,i);endxc=xc-x1(:,imax1);xc=xc/(k-1); gxc=feval(g_cons,xc);alpha=1.31; %反射xr=xc+alpha*(xc-x1(:,imax1);gxr=feval(g_cons,xr)if max(g

19、xr)0fxr=feval(f,xr);if fxrfmax1fprintf(反射成功n)fmax1,fxrfmax1=fxr;fx(imax1)=fxr;x1(:,imax1)=xr; flag1=-1;else%反射失敗flgg1=1; end第三十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月else%反射失敗flag1=1; end gama=0.7;if flag1=-1 fprintf(延伸n)xe=xr+gama*(xr-xc);gxe=feval(g_cons,xe)if max(gxe)0fxe=feval(f,xe);if fxefmax1fprintf(延伸成功n)fxe,

20、fmax1fx(imax1)=fxe;fmax1=fxe; x1(:,imax1)=xe;flag2=-1; else%延伸失敗flag2=1; endelse%延伸失敗flag2=1; endendbeta=0.7;if flag1=-1&flag2=-1fprintf(收縮n)xk=x1(:,imax1)+beta*(xc-x1(:,imax1);gxk=feval(g_cons,xk)if max(gxk)0fxk=feval(f,xk);if fxkfmax1fprintf(收縮成功n)fxk,fmax1fmax1=fxk;fx(imax1)=fxk;x1(:,imax1)=xk;fl

21、ag3=-1;else%收縮失敗flag3=1;endelse第三十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月%收縮失敗flag3=1; endend if flag1=-1&flag2=-1&flag3=-1fprintf(flag1,flag2,flag3n %d %d %dn,flag1,flag2,flag3)fprintf(重新生成單純形n)fx,I=sort(fx);imin=I(1);x0=x1(:,imin); x1,fx=gen_complex(x0,k,f,g_cons) endendxo=x1(:,imin);fo=feval(f,xo);go=feval(g_cons

22、,xo);k1第三十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月function x1,fx=gen_complex(x0,k,f,g_cons)N=length(x0);M=size(g_cons);M=length(M(:,1);x1(:,1)=x0;fx(1)=feval(f,x0);a=1.3; s=rand(N,k)*2-ones(N,k);s=s/norm(s);k2=1;while k2kx0=x1(:,1)+a*s(:,k2);gx=feval(g_cons,x0);if max(gx)0k2=k2+1;x1(:,k2)=x0;fx(k2)=feval(f,x0);elsea=

23、0.7*a;endend 第三十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.7 應用復合形法Matlab程序求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解function opt_complex_test1% opt_complex_test1.mclc;clear all;f=inline(x(1)-5)2+4*(x(2)-6)2,x);TolX=1e-6;TolFun=1e-6;x0=8,14;xl=2 2;xu=7 9;MaxIter=65;options=optimset(LargeScale,off);xo,fxo,g=opt_complex(f,fun_cons,x0,xl,xu,TolX,TolFu

24、n,MaxIter)%用復合形法求目標函數(shù)最優(yōu)解和最優(yōu)值xo,fo=fmincon(f,x0,xl,xu,fun_cons,options)%通過使用函數(shù)fmincon解決有約束的非線性優(yōu)化問題function c ceq=fun_cons(x)c=64-x(1)2-x(2)2 -x(1)+x(2)-10 x(1)-10;ceq=;應用opt_complex函數(shù)計算結果:xo=5.2186 6.0635,fo=0.0639, g =-0.0000,-9.1551,-4.7814應用fmincon函數(shù)計算結果：xo=5.2186 6.0635,fo =0.0639。第三十八張，PPT共七十七頁，

25、創(chuàng)作于2022年6月約束優(yōu)化問題的間接解法 約束優(yōu)化問題的間接解法是將約束優(yōu)化問題轉化為一系列無約束優(yōu)化問題來進行求解的方法。約束優(yōu)化問題的間接解法除拉格朗日乘子法外，常用的方法還有罰函數(shù)法及增廣乘子法。 雖然約束優(yōu)化問題的間接解法可利用無約束優(yōu)化問題的求解方法進行求解，但由于增加了拉格朗日乘子或罰因子，其求解過程與常規(guī)無約束優(yōu)化問題有所不同。第三十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1 概述1. 基本思想將約束問題 轉化成無約束問題 求解懲罰函數(shù)可調(diào)參數(shù)* 構造懲罰函數(shù) 的基本要求: 懲罰項用約束條件構造; 到達最優(yōu)點時,懲罰項的值為0; 當約束不滿足或未到達最優(yōu)點時,懲罰項的值

26、大于0.第四節(jié) 懲罰函數(shù)法第四十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權后，和原目標函數(shù)結合為新的目標函數(shù)懲罰函數(shù)。 將約束優(yōu)化問題轉換為無約束優(yōu)化問題。求解無約束優(yōu)化問題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。加權轉化項第四節(jié) 懲罰函數(shù)法第四十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 懲罰函數(shù)法是按一定的法則改變加權因子的值，構成一系列的無約束優(yōu)化問題，求一系列無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此又稱序列無約束極小化方法。常稱SUMT方法。根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作

27、用，分別稱障礙項和懲罰項。 障礙項的作用是當?shù)c在可行域內(nèi)時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可形域。 懲罰項的作用是當?shù)c在非可行域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。第四十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2 分類 內(nèi)點法-將迭代點限制在可行域內(nèi); 外點法-迭代點一般在可行域外; 混合法-將外點法和內(nèi)點法結合起來解GP型問題. 按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點是否可行，分為： 內(nèi)點法、外點法 及 混合法。第四節(jié) 懲罰函數(shù)法第四十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)1.懲罰函數(shù)的構

28、造原問題:s.t.可取式中, 1)當X趨于D的邊界時, 中間函數(shù)B(X)趨于無窮大, 故又稱為障礙(圍墻)函數(shù); r 稱為罰因子，在逐次迭代中越來越小第四十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.1 基本思想： 內(nèi)點法將新目標函數(shù) ( x , r ) 構筑在可行域 D 內(nèi)，隨著懲罰因子 r(k) 的不斷遞減，生成一系列新目標函數(shù) (xk ,r(k)，在可行域內(nèi)逐步迭代，產(chǎn)生的極值點 xk*(r(k) 序列從可行域內(nèi)部趨向原目標函數(shù)的約束最優(yōu)點 x* 。例：求下述約束優(yōu)化問題的最優(yōu)點。 min. f (x) = x x R1 s.t g (x) = 1-x 0X1*X2*X*4.3

29、SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第四十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.2 懲罰函數(shù)的形式：其中：懲罰（加權）因子 罰因子降低系數(shù) （罰因子遞減速率）c： 0 c 14.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第四十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.3 迭代步驟：選取合適的初始點 x(0) ，以及 r(0)、c、計算精度 1、2 ，令 k=0； 2. 構造懲罰（新目標）函數(shù)；3. 調(diào)用無約束優(yōu)化方法，求新目標函數(shù)的最優(yōu)解 xk* 和 (xk , r(k) ) ；4. 判斷是否收斂：運用終止準則 前后兩次無約束極小點之間的距離 相鄰兩點罰函

30、數(shù)的相對誤差若均滿足，停止迭代，有約束優(yōu)化問題的最優(yōu)點為 x* = xk*；若有一個準則不滿足，則令 并轉入第 3 步，繼續(xù)計算。4.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第四十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月下面介紹內(nèi)點法中的初始點、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定。1.初始點的選取 初始點應選離約束邊界較遠的可行點。程序設計時，一般，考慮具有人工輸入和計算機自動生成可行初始點的兩種功能。4.3 SUMT內(nèi)點法第四十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 初始點 x (0) 的選擇方法 人工估算，需要校核可行性； 計算機隨機產(chǎn)生，也需校核可行性；

31、 搜索方法： 任意給出一個初始點； 判斷其可行性，若違反了S個約束，求出不滿足約束中的最大值： 應用優(yōu)化方法減少違反約束： 以求得的設計點作為新初始點，繼續(xù)其判斷可行性，若仍有不滿足的約束，則重復上述過程，直至初始點可行。4.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第四十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應適當，否則會影響迭代計算的正常進行。太大會影響迭代次數(shù)，太小會使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點。 1 ）取r0 =1，根據(jù)試算的結果，再決定增加或減少r0 值。2）按經(jīng)驗公式 計算r0 值。這樣選取的r0 ，可以是懲罰函數(shù)中的

32、障礙項和原目標函數(shù)的值大致相等，不會因障礙項的值太大則起支配作用，也不會因障礙項的值太小而被忽略掉。第五十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取 在構造序列懲罰函數(shù)時，懲罰因子r是一個逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關系為：懲罰因子的縮減系數(shù)通常的取值范圍：0.1-0.7之間。第五十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月罰因子為使 與原問題同解, 應使* 對于一個 , 求解一個無約束優(yōu)化問題. 前一問題的結果為后一問題的初值, 故為系列無約束極小化方法(Sequential Unconstrained Minimization Techniq

33、ue).第五十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月4.收斂條件前后兩次無約束極小點之間的距離 相鄰兩點罰函數(shù)的相對誤差第五十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 幾個參數(shù)選擇小結：懲罰因子初始值 r(0) 的選擇： 過大、過小均不好， 建議考慮選擇：2. 降低系數(shù) c 的選擇：c 的典型值為0.10.7。建議先試算。3. 初始點 x (0) 的選擇：要求： 在可行域內(nèi)； 不要離約束邊界太近。方法： 人工估算，需要校核可行性； 計算機隨機產(chǎn)生，也需校核可行性。4.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第五十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月6. 方法評價：

34、 用于目標函數(shù)比較復雜，或在可行域外無定義的場合下； 由于優(yōu)化過程是在可行域內(nèi)逐步改進設計方案，故在解決工程問題時，只要滿足工程要求，即使未達最優(yōu)解，接近的過程解也是可行的； 初始點和序列極值點均需嚴格滿足所有約束條件； 不能解決等式約束問題。4.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第五十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 輸出X*，F(xiàn)*=F（X*）結束是4.3 SUMT內(nèi)點罰函數(shù)法迭代步驟用無約束方法求 的極小點X*輸入X0，r0, c, 否k=k+1, Xk=X*，rk=crkK=0, Xk=X0,第五十六張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例:解: 懲罰函數(shù)在

35、D內(nèi) , 對于固定的 , 令得r(k)x*f(x*)B(x*)1/22111.51/101.44720.72362.23610.94721/501.20.650.71/62501.01790.508955.90170.5179010.50.54.3 SUMT內(nèi)點法(內(nèi)點懲罰函數(shù)法、障礙函數(shù)法)第五十七張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月r(k)x*f(x*)B(x*)1/22111.51/101.44720.72362.23610.94721/501.20.650.71/62501.01790.508955.90170.5179010.50.5第五十八張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022

36、年6月 內(nèi)點法是將懲罰因數(shù)定義于可行域內(nèi)，而外點法與內(nèi)點法不同，是將懲罰項函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。 4.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題第五十九張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月懲罰因子，它是由小到大。懲罰項 由懲罰項可知，當?shù)c不可行時，懲罰項的值大于零。 當?shù)c離約束邊界越遠時，懲罰項愈大，這可看成是對迭代點不滿足約束條件的一種懲罰。轉化后的外點懲罰函數(shù)的形式為：第六十張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 基本思想： 外點法將新目標函數(shù) ( x , r

37、) 構筑在可行域 D 外，隨著懲罰因子 r(k) 的不斷遞增，生成一系列新目標函數(shù) (xk ,r(k)，在可行域外逐步迭代，產(chǎn)生的極值點 xk*(r(k) 序列從可行域外部趨向原目標函數(shù)的約束最優(yōu)點 x* 。例：求下述約束優(yōu)化問題的最優(yōu)點。 min. f (x) = x x R1 s.t g (x) = 1-x 0新目標函數(shù)：44.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）第六十一張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 懲罰項是罰因子和中間函數(shù)的乘積； 內(nèi)點法中隨著設計變量移向約束函數(shù)的邊界，中間函數(shù)值不斷增加，罰因子不斷減小，在迭代過程中懲罰項最終趨于零。 外點法，即在迭代過程中隨著設計變量移向約

38、束函數(shù)的邊界，使中間函數(shù)逐步減小，而使罰因子逐步增大。如此構造出的罰函數(shù)稱為外點罰函數(shù)，外點罰函數(shù)的具體形式如下。 4.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）2. 懲罰函數(shù)的構造第六十二張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 懲罰函數(shù)的構造4.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）第六十三張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 懲罰函數(shù)的構造4.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）第六十四張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 懲罰函數(shù)的構造考慮非線性規(guī)劃問題:s.t.懲罰函數(shù)可取為2) 罰因子* 1) 時,懲罰項為0, 不懲罰; 時, 懲罰項大于0, 有懲罰作用.因 邊界時,懲罰項中大括號中的值趨于0,為保證懲罰作用,應取4.4 外點懲罰函數(shù)法（衰減函數(shù)法）第六十五張，PPT共七十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 幾個參數(shù)的選擇r (0) 的選擇: r (0) 過大，會使懲罰函數(shù)的等值線變形或偏心，求極值困難。 r (0) 過小，迭代次數(shù)太多。x(0) 的選擇： 基本上可以在可行域內(nèi)外，任意選擇。遞增系數(shù)c 的選擇： 通常選擇 5